基礎於跳轉比例之簡化演算法

本節將說明如何以 α 比例量化整體剪力強度的弱化程度。先回憶 α 求取方

式，為藉LEM_imprv 輸出最小整體剪力強度線平均所在的角度，作為破壞面發生

之角度。因分析是採用高斯隨機場，於每次產出的隨機場之下，其分析都可視為 一獨立、但整體性質相近的樣本。本研究中定義之 α，即是以隨機場產生 1000 組不同樣本 (取樣 1000 次) 後，計算這 1000 筆輸出的最小整體剪力強度所在角 度，並以二分法歸類。舉例說明，一理論破壞角度為 20^◦、層面方向水平的試體，

以範圍掃描的_LEM取樣 1000 次，若有 600 筆樣本其最終輸出角度小於 10^◦，則 alpha = 600/1000 = 0.600。需注意的是，在此完全未提及試體的受力狀態，因

為LEM_imprv 單純是搜尋隨機場在不同方向上的線積分值。LEM_imprv 演算法的輸

入參數是不考慮試體受純剪、受壓、或是同時施加剪力及壓力等應力狀態，只在 乎此應力狀態下呈現出之理論破壞角度為何。

今若已知某隨機場參數下的 α，假設此 α 具代表性，則可藉LEM 演算法來 模擬此狀態下的整體剪力強度，而不再需要使用耗時的LEMimprv 來搜尋土體中之 弱面，原因說明如下。α 代表意義：約略會有多少比例的破壞面出現跳轉 (沿層面 發生)；反之亦然，破壞面約略會有(1− α)的比例是沿接近理論角度發生。亦即 當_{α = X %}時，總樣本數_N 理論上會有_{N× X %}個樣本其輸出的虛擬破壞面接近層 面、有N× (1 − X %)個樣本其輸出的虛擬破壞面接近莫耳庫倫理論角度。最直覺 的簡化法，是直接指定LEM在運算時，對N× X %個樣本，僅沿其層面方向搜尋 整體剪力強度線平均的最小值，其餘N × (1 − X %)個樣本皆沿理論破壞角度進行 最小值的找尋。如此一來大幅減輕計算量與記憶體需求，幾乎等同於LEM演算法 的原型，唯獨此做法加入了破壞面跳轉情況的考量。然而本研究並非以此方式做 LEM的簡化，提出上述簡化法的目的為幫助讀者理解接下來要說明的簡化方式。

本研究實際提出的簡化法，與前述例子類似，同樣為取消範圍逐條搜尋的 步驟，主要差別在於：不直接指定該指定第幾個、多少個試體該以何種角度進 行搜尋。均勻分布將在接下來介紹的LEM_alpha 簡化法中被使用。此均勻分布在

圖 3.2: 沿理論破壞角度搜尋隨機場

圖 3.3: 沿層面方向搜尋隨機場

圖 3.4: 解釋機率模型

0 與 1 之間出現機率皆相等，小於 0 和大於 1 的機率皆為零，見圖 3.4 。今自均 勻分布中隨機挑選一數字，此數字小於 α 的機率就正好等於 α 本身。簡化演算

法LEM_alpha便利用 [0, 1] 均勻分布此特性，來判斷何時該沿層面方向、何時該沿

理論破壞方向進行最小值的搜尋。

以 α = 0.6 為 例 說 明。 假 設 此 α 為 真 實 情 況 的 破 壞 面 跳 轉 比 例。 圖3.4 中 α = 0.6 左方的灰色面積正是發生跳轉的機率，此時自均勻分布中隨機取出一數字

X，倘若落在此灰色區域內，則視為跳轉發生，LEM_alpha 就僅以層面方向進行整 體剪力強度最小值的搜尋，不再搜尋其他潛在破壞面方向，如圖 3.3 ；今若隨機 取出之數字 X' 落於右方白色區域，能取到 X^′ > 0.6 這樣數字的機率正為此白色區 域的面積，此時認定破壞面沿理論角度發生，採以理論破壞角度方向搜尋破壞面，

