本節旨在分析三生在面對六題非例行性問題時所呈現的解題歷程，將 分成四個不同的角度：(1)分別以各問題為主軸，分析比較三位學生各題解 題歷程的特色、(2)分別以個別學生為主軸，分析比較同一人在六題的解題 歷程特色、(3)解題歷程階段順序與數量，以及(4)題目的類型，分別進行比 較與分析。
一、同一題目三生解題歷程綜合比較
表 4-2-01
三生第一題解題時間總表 時間
百分比 甲生 乙生 丙生
讀題 22 秒 24% 37 秒 23% 51 秒 35%
分析 28 秒 31% 77 秒 47% 20 秒 14%
探索 15 秒 17% 8 秒 5% 26 秒 18%
計畫 17 秒 19% 32 秒 19% 36 秒 25%
執行 8 秒 9% 10 秒 6% 12 秒 8%
驗證 0 秒 0% 0 秒 0% 0 秒 0%
總時間 90 秒 100% 164 秒 100% 145 秒 100%
從上表可看到，甲生和乙生在分析階段所花的時間，在他們自己所花 的總時間裡，比例都是最高的，而且也都花了將近四分之一的時間在讀題 上，在探索階段所花的時間比例相較之下就比較偏低，顯示了他們兩位在 這一題中對題目的理解程度算是比較高的，只要仔細讀題後，瞭解了問 題，就不需要經過太多的探索階段就能解決問題。而丙生一開始花了最多 的時間在讀題，比較特別的是他在分析階段所花的時間，比起其他兩位學 生來說算是比較偏低的，甚至比探索階段還低，顯示了學生在這一題一開
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表 4-2-04
三生第二題解題時間總表 時間
百分比 甲生 乙生 丙生
讀題 27 秒 16% 20 秒 24% 31 秒 34%
分析 44 秒 27% 32 秒 38% 13 秒 14%
探索 39 秒 24% 0 秒 0% 16 秒 18%
計畫 55 秒 33% 32 秒 38% 31 秒 34%
執行 0 秒 0% 0 秒 0% 0 秒 0%
驗證 0 秒 0% 0 秒 0% 0 秒 0%
總時間 165 秒 100% 84 秒 100% 91 秒 100%
從總時間來看，在這一題中，甲生所花的時間比起乙丙兩生，很明顯 的高出許多。而在各階段方面，三個學生在這一題就有很大的不同。甲生 是計畫階段為最高，乙生是分析與計畫，而丙生花了最多的時間在讀題和 計畫。甲生因為總時間偏高，所以讀題比例雖然較低，但是就秒數來看其 實是差不多的。分析與探索階段丙生秒數都較少，是因為丙生在經過仔細 讀題後就了解了題意，也明白了分析的方向，所以不用太長的時間進行分 析與探索。而乙生沒有探索階段，顯示了乙生對題目的掌握度相當高，讀 完題後就能直接進行分析。而三生都花了很多的時間在計畫，主要是因為 這一題需要分成英文和數字兩部分，分析的方法差不多，但是列式需要小 心，所以三生在列式作答時就放慢了速度，思考問題的列式正確與否。由 於數字較大，所以就沒有經過執行階段了，解題後也沒有進行驗證。
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表 4-2-07
三生第三題解題時間總表 時間
百分比 甲生 乙生 丙生
讀題 35 秒 12% 50 秒 21% 43 秒 18%
分析 159 秒 55% 149 秒 63% 135 秒 55%
探索 69 秒 24% 11 秒 5% 33 秒 14%
計畫 25 秒 9% 25 秒 11% 31 秒 13%
執行 0 秒 0% 0 秒 0% 0 秒 0%
驗證 0 秒 0% 0 秒 0% 0 秒 0%
總時間 288 秒 100% 235 秒 100% 242 秒 100%
相較於前面兩題，三個學生在這一題所花的時間都明顯變多了。讀題 時間增加了，因為三生在解題的過程中，對題目的意思並不能一下子就掌 握，所以重複了幾次，也放慢了速度在讀題上。在分析階段部分，三生都 花了超過一半以上的時間在此階段，而探索階段在相較之下就很明顯偏 低，顯示了三生對於問題並不是全然沒有解題方向，都有自己的想法。分 析確定了之後，計畫階段就比較快了，所以時間上並不需要太多。而這一 題三生也都只有列出式子，沒有算出答案，所以並沒有執行階段，之後也 沒有進行驗證的工作。
