第壹章 緒論
本章共分成四節，第一節為問題背景與研究動機，第二節為研究目的 與研究問題，第三節為理論基礎，第四節為名詞解釋。
第一節 問題背景與研究動機
根據特殊教育法(教育部，2006)，為了發掘數理資賦優異學生，提供 接受適性教育之機會、引導各校發展資賦優異教育，提升資賦優異教育品 質、推廣資賦優異教育活動，以發展資賦優異學生潛能以及發揮學校群組 夥伴關係，共享資優教育資源等目的之下，桃園縣政府每年針對國中七年 級的學生舉行了數理資優生的檢定測驗，期望能夠藉由家長或教師平時觀 察學生的表現後，推薦參加測驗，挖掘出數理資優人才，給予其適性教 學，提升學生能力，進而對國家科技發展有更大的貢獻。
經過檢定合格的學生，國中端就有責任與義務要提供從七下到九下長 達五個學期，每個學期各 36 小時，包含了 18 小時的數學資優課程以及 18 小時的自然科資優課程。課程的內容必須要有別於平時的正規課程。上課 時採用討論分享等以學生為主體的授課方式，希望學生從中學到更多不同 面向、不同廣度的數學教材，同時提升學生的數理視野與興趣。
研究者在國中任教四年多來，很幸運地一直擔任數理資優課程授課教 師。然而由於任教學校成立不久，很多資優課程資料都還沒有建立完善，
再加上研究者本身教學經驗仍覺不足，所以在課前的準備工作上，總是要 花相當多的時間進行課程的設計。在課程結束後，通常也都只能透過回饋 單來了解學生的學習狀況，而這些的回饋單所反應的學習狀況幾乎都相當 不錯，也都寫說很喜歡這些課程。但這真的是真實的情況嗎？學生喜歡，
課程就是完美的嗎？課程沒有需要改進的地方嗎？內容適合他們學習嗎？
難道真如學生回饋單中所說，課程都能夠完全理解嗎？
在整個數理資優課程的設計上，七年級時規劃了一些數學小遊戲、七
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巧板、數學史等有別於一般課本上的內容，透過資訊融入教學，期望讓學 生在遊戲中發現數學的美，對數學產生更多的興趣與好奇心，進而提升學 習的興趣。在八年級時規劃了邏輯、相似三角形與實地測量、三角形的三 心、圓形等九年級會上到的內容，將它提前上並且利用討論和分享的方式 將內容加深加廣，再結合數學史、數學小遊戲與電腦繪圖教學，讓學生除 了提前學習到這部分的內容之外，更能學到更多與它相關，但卻不在正規 課程內的東西。而九年級的數學資優課程，經過校內數學科同仁討論過 後，考量到課程的先備知識、授課時間限制、課程活潑性、學生興趣以及 同仁們對於數理資優課程的教學理念後，決定選擇排列組合單元來做為九 年級的課程，希望學生能透過課程活動對排列組合有較清楚完整的概念，
了解各種排列與組合在日常生活中應用的例子，並為未來學習高中課程打 下良好的基礎。
在七八年級的數理資優課程進行時，由於課程內容都只是國中課程的 加深加廣，所以研究者都能夠根據過去經驗，隨時掌握學生的學習情形，
也可以利用在八年級或九年級正式課程授課時，找時間詢問學生上個學期 在數理資優課程中所上的這部分相關內容的了解程度，讓學生經過數理資 優課程與正式課程兩相比較後給予更貼近現實的回饋與建議，但是在排列 組合單元就無法做到這樣了。回想第一屆授課時，研究者與校內數學科同 仁在課程討論時都認為，排列組合對國中生來說，是一個全新的單元，所 牽涉到的先備知識，包含計數概念、代數基本運算以及基本集合觀念等，
對這些數理資優學生來說都已經相當熟練，故在課程上規劃了相關課程，
在九年級的課程計畫中安排了排列組合的部分單元(直線排列、不完全相異 物排列、重複排列、環狀排列、組合，不加入重複組合)。當時在課堂上，
學生面對這些排列組合的問題反應十分熱烈，對於每一個問題都很有興 趣，但是很可惜的，他們在分析時卻常有缺漏，很多時候都需要研究者加
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以引導才能解決這些問題。他們常常會提出一些有趣的想法想要說服研究 者或同學，這些想法看似都有點道理，但是很多卻是似是而非，也就是 說，學生的觀念與想法並沒有在課堂上清楚的建立，對課程內容似懂非 懂。也因此學生在上完課後，往往都沒有辦法給予太多有建設性的回饋，
讓研究者無法更有效的修正課程的設計與教法。課程是需要不斷進行更新 與修正的，研究者希望透過嚴謹的實驗方式建立一套更適合國中資優學生 的教材與教法。
一套適合的教材，首先，內容必須要正確無誤且符合邏輯性。然而，
除了正確性之外，研究者認為還必須要能夠配合學生學習當下的狀態與能 力，太難或太過簡單都不恰當。謝淡宜(1998)提到，數學解題思考歷程的 探討，是協助老師了解學生認知發展和認知結構的最佳方式。也因此，在 設計教材時，能否正確了解學生當前的認知發展，能否清楚明白學生當下 已具有哪些先備知識，就成為相當重要的一件事了。
Polya (1945)提出解題歷程的四個階段：了解問題(Understanding the problem)、擬定計畫(Devising a plan)、執行問題(Carrying out the plan)以及回 顧(Looking back)。而 Schoenfeld (1985)提出了數學解題要考慮四個變因：
資源(Resources)、啟發(Heuristics)、控制(Control)與信念系統(Belief
Systems)。其中，「控制」這個變因主要是關於資源和策略的選擇與執行的 全面性決策，在解題歷程中主導解題活動的進行，所以他從控制的觀點修 訂了 Polya 的解題歷程四階段，提出解題模式的分析架構，包含：讀題、
分析、探索、計畫-執行、驗證、轉移等六個階段。
有了這些架構，研究者相信，只要能夠利用這個架構來分析學生的想 法以及與解題有相關的內容，就能更加了解學生面對排列組合問題時的想 法與可能發生的錯誤，也能更加明白學生在面對到不熟悉的排列組合問題 時，可能會採取什麼解題策略來分析題目。如此，就能夠針對他們的解題
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歷程和策略的特性來修正教材及改善教學，而當學生解題遇到困難時也能 夠輔導幫助其逐步分析問題，讓學生自己了解自己解題為何會遇到困難並 且讓學生自己發現解法，而不是只憑反覆的練習或背題型來學習排列組合 單元，進而給予學生在學習上更多實質的幫助。
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