國中數理資優生在排列組合單元的解題歷程分析

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(1)國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士. 國中數理資優生在排列組合單元的解題歷程分析. 研究生：郭政良. 中華民國一百零四年一月.

(2) 致謝三年的暑假，一轉眼就過去了，過程雖然辛苦，但回想起來，卻也感到無比的充實。在這路上，要感謝的人真的太多了。首先，感謝我的指導教授－曹博盛教授。感謝這兩年來，老師總是不辭辛勞的犧牲自己假日時間指導我，給了許多建議，我才能夠順利將論文完成，真的非常感謝。感謝李源順教授、蔡蓉青教授在百忙之中抽空閱讀我的論文，並提供寶貴的意見，讓我可以修改論文，讓文章更加的嚴謹與完整，謝謝老師。感謝學校同事在這段時間的包容，不管是在課務上還是導師業務上，給予我相當大的協助。特別感謝輔導室，不僅在數理資優方案中給我很大的空間可以做研究，在後續的器材借用上也是配合度百分百，你們真的是太棒了。感謝淑裕學姐在 meeting 期間的幫忙，還有在口試時辛苦的幫我準備茶水點心等事情，讓我可以專心的準備口試，下次就換我回報了。感謝我的家人，支持我念研究所，在寫論文的期間也時常給我鼓勵，讓我可以無後顧之憂的完成學業，真的很愛你們。感謝我的寶貝，這段時間感謝有你的陪伴，就是因為有你，我才能堅持到現在，我愛你。最後，僅將這份論文，獻給我在天上最親愛的爺爺。. I.

(3) 摘要本研究主要是探討國中的數理資優生，在學過數理資優課程排列組合單元後，對此單元題目的解題歷程特徵與常用的解題策略有哪些。本研究採用個案研究法，研究對象是桃園縣某國中九年級三位通過桃園縣 100 學年度國民中學學術性向數理資優鑑定的學生，經過 18 節課(每節 45 分鐘)的上課後，再進行 6 題非例行性問題的施測。以放聲思考法和訪談法來蒐集解題過程的資料，搭配 Schoenfeld (1985)的數學解題歷程模式六階段進行分析，其解題表現概述如下：解題歷程方面，三位學生都很重視讀題階段，在此階段都都能明白題目重點所在，解題過程中遇到疑問時也會回頭重複讀題。分析時會用不同的解題策略來幫助解題，而當分析碰到困難時會出現安靜思考或自言自語等現象來探索思考問題。而在計畫階段，學生都相當有系統的將問題分情況討論或是有條理的列式，計算速度都很快，沒有出現計算錯的現象，但是解題完畢後都較少出現驗證階段。解題策略方面，三生最常使用的方法是分類討論、畫圖表徵與列舉法。將問題分類後，再分別進行討論，這項策略在解題分析過程中屢次出現。利用畫圖來幫助分析題目，尤其是樹狀圖，更是學生相當普遍使用的一種策略。除了畫圖外，而當分析有結果後，接下來最常使用列舉法，將答案有系統的一一找出來。解題失敗因素方面，例如混淆排列和組合的使用時機、沒有採用適當的策略、用不正確的方式分組以及粗心等因素，都導致了解題的失敗。在資優生的特質方面，在解題過程中，知道該如何有系統的分類，逐步進行分析、計算能力優異、不輕易放棄等，都是在解題過程中三位學生展現出來的資優生解題特質。關鍵字：數理資優、排列組合、解題歷程、解題策略 II.

(4) 目錄第壹章. 緒論. 第一節. 問題背景與研究動機----------------------------------------------------1. 第二節. 研究目的與研究問題----------------------------------------------------5. 第三節. 理論架構-------------------------------------------------------------------6. 第四節. 名詞解釋-------------------------------------------------------------------9. 第貳章. 文獻探討. 第一節. 何謂數學問題與數學解題--------------------------------------------12. 第二節. 數學解題歷程探討-----------------------------------------------------17. 第三節. 數學解題策略探討-----------------------------------------------------23. 第四節. 資優生的解題特徵-----------------------------------------------------29. 第五節. 影響數學解題成敗因素探討-----------------------------------------32. 第參章. 研究方法. 第一節. 研究設計-----------------------------------------------------------------35. 第二節. 個案分析-----------------------------------------------------------------37. 第三節. 研究工具-----------------------------------------------------------------39. 第四節. 研究步驟與過程--------------------------------------------------------40. 第五節. 資料收集與分析的方法-----------------------------------------------43. 第肆章. 研究結果. 第一節. 原案分析-----------------------------------------------------------------45. 第二節. 解題歷程分析-----------------------------------------------------------76. 第三節. 解題策略分析----------------------------------------------------------135. 第四節. 解題成敗因素分析----------------------------------------------------148. 第五節. 資優生的解題特質----------------------------------------------------160. III.

(5) 第伍章. 結論與建議. 第一節. 結論----------------------------------------------------------------------163. 第二節. 建議----------------------------------------------------------------------167. 參考文獻中文部分----------------------------------------------------------------------------171 英文部分----------------------------------------------------------------------------173 附錄----------------------------------------------------------------------------------------175. IV.

(6) 表次表 1-3-01. Schoenfeld (1985)解題歷程模式與相關問題--------------------------6. 表 2-1-01. 各學者對數學問題的的見解--------------------------------------------13. 表 2-2-01. Walas 與 Polya 解題歷程比較-------------------------------------------17. 表 2-2-02. Mayer (1991)解題歷程與知識的關係表-------------------------------18. 表 2-2-03. Mayer (1991)五種知識及其解釋----------------------------------------19. 表 2-2-04. 胡炳生解題思考步驟程序表--------------------------------------------21. 表 2-3-01. Polya (1945)的解題歷程四階段-----------------------------------------23. 表 2-3-02. Kilpatrick (1967)的解題歷程階段與相關策略-----------------------24. 表 2-3-03. Schoenfeld (1985)所提出常用的啟發法-------------------------------25. 表 2-3-04. Webb (1975)解題策略與相關內容--------------------------------------27. 表 2-5-01. 各學者對數學解題見解統整表-----------------------------------------34. 表 3-3-01. 題目類型--------------------------------------------------------------------39. 表 4-1-01. 本研究的解題歷程模式架構表-----------------------------------------45. 表 4-1-02. 甲生第二題解題歷程階段與原案行為對照表-----------------------47. 表 4-1-03. 乙生第四題解題歷程階段與原案行為對照表-----------------------48. 表 4-1-04. 丙生第二題解題歷程階段與原案行為對照表-----------------------49. 表 4-1-05. 甲生第一題解題歷程分析表--------------------------------------------50. 表 4-1-06. 乙生第一題解題歷程分析表--------------------------------------------51. 表 4-1-07. 丙生第一題解題歷程分析表--------------------------------------------52. 表 4-1-08. 甲生第二題解題歷程分析表--------------------------------------------54. 表 4-1-09. 乙生第二題解題歷程分析表--------------------------------------------55. 表 4-1-10. 丙生第二題解題歷程分析表--------------------------------------------56. 表 4-1-11 甲生第三題解題歷程分析表--------------------------------------------59 表 4-1-12. 乙生第三題解題歷程分析表--------------------------------------------60 V.

(7) 表 4-1-13. 丙生第三題解題歷程分析表--------------------------------------------61. 表 4-1-14. 甲生第四題解題歷程分析表--------------------------------------------63. 表 4-1-15. 乙生第四題解題歷程分析表--------------------------------------------65. 表 4-1-16. 丙生第四題解題歷程分析表--------------------------------------------66. 表 4-1-17. 甲生第五題解題歷程分析表--------------------------------------------68. 表 4-1-18. 乙生第五題解題歷程分析表--------------------------------------------70. 表 4-1-19. 丙生第五題解題歷程分析表--------------------------------------------72. 表 4-1-20. 甲生第六題解題歷程分析表--------------------------------------------73. 表 4-1-21. 乙生第六題解題歷程分析表--------------------------------------------74. 表 4-1-22. 丙生第六題解題歷程分析表--------------------------------------------75. 表 4-2-01. 三生第一題解題時間總表-----------------------------------------------76. 表 4-2-02. 三生第一題解題歷程特色綜合分析-----------------------------------77. 表 4-2-03. 三生第一題解題歷程異同比較-----------------------------------------78. 表 4-2-04. 三生第二題解題時間總表-----------------------------------------------79. 表 4-2-05. 三生第二題解題歷程特色綜合分析-----------------------------------80. 表 4-2-06. 三生第二題解題歷程異同比較-----------------------------------------81. 表 4-2-07. 三生第三題解題時間總表-----------------------------------------------82. 表 4-2-08. 三生第三題解題歷程特色綜合分析-----------------------------------83. 表 4-2-09. 三生第三題解題歷程異同比較-----------------------------------------84. 表 4-2-10. 三生第四題解題時間總表-----------------------------------------------85. 表 4-2-11 三生第四題解題歷程特色綜合分析-----------------------------------86 表 4-2-12. 三生第四題解題歷程異同比較-----------------------------------------87. 表 4-2-13. 三生第五題解題時間總表-----------------------------------------------88. 表 4-2-14. 三生第五題解題歷程特色綜合分析-----------------------------------89. 表 4-2-15. 三生第五題解題歷程異同比較-----------------------------------------90. VI.

