第二章 如何模擬整體剪力強度
2.3 以極限平衡法 LEM 模擬整體剪力強度
2.3.2 改進後的極限平衡演算法
在了解基礎的LEM運作架構後，本子節將說明該如何改進其演算法，使其適 用於本研究的探討標的。
圖 2.9: 設定摩擦角 ϕ = 40◦、δz = 10m 不同RFEM破壞結果
觀察 ABAQUS 分析後試體破壞的情形，發現在單剪的應力狀況下，土壤凝聚 力呈層狀分布的試體，其破壞面有時會不依莫耳庫倫破壞準則發生，如圖 2.9。自 圖中可發現，同樣為 ϕ = 40◦之試體，在相同的隨機場期望值、變異數設定下，同 樣受單剪後的破壞情況卻十分不同。理論上受到單剪後的破壞面角度 θ = 20◦，但 由圖2.9 中可發現並非如此，且其表現出之整體剪力強度 (標示於試體下方) 亦大相 逕庭；最左方破壞面幾乎都發生在同一層元素的整體剪力強度值，遠低於其餘試 體。在經過大量觀察後發現，當破壞面選擇沿層面方向發生時，相較於遵守莫耳 庫倫破壞準則破壞的試體，沿層面破壞之土體，所表現出的整體剪力強度通常偏 低，此為本文所指的弱化機制。當破壞面並非總是沿莫爾庫倫理論角度發生，前 述的 LEM 演算法由於遺漏了在其他 θ◦ 上的線積分值，得出的整體剪力強度結果 必定會發生問題。隨著破壞面跳轉的情況越頻繁，LEM所得之整體剪力強度之低 估情形，與RFEM結果相比會越趨嚴重，因此必須做出改進。
圖 2.10: 將沿固定角度搜尋改為範圍搜尋
改進的方式，是讓演算法的線積分不再局限於一固定角度，改以掃描一扇形 區域：以理論破壞角度為上界、層面所在位置為下界，來模擬發生於不同位置的 破壞面，見圖 2.10 。原本在LEM中，τiLA是以 cLAi 透過公式 2.9 求得，cLAi 是沿 θ = ϕ◦/2 角度計算之凝聚力線積分；每個格點 (圖上不同的圓圈代表不同格點) 的 代表值 τiLA是來自單一一個沿 θ 角度計算的線積分 cLAi ；然而來到LEMimprv 則改 變為
τiLA = min(τ0LA◦ , τ1LA◦ , . . . , τθLA◦
)
其中 τ1LA◦ , τ2LA◦ , . . . , τθLA◦ 分別是以格點 i 為準、向上順時針旋轉 0◦, 1◦, . . . , θ◦的 cLAx◦
換算而得6，最終的整體剪力強度則仍遵照式2.7 所述。至於在不同潛在破壞角度 上，該如何把土壤凝聚力 cLAx◦ 轉換至 τxLA◦ ，則是利用公式2.14 計算，其推導過程 如下。
圖 2.11: 單位元素應力圖
如圖2.11 所示之平面土體單元中，與水平面間夾 x◦ 之斜面上所受的正向應力
6下標 x◦代表某特定格點 i 上的特定搜尋角度，亦即位於不同格點的 cLAx◦ ，即使 x◦ 相同，其 cLAx◦ 仍不同。
與剪應力可表示為式 2.11 及式 2.12，
σn = σx+ σy
2 + σx− σy
2 cos 2x− τxysin 2x (2.11) τn = σx− σy
2 sin 2x + τxycos 2x (2.12) 將 σn與 τn帶入莫耳庫倫破壞準則 τf = c + σ tan ϕ，可得
τxycos 2x = cLAx◦ − τxysin 2x· tan ϕ (2.13)
移項整理出此時斜面上的剪力強度為
τxy = τxLA◦ = cLAx◦
cos 2x + sin 2x· tan ϕ (2.14) 其中 ϕ◦為土壤的摩擦角；cLAx◦ 為在此與平面間夾 x◦的斜面上的土壤凝聚力平均線 積分值。
以摩擦角 ϕ = 40◦ 的土壤試體為例，其受單剪時的莫爾庫倫理論破壞角度為 ϕ/2 = 20◦，原先每個格點皆含一個以此格點為準、與水平夾角 20◦的凝聚力線積 分值，現在改為自層面方向 0◦ 開始、間隔 1◦ 逐一計算至 20◦ 之凝聚力線積分值，
共有 21 筆凝聚力線積分值 cLAx◦ ，分別經公式 2.14 轉換至其對應的剪力強度 τxLA◦
後，取當中的最小值賦予此格點。其餘格點比照相同方法，逐步向上完成整個試 體的掃描，後取出所有格點中最小者做為此土體的整體剪力強度。
除了將固定角度改為範圍掃描之外，新的演算法會輸出最終得到的破壞面 τfm 所在角度 x◦。再次以前述摩擦角 ϕ = 40◦ 的例子說明：在試體受單剪的狀態下，
莫耳庫倫理論破壞角度為 20◦，層面所在方向為 0◦，在LEMimprv演算法中允許的 潛在破壞面有 0◦ 到 20◦ 共 21 條。演算法最終除了輸出整個搜尋範圍中最小的線 積分值，當做整體剪力強度之外，還會輸出此最小線積分值所在的角度。在此例 中即為一介於 0 與 20 間的整數，可視為虛擬的破壞面角度 (因為 MATLAB 演算法 並無實際進行有限元素分析)。此角度將有助於後續研究弱化造成的影響。