第四節 名詞解釋
數理資優生：
依據教育部2006 年 9 月 29 日修正發布「身心障礙及資賦優異學生鑑定標 準」，對於六類資賦優異學生訂定之鑑定標準規定如下：（本研究只針對數 理資優學生，故以下僅摘錄學術性向資優）
指在語文、數學、社會科學或自然科學等學術領域，較同年齡具有卓越潛 能或傑出表現者；其經鑑定後應符合下列各款規定標準之一：
1. 前述任一領域學術性向或成就測驗得分在平均數正二個標準差或百分等 級九十七以上，並經專家學者、指導教師或家長觀察推薦，及檢附專長 學科學習特質與表現卓越或傑出等之具體資料。
2. 參加政府機關或學術研究機構舉辦之國際性或全國性有關學科競賽或展 覽活動表現特別優異，獲前三等獎項。
3. 參加學術研究單位長期輔導之有關學科研習活動，成就特別優異，經主 辦單位推薦。
4. 獨立研究成果優異並刊載於學術性刊物，經專家學者或指導教師推薦，
並檢附具體資料。
桃園縣數理資優鑑定通過標準：
標準一：複選實作評量，數學或自然達平均數(分數 100)以上。
標準二：初選性向測驗，數學達分數 130 及自然達百分等級 97 以上；
且複選實作評量，數學或自然成績達分數 93 以上。
本研究個案學生皆通過桃園縣 100 學年度國中數理資優方案學生鑑定，且 全程參與資優課程沒有缺課記錄。
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解題歷程：
指解題者在面對問題時，從一開始到得到結果的個人心理運作過程，而本 研究所指的解題歷程是指學生面對解排列組合問題時的心理運作過程，藉 由錄下學生在解題時的口述內容、寫下的紙筆記錄以及解題後的訪談，所 得到的解題狀況。在本研究中，經研究者考量研究個案的解題狀況，修正 Schoenfeld 解題歷程模式，將其改為讀題、分析、探索、計畫、執行以及驗 證等六個步驟做為此次研究的解題歷程架構。
解題策略：
指解題者為了解決問題或達成預定目標所採取有系統的方法。解題策略有 很多，例如：畫圖表徵、尋找規律、發現關係、回憶舊經驗、簡化問題、
嘗試錯誤、歸納推理等等。在本研究中所指的策略，包含了畫圖表徵、回 憶相關數學經驗、改變或簡化問題、分類討論、列舉法、正面算法、反面 算法以及猜測答案或放棄等策略。
後設認知(metacognition)：
後設認知乃面對某種訊息或資料予以處理時，如在認知上超過「知其然」
的程度，進而達到「知其所以然」的地步時，即稱為後設認知。也就是 說，後設認知是指個人對自己的認知歷程能夠掌握、控制、選擇、支配、
監督、評鑑的高一層的認知，或指個人駕馭既有知識的高一層認知。(張春 興，2011)。在本研究中，研究者將其界定為解題歷程中對問題的計畫、監 控、改進的能力。
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放聲思考法(think aloud)：
放聲思考法是應用於研究需要受試者實際操作某一事物的過程，例如 網頁檢索或瀏覽或是手機介面使用，要求受試者在操作過程中，隨時把如 何操作、為什麼這麼操作、以及感想等大聲的說出來。研究者利用錄音機 或攝影機將其記錄下來，等受試者操作完成後，可以根據操作者的行為及 所思所感的內容，進一步的詢問受試者。(國家教育研究院雙語詞彙、學術 名詞暨辭書資訊網，2014/9/14)
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第貳章 文獻探討
本研究目的在學生上完了數理資優課程後，藉由非例行性問題的施 測，來探究學生的解題歷程與策略。在本章中，首先針對數學問題進行探 究，接著是解題的歷程和策略、資優生的解題，最後是影響成敗的因素。
所以本章共分成五節，第一節探討何謂數學問題與數學解題；第二節探討 數學解題歷程，第三節探討數學解題策略；第四節從資優生的解題特徵，
來探討資優生的數學解題；第五節探討影響數學解題成敗因素。
第一節 何謂數學問題與數學解題 ㄧ、何謂數學問題
研究者認為，要談解題之前，我們必須先知道何謂問題，只要知道什 麼是問題，之後將問題限制在數學領域中，就變成是數學問題了。
胡炳生(1994)指出，思維活動要靠問題來激發，沒有問題，就沒有積極 的思維活動，在我們解題的整個思維活動中，總是不斷設問，不斷回答和 解決這些問題，並設計各種圖、式不斷改進他們，使解題獲得進展。那到 底何謂問題呢？Mayer (1991)認為，任何對問題的定義都應包含三個概念：
1. 問題目前必須在某種狀態；
2. 問題渴望到其他狀態；
3. 沒有直接、明顯的方法完成這種改變。
Kilpatrick (1985)提到，從心理學的層面來看問題時，問題常一般地定 義成為一個情境，在這情境中我們想要到達某一目標，但直接通往此目標 的路徑已經被塞住了，也就是問題產生了，對此問題沒有直接且滿意的方 法，在此問題情境中感到困惑，解題就是解題者如何把自己從困境中解脫 出來的過程。也就是說，問題可以看成是在＂不解題意＂和＂對問題完全 了解＂這兩個極端情況之間。
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Gagné (1993)認為一個問題的存在就是有了目標，但是還沒有個明確的 方法來達到此目標。
黃敏晃(1991)中提到，粗略來說，解題就是解決問題，問題到處都會發 生的，在我們的生活中常要解決問題。他將數學問題分成例行性問題與非 例行性問題兩類。例行性問題就是我們所熟知解法的問題，面對這些問題 時，我們腦袋裡的運作是搜尋記憶中的檔案資料，依樣畫葫蘆，重新在紙 面上呈現出來就完事了，而非例行性問題，就是我們看到題目後無法立刻 知道求解路徑的題目，解題者一定要對他所學過的數學知識和技能做一番 搜索、檢查和綜合的功夫，並看看這些東西能否適當地應用到他目前所面 對的新情境上，也就是所謂的學習遷移，這也是比較高層次的認知活動。