(8) 表 4-2-16. 三生第六題解題時間總表-----------------------------------------------91. 表 4-2-17. 三生第六題解題歷程特色綜合分析-----------------------------------92. 表 4-2-18. 三生第六題解題歷程異同比較-----------------------------------------93. 表 4-2-19. 甲生在六個問題各階段解題異同比較-------------------------------102. 表 4-2-20. 乙生在六個問題各階段解題異同比較-------------------------------111. 表 4-2-21. 丙生在六個問題各階段解題異同比較-------------------------------122. 表 4-2-22. 三生在第一題解題歷程階段順序表----------------------------------123. 表 4-2-23. 三生在第二題解題歷程階段順序表----------------------------------124. 表 4-2-24. 三生在第三題解題歷程階段順序表----------------------------------125. 表 4-2-25. 三生在第四題解題歷程階段順序表----------------------------------126. 表 4-2-26. 三生在第五題解題歷程階段順序表----------------------------------127. 表 4-2-27. 三生在第六題解題歷程階段順序表----------------------------------128. 表 4-2-28. 題目類型-------------------------------------------------------------------129. 表 4-3-01. 本研究的解題策略架構表----------------------------------------------135. 表 4-3-02. 三生第一題解題策略分析----------------------------------------------137. 表 4-3-03. 三生第二題解題策略分析----------------------------------------------138. 表 4-3-04. 三生第三題解題策略分析----------------------------------------------139. 表 4-3-05. 三生第四題解題策略分析----------------------------------------------140. 表 4-3-06. 三生第五題解題策略分析----------------------------------------------141. 表 4-3-07. 三生第六解題策略分析-------------------------------------------------142. 表 4-3-08. 策略使用次數統計表----------------------------------------------------143. 表 4-3-09. 題目類型-------------------------------------------------------------------145. 表 4-4-01. 三生解題成敗總表-------------------------------------------------------148. 表 4-4-02. 第一題解題成敗分析----------------------------------------------------149. 表 4-4-03. 第二題解題成敗分析----------------------------------------------------150. VII.

(9) 表 4-4-04. 第三題解題成敗分析----------------------------------------------------151. 表 4-4-05. 第四題解題成敗分析----------------------------------------------------153. 表 4-4-06. 第五題解題成敗分析----------------------------------------------------156. 表 4-4-07. 第六題解題成敗分析----------------------------------------------------158. 表 4-4-08. 解題錯誤原因比較-------------------------------------------------------159. 表 4-5-01. 甲生的解題特質----------------------------------------------------------160. 表 4-5-02. 乙生的解題特質----------------------------------------------------------161. 表 4-5-03. 丙生的解題特質----------------------------------------------------------162. VIII.

(10) 圖次圖 1-3-01. Schoenfeld (1985)解題大綱------------------------------------------------8. 圖 2-2-01. Mayer (1991)解題歷程與知識的關係圖-------------------------------19. 圖 2-5-01. 胡炳生(1994)的數學解題系統圖---------------------------------------33. 圖 3-1-01. 研究施測流程圖-----------------------------------------------------------36. 圖 3-4-01. 論文研究實施流程圖-----------------------------------------------------40. 圖 3-5-01. 解題歷程時序表範例-----------------------------------------------------44. 圖 4-1-01. 甲生第一題解題歷程時序表--------------------------------------------50. 圖 4-1-02. 乙生第一題解題歷程時序表--------------------------------------------51. 圖 4-1-03. 丙生第一題解題歷程時序表--------------------------------------------52. 圖 4-1-04. 甲生第二題解題歷程時序表--------------------------------------------53. 圖 4-1-05. 乙生第二題解題歷程時序表--------------------------------------------55. 圖 4-1-06. 丙生第二題解題歷程時序表--------------------------------------------56. 圖 4-1-07. 甲生第三題解題歷程時序表--------------------------------------------58. 圖 4-1-08. 乙生第三題解題歷程時序表--------------------------------------------60. 圖 4-1-09. 丙生第三題解題歷程時序表--------------------------------------------61. 圖 4-1-10. 甲生第四題解題歷程時序表--------------------------------------------63. 圖 4-1-11 乙生第四題解題歷程時序表--------------------------------------------65 圖 4-1-12. 丙生第四題解題歷程時序表--------------------------------------------66. 圖 4-1-13. 甲生第五題解題歷程時序表--------------------------------------------68. 圖 4-1-14. 乙生第五題解題歷程時序表--------------------------------------------70. 圖 4-1-15. 丙生第五題解題歷程時序表--------------------------------------------72. 圖 4-1-16. 甲生第六題解題歷程時序表--------------------------------------------73. 圖 4-1-17. 乙生第六題解題歷程時序表--------------------------------------------74. 圖 4-1-18. 丙生第六題解題歷程時序表--------------------------------------------75 IX.

(11) 第壹章. 緒論. 本章共分成四節，第一節為問題背景與研究動機，第二節為研究目的與研究問題，第三節為理論基礎，第四節為名詞解釋。. 第一節. 問題背景與研究動機. 根據特殊教育法(教育部，2006)，為了發掘數理資賦優異學生，提供接受適性教育之機會、引導各校發展資賦優異教育，提升資賦優異教育品質、推廣資賦優異教育活動，以發展資賦優異學生潛能以及發揮學校群組夥伴關係，共享資優教育資源等目的之下，桃園縣政府每年針對國中七年級的學生舉行了數理資優生的檢定測驗，期望能夠藉由家長或教師平時觀察學生的表現後，推薦參加測驗，挖掘出數理資優人才，給予其適性教學，提升學生能力，進而對國家科技發展有更大的貢獻。經過檢定合格的學生，國中端就有責任與義務要提供從七下到九下長達五個學期，每個學期各 36 小時，包含了 18 小時的數學資優課程以及 18 小時的自然科資優課程。課程的內容必須要有別於平時的正規課程。上課時採用討論分享等以學生為主體的授課方式，希望學生從中學到更多不同面向、不同廣度的數學教材，同時提升學生的數理視野與興趣。研究者在國中任教四年多來，很幸運地一直擔任數理資優課程授課教師。然而由於任教學校成立不久，很多資優課程資料都還沒有建立完善，再加上研究者本身教學經驗仍覺不足，所以在課前的準備工作上，總是要花相當多的時間進行課程的設計。在課程結束後，通常也都只能透過回饋單來了解學生的學習狀況，而這些的回饋單所反應的學習狀況幾乎都相當不錯，也都寫說很喜歡這些課程。但這真的是真實的情況嗎？學生喜歡，課程就是完美的嗎？課程沒有需要改進的地方嗎？內容適合他們學習嗎？難道真如學生回饋單中所說，課程都能夠完全理解嗎？在整個數理資優課程的設計上，七年級時規劃了一些數學小遊戲、七 1.

(12) 巧板、數學史等有別於一般課本上的內容，透過資訊融入教學，期望讓學生在遊戲中發現數學的美，對數學產生更多的興趣與好奇心，進而提升學習的興趣。在八年級時規劃了邏輯、相似三角形與實地測量、三角形的三心、圓形等九年級會上到的內容，將它提前上並且利用討論和分享的方式將內容加深加廣，再結合數學史、數學小遊戲與電腦繪圖教學，讓學生除了提前學習到這部分的內容之外，更能學到更多與它相關，但卻不在正規課程內的東西。而九年級的數學資優課程，經過校內數學科同仁討論過後，考量到課程的先備知識、授課時間限制、課程活潑性、學生興趣以及同仁們對於數理資優課程的教學理念後，決定選擇排列組合單元來做為九年級的課程，希望學生能透過課程活動對排列組合有較清楚完整的概念，了解各種排列與組合在日常生活中應用的例子，並為未來學習高中課程打下良好的基礎。在七八年級的數理資優課程進行時，由於課程內容都只是國中課程的加深加廣，所以研究者都能夠根據過去經驗，隨時掌握學生的學習情形，也可以利用在八年級或九年級正式課程授課時，找時間詢問學生上個學期在數理資優課程中所上的這部分相關內容的了解程度，讓學生經過數理資優課程與正式課程兩相比較後給予更貼近現實的回饋與建議，但是在排列組合單元就無法做到這樣了。回想第一屆授課時，研究者與校內數學科同仁在課程討論時都認為，排列組合對國中生來說，是一個全新的單元，所牽涉到的先備知識，包含計數概念、代數基本運算以及基本集合觀念等，對這些數理資優學生來說都已經相當熟練，故在課程上規劃了相關課程，在九年級的課程計畫中安排了排列組合的部分單元(直線排列、不完全相異物排列、重複排列、環狀排列、組合，不加入重複組合)。當時在課堂上，學生面對這些排列組合的問題反應十分熱烈，對於每一個問題都很有興趣，但是很可惜的，他們在分析時卻常有缺漏，很多時候都需要研究者加. 2.

