第二章 如何模擬整體剪力強度
2.3 以極限平衡法 LEM 模擬整體剪力強度
2.3.1 原始的極限平衡演算法架構
極限平衡法是建立於 Ching and Phoon (2013) [8] 提出結論之上。其研究指出，
二維平面的土壤試體在受到單剪和單壓等簡單應力狀態時，表現出之整體剪力強 度 τfm與沿真實破壞面上的剪力強度線平均值 τfLA 彼此大致相同2，而破壞面上的 剪力強度線平均值正好是整個土體中，眾多潛在滑動面之剪力強度線平均值中的
2上標 m 代表 mobilized，表示為整體剪力強度; 上標 LA 代表 Line Average，表示沿著破壞面上 的線平均剪力強度
圖 2.5: 網格尺寸產生之平均化效應：等向性土壤
圖 2.6: 網格尺寸產生之平均化效應：水平層狀土壤
最小值，即
τfLA = min(τ1LA, τ2LA, τ3LA, . . . , τiLA, . . . , τnLA) (2.7) 式 2.7 中的 τ1LA, τ2LA, τ3LA, . . . , τiLA, . . . , τnLA即為整個土體中所有可能滑動面上的剪 力強度；此滑動面所在之角度可利用莫耳庫倫破壞準則求得，滑動面可以發生的 位置被限制在上下兩端彈性區內。在單剪狀態下，潛在滑動面與水平面之夾角 θ = ϕ◦/2。
極限平衡法LEM是以純數學的方式模擬試體的整體剪力強度，而避開數值分 析所需的龐大計算時間及平均化效應。在此概述其極限平衡法架構，其主要可分 為兩部分：首先是隨機場的建立，與RFEM相同，先以隨機場產生具有空間變異 性的二維土壤凝聚力 c 值，此步驟如同在MATLAB中模擬一假試體。第二部分是 以莫爾庫倫破壞理論計算出的理論破壞角度為準，計算隨機場中所有位於此角度 上的凝聚力線積分值 cLAi ，將其中的最小值
cLAf = min(cLA1 , cLA2 , cLA3 , . . . , cLAi , . . . , cLAn ) (2.8)
視為滑動面發生處，進一步以公式
τfm = σ1+ σ3
2 · sinϕ + cLAf · cosϕ (2.9) 將凝聚力值轉為剪力強度值，求得此具有凝聚力空間變異性土體的整體剪力強度 τfm。式 2.9 中 ϕ◦ 為土壤摩擦角。由於隨機場於每次皆會產生相異且彼此獨立的土 壤試體，因此即便所有設定參數、潛在滑動面角度皆相同，每次操作分析後仍會 得到不同的整體剪力強度。而後藉由重複取樣來得到足夠的樣本數，計算其平均 值，即得到在此狀態下具代表性的整體剪力強度。需注意的是公式 2.9 中的 σ1, σ3 雖然是依莫爾圓上的應力狀態代入計算，但在LEM計算中並沒有使用到任何的加 載，僅使用理論破壞角度進行最小值的搜尋。
利用圖 2.7 再次說明整個LEM演算法的最原始架構。最左方的RFEM是在考慮 土壤凝聚力 c 具有空間變異性的情況下，輸入隨空間變異的 c 值、摩擦角 ϕ = 40◦， 且受力方式為單剪，利用數值軟體ABAQUS計算得到之結果3 。由圖中可觀察發
3圖示為收斂完成後的 PEEQ(equivalent plastic strain) 結果
現，其破壞面大致為一直線且其角度大致符合莫耳庫倫破壞準則4。下一張圖開始 正式進入LEM架構的說明。取出與RFEM完全相同的隨機場，理論上在與RFEM 結果的相同位置附近，能搜尋到一條土壤凝聚力的線平均值 cLAf，相較其他所有 平行破壞面上的 cLAi 都來的低，則此線的所在位置則被視為破壞面發生之位置、
此線上的剪力強度即為整體剪力強度。但是該如何搜尋此線?
圖 2.7: 最初的LEM演算法架構
隨機場產生的函數為一連續函數，因此即便在有限的範圍內，仍有無限多組平 行線可供搜尋。在此勢必需尋求一方法，將無限多組潛在破壞面改為有限數目才 能進行運算。其方法如下：
先設定格點上下界，見圖2.8。所謂格點即是給予連續的函數離散的座標。仿照 RFEM在頂部與底部設置的彈性區，破壞面將無法通過此區域，因此起始掃描線 的右方端點座標為 (12.8, 0)；破壞面與水平夾角 θ = 20◦，因此左方端點座標為 (0, 12.8× tan 20◦)。最終掃描線的判定，是當其左方端點正好接觸到頂部彈性區 (0, 48) 為止，如圖2.8 實線所示。虛線為與實線互為對稱之可能滑動面方向，由於 土壤凝聚力值在同層間 (水平方向) 完全相同，因此同高度之虛線與實線，其線積 分值將完全相同，無需額外重覆計算。
4ϕ = 40◦, f ailure f ace θ = 20◦f or pure shear
圖 2.8: 定位LEM搜尋之上下界線
確立搜尋區域的上下界後，接下來進行格點分割，將此區域切成數等份，即可
僅在鉛直方向有變化，因此不論自右邊或自左邊掃，對稱的兩位置上都會得到相 同的結果，因此僅作單邊搜尋加速運算。