新北市九年級學生數學解題能力差異之研究 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文. 政治大立新北市九年級學生數學解題能力差異之研究. ‧ 國. 學. th. ‧. The difference of the 9 graders’ math problem solving ability in New Taipei city. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生：謝易達撰. 指導教授：呂秋文博士中華民國. 102 年. 1. 月. 8 日.

(2) 摘. 要. 本研究在探討新北市九年級的學生在七、八年級的數學課程內容上，有哪些解題上的差異(參考本文第一章第三節名詞解釋)。依據民國 97 年教育部修訂之九年一貫課程綱要數學能力指標，設計 15 題計算題，並隨機抽樣新北市五所學校九年級學生進行施測，經統計答題結果並輸入統計軟體 TESTER for Windows 2.0 版與 SPSS 15.0 中文版，得出結論歸納如以下五點：一、不同的性別，在解題能力上，男生的答題表現明顯優於女生的只有在以下三個部份：關於價格打折的折數比例概念、複雜的乘法公式計算，以及空間圖形概念，其餘的部. 政治大. 分沒有顯著差異。整體而言，男生的解題能力只比女生略好一點點，但並未發現有顯著的差異。. 立. 生的答題表現會相當的不好。. 學. ‧ 國. 二、看起來計算複雜的題目，若需要善用解題技巧(特別是乘法公式)才容易解的出來，學. 元一次方程式和一元二次方程式來的更好。. Nat. y. ‧. 三、解方程式的題目，學生的答題表現較佳，特別是二元一次聯立方程式的題目，會比一. io. sit. 四、在國中七、八年級的數學課程內容，學生的答題表現最差的在於以下兩點：. al. er. (一) 將等差數列、等差級數的公式活用，解決生活上相關的問題。. n. v i n (二) 利用特殊三角形的性質，找出三角形全等的條件，證明出題目所要求的邊或角。 Ch engchi U. 五、同樣都是幾何的題目，學生們對勾股定理的答題表現，會比利用特殊三角形的性質求角度，以及利用三角形全等求邊或角這兩種題目，表現得更好。.

(3) Abstract The purpose of this study is to discuss what different ways the 9th graders use on solving the seventh and eighth's math questions in New Taipei City. According to Competence Indicators or Benchmarks of math in "Grade 1-9 Curriculum", the researcher designed 15 questions and random sampled 9th graders from five schools in New Taipei City. By analyzing these data through statistic software, TESTER for Windows 2.0 and SPSS 15.0, the researcher drew conclusions from evidence as follows: 1. About the ability to solve problems, boys just did a little better than the girls but the statistic. 政治大 better than girls on three parts of the math problems – discount ratio concept, complex 立. result didn’t achieve significant difference. However, the result showed that boys actually did. multiplication formula, and spatial concept.. ‧ 國. 學. 2. Students couldn’t do very well on those problems along with complicated calculation,. ‧. especially when they need to use the multiplication formula.. sit. y. Nat. 3. Questions about equation, students could have better performance. Besides, they could do. io. al. v i n and 8C grade, students did the worst on the following two points: hengchi U. n. quadratic equation.. er. better on linear equation in two variables than first degree polynomial in one variables and. th. 4. In math curriculums of the 7. th. (1) Solve the associated problems in their life by making good use of the formula of arithmetic progression and arithmetic series.. (2) Find out conditions of congruent triangles by using the character of special triangle and prove the triangle side or angle what the question asks for. 5. When it comes to geometric questions, compared with these two kinds of questions - getting the angle by using the character of special triangles and getting a triangle side or the angle by congruent triangles, students can do better on answering Pythagorean theorem..

