第三章 研究設計與實施
第一節 研究設計
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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 研究設計與實施
本研究主要探討新北市九年級的學生，對於七、八年級的數學題目，在解題 上，有什麼樣的差異。而這其中的差異，包括了解法上的差異，以及解題能力上，
所該具備的能力差異。本章，將針對研究的設計、樣本、工具與研究步驟加以說 明。
第一節 研究設計
由於國中階段的數學題目相當的多，因此若要找個適當的評量依據，一定必 須要有普遍的接受度。況且，目前各個學校使用的教科書版本並不一定相同，在 內容上仍有些許的差異。正因如此，目前的國中基本學力測驗，採取「考綱不考 本」的模式，而這個「綱」，即為教育部所訂定的數學能力指標，只要指標上所 訂定的能力達到了，就可以把以此指標所設計的問題解決。因此，如果要設計在 新北市不同的學校所要測驗的問題，將一定得根據數學能力指標來設計問題，如 此來測驗學生也比較不會有爭議。
而測驗的內容，考量到各校進度或許有所差異，且也考量到施測的時間點，
是在上學期初，因此，才決定測驗的內容為七、八年級所有的內容，如此一來，
就可以確定該生一定已經學過這些觀念。但教育部民國 97 年所修訂的數學課綱 中能力指標，單從七、八年級的指標來看，數與量就有 14 條(N-4-01～N-4-14)、
幾何有 14 條(S-4-01～S-4-13、S-4-19)、代數有 17 條(A-4-01～A-4-16、A-4-20)。
以上這三項主題，能力指標就已經有 45 條，以每題包含 1~3 個指標來算，如果 這些指標都要考到，題目至少要有二、三十題，而如果考的都是選擇題，也不易 發現學生在解題方法上，有著什麼樣的差異。因此，如果考的是計算題，要考慮 到學生的作答時間。目前國中一節課 45 分鐘，測驗時間如果超過一節課，學生 就會想要下課，同時專注力將大為下降，如此測驗出來的結果也將大打折扣。所 以如果以一節課 45 分鐘來考量，加上這又是考計算題，比起基測一題平均作答 可花 2 分鐘，要再稍微多一點。在種種考量下，最後決定施測 45 分鐘，題目共
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15 題，測驗題型為計算題，內容為七、八年級部分的數學概念。但如此勢必無 法將所有的能力指標都考到，必須有所取捨。而從國中的章節來看，第一冊有 3 章：
第一章 整數的四則運算 第二章 分數的運算 第三章 一元一次方程式 第二冊有 5 章：
第一章 二元一次聯立方程式 第二章 平面直角坐標系 第三章 比與比例
第四章 函數及其圖形 第五章 不等式
第三冊有 4 章：
第一章 乘法公式與多項式 第二章 平方根與勾股定理 第三章 因式分解
第四章 一元二次方程式 第四冊有 4 章：
第一章 數列與等差級數 第二章 簡單幾何圖形 第三章 三角形的性質 第四章 平行四邊形
四冊總共 16 章，若以一章大約選擇 1~3 個能力指標來測驗，比較接近能把主要 觀念都測驗到的目標。因此，在與學校資深老師、指導教授討論後，確定了測驗 試題(如附錄一)。每一個測驗的問題，都有與其對應的能力指標，而由於能力指
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標所代表的能力範圍仍然相當廣，因此也往下更確立了所對應到的分年細目，茲 列如下：
[問題1] 有一題數學題目：「 ) 456 ( 123 999
20102 ÷ × − 」的正確答案應該是 a，但 大 雄 錯把題目中間的「÷」看成「×」，結果算出來的答案是 b。如果 大 雄 除了看錯題目的運算符號之外，沒有計算的錯誤。求 a 是 b 的幾倍？
對應能力指標
A-4-13 能熟練乘法公式。
N-4-08 能熟練正負數的四則混合運算。
N-4-09 能認識指數的記號與指數律。
分年細目
8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。(A-4-13) 7-n-07 能熟練數的運算規則。(N-4-08)
7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。(N-4-09)
[問題2] 某麵包店推出週年慶優惠，買 100 元的商品就送 50 元的商品抵用券 1 張，但商品抵用券必須要下次消費 100 元起，才能抵用 1 張 50 元的商 品抵用券，並且不再贈送商品抵用券。以多次消費合併來看，這間麵 包店的優惠方式，相當於最多打到幾折？
對應能力指標
N-4-03 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的 問題。
分年細目
7-n-13 能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比 例的問題。(N-4-03)
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[問題3] 解一元一次不等式
2 3 5 3
5
5−2− x < x−
，並在數線上畫出解的範圍。
對應能力指標
A-4-08 能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。
分年細目
7-a-17 能解出一元一次不等式，並在數線上標示相關的線段。(A-4-08)
[問題4] 媽媽帶著一張 500 元的鈔票到銀行換錢，打算將 500 元全部換成 20 元 和 50 元的硬幣(2 種都要有)。若 20 元的硬幣有 a 個，50 元的有b個，
但因為媽媽的零錢包很小，所以a+b必須小於 15。求a− =？ b 對應能力指標
A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題 中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。
A-4-09 能理解二元一次方程式的意義。
分年細目
7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二 元一次方程式。(A-4-03、A-4-09)
[問題5] 有間歷史悠久的學校舉辦校慶，請來歷任校長的其中 3 位，已知這 3 人中任 2 位的年齡總和分別為 168 歲、179 歲、175 歲。求這 3 位校長 當中，年齡最大的與年齡最小的差幾歲？
對應能力指標
A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題 中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。
A-4-06 能理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗 算其解的合理性。
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A-4-12 能熟練二元一次聯立方程式的解法，並用來解題。
分年細目
7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二 元一次方程式。(A-4-03、A-4-09)
