第四章 分析與討論
第三節 能力指標與數學問題
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第三節 能力指標與數學問題
在文獻探討中，我們發現 S-P 表中的 S 曲線可以看出學生對於問題的掌握程 度；而 P 曲線可以看出本次測驗所有問題的難易程度。而本次測驗，我們將分成 兩個部分。第一是用問題與所有學生的答題狀況之雙向細目表，從當中的 P 曲線 來呈現學生們比較不會的問題。第二是利用所有問題所應具備的能力指標，與所 有學生的各指標達到與否之雙向細目表，從當中的 P 曲線來呈現學生比較無法掌 握的能力，以此可做為老師們在教此相關課程內容的參考。
一、學生與試題之 S-P 表
如果我們想看看在這次的測驗問題當中，有哪些問題是學生們比較不會，觀 念是需要加強的，我們可以將所有學生每一題答案正確與否的雙向細目表，輸入 余民寧教授編著的教育測驗與評量─成就測驗與教學評量一書所附加的 TESTER for Windows 程式 2.0 版中，可跑出 S-P 表，但因程式設計上的限制，單次資料 無法超過 50 筆學生資料，因此我們先以學校分組，一個一個學校來跑 S-P 表，
但因為 C 校和 D 校的學生超過程式限制的數量，所以將這兩校的學生，刪除掉 全部題目皆答錯的學生，如此就可以控制各校的人數皆在 50 人以內，而且即使 這些全部都答錯的學生加入 S-P 表中，也是被列在最下面，並不影響 S-P 表的曲 線與問題的順序。
接下來，我們就要來看在這 15 個問題當中，有哪些題目是學生比較不會，觀 念上需要在加強的。從以下 5 所學校學生與答題狀況的 S-P 表來看：(紅色為 S 曲線，草綠色為 P 曲線)
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圖 4-1 A 校學生與試題之 S-P 表
圖 4-2 B 校學生與試題之 S-P 表 學
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圖 4-3 C 校學生與試題之 S-P 表
圖 4-4 D 校學生與試題之 S-P 表 學
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圖 4-5 E 校學生與試題之 S-P 表
在第二章第二節的 S-P 表文獻探討中，我們知道最後完成的 S-P 表愈右邊的 試題號碼，即是答對人數愈少的試題，換句話說，也就是學生覺得比較難的試題。
從圖 4-1～圖 4-5 五個 S-P 表，我們可以看到在各校 S-P 表右半部所呈現的試題，
出現的大多數都是重複的，經交叉比對後，大概有問題 1、9、12、15，對照表 4-32，這四題，也是正是答對率最低的四題，答對的比例皆不到一成。這四題除 了問題 15 需要了解全等證明的條件外，其餘的三題都算是計算量比較大的題 目，同時，還需要一點解題技巧與觀念，才能答出答案。這也表示學生在學完該 章節的概念後，並不見得能夠將概念活用在算式上，特別是沒看過的題型時。因 此老師們在教導這類型的題目時，可以多幫助學生們連結多種概念，並引導學生 找出最適合該題的解法。
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經過交叉比對，重複出現的也是同樣那幾題，有問題 3、4、5、7、13。這五題，
觀察表 4-1，也就是學生的答對率相對比較高的五題。其中問題 3、4、5、7 都是
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二、能力指標與學生之 S-P 表
如果要再觀察學生們究竟是哪個觀念比較不清楚，就可以探討問題所對應的 能力指標與分年細目，將所有學生對於所有能力指標達到與否的雙向細目表，輸 入余民寧教授編著的教育測驗與評量─成就測驗與教學評量一書所附加的
TESTER for Windows 程式 2.0 版中，可跑出 S-P 表，同樣因為程式設計上的限制，
單次資料無法超過 50 筆學生資料，所以仍將 C 校與 D 校兩校的學生，刪除掉全 部能力指標皆沒有達到的學生，如此就可以控制各校的人數皆在 50 人以內，而 且即使這些每一個能力指標的學生加入 S-P 表中，也是被列在最下面，並不影響 S-P 表的曲線與能力指標的順序。由於本程式在輸入時無法將能力指標的名稱當 作題號輸入，程式自動會依據輸入的順序，當成問題的題號。在 S-P 表上方中的 試題號碼，代表的是輸入能力指標的順序，但許多題目所對應的能力指標並非只 有一個，所以 S-P 表上方的試題號碼，指的是從問題 1 對應得第一個能力指標開 始，到某題對應的能力指標之順序號碼。所以在閱讀各校的 S-P 表之前，必須先 將 S-P 表上方的試題號碼對應各試題與能力指標和分年細目對應清楚，以方便後 續研究探討。S-P 表上方的試題號碼對應各試題與能力指標和分年細目對應茲列 如下：