(4) 目. 錄. 第一章緒論……………………………………3 第一節. 研究動機…………………………………3. 第二節. 研究目的與研究問題……………………3. 第三節. 名詞解釋…………………………………4. 第二章文獻探討………………………………6 第一節. 大. S-P 立表……………………………………7. 學. ‧ 國. 第二節. 數學能力指標……………………………6 政治. 第三節. 性別與數學能力………………………12. 研究設計………………………………15. sit. y. Nat. 第一節. ‧. 第三章研究設計與實施………………………15. 第四節. 研究步驟………………………………25. er. 研究樣本………………………………24. io. 第二節. al. n. v i n Ch 第三節研究工具………………………………25 engchi U 第四章分析與討論…………………………28 第一節. 各題統計分析…………………………28. 第二節. 性別與數學解題能力………………105. 第三節. 能力指標與數學問題………………108. 第四節. 新北市不同分區學校的解題能力…121 1.

(5) 第五章結果與建議…………………………123 第一節. 結論……………………………………123. 第二節. 建議……………………………………123. 參考文獻………………………………………126 中文部分…………………………………………126 英文部分…………………………………………127. 附錄一、測驗試題…………………………129 政治. 大. 立附錄二、國中階段數學能力指標…………131. ‧ 國. 學. 附錄三、七八年級數學領域分年細目……136. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(6) 第一章緒論第一節. 研究動機. 在國民中學擔任了幾年的數學教師，因民國九十九年筆者成為任職學校的數學科召集人，代表學校參加了新北市(當年還是台北縣)七年級數學能力檢測成果發表會(由於新北市每年六月中旬都會針對全市七年級舉辦一個數學能力檢測，內容為七年級所學過的所有概念，題型為選擇題，共 25 題)。該場會議主要是發表了新北市的學生在七年級數學能力檢測上，各區的學生每一題的答題情形，且在分區座談後，也在各區的小組會議上，顯現了各校的答題情形。最後，更讓每. 政治大. 一個學校，將該校學生每一題的答題情況資料帶回學校，供學校教學的參考，作. 立. 為學校改進教學模式或方向的資料。雖然新北市本來就存在明顯的城鄉差距，各. ‧ 國. 學. 區學生的答題表現當然會有所不同，但對於學校來說，更重要的，是本校學生對什麼樣的題目，答題表現較不會犯錯，會比較好；而對什麼樣的題目，答題表現. ‧. 會比較差。因此筆者就想到，如果可以做個研究，來探討新北市的學生，在國中. y. Nat. sit. 數學不同的章節問題下，有哪些概念是比較有問題、不容易學習的，而哪些概念. n. al. er. io. 是大家都比較熟的、能夠活用的，這些研究結果就可以用來幫助老師們在教學. i n U. v. 時，特別強調與提醒學生較容易犯錯之觀念，以免屆時又發生相同的錯誤。. 第二節. Ch. engchi. 研究目的與研究問題. (一) 研究目的數學教師在教學時，常會根據自己的教學經驗，去判斷學生在某個章節的學習上，大概會遇到什麼樣的問題與困難，再從這些學生的問題上，去加強說明學生常犯的錯誤，而這些經驗，由於是教學生涯遭遇的累積，大多數也都是正確的，不過仍有極少數的地方，學生的表現和教師所預想的，有著一段差距。這個差距或許是因教師沒有仔細去研究，所沒有辦法發現的。而對於一個剛進入教育界的 3.

