第一章 緒論
第三節 名詞解釋
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數學教師，或許他有滿懷的熱忱，但因為缺乏教學經驗，可能需要教個好幾年，
才能慢慢摸索學生對於問題所能掌握的程度。反觀自己也曾經經歷過這一段時 期，因此便想著，如果我能設計一份國中內容的測驗試題，來讓不同的學生做測 試，並從學生所回答的答案來探討，到底學生在哪些章節，哪些概念是比較不容 易了解，不容易學會的，而哪些章節，卻是比較容易理解，甚至能把概念活用在 題目上的。這樣一來，便能讓其他的教師們做個參考。對於資深教師們，就可以 比對自己的經驗是否與研究的結果相同；而對於新進教師們，就能讓他們在教學 上，有個參考的依據，同時在教到學生比較不容易理解的概念與章節時，就可以 再把觀念說明得更清楚，並多舉學生比較不熟悉的題型當作範例來講解；而對於 自己，也能讓自己在往後的教學生涯中，更加注意學生所不容易理解的概念與章 節，並適時的補充學生比較無法銜接的觀念，引導學生將自己所學的知識活用在 問題的解法當中。
另外，剛好藉由這個研究，探討一個許多人，也包括我自己都很想知道的問 題，那就是性別對於國中數學的解題能力，到底有沒有差異？利用研究資料的數 據，可以來看看數據顯示的答案是什麼。
(二) 研究問題
根據此研究目的，提出研究問題：
新北市九年級學生，在七、八年級的數學課程，哪些數學概念是較不容易學會的？
而哪些概念是較容易學會的？
第三節 名詞解釋
一、解題差異：本研究中所指的解題差異，主要分成四個部分：
(一)正確解法上的差異：雖然解法和過程都是正確的，但同一個題目的解題 方法卻可能有很多種，因此本研究會針對每一個測驗試題，去探討學生 們所出現不同的解法。
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(二)錯誤解法上的差異：學生們沒有答對答案，可能是因為在過程中計算發 生了部分的錯誤，或是概念上的錯誤，甚至是完全不會而空白。本研究 會針對每一個測驗試題，去探討學生們所發生的錯誤，進而找出這些錯 誤所占的比例，以作為往後教學上的參考。
(三)不同的問題，答題表現上的差異：各個測驗試題目包含了不同的能力指 標，當然每一題學生的答對比例也會有所不同，本研究也會針對每一個 測驗試題，來比較學生們的答題狀況。
(四)性別對解題能力上的差異：不同的性別，在每個測驗試題答對的比例也 不見得差不多都一樣，而本研究將針對每一個測驗試題，將不同性別答 題表現的數據，利用統計原理與統計程式分析，性別對於該題的解題能 力，是否有著顯著的差異。
二、解題能力：本研究中所指的解題能力，代表的是對於本次測驗各試題的答對 率，解題能力高的為答對率較高；解題能力低的為答對率較低。
三、數學能力指標：本研究中所提到的數學能力指標，指的是在民國 92 年，教 育部頒布了九年一貫課程綱要，其中數學領域內，分段的能力指標，而因為 在民國 97 年有修訂了部分的指標內容，於一百學年度開始實施。而本研究 中所題的能力指標，指的是已經修訂過後新的能力指標。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第二章 文獻探討
本章的內容，是蒐集學者的研究文獻、著作、政府的公告資料、網站的宣導 內容，所匯集而成。以下，我們將分成三個小節，分別來了解數學能力指標、S-P 表的相關內容與涵義、性別對解題能力是否有影響。
第一節 數學能力指標
依據民國 97 年教育部所頒布的國民中小學數學課程綱要第四階段(國中一 至三年級)中，要求學習目標為：
1.在數方面：能認識負數與根號數之概念與計算方式，並理解坐標表示的意義。
2.代數方面：要熟練代數式的運算、解方程式，並熟悉常用的函數關係。
3.幾何方面：要學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概 念，並能學習簡單的幾何推理。
4.統計方面：能理解統計與機率的意義，並認識各種簡易統計方法。
課程目標可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力，能應 用問題的解題方法等。
能力指標依數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連 結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分 別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四 個主題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段；第 三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。指標雖以主題與階段來 區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾何」，以強 調其連結，此類指標皆以相關連結編碼註記。第五個主題「連結」亦以三碼編排，
第一碼以字母 C 表示主題，第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 表示察覺、轉化、
解題、溝通、評析；第三碼流水號，表示該細項下指標的序號。如：
N-4-03 表示能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。
S-4-05 能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題。
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詳細第四階段的數學能力指標請見附錄二(P.125~P.129)。
而分年細目與能力指標相同，亦採三碼編排，第一碼表示年級，分別以 1、…、9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示
「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細 目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。如：
8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。
7-n-07 能熟練數的運算規則。
詳細七八年級數學領域的分年細目請見附錄三(P.130~P.136)。
第二節 S-P 表
一、S-P 表分析的研究緣起
所謂的 S-P 表，係指英文 Student(即學生)的 S，以及 Problem(即問題)的 P 兩 個 字 母 的 簡 稱， 全稱 「 S-P 表」乃指英文 student-problem score table 或 student-problem chart(即學生問題表)之意。S-P 表分析技術，是由日本學者佐藤 隆博(Takahiro Sato)於一九七○年代所創(Sato,1969,1971)，是一種將學生在試題上 的作答反應情形予以「圖形化」分析的方法，其目的在獲得每位學生的學習診斷 資料，以提供教師實施有效的學習輔導之參考。
至於國內對 S-P 表分析的研究，首先由彰化師範大學的陳騰祥教授(1986，
1988)，於民國七十二年赴日本進修後，引進介紹到國內。後由政治大學呂秋文 教授(1987)、臺灣師範大學何英奇教授(1989)、饒達欽教授(1988)、台北護理專校 陳漢瑛教授(1991)等人的推廣應用研究，現在已在國內逐漸發展，受到重視。台 灣省教育廳及台北市教師研習中心等機構，也先後舉辦多場學術研討會，亦有不 少有關 S-P 表的論文發表(何景國，1992；翁上錦，1993)。至今，國內亦有多份 電腦軟體程式發展出來(如：何英奇，1989；何景國，1992；陳騰祥，1988 等)。
余民寧教授(1997)也先後發展兩個程式：TESTER for DOS 程式 1.0 版和 TESTER
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for Windows 程式 2.0 版。本研究即採用 TESTER for Windows 程式 2.0 版作為輔 助分析的工具。
二、S-P 表的製作
假設教師從任教班集中收集到一筆 N 名學生在 n 個試題上的反應資料，經 過評分(即答對者給 1，答錯者或未作答者給 0)之後，得到一個未經任何處理的 N×n 階的原始得分矩陣資料，稱作「S-P 原始資料表」，簡稱「S-P 原表」，如表 2-1 所示。
表 2-1 S-P 原表 P
S
試題號碼
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分
學 生 編 號
1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 5 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 6 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 7 5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9 6 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 5 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 8 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 6 11 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 5 14 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 15 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 4 答對人數 8 12 11 9 6 7 10 4 8 5 80