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表 4-33 試題號碼對應各試題與能力指標和分年細目 SP 表中之
試題號碼
對應的測驗 問題題號
問題之能力指標 對應之分年細目
1 1 A-4-13 8-a-01
2 1 N-4-08 7-n-07
3 1 N-4-09 7-n-11
4 2 N-4-03 7-n-13
5 3 A-4-08 7-a-17
6 4 A-4-03、A-4-09 7-a-06 7 5 A-4-03、A-4-09 7-a-06
8 5 A-4-12 7-a-08
9 6 A-4-11 7-a-13
10 6 A-4-12 7-a-14
11 6 S-4-04 8-s-19
12 7 A-4-03、A-4-06、A-4-07 7-a-03 13 7 A-4-05、A-4-07 7-a-04
14 7 A-4-07 7-a-05
15 8 N-4-09 7-n-10
16 8 N-4-09 7-n-11
17 8 N-4-10 7-n-12
18 9 A-4-13 8-a-01
19 10 A-4-14 8-a-04
20 10 A-4-16 8-a-06
21 10 A-4-16 8-a-08
22 11 A-4-16 8-a-10
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23 11 A-4-16 8-a-11
24 12 N-4-13 8-n-04
25 12 N-4-13、N-4-14 8-n-05 26 12 N-4-13、N-4-14 8-n-06 27 13 A-4-15、S-4-05 8-a-05(同 8-s-08)
28 13 N-4-12 8-a-02
29 14 A-4-03、A-4-09 7-a-06
30 14 S-4-12 8-s-10
31 15 S-4-12 8-s-12
32 15 S-4-19 8-s-17
有了以上的對應表，我們就可以看出五所測驗學校學生們在每一個能力指標 上，所掌握的情形如何，同時，也可以來看看，在這五所學校當中，有哪些共同 的能力指標，是學生們比較無法達到，需要再加強的。以下是這五所學校學生，
對於總共 15 題中 32 個能力指標的達到與否，所做出的 S-P 表：(紅色為 S 曲線，
草綠色為 P 曲線)
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圖 4-6 A 校學生與試題對應能力指標與分年細目之 S-P 表
圖 4-7 B 校學生與試題對應能力指標與分年細目之 S-P 表 學
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圖 4-8 C 校學生與試題對應能力指標與分年細目之 S-P 表
圖 4-9 D 校學生與試題對應能力指標與分年細目之 S-P 表 學
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圖 4-10 E 校學生與試題對應能力指標與分年細目之 S-P 表
在第二章第二節的 S-P 表文獻探討中，我們知道最後完成的 S-P 表愈右邊的 試題號碼，即是答對人數愈少的試題。而在這邊的意思，愈右邊的試題號碼，代 表的是此試題號碼對應的能力指標有愈少的學生達到。從圖 4-6～圖 4-10 五個 S-P 表，我們可以看出在各校 S-P 表右半部所呈現的能力指標，出現的大多數都 是重複的，尤其是各校最右邊六個能力指標：
A 校：第 25、1、31、26、13、32 個 B 校：第 22、31、25、26、32、13 個 C 校：第 31、1、23、25、26、32 個 D 校：第 31、32、31、13、25、26 個 E 校：第 31、29、13、25、26、32 個
從以上各校最不會的六個能力指標中，可以發現當中竟然有五個是重複各校都有 的！分別是第 13 個、第 25 個、第 26 個、第 31 個、第 32 個，對照表 4-2，可以 發現這些能力指標與對應的分年細目為：
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能力指標