(13) 以引導才能解決這些問題。他們常常會提出一些有趣的想法想要說服研究者或同學，這些想法看似都有點道理，但是很多卻是似是而非，也就是說，學生的觀念與想法並沒有在課堂上清楚的建立，對課程內容似懂非懂。也因此學生在上完課後，往往都沒有辦法給予太多有建設性的回饋，讓研究者無法更有效的修正課程的設計與教法。課程是需要不斷進行更新與修正的，研究者希望透過嚴謹的實驗方式建立一套更適合國中資優學生的教材與教法。一套適合的教材，首先，內容必須要正確無誤且符合邏輯性。然而，除了正確性之外，研究者認為還必須要能夠配合學生學習當下的狀態與能力，太難或太過簡單都不恰當。謝淡宜(1998)提到，數學解題思考歷程的探討，是協助老師了解學生認知發展和認知結構的最佳方式。也因此，在設計教材時，能否正確了解學生當前的認知發展，能否清楚明白學生當下已具有哪些先備知識，就成為相當重要的一件事了。 Polya (1945)提出解題歷程的四個階段：了解問題(Understanding the problem)、擬定計畫(Devising a plan)、執行問題(Carrying out the plan)以及回顧(Looking back)。而 Schoenfeld (1985)提出了數學解題要考慮四個變因：資源(Resources)、啟發(Heuristics)、控制(Control)與信念系統(Belief Systems)。其中，「控制」這個變因主要是關於資源和策略的選擇與執行的全面性決策，在解題歷程中主導解題活動的進行，所以他從控制的觀點修訂了 Polya 的解題歷程四階段，提出解題模式的分析架構，包含：讀題、分析、探索、計畫-執行、驗證、轉移等六個階段。有了這些架構，研究者相信，只要能夠利用這個架構來分析學生的想法以及與解題有相關的內容，就能更加了解學生面對排列組合問題時的想法與可能發生的錯誤，也能更加明白學生在面對到不熟悉的排列組合問題時，可能會採取什麼解題策略來分析題目。如此，就能夠針對他們的解題. 3.

(14) 歷程和策略的特性來修正教材及改善教學，而當學生解題遇到困難時也能夠輔導幫助其逐步分析問題，讓學生自己了解自己解題為何會遇到困難並且讓學生自己發現解法，而不是只憑反覆的練習或背題型來學習排列組合單元，進而給予學生在學習上更多實質的幫助。. 4.

(15) 第二節. 研究目的與研究問題. 本研究希望能夠藉由非例行性問題的施測，進而分析學生在排列組合單元的解題歷程與策略，達到了解學生解題特性與修正教材教案的目的。因此在這目的和動機之下，本研究的研究問題有： 1. 國中數理資優生在排列組合單元中的解題歷程為何？ 2. 國中數理資優生在排列組合單元中的解題策略為何？ 3. 影響國中數理資優生在排列組合單元解題的成敗因素為何？. 5.

(16) 第三節理論架構 Schoenfeld (1985)認為，數學解題要考慮資源(Resources)、啟發 (Heuristics)、控制(Control)、信念系統(Belief Systems)等四個變因。資源：指解題者所擁有的可以用來解決手邊問題的數學知識。例如：直覺和跟領域有關的非正式知識、數學事實、計算步驟以及在領域內大家一致同意的規則的知識等訊息。啟發：指要在不熟悉或不了解的問題上取得進展的解題技巧和策略；有效解題的經驗法則。例如：畫圖、開發有關的問題、簡化問題、重新擬訂問題、反向操作(working backward)等。控制：關於資源和策略的選擇與執行的全面性決策。例如：計畫、監控、評量、做決定、有意識的認知行為等。信念系統：指解題者個人的數學世界的視野。例如：關於自己、環境、主題、數學等。 Schoenfeld 在他的研究中發現，這四項變因彼此是會互相影響的，而其中占據最為關鍵位置的，他認為是控制變因。如何運用資源、如何使用適當的策略與技巧，這些都是控制變因所決定的，對數學解題有著非常重要的影響，於是他用控制的觀點，提出解題歷程模式的架構與相關問題，模式包含了讀題、分析、探索、計畫和執行、驗證和轉移等階段。. 表 1-3-01 Schoenfeld (1985)解題歷程模式與相關問題 Reading 讀題 R1 問題的所有條件都被注意到了嗎？它們是明確地或是暗示地被注意到？ R2 目標狀態正確地被注意到嗎？它們是明確地或是暗示地被注意到？ R3 是否評估解題者關於問題解決的當前階段知識？. 6.

(17) Analysis 分析 A1 選擇了什麼樣的觀點？這選擇是明確的或是默認的？ A2 藉由問題的條件採取行動？ A3 藉由問題的目標採取行動？ A4 問題的條件和目標之間有關聯嗎？ A5 這整個部分是連貫的嗎？總結來說，解題者採取的行動是合理的嗎？有任何進一步的評論或發現看起來是適當的嗎？ Exploration 探索 E1 這個事件是條件導向的？目標導向的？ E2 行動是直接的或是集中焦點的？它是有目的的嗎？ E3 是否有任何過程的監測？監測的存在或不存在，問題解法的結果是什麼？ E4 這整個部分是連貫的嗎？總結來說，解題者採取的行動是合理的嗎？有任何進一步的評論或發現看起來是適當的嗎？ Planning-implementation 計畫和執行 PI1 有所有計畫的證據嗎？計畫是明顯地或是這計劃的呈現是從受試者行為的目的的推論？ PI2 計畫和問題解決有關嗎？是適當的嗎？是架構良好的嗎？ PI3 受試者有評估計畫品質的關聯性，適當性，或是結構嗎？如果有，這些評估如何比較在 PI2 中的看法？ PI4 執行是否依照計畫有系統的執行？ PI5 在局部或整體的層面上是否有執行的評估？ PI6 解法的評估的有無對結果的影響是什麼？ Verification 驗證 V1 解題者有重新回顧解法嗎？ V2 解法有用任何方式測試嗎？如果有，結果如何？ V3 有對計算過程或是結果的信心做評估嗎？ Transition 轉移 T1 有當前解題階段的評估嗎？當一種解法被放棄，是否有嘗試搶救或是存取一些也許有價值的東西？ T2 當先前的工作被放棄了，是否有局部和整體的評估的影響是什麼？解題者採取(或不採取)這樣的行動是適當的或是必需的？ T3 有關於採取新的方向時短程和長程方面影響的評估嗎？ T4 評估從事新方法路徑的有無在解法上的局部和整體的影響是什麼？這樣的行動在這裡是適當的或是必需的？ 7.

(18) 給予問題. 分析了解問題陳述簡化問題重構問題. 更容易得到的有關的問題或新訊息. 可用的公式原則及結構. 計畫建構解題的論點. 較小的困難. 問題層次的分解 (從整體到局部). 探討基本相似的問題稍微修改的問題廣泛修改的問題. 較大的困難. 解決方案概要. 執行逐步執行計畫局部驗證. 暫定解法. 驗證一般的檢定特殊的檢定. 驗證解法. 圖 1-3-01. Schoenfeld (1985, p. 110)解題大綱. 8.

(19) 第四節名詞解釋數理資優生：依據教育部 2006 年 9 月 29 日修正發布「身心障礙及資賦優異學生鑑定標準」，對於六類資賦優異學生訂定之鑑定標準規定如下：（本研究只針對數理資優學生，故以下僅摘錄學術性向資優）指在語文、數學、社會科學或自然科學等學術領域，較同年齡具有卓越潛能或傑出表現者；其經鑑定後應符合下列各款規定標準之一： 1. 前述任一領域學術性向或成就測驗得分在平均數正二個標準差或百分等級九十七以上，並經專家學者、指導教師或家長觀察推薦，及檢附專長學科學習特質與表現卓越或傑出等之具體資料。 2. 參加政府機關或學術研究機構舉辦之國際性或全國性有關學科競賽或展覽活動表現特別優異，獲前三等獎項。 3. 參加學術研究單位長期輔導之有關學科研習活動，成就特別優異，經主辦單位推薦。 4. 獨立研究成果優異並刊載於學術性刊物，經專家學者或指導教師推薦，並檢附具體資料。桃園縣數理資優鑑定通過標準：標準一：複選實作評量，數學或自然達平均數(分數 100)以上。標準二：初選性向測驗，數學達分數 130 及自然達百分等級 97 以上；且複選實作評量，數學或自然成績達分數 93 以上。本研究個案學生皆通過桃園縣 100 學年度國中數理資優方案學生鑑定，且全程參與資優課程沒有缺課記錄。. 9.