(7) 數學教師，或許他有滿懷的熱忱，但因為缺乏教學經驗，可能需要教個好幾年，才能慢慢摸索學生對於問題所能掌握的程度。反觀自己也曾經經歷過這一段時期，因此便想著，如果我能設計一份國中內容的測驗試題，來讓不同的學生做測試，並從學生所回答的答案來探討，到底學生在哪些章節，哪些概念是比較不容易了解，不容易學會的，而哪些章節，卻是比較容易理解，甚至能把概念活用在題目上的。這樣一來，便能讓其他的教師們做個參考。對於資深教師們，就可以比對自己的經驗是否與研究的結果相同；而對於新進教師們，就能讓他們在教學上，有個參考的依據，同時在教到學生比較不容易理解的概念與章節時，就可以. 政治大自己，也能讓自己在往後的教學生涯中，更加注意學生所不容易理解的概念與章立再把觀念說明得更清楚，並多舉學生比較不熟悉的題型當作範例來講解；而對於. 節，並適時的補充學生比較無法銜接的觀念，引導學生將自己所學的知識活用在. ‧ 國. 學. 問題的解法當中。. ‧. 另外，剛好藉由這個研究，探討一個許多人，也包括我自己都很想知道的問. y. Nat. 題，那就是性別對於國中數學的解題能力，到底有沒有差異？利用研究資料的數. n. al. er. io. (二) 研究問題. sit. 據，可以來看看數據顯示的答案是什麼。. Ch. 根據此研究目的，提出研究問題：. engchi. i n U. v. 新北市九年級學生，在七、八年級的數學課程，哪些數學概念是較不容易學會的？而哪些概念是較容易學會的？. 第三節. 名詞解釋. 一、解題差異：本研究中所指的解題差異，主要分成四個部分： (一)正確解法上的差異：雖然解法和過程都是正確的，但同一個題目的解題方法卻可能有很多種，因此本研究會針對每一個測驗試題，去探討學生們所出現不同的解法。 4.

(8) (二)錯誤解法上的差異：學生們沒有答對答案，可能是因為在過程中計算發生了部分的錯誤，或是概念上的錯誤，甚至是完全不會而空白。本研究會針對每一個測驗試題，去探討學生們所發生的錯誤，進而找出這些錯誤所占的比例，以作為往後教學上的參考。 (三)不同的問題，答題表現上的差異：各個測驗試題目包含了不同的能力指標，當然每一題學生的答對比例也會有所不同，本研究也會針對每一個測驗試題，來比較學生們的答題狀況。 (四)性別對解題能力上的差異：不同的性別，在每個測驗試題答對的比例也. 政治大題表現的數據，利用統計原理與統計程式分析，性別對於該題的解題能立不見得差不多都一樣，而本研究將針對每一個測驗試題，將不同性別答. 力，是否有著顯著的差異。. ‧ 國. 學. 二、解題能力：本研究中所指的解題能力，代表的是對於本次測驗各試題的答對. ‧. 率，解題能力高的為答對率較高；解題能力低的為答對率較低。. y. Nat. 三、數學能力指標：本研究中所提到的數學能力指標，指的是在民國 92 年，教. er. io. sit. 育部頒布了九年一貫課程綱要，其中數學領域內，分段的能力指標，而因為在民國 97 年有修訂了部分的指標內容，於一百學年度開始實施。而本研究. al. n. v i n 中所題的能力指標，指的是已經修訂過後新的能力指標。 Ch engchi U. 5.

(9) 第二章文獻探討本章的內容，是蒐集學者的研究文獻、著作、政府的公告資料、網站的宣導內容，所匯集而成。以下，我們將分成三個小節，分別來了解數學能力指標、S-P 表的相關內容與涵義、性別對解題能力是否有影響。. 第一節. 數學能力指標. 依據民國 97 年教育部所頒布的國民中小學數學課程綱要第四階段(國中一至三年級)中，要求學習目標為： 1.在數方面：能認識負數與根號數之概念與計算方式，並理解坐標表示的意義。. 政治大. 2.代數方面：要熟練代數式的運算、解方程式，並熟悉常用的函數關係。. 立. 3.幾何方面：要學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概. ‧ 國. 學. 念，並能學習簡單的幾何推理。. 4.統計方面：能理解統計與機率的意義，並認識各種簡易統計方法。. ‧. 課程目標可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力，能應. y. Nat. sit. 用問題的解題方法等。. n. al. er. io. 能力指標依數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連. i n U. v. 結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分. Ch. engchi. 別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。指標雖以主題與階段來區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾何」，以強調其連結，此類指標皆以相關連結編碼註記。第五個主題「連結」亦以三碼編排，第一碼以字母 C 表示主題，第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 表示察覺、轉化、解題、溝通、評析；第三碼流水號，表示該細項下指標的序號。如： N-4-03 表示能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。 S-4-05 能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題。 6.