第 13 個 A-4-05 能理解等量公理的意義，並做應用。
A-4-07 能熟練一元一次方程式的解法，並用來解題。
第 25 個、第 26 個
N-4-13 能辨識數列的規則性。
N-4-14 能熟練等差數列與等差級數的樣式、記法與公式，並解決相關 問題。
第 31 個 S-4-12 能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的 幾何性質。
第 32 個 S-4-19 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。(同 A-4-20) 分年細目
第 13 個 7-a-04 能以等量公理解一元一次方程式，並做驗算。(A-4-05、A-4-07) 第 25 個 8-n-05 能觀察出等差數列的規則性，並能利用首項、公差計算出等差
數列的一般項。(N-4-13、N-4-14)
第 26 個 8-n-06 能理解等差級數求和的公式，並能解決生活中相關的問題。
(N-4-13、N-4-14)
第 31 個 8-s-12 能理解特殊的三角形與特殊的四邊形的性質。(S-4-12)
第 32 個 8-s-17 能針對幾何推理中的步驟，寫出所依據的幾何性質。(S-4-19) 其中的第 13 個能力指標是要用等量公理解一元一次方程式，但所有受測的學生 都已經可直接用移項法則來解一元一次方程式，所以並不是學生沒有達到這一項 能力指標，而是這一題的解法不一定要用到這個能力指標。其餘四個能力指標，
其中第 25、26 個顯示了學生雖然會背等差數列與等差級數的公式，但並不能加 以活用，以至於無法達到能力指標中的要求─解決生活中相關的問題。而第 31、
32 個是要從三角形與四邊形當中，找到相關性質來當作全等證明的條件，這一 直以來，都是學生比較弱的部分，所以在國中的教科書第五冊後半，都有再強調
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幾何證明的概念，讓學生對這部分，能再更加的了解。
反觀在圖 4-6～圖 4-10 這五個圖左半邊的能力指標，重複性就沒有右半邊來的這 麼大，但大致仍可看到第 6 個、第 7 個、第 8 個能力指標是學生最能掌握的，這 三個能力指標與對應的分年細目為
能力指標
第 6 個、第 7 個
A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題 中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。
A-4-09 能理解二元一次方程式的意義。
第 8 個 A-4-12 能熟練二元一次聯立方程式的解法，並用來解題。
對應的分年細目 第 6 個、第 7 個
7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二 元一次方程式。(A-4-03、A-4-09)
第 8 個 7-a-08 能熟練使用代入消去法與加減消去法解二元一次方程式的解。
(A-4-12)
從以上的結果也發現了，學生們最熟悉的概念是解方程式的題型，特別是解二元 一次聯立方程式。值得注意的是，學生們最有能力的是解二元一次聯立方程式的 題目，而不是解一元一次方程式的題目。因為在一元一次方程式的應用問題中，
若要只假設一個未知數，必須清楚另一個相等的量是什麼，才有辦法把這個量當 成等號兩邊的值來列等式，但相對於二元一次聯立方程式，若假設兩個未知數，
只要能列出兩個未知數之間的兩種關係式子，就能夠利用學過的代入消去法以及 加減消去法來解方程式。因此，解二元一次聯立方程式的應用問題對於學生而 言，似乎比解一元一次方程式的應用問題來的簡單的多。也難怪在本測驗的第 7
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題，雖然是一元一次方程式的題目，但仍有約五分之一的人是用二元一次聯立方 程式的解法來解題。
第三節 新北市不同分區學校的解題能力
由於本測驗是從新北市隨機抽樣 5 所國中，根據新北市教育局因應台北縣升 格直轄市為新北市，將新北市地區依地理位置分成九大分區，如表 4-34，抽樣之 A 校與 B 校位屬板橋分區，C 校位屬雙和分區，D 校位屬新莊分區，E 校位屬文 山分區。利用此測驗的統計結果，可以順便看看以上這四個分區的學生的解題能 力，會不會因所屬分區的不同，而有所差異。
表 4-34 新北市九大分區一覽表
表 4-34 新北市九大分區一覽表