(20) 解題歷程：指解題者在面對問題時，從一開始到得到結果的個人心理運作過程，而本研究所指的解題歷程是指學生面對解排列組合問題時的心理運作過程，藉由錄下學生在解題時的口述內容、寫下的紙筆記錄以及解題後的訪談，所得到的解題狀況。在本研究中，經研究者考量研究個案的解題狀況，修正 Schoenfeld 解題歷程模式，將其改為讀題、分析、探索、計畫、執行以及驗證等六個步驟做為此次研究的解題歷程架構。. 解題策略：指解題者為了解決問題或達成預定目標所採取有系統的方法。解題策略有很多，例如：畫圖表徵、尋找規律、發現關係、回憶舊經驗、簡化問題、嘗試錯誤、歸納推理等等。在本研究中所指的策略，包含了畫圖表徵、回憶相關數學經驗、改變或簡化問題、分類討論、列舉法、正面算法、反面算法以及猜測答案或放棄等策略。. 後設認知(metacognition)：後設認知乃面對某種訊息或資料予以處理時，如在認知上超過「知其然」的程度，進而達到「知其所以然」的地步時，即稱為後設認知。也就是說，後設認知是指個人對自己的認知歷程能夠掌握、控制、選擇、支配、監督、評鑑的高一層的認知，或指個人駕馭既有知識的高一層認知。(張春興，2011)。在本研究中，研究者將其界定為解題歷程中對問題的計畫、監控、改進的能力。. 10.

(21) 放聲思考法(think aloud)：放聲思考法是應用於研究需要受試者實際操作某一事物的過程，例如網頁檢索或瀏覽或是手機介面使用，要求受試者在操作過程中，隨時把如何操作、為什麼這麼操作、以及感想等大聲的說出來。研究者利用錄音機或攝影機將其記錄下來，等受試者操作完成後，可以根據操作者的行為及所思所感的內容，進一步的詢問受試者。(國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，2014/9/14). 11.

(22) 第貳章. 文獻探討. 本研究目的在學生上完了數理資優課程後，藉由非例行性問題的施測，來探究學生的解題歷程與策略。在本章中，首先針對數學問題進行探究，接著是解題的歷程和策略、資優生的解題，最後是影響成敗的因素。所以本章共分成五節，第一節探討何謂數學問題與數學解題；第二節探討數學解題歷程，第三節探討數學解題策略；第四節從資優生的解題特徵，來探討資優生的數學解題；第五節探討影響數學解題成敗因素。. 第一節. 何謂數學問題與數學解題ㄧ、何謂數學問題. 研究者認為，要談解題之前，我們必須先知道何謂問題，只要知道什麼是問題，之後將問題限制在數學領域中，就變成是數學問題了。胡炳生(1994)指出，思維活動要靠問題來激發，沒有問題，就沒有積極的思維活動，在我們解題的整個思維活動中，總是不斷設問，不斷回答和解決這些問題，並設計各種圖、式不斷改進他們，使解題獲得進展。那到底何謂問題呢？Mayer (1991)認為，任何對問題的定義都應包含三個概念： 1. 問題目前必須在某種狀態； 2. 問題渴望到其他狀態； 3. 沒有直接、明顯的方法完成這種改變。 Kilpatrick (1985)提到，從心理學的層面來看問題時，問題常一般地定義成為一個情境，在這情境中我們想要到達某一目標，但直接通往此目標的路徑已經被塞住了，也就是問題產生了，對此問題沒有直接且滿意的方法，在此問題情境中感到困惑，解題就是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過程。也就是說，問題可以看成是在＂不解題意＂和＂對問題完全了解＂這兩個極端情況之間。. 12.

(23) Gagné (1993)認為一個問題的存在就是有了目標，但是還沒有個明確的方法來達到此目標。黃敏晃(1991)中提到，粗略來說，解題就是解決問題，問題到處都會發生的，在我們的生活中常要解決問題。他將數學問題分成例行性問題與非例行性問題兩類。例行性問題就是我們所熟知解法的問題，面對這些問題時，我們腦袋裡的運作是搜尋記憶中的檔案資料，依樣畫葫蘆，重新在紙面上呈現出來就完事了，而非例行性問題，就是我們看到題目後無法立刻知道求解路徑的題目，解題者一定要對他所學過的數學知識和技能做一番搜索、檢查和綜合的功夫，並看看這些東西能否適當地應用到他目前所面對的新情境上，也就是所謂的學習遷移，這也是比較高層次的認知活動。所以一些教育學家認為，只有當解題者面對的是一個非例行性問題時，解題的行為才會發生。除了黃敏晃將問題分成例行性問題和非例行性問題外，也有其他學者將數學問題做了分類，如下表所示：表 2-1-01 各學者對數學問題的的見解求解題( problems to find )： Polya. 主要目的是要求出問題的未知數。. (1962). 求證題( problems to prove )：主要目的是發現假設和結論之間的關聯性。單一步驟問題( one-step problems ). Lester. 多步驟問題( multiple-step problems ). (1980). 歷程問題( process problems ) 應用問題( applied problems ). 13.

(24) 例行性的問題( routine problems )：把正在學的或討論的規則拿來作機械式的應用就能解決的問題。有選擇的應用題( application with some choice )：要應用以前學過的規則或步驟才能解決，但以前學過的不只一種，所以解題者需做一些判斷來選擇適用的規則或步驟。 Kilpatrick 選擇一種組合( choice of a combination )： (1985). 要求解題者把兩個以上學過的規則或例子組合起來才能解出來的題目。接近研究級的問題( approaching research level )：要求解題者把兩個以上的規則或例子作有創意的組合才能夠解題，但此種組合會有許多分支，且要求相當高層次的獨立思考，以及使用到擬真推理( plausible reasoning )。轉換的問題( problems of transformation )：給一個有明確定義的開始和目標，解題者必須尋找一連串的運算來產生結果。安排的問題( problems of arrangement )：. Greeno. 提供所有的元素和一個關於目標一般性的論述，解題者必須用安. (1978). 排所有的元素的方式來解決問題。歸納性結構的問題( problems of inducing structure )：給些例子，解題者必須發現包含這些資訊的一般性規則或樣式。演繹論證的評估( evaluation of deductive arguments )：給定一個前提，決定是否會產生有邏輯性的結論。. 14.

(25) (A) 有目標且有兩個有相同解題效率的方法的問題。 (B) 有目標且一個解題方法的效率明顯高於另一個解題方法的問題。 (C) 有ㄧ些起始點，且在起點和目標之間沒有已知的方法的問題。 (D) 沒有明確目標的問題。 Goal. Goal. Gagné (1993) Start. Start B. A. Goal 1? Goal 2? Goal 3?. Goal ?. ?. ?. ?. Start. Start. C. D. 從上面我們可以知道，所謂的問題，它本身必須具有起點，以及明確的目的地，而中間的連接道路，並不十分清楚，可以是有很多條路可走，也可以只有唯一的路，端看問題類型決定。就好比是走迷宮般，從起點出發，經過錯綜複雜的道路，目標要走到出口，走出迷宮，完成解題。而只要將問題放到數學領域中，跟數學有關係，就可以稱的上是數學問題了。. 15.

(26) 二、何謂數學解題 Halmos (1980)表示，數學家存在的主要理由，就是解決問題，真正組成數學的是問題和解答。 Lester (1980)認為如果問題的解答必須牽涉到數學技能、概念和程序，就可以算是數學問題。 Kilpatrick (1985)以三個不同的層面來說明數學解題的意義：第一個層面，就是從心理學的層面來看問題( psychological perspective on problems )。而心理學家還常常加上一些條件，也就是說在這些問題情境的表現中需要有＂人＂的存在，從這層面來看，我們可以把解題當作是人為了達到某種目的而做的一些活動( problem as an activity of a motivatived subject )。再者，從社會學及人類學的層面( social-anthropological perspective )來看，即把數學問題當作是件必須處理的任務，而老師在給出此項任務，以及學生在接受此任務時產生了微妙的關係：互相猜測對方的心意及從自我觀點出發來解釋對方的言行。數學教育界的研究者正開始研究這種發生在社會學及人類學層面的現象的含意以及在數學教學上的應用。至於第三個層面，則是數學的( problems as construct，也就是把數學問題當作是數學建構的泉源)及教學的( problems as vehicle，即把數學問題當作是數學教學進行的工具)層面，透過數學解題的教學，學生可以建構自己的數學知識，數學解題是讓學生搭起數學鷹架的重要工具。綜合以上學者觀點，研究者認為，數學解題就是解題者在面對數學問題時，沒有辦法立即知道如何求解，而必須要經過探索、分析、邏輯推理以及綜合學過的數學概念等方式來達到最後目標。. 16.