接下來，可按照每位學生得分總分之高低，將學生的整個反應組型及其總 分，由上(即總分最高者排在最上面)往下(即總分最低者排在最下面)依序排列，
遇到有學生總分相同時，則按照各學生未答對各試題(即對應於「0」之試題)之 答對學生總人數之和的大小順序(即總分較小者排在較上端)，由上往下排列，如 表 2-2 所示。例如，編號為 1、6、13、14 的學生，其總分都是 5 分，但其個別
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未答對試題之人數和為 8+9+6+7+4=34、11+7+10+4+8=40、8+6+10+8+5=37、及 6+7+4+8+5=30，所以這四位學生的排列順序依次為 14、1、13、6；同理，編號 為 2 和 10 號的學生，其總分都是 6 分，其個別未答對試題之人數和皆為 27，因 此，哪一位學生(2 號或 10 號)排在上面皆可。為了簡便起見，遇得分相同的學生，
亦可以其學號或編號之小大順序排列之。
表 2-2 將 S-P 原表按學生總分高低，由上往下依序排列 P
S
試題號碼
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分
學 生 編 號
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 8 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 7 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 6 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 6 14 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 5 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 5 13 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 5 6 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 5 15 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 4 11 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4 3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 12 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 8 12 11 9 6 7 10 4 8 5 80
接著，按照每道試題答對學生人數之多寡，將試題的整個反應組型及其答對 學生人數，由左(即答對人數最多之試題排在最左端)往右(即答對人數最少之試題 排在最右端)依序排列，遇到有答對人數相同之試題時，則以各試題學生未答對 之學生總分之和的大小順序(即總分較小者排在較左端)，由左往右排列，如表 2-3 所示。例如，試題 1 和試題 9 兩題答對的人數均為 8 人，其個別未答對學生的總 分之和分別為：5+6+3+8+6+1+5=34 及 5+2+4+1+5+5+4=26，所以這二道試題的
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排列順序依次為：9、1。為了簡便起見，遇得分相同的試題，亦可以其試題題號 之大小大順序排列之。
表 2-3 依表 2-2，按試題答對人數多寡，由左往右依序排列) P
S
試題號碼
2 3 7 4 9 1 6 5 10 8 總分
學 生 編 號
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9 9 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7 10 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 6 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 6 14 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 5 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 5 13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 5 6 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 5 15 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 11 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 4 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 8 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 12 11 10 9 8 8 7 6 5 4 80
最後，依據每位學生所得總分(即「1」的個數)，從左端往右端數起，數出 和其總分相同的試題個數，並在其右邊畫一條直線(即分界線)，如此，由高分往 低分分別畫出與每位學生總分相對應的分界線來，並在這些分界線的下方以直線 連接起來，以形成一個階梯狀的曲線，該曲線即稱作「S 曲線」，如表 2-4 中的 粗體線所示。同樣的道理，再依據每道試題之答對學生人數(即「1」的個數)，
從上往下數起，數出和其答對學生人數相同的學生個數，並在其下邊畫一條直線 (即分界線)，如此，由左端往右端分別畫出與每道試題之答對學生人數相對應的 分界線來，並在這些分界線的右方以直線連接起來，以形成一個階梯狀的曲線，
該區線即稱作「P 曲線」，如表 2-4 中的細體線所示。畫出 S 曲線和 P 曲線之後，
該表即為完整的 S-P 表。
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表 2-4 依表 2-3，畫出 S 曲線(以粗體線表示)和 P 曲線(以細體線表示) P
S
試題號碼
2 3 7 4 9 1 6 5 10 8 總分
學 生 編 號
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9 S 曲線 9 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 8
4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 7
10 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 6 P 曲線 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 6
14 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 5 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 5 13 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 5 6 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 5 15 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 11 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 4 3 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 8 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 2 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 答對人數 12 11 10 9 8 8 7 6 5 4 80
三、S-P 表的判讀方法及其意涵
由表 2-4 來看，S 曲線是指學生得分的累加分布曲線，他是用來區別學生答 對與答錯的分界線。在 S 曲線以左上方的部分(或區域)，其大多數的數值都是 1，
代表在這區域範圍內的學生反應大多是「答對」試題；而在 S 曲線以右下方的部
代表在這區域範圍內的學生反應大多是「答對」試題；而在 S 曲線以右下方的部