如圖 3.2 。實際執行上，此判斷式會加在每個樣本開始進行搜尋之前，用以判斷 此試體該固定何種角度進行搜尋。

解 釋 示 意 圖 3.2 與 圖 3.3 。 二 圖 中 使 用 之 隨 機 場 完 全 相 同， 尺 寸 亦 皆 為 x× z = 12.8 × 51.2。沿理論破壞角度進行線積分、由土體底部逐一計算至頂部，

可得此土體在沿特定角度上的線積分值剖面，即為圖 3.2 中 x = 25m 位置之曲線；

圖中標示 First Section 與 Last Section 分別代表搜尋範圍的上下邊界，Section A 與 B 則是舉例示意、在不同位置進行線積分值其對應在剖面的位置。圖 3.3則是將搜 尋角度改為水平，與層面方向相同，可發現相較前者，此時剖面的上下邊界擴大。

此時隨機場的線積分值剖面，正好等於此隨機場沿 X 方向觀察之樣貌。

簡化演算法LEM_alpha 隱含一與事實不相符的假設，然而事後證實此錯誤的假

設並不會對簡化結果造成明顯影響。LEM_alpha 在判斷搜尋的角度是沿理論破壞角 或是沿層面方向時，理論上，需要仰賴此時隨機場的分佈型態進行決定；亦即若 此隨機場確實在某層面方向有一特別明顯的弱帶，則LEM_alpha 單純搜尋層面方向 得到的結果大致可反映真實情況，反之同理，若此隨機場的分佈在層面方向並無 一特別之弱帶存在，LEMalpha應當按理論破壞角度搜尋。上述情形清楚表示了：

弱面搜尋的角度與隨機場的分佈型態彼此存在一因果關係。該以何種角度進行弱 面的搜尋，需仰賴當下隨機場的分佈情況來做決定。然而本簡化演算法將兩者間 獨立開來，以純粹機率的方式決定每次的搜尋角度是按層面或是理論破壞角度；

亦即在選擇搜尋的角度 (二選一) 時，完全不考慮每次產生的隨機場分佈型態，將 實際上相依的條件視為獨立。基於此獨立的假設，簡化演算法會出現兩種顯而易 見的錯誤情況：決定以理論破壞角度進行弱面的搜尋，然而隨機場在層面方向具 有一明顯弱帶，忽視此弱帶的結果是會高估試體的整體剪力強度；或是決定以層 面方向進行搜尋，然而此隨機場在層面方向並無一明顯弱帶而漏掉了強度較低的 理論破壞角度。

圖 3.5 與 圖 3.6 比 較LEMimprv 與LEMalpha 彼 此 間 之 結 果； 座 標 橫 軸 為_LEMimprv、 縱 軸 為_LEMalpha。 可 發 現 彼 此 計 算 之 剪 力 強 度 結 果 還 算 相 近。

詳細剪力強度預估平均值見表 3.6 及表 3.7 。針對此意外結果，在此嘗試提出解釋 原因，說明簡化演算法何以仍能保有相當程度的準確性而無重大偏差。

解釋原因：使用α做為判斷搜尋角度的依據

由於 α 求取方式是源自LEMimprv 的輸出結果，使用二分法求出最終破壞面接近 水平方向的比例。整理在不同 COV 、SOF 、β^◦情況下的 α 並求出包含此三參數 的回歸式¹。先不論回歸值與實際值間的差距，可發現每個α比例，其實都是源自 一數量龐大 (1000 筆) 隨機場計算後的統計結果，是由足夠數量、彼此間獨立的隨 機場得到的破壞面跳轉比例。因此今若產生 10 筆隨機場進行LEM_imprv 的計算，