(27) 第二節. 數學解題歷程探討. Walas (1926)提到，思考過程可分成四個階段：準備( Preparation )、籌畫( Incubation )、解釋( Illumination )、確認( Verification )。而 Polya (1945) 也說解題有四個階段：了解問題( Understanding the problem )、擬定計劃 ( Devising a plan )、執行計劃( Carrying out the plan )以及回顧( Looking back )，在這兩者之間可以看出存在著一些關聯。Mayer (1991)分析兩人的說法，認為 Polya 的了解問題( Understanding the problem )階段類似於 Walas 的準備( Preparation )階段；Polya 的擬定計劃( Devising a plan )包含了 Walas 的一部分準備( Preparation )階段以及籌畫( Incubation )和解釋( Illumination ) 這兩個部分；而最後的執行計劃( Carrying out the plan )以及回顧( Looking back )這兩個步驟類似於 Walas 的確認( Verification )，可用下表來表示：表 2-2-01 Walas 與 Polya 解題歷程比較 Walas 準備. 籌畫. 解釋. 確認. (1926) 執行計劃. Polya 了解問題. 擬定計劃回顧. (1945). Mayer (1991)除了分析 Polya 的解題歷程外，自己對於解題歷程也提出了見解。他將解題歷程分成了問題表徵( problem representation )和問題解決 ( problem solution )兩個部分。問題表徵是將問題中的字或圖片轉換成內在心理表徵，而問題解決，則是將問題的心理表徵進行到最後答案的過程。在這兩個部分底下，又可再各自分出問題轉譯、問題整合以及解題計畫及監控、解題執行兩個小部分，可用下表與下圖來表示：. 17.

(28) 表 2-2-02 Mayer (1991)解題歷程與知識的關係表問題轉譯( problem translation )：將問題的句子或是主要詞句轉換到內在心理表徵。這個過程必須依靠問題表徵語言的知識( Linguistic knowledge )和語意的知識 (problem (Semantic knowledge)。 representation) 問題整合( pronlem integration )：將資訊結合為一致的結構。這個過程必須依靠基模的知識( Schematic knowledge )。解題計畫及監控( solution planning & monitoring )：發展和保持計畫的思路來解決問題。問題解決這個過程必須依靠策略的知識( Strategic knowledge )。 (problem 解題執行( solution execution )： solution) 執行計劃。這個過程必須依靠程序的知識( Procedural knowledge )。. 在上表中，可以看到在解題歷程的這四個部分，必須要靠不同的知識來完成。以下整理這五種不同的知識以及說明. 18.

(29) 表 2-2-03 Mayer (1991)五種知識及其解釋語言的知識 (Linguistic knowledge) 語意的知識. 了解問題中每個字語言上的知識。關於字的事實上的知識，例如 1 公尺等於 100 公分。. (Semantic knowledge) 基模的知識. 關於問題類型上的知識，例如知道長方形面積的基本 (Schematic knowledge) 公式是長×寬。策略的知識. 關於如何使用各種類型的現有知識，來規劃和監督問 (Strategic knowledge) 題的解決方案的技術。程序的知識 (Procedural knowledge). 關於如何執行一系列操作的知識。. 階段問題敘述. 知識種類. 問題表徵. 語言的知識. 問題轉譯. 語意的知識. 問題整合. 基模的知識. 問題解決解題計劃及監控. 策略的知識. 解題執行. 程序的知識. 答案圖 2-2-01 Mayer (1991) 解題歷程與知識的關係圖. 19.

(30) Lester (1980)將解題歷程分成： 1. 察覺問題( problem awareness ) 2. 理解問題( problem comprehension )，包含： (1) 轉譯( translation ) (2) 內化( internalization ) 3. 目標分析( goal analysis ) 4. 計劃發展( plan development ) 5. 計劃執行( plan implementation ) 6. 程序和解答評估( procedures and solution evaluation ) Dewey (1933)提出的解題歷程為： 1. 了解一個問題的存在。 2. 辨別問題。 3. 使用先前的經驗，諸如相關的資料、原先的解答或公式假設的概念以及問題解決計畫的觀念。 4. 首先嘗試看看，再持續地思考，進而提出假設或可能的解答，如果需要的話可以加以改變成其他的形式。 5. 評估解答並且在解題過程中畫定出一個結論。這個動作伴隨著成功的解答合併應用到個人的瞭解，以及應用到其他類似的問題內。 Gagné (1993)提到，解題歷程模式包含了： 1. 構成問題的一種表示( forms a representation of the problem) 2. 尋找問題空間( searching through the problem space ) 3. 評估解法( evaluating the selected solution ) 除了上面的學者以外，胡炳生(1994)也針對數學解題，提出了解題思考步驟為觀察、聯想、轉化等三階段，並針對各階段提出了相關程序說明，如下表所示：. 20.

(31) 表 2-2-04 胡炳生解題思考步驟程序表步驟. 思考程序 1. 要求解(證)的問題是什麼？它是哪種類型的問題？ 2. 已知條件(已知數據、圖形、事項及其與結論部分的聯繫方式) 是什麼？要求的結論(未知事項)是什麼？. 觀察. 3. 所給圖形和式子有什麼特點？能否用一個圖形(幾何的、函數的或示意的)或數學式子(對文字題)將問題表示出來？能否在圖上加上適當的記號？ 4. 有什麼隱含條件？ 1. 這個問題以前做過嗎？ 2. 這個問題以前在哪裡見過嗎？ 3. 以前做過或見過類似的問題嗎？當時是怎樣想的？ 4. 題中的一部分(條件、結論、式子或圖形)以前見過嗎？在什麼問題中見過？ 5. 題中所給出的式子、圖形，與記憶中的什麼式子、圖形相. 聯想像？他們之間可能有什麼聯繫？ 6. 解這類問題通常有哪幾種方法？可能哪種方法較方便？試一試如何？ 7. 由已知條件能推得哪些可知事項和條件？要求未知結論需要知道哪些條件(需知)？ 8. 與這個問題有關的知識(基本概念、定理、公式等)有哪些？ 1. 能否將題中複雜的式子化簡？轉化. 2. 能否對條件進行劃分，將大問題化為幾個小問題？ 3. 能否將問題化歸為基本命題？. 21.

(32) 4. 能否進行變量替換、恆等變換或幾何變換，將問題的形式變得較為明顯ㄧ些？ 5. 能否形─數互化？利用幾何方法來解代數問題？利用代數(解析)方法來解幾何問題？ 6. 利用等價命題律(逆否命題律、同一法則、分斷式命題律)或其他方法，可否將問題轉化為一個較為熟悉的等價問題？ 7. 最終目的：將未知轉化為已知。. 蔡啟禎(2004)整理了諸多學者的觀點後，配合他的研究目的與對象，提出了讀題、分析、計畫、執行、驗證等五個階段。留峻偉(2013)在探討國小六年級資優生解題時，認為解題歷程包括瞭解題意、分析問題、擬訂計畫、執行計畫、驗證答案等五個階段。綜合國內外的學者對於解題歷程的研究，可發現這些研究看似相似，實則有其不同之處。Polya 的研究有其原創性，但缺少了解題過程中的覺察與自我監控；Lester 解題模式第一階段問題與 Dewey 第一階段了解一個問題的存在都是經由解題者本身自己察覺，與本研究直接給予問題不同； Mayer 並未強調解題者在解題過程中驗證或反思行為；而 Gagné 與胡炳生提出的解題歷程階段數較少，沒有將解題過程做更精細的區分，較不符合本研究的需要。故經比較後本研究將採用 Schoenfeld 解題歷程模式做為理論架構，並配合本研究的目的與研究問題，略為修改，以讀題、分析、探索、計畫、執行、驗證等六個階段做為本研究的歷程架構。. 22.

(33) 第三節. 數學解題策略探討. 能不能使用適當的解題策略，是解題成功與否的關鍵，以下是幾位學者關於數學解題策略的研究成果： Polya (1945)提出了了解問題、擬定計劃、執行計劃以及回顧等四個解題歷程階段，而在四個階段中，各自提出了一些相關的解題策略：表 2-3-01 Polya (1945)的解題歷程四階段未知數是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？了解問題或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當的符號。把條件的各部分分開，你能否把它寫下來？你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數，試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉問題。這裡有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。擬定計劃你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的 23.

(34) 問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分，這樣對於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者兩者都改變以使新未知數和新數據彼此更接近？你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。執行計劃你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能回顧. 不能一下子看出它來？你能不能把這結果或方法用於其他的問題？. Kilpatrick (1967)針對 Polya 的四個解題歷程階段，也提出相關的解題策略：表 2-3-02 Kilpatrick (1967)的解題歷程階段與相關策略確認未知數、資料或情況。了解問題畫圖。引入符號。改變問題。擬定計劃考慮一個有關的問題(特別的問題或是問題的部分)。使用連續的近似。執行計劃在最後結果前檢查步驟。 24.