(10) 詳細第四階段的數學能力指標請見附錄二(P.125~P.129)。而分年細目與能力指標相同，亦採三碼編排，第一碼表示年級，分別以 1、…、9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。如： 8-a-01. 能熟練二次式的乘法公式。. 7-n-07. 能熟練數的運算規則。. 詳細七八年級數學領域的分年細目請見附錄三(P.130~P.136)。. 政治大. 立第二節. S-P 表. ‧ 國. 學. 一、S-P 表分析的研究緣起. ‧. 所謂的 S-P 表，係指英文 Student(即學生)的 S，以及 Problem(即問題)的 P 兩個字母的簡稱，全稱「S-P 表」乃指英文 student-problem score table 或. y. Nat. io. sit. student-problem chart(即學生問題表)之意。S-P 表分析技術，是由日本學者佐藤. n. al. er. 隆博(Takahiro Sato)於一九七○年代所創(Sato,1969,1971)，是一種將學生在試題上. Ch. i n U. v. 的作答反應情形予以「圖形化」分析的方法，其目的在獲得每位學生的學習診斷. engchi. 資料，以提供教師實施有效的學習輔導之參考。至於國內對 S-P 表分析的研究，首先由彰化師範大學的陳騰祥教授(1986， 1988)，於民國七十二年赴日本進修後，引進介紹到國內。後由政治大學呂秋文教授(1987)、臺灣師範大學何英奇教授(1989)、饒達欽教授(1988)、台北護理專校陳漢瑛教授(1991)等人的推廣應用研究，現在已在國內逐漸發展，受到重視。台灣省教育廳及台北市教師研習中心等機構，也先後舉辦多場學術研討會，亦有不少有關 S-P 表的論文發表(何景國，1992；翁上錦，1993)。至今，國內亦有多份電腦軟體程式發展出來(如：何英奇，1989；何景國，1992；陳騰祥，1988 等)。余民寧教授(1997)也先後發展兩個程式：TESTER for DOS 程式 1.0 版和 TESTER 7.

(11) for Windows 程式 2.0 版。本研究即採用 TESTER for Windows 程式 2.0 版作為輔助分析的工具。二、S-P 表的製作假設教師從任教班集中收集到一筆 N 名學生在 n 個試題上的反應資料，經過評分(即答對者給 1，答錯者或未作答者給 0)之後，得到一個未經任何處理的 N × n 階的原始得分矩陣資料，稱作「S-P 原始資料表」，簡稱「S-P 原表」，如表 2-1 所示。表 2-1. n. Ch. 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 7. 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 10. engchi. 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 4. y. 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 6. 9 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 8. sit. io. 號. Nat. 編. al. 6 7 8 政5 治大 0 0 1 0. er. ‧ 國. 立. 4 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 9. i n U. 10 總分 1 5 0 6 0 3 0 7 1 9 1 5 1 10 0 2 0 8 1 6 0 4 0 1 0 5 0 5 0 4 5 80. ‧. 生. 3 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 11. 學. 學. P 試題號碼 1 2 S 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1 8 1 0 9 0 1 10 0 1 11 1 1 12 0 0 13 0 1 14 1 1 15 1 0 答對人數 8 12. S-P 原表. v. 接下來，可按照每位學生得分總分之高低，將學生的整個反應組型及其總分，由上(即總分最高者排在最上面)往下(即總分最低者排在最下面)依序排列，遇到有學生總分相同時，則按照各學生未答對各試題(即對應於「0」之試題)之答對學生總人數之和的大小順序(即總分較小者排在較上端)，由上往下排列，如表 2-2 所示。例如，編號為 1、6、13、14 的學生，其總分都是 5 分，但其個別 8.