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表 4-2-08
三生第三題解題歷程特色綜合分析
讀題
1. 讀題快慢速度適中，關鍵處能放慢速度。
2. 讀題時會重複多次在自己認為關鍵的句子上。
3. 乙丙兩生多次讀題後仍未能完全正確掌握題意。
分析
1. 三生讀題探索後都決定先畫圖試著分析。
2. 三生此階段時間皆占總解題時間一半以上。
3. 甲生在經過多次思考分析後發現可以跟舊經驗中有限制條件的 排列作連結。
4. 甲生經過多次分析後明白算出全部可能情況再用扣除方式扣掉 不合的可能。
5. 甲生首先使用固定 B 的方式來計算，但發現這方式有點複雜，之 後使用將 BC 視為一體的方式來計算情況數。
6. 乙生未能瞭解 BC 之間沒有道路相通的處理方式，也沒有注意到 各家不可以重複訪問的限制，誤認為只要能夠走到即可。
7. 丙生了解走到 B 之後不能走到 C，但不知道如何處理 BC 不相 連，答案認為是 6!。
8. 乙丙兩生皆曾試著列出一種走法來幫助分析。
探索
1. 讀題後皆進入探索階段，顯示題目對三生而言都不是熟悉的題 型。
2. 思考 B 和 C 沒有道路相通的意思。
3. 甲生和丙生企圖從舊經驗中尋找可能的處理方式。
計畫 1. 皆能將所想的答案正確列出。
執行 1. 最後答案只用列式表示，沒有計算出來。
驗證 1. 沒有驗算步驟。
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表 4-2-10
三生第四題解題時間總表 時間
百分比 甲生 乙生 丙生
讀題 21 秒 9% 16 秒 9% 27 秒 9%
分析 46 秒 20% 100 秒 55% 133 秒 47%
探索 121 秒 54% 28 秒 15% 50 秒 17%
計畫 38 秒 17% 23 秒 13% 44 秒 15%
執行 0 秒 0% 14 秒 8% 32 秒 11%
驗證 0 秒 0% 0 秒 0% 0 秒 0%
總時間 226 秒 100% 181 秒 100% 286 秒 100%
這個問題整體來說，乙生和丙生的解題時間分配狀況算是比較類似 的。三生在讀題階段所花時間都不多，主要因為題目較短，所以很快就能 夠讀完而且掌握題意。分析和探索部分，甲生是探索多於分析，而乙生和 丙生則是分析多於探索。因為甲生在這一題中雖有解題方向，但是對於自 己的想法卻不知道該怎麼寫出來，所以花了一些時間在思考怎麼表達；乙 生和丙生則是探索思考解題方向後，花較多時間在分析怎麼扣除不要的情 況。有了結果後三生都有進行計畫列式，但甲生只用列式表示答案，所以 沒有進行執行，也沒有驗證。
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表 4-2-11
三生第四題解題歷程特色綜合分析
讀題
1. 速度適中，都能清楚表達題意。
2. 甲乙兩生讀題後立刻又讀題，丙生則是在過程中不斷回去重新看 題目。
3. 丙兩生在解題過程中曾經誤解題意。
分析
1. 甲乙兩生都誤用了排列的算法，丙生知道是用組合的方式。
2. 乙丙兩生都認為要先抓出夫婦，再想辦法找出不是夫婦的。
3. 甲乙兩生都有用到扣除的方式，但甲生是先任取 4 人再想辦法扣 掉不合情況，乙生是確定完夫婦後，剩下部分任取再扣除不合情 況，而丙生則是從剩下的 5 對中直接找出兩對。
探索
1. 都曾探索思考怎麼找出那一對夫婦。
2. 乙丙兩生思考怎麼處理不是夫婦那兩個人，甲生則是思考怎麼扣 除任取後不合的情況。
計畫
1. 乙生和丙生利用乘法原理列出式子，甲生是用相減扣除方式列 式。
2. 甲生想要列出全部扣除不合的，但不知道怎麼處理所以用猜測 的；乙生誤用了用乘法原理但是誤用了排列；丙生用乘法原理 但忘了乘上一開始選夫婦的方法數。
執行 1. 乙丙兩生皆能將自己的列式正確算出答案。
2. 甲生僅僅列式沒有寫出答案。
驗證 1. 三人都沒有驗算步驟。