所以一些教育學家認為，只有當解題者面對的是一個非例行性問題時，解 題的行為才會發生。
除了黃敏晃將問題分成例行性問題和非例行性問題外，也有其他學者 將數學問題做了分類，如下表所示：
表 2-1-01
各學者對數學問題的的見解
Polya (1962)
求解題( problems to find )：
主要目的是要求出問題的未知數。
求證題( problems to prove )：
主要目的是發現假設和結論之間的關聯性。
Lester (1980)
單一步驟問題( one-step problems ) 多步驟問題( multiple-step problems ) 歷程問題( process problems )
應用問題( applied problems )
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Kilpatrick (1985)
例行性的問題( routine problems )：
把正在學的或討論的規則拿來作機械式的應用就能解決的問題。
有選擇的應用題( application with some choice )：
要應用以前學過的規則或步驟才能解決，但以前學過的不只一 種，所以解題者需做一些判斷來選擇適用的規則或步驟。
選擇一種組合( choice of a combination )：
要求解題者把兩個以上學過的規則或例子組合起來才能解出來 的題目。
接近研究級的問題( approaching research level )：
要求解題者把兩個以上的規則或例子作有創意的組合才能夠解 題，但此種組合會有許多分支，且要求相當高層次的獨立思考，
以及使用到擬真推理( plausible reasoning )。
Greeno (1978)
轉換的問題( problems of transformation )：
給一個有明確定義的開始和目標，解題者必須尋找一連串的運算 來產生結果。
安排的問題( problems of arrangement )：
提供所有的元素和一個關於目標一般性的論述，解題者必須用安 排所有的元素的方式來解決問題。
歸納性結構的問題( problems of inducing structure )：
給些例子，解題者必須發現包含這些資訊的一般性規則或樣式。
演繹論證的評估( evaluation of deductive arguments )：
給定一個前提，決定是否會產生有邏輯性的結論。
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Gagné
(1993)
(A) 有目標且有兩個有相同解題效率的方法的問題。
(B) 有目標且一個解題方法的效率明顯高於另一個解題方法的 問題。
(C) 有ㄧ些起始點，且在起點和目標之間沒有已知的方法的問 題。
(D) 沒有明確目標的問題。
從上面我們可以知道，所謂的問題，它本身必須具有起點，以及明確 的目的地，而中間的連接道路，並不十分清楚，可以是有很多條路可走，
也可以只有唯一的路，端看問題類型決定。就好比是走迷宮般，從起點出 發，經過錯綜複雜的道路，目標要走到出口，走出迷宮，完成解題。而只 要將問題放到數學領域中，跟數學有關係，就可以稱的上是數學問題了。
Goal Goal
Goal Goal 1? Goal 2? Goal 3?
? ? ? ?
Start Start Start Start
A B
C D
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二、何謂數學解題
Halmos (1980)表示，數學家存在的主要理由，就是解決問題，真正組 成數學的是問題和解答。
Lester (1980)認為如果問題的解答必須牽涉到數學技能、概念和程序，
就可以算是數學問題。
Kilpatrick (1985)以三個不同的層面來說明數學解題的意義：
第一個層面，就是從心理學的層面來看問題( psychological perspective on problems )。而心理學家還常常加上一些條件，也就是說在這些問題情境 的表現中需要有＂人＂的存在，從這層面來看，我們可以把解題當作是人 為了達到某種目的而做的一些活動( problem as an activity of a motivatived subject )。
再者，從社會學及人類學的層面( social-anthropological perspective )來 看，即把數學問題當作是件必須處理的任務，而老師在給出此項任務，以 及學生在接受此任務時產生了微妙的關係：互相猜測對方的心意及從自我 觀點出發來解釋對方的言行。數學教育界的研究者正開始研究這種發生在 社會學及人類學層面的現象的含意以及在數學教學上的應用。
至於第三個層面，則是數學的( problems as construct，也就是把數學問 題當作是數學建構的泉源)及教學的( problems as vehicle，即把數學問題當 作是數學教學進行的工具)層面，透過數學解題的教學，學生可以建構自己 的數學知識，數學解題是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。
綜合以上學者觀點，研究者認為，數學解題就是解題者在面對數學問 題時，沒有辦法立即知道如何求解，而必須要經過探索、分析、邏輯推理
綜合以上學者觀點，研究者認為，數學解題就是解題者在面對數學問 題時，沒有辦法立即知道如何求解，而必須要經過探索、分析、邏輯推理