(12) 未答對試題之人數和為 8+9+6+7+4=34、11+7+10+4+8=40、8+6+10+8+5=37、及 6+7+4+8+5=30，所以這四位學生的排列順序依次為 14、1、13、6；同理，編號為 2 和 10 號的學生，其總分都是 6 分，其個別未答對試題之人數和皆為 27，因此，哪一位學生(2 號或 10 號)排在上面皆可。為了簡便起見，遇得分相同的學生，亦可以其學號或編號之小大順序排列之。. 將 S-P 原表按學生總分高低，由上往下依序排列. io. n. 6 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7. 7 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 10. 8 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4. 政治大. Ch. engchi. 9 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 8. y. Nat. 號. 5 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 6. i n U. 10 總分 1 10 1 9 0 8 0 7 1 6 0 6 0 5 1 5 0 5 1 5 0 4 0 4 0 3 0 2 0 1 5 80. ‧. 編. al. 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 9. sit. 立. ‧ 國. 生. 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 11. 學. 學. P 試題號碼 1 2 S 7 1 1 5 1 1 9 0 1 4 1 1 10 0 1 2 0 1 14 1 1 1 0 1 13 0 1 6 1 1 15 1 0 11 1 1 3 0 1 8 1 0 12 0 0 答對人數 8 12. er. 表 2-2. v. 接著，按照每道試題答對學生人數之多寡，將試題的整個反應組型及其答對學生人數，由左(即答對人數最多之試題排在最左端)往右(即答對人數最少之試題排在最右端)依序排列，遇到有答對人數相同之試題時，則以各試題學生未答對之學生總分之和的大小順序(即總分較小者排在較左端)，由左往右排列，如表 2-3 所示。例如，試題 1 和試題 9 兩題答對的人數均為 8 人，其個別未答對學生的總分之和分別為：5+6+3+8+6+1+5=34 及 5+2+4+1+5+5+4=26，所以這二道試題的 9.

(13) 排列順序依次為：9、1。為了簡便起見，遇得分相同的試題，亦可以其試題題號之大小大順序排列之。表 2-3. 依表 2-2，按試題答對人數多寡，由左往右依序排列). 學生編號. ‧ 國. 立. 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 9. 9 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 8. 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 8. 6 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7. 5 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 6. 10 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 5. 政治大. 8 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4. 總分 10 9 8 7 6 6 5 5 5 5 4 4 3 2 1 80. Nat. sit. y. ‧. 7 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 10. 學. P 試題號碼 2 3 S 7 1 1 5 1 1 9 1 1 4 1 1 10 1 1 2 1 1 14 1 1 1 1 1 13 1 1 6 1 0 15 0 1 11 1 0 3 1 0 8 0 0 12 0 1 答對人數 12 11. n. al. er. io. 最後，依據每位學生所得總分(即「1」的個數)，從左端往右端數起，數出. v. 和其總分相同的試題個數，並在其右邊畫一條直線(即分界線)，如此，由高分往. Ch. engchi. i n U. 低分分別畫出與每位學生總分相對應的分界線來，並在這些分界線的下方以直線連接起來，以形成一個階梯狀的曲線，該曲線即稱作「S 曲線」，如表 2-4 中的粗體線所示。同樣的道理，再依據每道試題之答對學生人數(即「1」的個數)，從上往下數起，數出和其答對學生人數相同的學生個數，並在其下邊畫一條直線 (即分界線)，如此，由左端往右端分別畫出與每道試題之答對學生人數相對應的分界線來，並在這些分界線的右方以直線連接起來，以形成一個階梯狀的曲線，該區線即稱作「P 曲線」，如表 2-4 中的細體線所示。畫出 S 曲線和 P 曲線之後，該表即為完整的 S-P 表。. 10.