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表 4-2-12
三生第四題解題歷程異同比較
同 異
讀題 1. 都能清楚表達題意。
2. 都會不斷重看題目，了解題意。
1. 甲乙生明白題意，而丙生曾誤 解題意。
分析 無
1. 甲乙用了排列的方式，丙用了 組合的方式。
2. 甲先任取再扣除不合，乙丙兩 生認為要先抓出夫婦那對再接 下去處理。
探索 1. 都思考過怎麼找出那對夫婦。
1. 乙丙兩生思考怎麼處理不是夫 婦那兩個人，甲生則是思考怎 麼扣除任取後不合的情況。
計畫 無
1. 甲生運用相減扣除方式列式，
乙丙兩生則是運用乘法原理列 式。
執行 無
1. 乙丙兩生都能將自己所列式子 算出答案，甲生則沒有運算，
只有寫出算式。
驗證 1. 三人都沒有驗算步驟。 無
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表 4-2-13
三生第五題解題時間總表 時間
百分比 甲生 乙生 丙生
讀題 19 秒 7% 28 秒 11% 15 秒 5%
分析 106 秒 38% 52 秒 20% 185 秒 66%
探索 115 秒 42% 56 秒 22% 81 秒 29%
計畫 36 秒 13% 107 秒 41% 0 秒 0%
執行 0 秒 0% 6 秒 2% 0 秒 0%
驗證 0 秒 0% 11 秒 4% 0 秒 0%
總時間 276 秒 100% 260 秒 100% 281 秒 100%
第五題在總時間方面三生都非常的接近，但是各階段的狀況卻大不相 同。甲生花了相當多的時間在分析和探索，思考解題方向與分析情況並 進；乙生花了最多的時間在計畫階段，分析與探索後確定解題方向，之後 就將問題分情況，分別進行討論找答案；而丙生則是花了超過六成的時間 在分析，因為丙生始終沒有辦法找到有效的分析方法，不知道該如何下 手，所以只能不斷的畫圖。這一題只有乙生有進行執行算出答案，以及有 驗證步驟。甲生用算式代表答案，丙生連計畫階段都沒有。
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表 4-2-14
三生第五題解題歷程特色綜合分析
讀題 1. 讀題速度適中，能清楚表達題意。
2. 有疑問時都會重複讀題，增加對題目的了解。
分析
1. 都有嘗試用列舉方式列出一階和二階的排列方式。
2. 甲生從二階下手，討論和一階的搭配情況；乙生將問題分成五階 五階，藉由算出一部分後再平方；丙生用畫樹狀圖的方式列舉情 況。
探索 1. 甲乙兩生思考如何分類才不會有漏掉或是重複。
2. 丙生思考畫樹狀圖的可行性以及若不畫樹狀圖還能有什麼畫法。
計畫 1. 甲乙兩生用列舉方式列式，丙生除了畫樹狀圖外沒有其他想法 幫助列式。
執行 1. 甲生用算式表示所求的答案，乙生算出五階答案後將其平方即認 為是正確答案；丙生沒有列式也沒有執行運算。
驗證 1. 乙生有進行驗證，檢查所列的次數有沒有問題。
2. 甲丙兩生都沒有驗證步驟。
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表 4-2-16
三生第六題解題時間總表 時間
百分比 甲生 乙生 丙生
讀題 17 秒 10% 29 秒 25% 36 秒 19%
分析 118 秒 67% 45 秒 39% 63 秒 33%
探索 11 秒 6% 10 秒 9% 25 秒 13%
計畫 23 秒 13% 23 秒 20% 33 秒 17%
執行 6 秒 3% 7 秒 6% 7 秒 4%
驗證 0 秒 0% 0 秒 0% 27 秒 14%
總時間 175 秒 100% 114 秒 100% 191 秒 100%
在本題中我們可以看到，三個學生所花的時間都以分析階段所占比例 最高，而在探索階段所花的時間相對的少了許多，顯示這一題對學生來說 是相對比較容易想到解法的。因為三生都是以列舉的方式找出答案，所以
在本題中我們可以看到，三個學生所花的時間都以分析階段所占比例 最高，而在探索階段所花的時間相對的少了許多，顯示這一題對學生來說 是相對比較容易想到解法的。因為三生都是以列舉的方式找出答案，所以