(35) 檢查結果是合理的。檢查結果滿足情況。回顧回溯論點的步驟。由其他方法取得結果。. Schoenfeld (1985)提出了讀題、分析、探索、計劃和執行、驗證及轉移等六個解題歷程階段，並針對其中的分析、探索與驗證三個階段，提出一些經常使用到的啟發法( frequently used heuristics)：表 2-3-03 Schoenfeld (1985)所提出常用的啟發法 1. 盡可能的畫圖幫忙了解題意或解題。 2. 檢查特例： a.取特殊值作為問題的例子使我們對問題有較具體的＂感覺＂。 b.檢驗極端的例子來探索可能的範圍。分析 c.按照順序取整數參數值等於 1,2,3,…，找尋其規律。 3. 試著簡化問題: a. 利用對稱性。 b.不失一般性的討論方式。 1. 考慮實質上相等的問題： a.藉由等價的條件來取代問題中的條件。 b.用不同的方式重組問題中的元素。 c.引入輔助元素。探索 d.用下列方式重構問題： (i) (ii). 改變題目的背景或外表的符號、形式。考慮歸謬法或倒置法。. (iii) 假定你有解法，由此導出它的性質。 25.

(36) 2. 考慮稍微地修改過的題目： a. 選擇子目標。 (想辦法得到情況裡的部分結果，或滿足部分條件的解答) b.放鬆問題中的某一條件然後試著重新收緊。 c.分解問題的每一種情況然後逐一進行。 3. 考慮大幅地修改過的題目： a.用較少的變數建構類似的問題。 b.改變一個變項以決定該變項的影響。 c.試著開拓任何有關的問題，它們擁有相似的： (i). 形式. (ii). 已知條件. (iii) 結論記得：當處理較為簡單、有關的問題時，你應該試著利用結果和解法在被給定的問題上。 1. 你的解法能通過這些特定的檢定嗎？ a.使用了所有有關的資料嗎？ b.它合乎合理的估計或預測嗎？ c.它禁得起對稱性、維度和比例的檢定嗎？驗證. 2. 它能這些一般的檢定嗎？ a.它能用不同的方式獲得嗎？ b.它能藉由特例具體化嗎？ c.它能被簡化成已知的結果嗎？ d.它能被用來產生一些已知的結果嗎？. 26.

(37) Webb (1975)則是將解題策略分成了一般策略和特殊策略兩部分：表 2-3-04 Webb (1975)解題策略與相關內容 1. 能用另一種方法解題。一般策略 2. 想出一個明智的觀念。 1. 使用增進記憶的符號。 2. 畫圖表徵。 3. 回憶相關問題。特殊策略 4. 使用歸納推理。 5. 應用特殊化。 6. 使用逐步漸進。 7. 檢查解答是否合乎條件。在國內研究方面，朱中梧(2003)針對國小一般能力資優生的研究結果發現，學生常見的解題策略有：憶取架構數學經驗、簡化問題、圖畫表徵、猜測與檢核、連續漸進、規納推理、發現關係、直觀法、應用代數式、尋找規律、做資料表、拼湊數字、嘗試錯誤等。黃家杰，梁淑坤(2006)對小學三年級的一般智能資優資源班的新生所做的數學解題歷程與策略之分析中發現，學生的解題策略有抽象表徵、逆推、歸納尋找規律性與嘗試錯誤等。劉貞宜(2000)在其研究中將解題策略歸納成 15 項： (1)畫圖表徵。 (2)以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問題。 (3)回憶相關問題。 (4)嘗試錯誤。 (5)應用特殊化。 27.

(38) (6)使用連續漸進法。 (7)從現況向目標倒退思考。 (8)使用演繹法。 (9)使用歸納推理法。 (10)運用類化和隱喻法。 (11)常常詢問自己問題解決方法的存在性與唯一性。 (12)以不同的方式提出問題，並口述問題。 (13)常自問所提問題的前提是否具有可靠性。 (14)以算式檢查解答是否合乎條件。 (15)與人談論問題。綜合上述學者的研究，並配合本研究的數學問題，研究者提出了畫圖表徵、回想過去數學經驗、改變簡化問題、分類討論、列舉法、正面算法、反面算法、猜測答案或放棄等 8 個解題策略，做為本研究的解題策略架構。. 28.

(39) 第四節. 資優生的解題特徵. Krutetskii (1976)在他的研究中，透過對資優生的個案研究，整理了以下幾點心理特點： 1. 有敏捷的推理和心理定向能力。 2. 具有邏輯思維，有系統、有順序的思考能力。 3. 具有數學抽象思考的能力，能迅速且廣泛地概括數學材料。 4. 思維的靈活性。 5. 能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的思維歷程。 6. 解答問題時，具有迅速且簡潔的推理能力，也就是有「壓縮」的傾向。 7. 具有「節約思考」的明顯傾向。 8. 對數學材料能夠迅速而牢固的記憶。 9. 對數學作業很少感到疲勞。此外，他還針對解題特徵，提出了幾項說明： 1. 能掌握問題的結構。 2. 能看出並解釋量的或空間的關係。 3. 能有彈性地心理運作。 4. 能將若干例證加以類化。 5. 力求問題的澄清、簡化、經濟，並尋求解題的原則。 6. 能將數學的關係，爭論的觀點及證據，結構的特色加以類化以便記憶。. 郭靜姿(2000)認為，資優生若表現在數理方面，會有以下的表現： 1. 喜歡思考、閱讀、或談論與數理相關的問題。 2. 計算能力優異，數字概念良好。 3. 符號運用的能力優異，抽象思考能力強。 4. 能利用圖形、符號等代表或簡化複雜的資訊。 5. 歸納能力強，統合能力良好。 6. 演繹能力強，邏輯推理清晰。 7. 能夠覺察問題，找出問題的癥結所在。 29.

(40) 8. 能用多種方式解題，思考靈活。 9. 願意嘗試超乎其年齡水準的數理題目。 10.喜歡動手做實驗，具有獨立研究的能力。. 劉貞宜(2000)從認知和情意兩個層面，歸納了數理資優生解題的特徵：一、認知層面： (一)數學知識： 1. 對數學材料能夠迅速而牢固的記憶。 2. 數學知識較完備。 (二)思考能力： 1. 具有很好的抽象思考能力（甚至幾何的問題也可以用抽象的方式來解）。 2. 具有敏捷的推理思考和心理定向能力。 3. 具有邏輯思維，以及有系統、有順序的思考能力。 4. 具有靈活的思維能力，能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的思維歷程。 (三)數學解題策略： 1. 能全面掌握題目中的所有的條件。 2. 能正確地統整題目所提供的訊息。 3. 具頗強的視覺能力（如：能很快而正確地看出問題的結構，甚至抽象的問題也可以用視覺的方式來解）。 4. 能將大範圍類似的問題一般化。 5. 會自行將較難的字彙換掉。 6. 會將句子的長度縮短。 7. 會將無關資料刪除。 8. 會做出輔助圖表。 9. 解題方法能變通，且解題策略多變化。 (四)後設認知能力 1. 在解題歷程中，能保持系統性及持續性的評鑑，及更正的能力。 2. 洞察答案的能力。 30.

(41) 3. 高於普通生解題時的後設認知行為次數。 4. 優於普通生的後設認知能力。 5. 測驗難易度均等時，資優生在一般性常識問題上的後設認知優勢不再存在。 6. 難度越高的文章資優生自我評估及自我預測的正確性越低。 7. 資優生能隨著情境變化表現出較好的策略遷移的能力。二、情意層面： (一)對數學作業很少感到疲勞，耐力強且較能持續。 (二)求知的好奇心。 (三)較具正面的態度。從上述這些有關於資優生的研究成果，可以讓研究者在進行研究之前，就先對資優生的心理層面、思考特徵以及解題特性等方面有初步的概念，之後進行研究工作時，能夠在最短的時間內進入狀況，確實的記錄資優生的解題過程相關資料。. 31.

(42) 第五節. 影響數學解題成敗因素探討. 影響解題成敗的因素相當多，以下列出幾位學者對於數學解題成敗因素的相關研究： Krutetskii (1976)的研究發現，成功解題與不成功解題者主要差別是他們對問題本身重要元素的知覺。成功解題者具備了一些不成功解題者所缺乏的能力，例如： 1. 分辨相關與不相關訊息的能力。 2. 精確而快速地了解問題的數學結構。 3. 將類似問題歸納統合的能力。 4. 回憶起很久以前曾經解過問題的一般結構。 Mayer (1991)指出，解題應具備的知識有： 1. 語言的知識(Linguistic knowledge)。 2. 語意的知識(Semantic knowledge)。 3. 基模的知識(Schematic knowledge)。 4. 策略的知識(Strategic knowledge)。 5. 程序的知識(Procedural knowledge)。上述的知識一但有所缺乏，必定會影響到問題表徵與問題解決的解題階段，自然也就對解題成敗造成影響。 Lester (1980)認為解題有四個相關的本質，不同的解題者，所具備的解題本質也有所不同，這也就容易造成解題成敗的差異。： 1. 問題本身：問題的形態、內容、結構等等。 2. 個人特徵：不同解題者間有所差異，包含預備知識、情緒等個人因素。 3. 解題行為：解題的過程，包括了處理訊息的方法、選擇策略等等。 4. 環境特徵：在問題和解題者之外的環境，其中最重要的就是教學變因。. 32.