7-a-08 能熟練使用代入消去法與加減消去法解二元一次方程式的解。
(A-4-12)
[問題6] 一次函數3x= 4y+k的圖形通過 ,2) 3
(−4 ，求此函數圖形與3x− y2 =0及
x 軸所圍出的三角形面積是多少？
對應能力指標
A-4-11 能在坐標平面上，畫出一次函數或二元一次方程式的圖形。
A-4-12 能熟練二元一次聯立方程式的解法，並用來解題。
S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題。
分年細目
7-a-13 能在直角坐標平面上描繪二元一次方程式的圖形。(A-4-11) 7-a-14 能理解二元一次聯立方程式解的幾何意義。(A-4-12)
8-s-19 能熟練計算簡單圖形及其複合圖形的面積。(S-4-04)
[問題7] 快樂中學 舉辦畢業旅行，晚上包下 台灣大飯店 ，全部的同學都住在裡 面。若全部的房間每間都住 4 人，則還有 10 位同學沒有房間住。若全 部的房間每間都住 5 人，則還剩 1 間空房間沒人住，且住人的房間中，
有一間只住了 3 個人。求全部的學生總共有多少人？飯店總共有幾間 房間？
對應能力指標
A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題
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中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。
A-4-05 能理解等量公理的意義，並做應用。
A-4-07 能熟練一元一次方程式的解法，並用來解題。
A-4-06 能理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗 算其解的合理性。
分年細目
7-a-03 能理解一元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出一 元一次方程式。(A-4-03、A-4-06、A-4-07)
7-a-04 能以等量公理解一元一次方程式，並做驗算。(A-4-05、A-4-07) 7-a-05 能利用移項法則來解一元一次方程式，並做驗算。(A-4-07)
[問題8] 在天文學上，1AU，即 1 天文單位，指的是太陽到地球的平均距離，1AU
≒1.5×108km。而最近很常討論的奈米，其實也是長度單位，1 奈米＝
10−9ｍ。如果太空中有 2 個星球的距離是 20AU，若把 1AU 當成 108
5 .
1 × km，則這兩個星球的距離是多少奈米？(請用科學記號表示) 對應能力指標
N-4-09 能認識指數的記號與指數律。
N-4-10 能認識科學記號。
分年細目
7-n-10 能理解指數為非負整數的次方，並能運用到算式中。(N-4-09) 7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。(N-4-09)
7-n-12 能用科學記號表示法表達很大的數或很小的數。(N-4-10)
[問題9] 小天 西元 1990 年出生，今年 2010 年剛好年滿 20 歲。試利用乘法公式，
計算 2010
1990 20 1990
2010 20 × ＝？
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對應能力指標
A-4-02 能理解數的四則運算律，並知道加與減、乘與除是同一種運算。
A-4-13 能熟練乘法公式。
分年細目
8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。(A-4-13)
[問題10] 喬巴 找到一個長方體的寶藏盒，已知長方體兩兩相鄰的三個面面積分 別為9x2 −1、3x2 − x8 −3、3x2 − x10 +3，且x>3。求這個長方體寶 藏盒的體積是多少？
對應能力指標
A-4-14 能認識多項式，並熟練其四則運算。
A-4-16 能用因式分解或配方法，解出二次方程式，並用來解題。
分年細目
8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算。(A-4-14) 8-a-06 能理解二次多項式因式分解的意義。(A-4-16)
8-a-08 能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。(A-4-16)
[問題11] 解一元二次方程式x2 =5624+2x 對應能力指標
A-4-16 能用因式分解或配方法，解出二次方程式，並用來解題。
分年細目
8-a-10 能利用因式分解來解一元二次方程式。(A-4-16) 8-a-11 能利用配方法解一元二次方程式。(A-4-16)
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[問題12] 有間會議室的座位是這樣安排的：第一排和第二排的座位都是 9 個，第 三排和第四排的座位都是 11 個，第五排和第六排的座位都是 13 個，往 後以此類推，即每往後 2 排，每排的座位數會增加 2 個。已知全部共 有 449 個座位，求座位總共有幾排？
對應能力指標
N-4-13 能辨識數列的規則性。
N-4-14 能熟練等差數列與等差級數的樣式、記法與公式，並解決相關 問題。
分年細目
8-n-04 能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規則性。(N-4-13) 8-n-05 能觀察出等差數列的規則性，並能利用首項、公差計算出等差數 列的一般項。(N-4-13、N-4-14)
8-n-06 能理解等差級數求和的公式，並能解決生活中相關的問題。
(N-4-13、N-4-14)
[問題13] 有一個正四角錐，側面的等腰三角形高是 12，底面的正方形邊長是 10。求此錐體的高(從立體圖上方的頂點到底面的距離)是多少？
對應能力指標
A-4-15 能理解畢氏(勾股)定理，並做應用。
S-4-05 能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題。
N-4-12 能理解根式的四則運算。
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分年細目
8-a-05 能理解畢氏定理（Pythagorean Theorem）及其應用。(同 8-s-08)(A-4-15、S-4-05)
8-a-02 能理解簡單根式的化簡及有理化。(N-4-12)
[問題14] 如下圖，∆ABC中，AB=BE，AC =CD，∠BAC =102。求∠DAE＝？
對應能力指標
A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題 中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。
A-4-09 能理解二元一次方程式的意義。
S-4-12 能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的 幾何性質。
分年細目
7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出
7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出