可以預期將會有 10× α% 筆資料其計算得到之虛擬破壞面會發生跳轉。

較易說明的類似概念例如，一人以完全相同的方式，投擲一具正反兩面的硬幣 1000 次後，發現有 513 次出現正面、487 次出現反面，則此人基於此觀察結果，

1簡化的演算法是使用回歸式求出不同COV 、SOF 、β^{◦ 狀況下的回歸值}α^{來進行後續判斷，}

而非使用實際計算之α。

7 15 22 30

8 16 23 31

推論他若未來再以相同的方式投擲相同的硬幣，出現正反面的次數應大致相等。

同意此說法，即可了解為何此簡化演算法能表現出相當貼近原先範圍搜尋的方式，

縱使其簡化模型具有部分錯誤假設。注意α的概念便已包含了隨機場的隨機性，α 呈現出的是考慮了大量隨機場可能的分佈情況下的跳轉比例。因此在完全相同的 參數設置下，雖然每次產生的隨機場彼此間皆不相同，但只要蒐集足夠數量之隨 機場樣本，進行最弱面的搜尋後，理論上得到的跳轉比例α 將會趨近一定值 (真 值)。

本研究統計了 1000 筆資料，此數目在統計上已是具有相當程度代表性的數量 級，因此推論α相當接近真實值。在α相當接近於真值的認知下，可預期在任意時 刻，只要是以完全相同的方式、完全相同的輸入參數所產生的隨機場，進行LEM 搜尋最弱面後的跳轉比例應該大致相等。這就解釋了為何簡化演算法，其搜尋角 度可以簡化成固定在層面或是理論破壞角，卻仍保有相當優異的計算結果：因為 其使用α 做為選擇搜尋角度的依規，而α呈現出之跳轉比例是已涵蓋了隨機場的 隨機性下的統計結果。因此當α比例極低時，代表破壞面大多沿理論破壞角發生，

因此僅按理論破壞角進行弱面的搜尋其結果大致準確；當α比例極高時，多數破 壞面跳轉至層面發生，因此固定沿層面方向進行弱面搜尋，將與範圍搜尋之結果 大致相同。此為第一個、亦為最重要的一個解釋，說明為何簡化的演算法可以有 效模擬範圍掃描之結果。值得注意的是，當α既不偏向 0.0、亦不偏向 1.0，而是 介於 0.5 附近時，此時得到的α與真實值間的誤差期望值將最大。

表 3.1: 破壞面跳轉比例實際值，COV=0.1

δ (m) ϕ = 10^◦ ϕ = 20^◦ ϕ = 30^◦ ϕ = 40^◦ ϕ = 50^◦ ϕ = 60^◦ 1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

100 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 10 0.885 0.477 0.041 0.005 0.001 0.000 1 1.000 0.998 0.921 0.254 0.006 0.000 0.1 1.000 1.000 1.000 1.000 0.057 0.000

表 3.2: 破壞面跳轉比例實際值，COV=0.2

δ (m) ϕ = 10^◦ ϕ = 20^◦ ϕ = 30^◦ ϕ = 40^◦ ϕ = 50^◦ ϕ = 60^◦

1000 0 0 0 0 0 0

100 0.032 0.012 0.001 0.001 0 0 10 0.980 0.938 0.586 0.302 0.071 0.016

1 0.999 0.999 0.997 1.000 0.876 0.333 0.1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999

表 3.3: 破壞面跳轉比例實際值，COV=0.3

δ (m) ϕ = 10^◦ ϕ = 20^◦ ϕ = 30^◦ ϕ = 40^◦ ϕ = 50^◦ ϕ = 60^◦ 1000 0.002 0.001 0.000 0.001 0.001 0.000

100 0.077 0.058 0.033 0.021 0.017 0.010 10 0.988 0.983 0.945 0.810 0.519 0.299 1 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.992 0.1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