(43) 胡炳生(1994)提到，影響數學解題成功或失敗有許多因素，關係如下圖：邏輯. 數學解題方法. 數學知識. 數學思維方法. 解數學題. 解題經驗. 思維品質. 興趣. 理化等語文. 社會生活學科知. 知識. 知識和經驗識. 圖 2-5-01 胡炳生(1994)的數學解題系統圖. 說明： 1. 數學知識是解題的基礎 2. 數學解題方法是解題的基本手段 3. 數學思維方法是指解數學題的思想原則和策略 4. 解題經驗包含成功和失敗的經驗 5. 解數學題主要是一項思維活動，要想思維活動進行的有成效，就必須符合思維的規律─邏輯 6. 一個人的思維品質和對數學的興趣，無疑對解數學題有顯著影響 7. 語文知識及其他學科知識，還有社會生活知識，對解數學題都有關係. 33.

(44) 表 2-5-01 各學者對數學解題見解統整表數學知識先備知識. 解題策略. 排列組合相關的內容知識. 後設認知. 分辨相關與不相關訊息的能力回憶起很久以前、將類似問題歸納 Krutetskii 曾經解過問題的統合的能力 (1976) 精確而快速地了解問題的數學一般結構結構. Mayer (1991). Lester (1980). 胡炳生 (1994). 語言的知識、語意的知識、基模的知識。. 策略的知識. 程序的知識. 問題本身、個人特徵。. 解題行為. 環境特徵. 數學知識. 數學解題方法、邏輯、. 解題經驗. 、其他學科知識. 數學思維方法、思維品質. 、興趣. 綜合以上的研究結果，我們將數學解題分為： 1. 數學知識(包含題意的理解、數學的知識以及了解問題結構)，再細分成先備知識以及排列組合相關的內容知識兩部分。 2. 解題策略(使用的方法、發展解題計畫) 3. 後設認知(包含解題過程中的計畫、監控、改進的能力) 等三大項進行成敗分析。. 34.

(45) 第參章. 研究方法. 本章分成五個小節，第一節是研究設計，第二節是個案分析，第三節是研究工具，第四節是研究步驟與過程，而第五節是資料收集與分析的方法。. 第一節研究設計本研究屬質性個案研究，讓個案學生在解題的同時，利用放聲思考法將自己的想法與策略等表達出來，並在個別學生解題完畢後，立刻進行訪談，詢問剛才在解題過程中的部分細節。考量到放聲思考法對學生來說並不了解，所以在上課時就先進行教學，在課堂上讓學生習慣將自己的想法說出來。等到課程結束後要進行非例行性問題施測之前，再進行問題練習，期望學生能夠確實瞭解與熟悉放聲思考法的使用。施測時，以錄音的方式將學生的口述完整錄下，過程中老師完全不加入，只在一旁觀看學生的解題過程並針對解題的行為做記錄。完畢後再將學生的錄音檔轉成逐字稿，並搭配學生的解題試卷進行分析，分析時參考 Schoenfeld (1985)的解題六階段：讀題、分析、探索、計畫、執行、驗證，對這些國中數理資優生在排列組合單元的解題歷程與策略進行探討。. 35.

(46) 研究個案. 排列組合教學 (直線排列、不完全相異物排列、重複排列、組合) 放聲思考法教學. 放聲思考法練習. 問題施測訪談. 結果分析圖 3-1-01 研究施測流程圖. 36.

(47) 第二節個案分析本研究的研究對象是桃園市區某國中九年級學生共三位，學生皆通過 100 學年度桃園縣國民中學學術性向數理資優鑑定。原本學生應有五位，分別是三個男生和兩個女生，但是由於在授課過程其中兩位男學生有請假缺席二到三堂課的記錄。考量這個狀況之後，本研究就從中選取沒有缺課的一位男生和兩位女生共三位學生，恰好這三位也都是研究者導師班級的學生，故對這三位學生的個性、家庭背景、學習態度及學習表現等等都非常的了解，適合做為研究個案。數理資優鑑定通過標準：標準一：複選實作評量，數學或自然達標準分數 100 以上。標準二：初選性向測驗，數學達標準分數 130 及自然達百分等級 97 以上；且複選實作評量，數學或自然成績達標準分數 93 以上。三位學生基本資料分述如下：甲生：男生，個性隨和，對有興趣的事物非常專注，樂於分享，會主動教導其他同學，也喜歡上台示範及分享。小組討論時也樂於擔任主導角色，主持討論的進行。剛開始接觸排列組合單元時曾對這些計算的方法持懷疑態度，主動表示想要將全部狀況列出印證答案正確性。鑑定成績方面，初選數學標準分數 129，自然百分等級 71；複選數學標準分數 103，自然標準分數 80。在校成績方面，六個學期的數學學期成績總平均為 92 分，自然學期成績總平均為 89 分。在鑑定成績上數學的表現明顯優於自然，對照在校成績後也可以發現學生在數學的成績表現也是略優於自然科。. 37.

(48) 乙生：女生，富有領導能力，課堂反應極佳，師生互動良好，對於挑戰有難度的問題有強烈企圖心，上課時有問題就會發問，也時常利用平日下課時間來問課外問題，求知慾望強。有想法也會主動和同儕分享，小組分組時常擔任組長角色，在班上擔任班長職務。鑑定成績方面，初選數學標準分數 150，自然百分等級 99；複選數學標準分數 93，自然標準分數 119。在校成績方面，六個學期的數學學期成績總平均為 93 分，自然學期成績總平均為 90 分。在鑑定成績上是三生中分數最佳的學生，在校成績表現也相當優異，兩科的表現差異不大。. 丙生：女生，個性天真，上課較安靜不常發言，時常私下問問題，對自然科的興趣比數學科高，尤其是生物部分，喜歡觀察小動物。對自己要求高，課業作業要求完美。鑑定成績方面，初選數學標準分數 109，自然百分等級 98；複選數學標準分數 92，自然標準分數 101。在校成績方面，六個學期的數學學期成績總平均為 93 分，自然學期成績總平均為 92 分。在鑑定成績上數學與自然科的表現差異較不大，對照在校成績，也可以發現學生在這兩科方面都相當不錯，屬於數學與自然都表現優異的學生。. 38.

(49) 第三節研究工具 1. 上課講義：講義與學習單均由研究者任教學校數學研究會討論設計的，內容包含集合、集合的運算、樹狀圖、乘法原理、加法原理、相異物的排列、不盡相異物的排列、環狀排列、重複排列以及組合，不涉及重複組合單元。. 2. 施測問題：研究者由上課範圍中設計相關問題共 12 題，經過 5 名在高中任教 7 年以上教師審題挑選，參考蔡啟禎(2004)與李銘芷(2012)訂定挑選標準參考如下： (1)避免機械式計算的問題。 (2)需要多個步驟才可解出答案的題型。 (3)題目敘述合乎邏輯以及語意清楚明白。 (4)最好能有多種解法的問題，以顯示較多的解題行為。挑選出 6 題後，由上屆兩名數理資優生進行施測，參考施測結果、訪談與分析的結果後修正題目，並經由指導教授指導後，最終確定施測非例行性問題 6 題。六個問題的題型如下表所示。表 3-3-01 題目類型題號. 一. 二. 加法原理題型與乘法原理題型. 重複排列. 三不相鄰問題. 39. 四. 組合. 五. 六. 不完全相. 不完全相. 異物排列. 異物排列.

(50) 第四節. 研究步驟與過程. 本研究的實施過程分三階段，分別是研究準備期、研究實施期以及研究完成期，流程圖如下圖：. 文獻探討、蒐集相關資料. 研究準備期. 研究實施期. 研究完成期. 2013.04~2013.09. 2013.10~2013.12. 2014.01~. 擬定研究主題確定研究方法確定研究對象編制研究工具實施前導實驗進行面談修正題目. 進行教學活動進行問題施測進行面談. 整理文獻資料資料分析撰寫研究報告. 圖 3-4-01 論文研究實施流程圖. 一、研究準備期： 1. 擬定研究主題：搜集各種資料，參考相關文獻，並且和教授討論研究方向後，確定研究方向為解題歷程之探究。 2. 確定研究方法：確定研究目的後，根據研究目的決定採用個案研究。 3. 確定研究對象：根據研究目的，並且為了對學生背景能有最清楚的了解，故研究對象選擇研究者擔任導師的年級，方便研究的進行。 40.