(14) 表 2-4. 依表 2-3，畫出 S 曲線(以粗體線表示)和 P 曲線(以細體線表示). 學. 7 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 10. 生編號. 9 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 8. 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 8. 6 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7. 5 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 6. 10 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 5. 政治大. 8 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4. 總分 10 9 S 曲線 8 7 6 P 曲線 6 5 5 5 5 4 4 3 2 1 80. ‧. ‧ 國. 立. 4 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 9. 學. P 試題號碼 2 3 S 7 1 1 5 1 1 9 1 1 4 1 1 10 1 1 2 1 1 14 1 1 1 1 1 13 1 1 6 1 0 15 0 1 11 1 0 3 1 0 8 0 0 12 0 1 答對人數 12 11. sit. y. Nat. 三、S-P 表的判讀方法及其意涵. al. er. io. 由表 2-4 來看，S 曲線是指學生得分的累加分布曲線，他是用來區別學生答. v. n. 對與答錯的分界線。在 S 曲線以左上方的部分(或區域)，其大多數的數值都是 1，. Ch. engchi. i n U. 代表在這區域範圍內的學生反應大多是「答對」試題；而在 S 曲線以右下方的部分(或區域)，其大多數的數值都是 0，代表在這區域範圍內的學生反應大多數是「答錯」試題。相同的道理，P 曲線是指試題答對人數的累加分布曲線，它是用來區別試題答對與答錯人數的分界線。在 P 曲線以上的部分(或區域)，其大多數的數值都是 1，代表在這區域範圍內的學生反應大多數是「答對」試題；而在 P 曲線以下的部分(或區域)，其大多數的數值都是 0，代表在這區域範圍內的學生反應大多數是「答錯」試題。由此可見，排列愈在 S-P 表的左上方者，即代表能力愈高學生在愈簡單試題上的作答結果，大多數是被期望「答對」試題，所以這個區域應該出現大多數的「1」；而排列愈在 S-P 表的右下方者，即代表能力愈低 11.

(15) 學生在愈困難試題上的作答結果，大多數是被期望「答錯」試題，所以這個區域應該出現大多數的「0」。就每一位學生而言，在 S 曲線左邊答錯(即「0」)的個數，會等於其右邊答對(即「1」)的個數；亦即，答錯和答對的個數，對 S 曲線而言，是呈現「對稱的」(symmetric)分布。就每一道試題而言，在 P 曲線上方答錯(即「0」)的個數，會等於其下方答對(即「1」)的個數；亦即，答錯和答對的個數，對 P 曲線而言，亦是呈現「對稱的」分布。這種對稱性分布的特性，對後續 S-P 表分析而言很重要，特別是當學生人數或試題個數增加時，使用手工方式來畫 S 曲線和 P 曲線，. 政治大行 S-P 表分析所要計算的指標，陷於錯誤和不精確的地步，間接影響到對學生與立很容易因為眼花撩亂而畫錯該二曲線的位置，而不對稱的曲線形狀將使得後續進. 試題的診斷分析和判別結果的正確性。因此，這種對稱性分布的特性，可以幫助. ‧ 國. 學. 讀者檢查所畫的 S 曲線和 P 曲線是否正確、有無畫錯位置和形狀，以降低因計. Nat. sit. y. ‧. 算錯誤而導致推論不正確的事情發生。. io. al. 性別與數學能力. er. 第三節. v. n. 「性別平等」課題近來備受重視，男女生學習成就差距為國際間教育界所關. Ch. engchi. i n U. 注，一些國際性的學生學習成就調查研究，如：Trends in Mathematics and Science Study[TIMSS]和 Programme for International Student Assessment [PISA]，都專章或專節報告男女生差異的分析結果，反觀國內性別學習差異之研究則較受忽略 (盧雪梅、毛國楠，2008)。在各學科中，男女生之數學成就差異研究是最受關注的(Fan，Chen & Matsumoto，1997)。一般傳統觀點大多認為男生在數理科方面的表現優於女生，而女生則在語文方面的表現優於男生，而實際情形則必須透過研究進行檢定才能明瞭。接下來，統合分析國內外學者針對性別差異為研究變項，來探討性別差異與數學能力之間關係的研究結果。 12.