表 3.4: 不同情況下迴歸式表現情形

COV=0.1 COV=0.2 COV=0.3 β^◦ δ (m) Actl Regrs Actl Regrs Actl Regrs

1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.002 100 0.009 0.011 0.032 0.030 0.077 0.088 5^◦ 10 0.885 0.897 0.980 0.960 0.988 0.974 1 1.000 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000 0.1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 100 0.000 0.001 0.012 0.010 0.058 0.061 10^◦ 10 0.477 0.435 0.938 0.870 0.983 0.953 1 0.998 0.989 0.999 1.000 1.000 1.000 0.1 1.000 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 100 0.000 0.000 0.001 0.003 0.033 0.038 15^◦ 10 0.041 0.058 0.586 0.629 0.945 0.909 1 0.921 0.853 0.997 0.998 1.000 1.000 0.1 1.000 0.990 1.000 1.000 1.000 1.000

表 3.5: 不同情況下迴歸式表現情形 [續]

COV=0.1 COV=0.2 COV=0.3 β^◦ δ (m) Actl Regrs Actl Regrs Actl Regrs

1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.001 100 0.000 0.000 0.001 0.001 0.021 0.022 20^◦ 10 0.005 0.004 0.302 0.278 0.810 0.817 1 0.254 0.248 1.000 0.987 1.000 1.000 0.1 1.000 0.820 1.000 1.000 1.000 1.000 1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.001 100 0.000 0.000 0.000 0.000 0.017 0.012 25^◦ 10 0.001 0.000 0.071 0.073 0.519 0.642 1 0.006 0.016 0.876 0.924 0.999 0.999 0.1 0.057 0.150 1.000 0.999 1.000 1.000 1000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 100 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.006 30^◦ 10 0.000 0.000 0.016 0.014 0.299 0.394 1 0.000 0.001 0.333 0.629 0.992 0.996 0.1 0.000 0.006 0.999 0.987 1.000 1.000

表 3.6: LEM_imprv與LEM_alpha 計算之整體剪力強度值 RF EM LEM_imprv LEM_alpha

ϕ^◦ δ(m) (ABAQUS) (MATLAB) (MATLAB)

1000 46.850 46.999 47.587 10^◦ 100 41.139 40.891 41.078 10 30.751 29.632 29.622 1 -- 20.393 20.338 1000 45.442 44.730 45.329 20^◦ 100 39.909 39.548 39.359 10 30.510 29.635 29.944 1 -- 20.571 20.521 1000 41.542 41.701 41.507 30^◦ 100 36.771 36.546 36.425 10 29.608 29.106 30.050 1 -- 20.637 20.270 1000 37.026 37.053 36.583 40^◦ 100 32.835 32.609 32.923 10 27.055 27.037 28.578 1 -- 20.592 20.856 1000 31.232 31.021 31.013 50^◦ 100 28.365 27.792 27.663 10 23.798 23.772 25.022 1 -- 20.875 20.969 1000 25.187 24.241 23.906 60^◦ 100 22.404 21.832 21.644 10 19.507 19.290 19.725 1 -- 19.975 21.150

表 3.7: LEM_imprv 與LEM_alpha計算之整體剪力強度資料變異數 RF EM LEM_imprv LEM_alpha

ϕ^◦ δ(m) (ABAQUS) (MATLAB) (MATLAB)

1000 91.610 94.200 93.047 10^◦ 100 78.354 79.357 72.900 10 41.107 37.663 38.543 1 -- 18.697 20.443 1000 82.972 94.054 81.874 20^◦ 100 66.156 73.910 72.994 10 35.787 37.634 37.994 1 -- 20.170 19.238 1000 71.912 69.555 66.921 30^◦ 100 61.633 59.028 56.145 10 34.792 36.227 35.804 1 -- 18.028 20.293 1000 54.818 56.696 60.361 40^◦ 100 48.865 44.077 45.202 10 28.319 24.969 26.399 1 -- 21.224 19.946 1000 41.642 39.611 40.588 50^◦ 100 48.865 44.077 33.589 10 28.319 24.969 16.539 1 -- 21.224 22.726 1000 23.179 24.814 22.164 60^◦ 100 21.210 20.779 18.432 10 12.848 8.360 9.394

1 -- 10.523 12.203