(51) 4. 編制研究工具：研究使用的工具包含上課講義與施測的非例行性問題。講義為研究者校內數學科教學研究會設計。而非例行性問題則由在高中任教，教學經驗豐富的教師先挑選之後，再經過教授指導與實施前導研究後修正，得到最終的施測問題。 5. 實施前導實驗：非例行性問題設計後，選擇大一屆的數理資優生兩位，進行前導實驗，目的在於希望從實驗中讓教學過程更熟練以及進行問題的修正。二、研究實施期： 1. 進行教學活動：依照上課講義的內容順序，利用禮拜六早上九點到十二點，每次三個小時，總共六週。但因過程中曾遇到月考而停課，故課程實施時間前後大約兩個月。 2. 進行問題施測：最後一次上課後隔週進行非例行性問題施測，施測前先對所有學生進行放聲思考法的複習，結束後分別按照甲乙丙三生的順序進行施測。每次測驗時僅有一位受試學生與研究者在教室內，其他學生皆在其他教室自習。 3. 進行面談：每位學生測驗結束後就立刻針對解題過程進行訪談，訪談以及先前的測驗過程皆全程錄音。. 41.

(52) 三、研究完成期： 1. 資料分析：撰寫錄音檔逐字稿，再針對這些蒐集到的資料，依照 Schoenfeld 的解題歷程架構進行分析，詳見第五節。 2. 撰寫研究報告：將分析後的資料及研究過程中參考的論文文獻資料進行統整，完成論文。. 42.

(53) 第五節. 資料收集與分析的方法. 本研究的資料收集來源為非例行性問題測驗卷以及錄音檔案。而分析的過程分為兩部分，分別是筆試資料分析與原案分析，說明如下：一、筆試資料分析：筆試資料分析主要是藉由對個案所寫下的解題過程，做初步的分析，瞭解個案學生在問題上的基本想法與解題流程。. 二、原案分析：將放聲思考法所得到的錄音資料，整理成逐字稿的文字資料，之後再利用這些文字資料，配合筆試資料、訪談資料與測驗時研究者的觀察記錄，開始著手進行分析。分析情況敘述如下： 1. 解題歷程的區分：在分析之前，為了能夠對個案學生的解題行為有完整的掌握，因此研究者先對照學生的筆試資料、錄音檔以及逐字稿，進行初步整理。之後研究者參考 Schoenfeld (1985)的解題歷程架構，將解題階段分成讀題、分析、探索、計畫、執行、驗證等六個階段，接著再將三位個案學生的解題過程進行階段的區分。. 43.

(54) 2. 解題歷程階段的時間記錄：完成階段區分後，再依照錄音檔的時間記錄，整理學生每一題解題過程中每一步驟的時間，再繪製成時序表，例如：. 甲生. 22. 讀題 28 分析 15 探索 17 計畫 8 執行驗證時間(秒). 20. 40. 60. 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280. 圖 3-5-01 解題歷程時序表範例. 3. 統整解題策略：研究者參考許多學者提出的，以及前導實驗中兩位學生所使用的解題策略，尋找其中個案學生有使用到的部分將其列出並加以整理。. 44.

(55) 第肆章. 研究結果. 本章呈現三生在非例行性問題上的解題情況與分析結果。本章共分成四節，第一節為原案分析，第二節為解題歷程分析，從「同一題目三生解題歷程綜合比較」以及「同一生六題解題歷程綜合比較」兩個角度來做分析比較，第三節為解題策略分析，第四節為解題成敗因素分析，第五節是資優生的解題特質。. 第一節原案分析本節主要是將三位數理資優生在解六個問題的解題歷程，按照 Schoenfeld (1985)的解題歷程架構進行原案分析。以下將先列出解題歷程模式架構表，標示各解題歷程階段的行為表現與範例說明，之後每一題都將按照此架構進行分析。接著再列出在解題過程中，比較有想法且有適當的階段來回跳動次數的甲生的第二題、乙生的第四題以及丙生的第二題進行原案與歷程階段以及時間的完整對照，期望藉由這兩種對照表，能夠更精確的掌握各解題階段的行為特徵。最後再依序呈現各題的分析結果，結果均包含解題歷程時序表以及解題歷程分析表，從圖中將可以看出各階段的時間以及次數，從分析表可以看出每位學生在每一題的解題行為。表 4-1-01 本研究的解題歷程模式架構表階段. 行為表現. 舉例說明. 1. 閱讀全部或部份題目的敘述。讀題. 1. 乙生第四題，讀題後又回頭看題. 2. 將題目重新閱讀。. 目，將問題中的重要部分重複讀. 3. 重新讀問題中自己認為重. 題。. 要的地方。 45.

(56) 1. 丙生第三題畫出樹狀圖。. 2. 乙生第五題逐字稿：把它分一半好. 1. 畫圖(樹狀圖、數線)。分析. 2. 簡化問題。. 了，把它分成五階五階，然後，恩，. 3. 分情況討論。. 先算五階的走法，再把它平方。 3. 第一題三生將問題分成山線和海線兩部分，分別進行討論。. 1. 乙生第三題試著列出一種走法，再 1. 沉思。從中找尋線索幫助分析。 2. 畫草稿圖。探索 3. 嘗試列舉幾種狀況。 2. 甲生第三題，讀完題後自言自語， 4. 自言自語。思考問題中有哪些關鍵地方。 1. 甲生第六題，將問題所有答案列出 1. 寫出算式。. 來。. 計畫 2. 列出所有情況。. 1. 實際操作運算。 2. 整理計畫階段所寫的算 1. 丙生第四題，分別用計算以及數的執行式。. 方式將答案算出來。. 3. 數出所有情況。 1. 檢查計算式子。 1. 丙生第六題，檢驗自己算的狀況有驗證. 2. 檢驗答案有無缺漏或重沒有重複或是缺漏。複。. 46.

(57) 表 4-1-02 甲生第二題解題歷程階段與原案行為對照表階段. 行為. 時間 (秒). 讀題. 若我國自用汽車的牌照號碼，前三位為大寫英文字母，後面四位為數字，例如 ABC-0920。若前面英文字母不用 O，最後一位數字不用 4，且後四位數字沒有 4444 這個號碼，那麼我國的汽車牌照號碼可能有幾種？. 27. 探索. (沉默) 以前有看過這種問題嗎……(苦笑) 前面是英文，後面是數字…… 不能用 O 喔……. 16. 分析. 前面三個英文字母第一個可以選擇 A 到 Z 沒有 O 所以 25 種，第二個數字就 24 種，第三個就是 23 種。. 15. 探索. ㄟ～ㄟ～ㄟ～ (沉默) 這樣寫對不對阿…… 然後……. 23. 計畫. 後面四個是數字，所以 9×8×7. 13. 分析. ㄟ～錯了最後一個不用 4，就是說前面第一個數字有 10 種選擇，第二個數字有 9 種選擇，第三個數字有 8 種選擇，第四個數字ㄟ～錯了錯了. 29. 計畫. 應該是 10 個乘以 10 個乘以 10 個，乘以第四個因為不能有 4 所以是 9 個，然後沒有 4444 這個號碼，所以再減掉 25*24*23，也就是 ABC 配 4444 的組合. 32. 執行. 所以把英文和數字合起來所以就是這麼多種！結束！. 10. 47.

(58) 表 4-1-03 乙生第四題解題歷程階段與原案行為對照表階段. 行為. 時間 (秒). 讀題. 六對夫婦坐在客廳裡，今從中任取 4 人，恰有一對夫婦的情況有幾種？. 16. 分析. 6 取 4……一對喔所以只能有一對！. 10. 探索. 恩……. 9. (沉默思考) a1a2a3a4a5a6，如果是 a1，不對，這樣講不行 b1b2b1b2b3b4b5b~~~不不不 a1a2 b1b2C1C2D1D2E1E2F1F2，假設是. 分析. a1a2 後面有兩個位置，是 12345678910，10 個人去排所以是~~~12345678910 有 10 個人，10×9 然後後面 b1b2C1C2D1D2E1E2F1F2…… ㄟ不對不對. 74. 探索. 恩…… (沉默思考). 4. 分析. 不能是同一對齁那就是~~~ 五個裡~~~ㄟ恩 10 個裡面 C10 ㄟ不對. 16. 探索. 恩~~~ 這樣怪怪的耶. 15. 計畫. 10×9 扣掉同一對的情形是~~~ 1種2種3種4種5種. 23. 然後括號乘以 1 對 2 對 3 對 4 對 5 對 6 對 6 對. 執行. 10×9−5 90−5 85×6 所以是 510 種. 14. 48.