(16) Fennema 與 Sherman(1978)、Kurshan與Williams(1984)他們的研究結果指出男生在數學方面的解題表現優於女生。Leinhardt，Seewald與Engel(1979)也根據研究結果指出教師在數學課給予男學生的教學指導多於女學生，此即表示在課堂上男學生與數理教師的互動多於女學生與數理教師的互動。Kellogg(1995)指出男女生在學習上的差異主要表現在三個方面：語文能力(verbal abilities)、空間視覺能力(visual-spatial abilities)及數學計算能力(mathematical computation abilities)。 Maccoby 與 Jacklin(1974)對1500餘篇兩性差異實徵研究進行統合分析，指出男女差異主要在語言能力、數學能力、視覺空間能力和攻擊性四範疇，除語言能力. 政治大兩性數學表現實徵研究進行統合分析，他指出近年來性別在數學方面的表現差異立外，其餘三個範籌皆是男性高於女性。Friedman(1989)對98篇1974年之後出版的. 有縮小的趨勢。Hyde、Fennema 與 Lamon(1990)對100篇數學性別研究進行統合. ‧ 國. 學. 分析，其研究結果：就年齡來說，在小學和中學階段，女生表現略優於男生；在. ‧. 高中和大學階段，男生表現優於女生。就認知層次來說，女生在計算表現較佳，. y. Nat. 男生在問題解決的表現較佳，男女生在數學概念理解則無明顯差距。. er. io. sit. 在國內的學者研究方面，陳濱興(2001)研究國小四年級學童，女生在數學解題歷程之理解題意上優於男生。蕭美琪(2003)研究國小二年級學童，發現男女學. al. n. v i n 童在乘法解題各歷程中與整合認知能力等方面的表現沒有差異。簡茂發曾計畫主 Ch engchi U 持「國民教育階段學生基本學習成評量研究」，因此曾與一群學者在進行研究考驗後討論男女學生在數學方面表現之差異情形，以下為他們的研究結果。簡茂發等人(1995)以小五學童男女共約3600餘人為樣本，研究結果顯示：在數學內容方面，男生機率的平均數顯著高於女生；但在算術運算、數的關係、幾何、度量、統計、類型與關係、代數等項目則無顯著性別差異；在數學歷程方面，女生的數學解題平均數顯著高於男生，但在數學溝通、數學推理和數學聯結等項目則無顯著性別差異。簡茂發等人(1996)以國中二年級男女生近4200餘人為樣本，研究結果顯示：在數學內容方面，男生在幾何、測量和代數的平均數顯著高於女生，但 13.

(17) 在算術運算、數的關係、統計、機率、類型與關係等項目上則無顯著性別差異；在數學歷程方面，男生的數學解題平均數顯著高於女生，不過在數學溝通、數學推理和數學聯結等項目則無顯著性別差異。簡茂發等人(1999)以小三學童男女共約3600餘人為樣本，研究結果顯示：在所有的數學內容項目：估算、算術運算、數的關係、幾何與度量、統計、機率、類型與關係，女生平均數都顯著高於男生；在所有數學歷程項目：數學溝通、數學推理和數學聯結，女生平均數也都顯著高於男生。洪義德(2002)在其研究中指出小六學童的數學能力與性別在解題表現上有顯著的交互作用，但女生的解題表現略優於男生。. 政治大究者關心的議題。許多研究聚焦在試題本身特徵對受試者的影響，其重點在於受立. 在數學成就測驗上，因男、女性別而產生的差異表現，一直是教育及心理研. 試者在受測過程中的認知運作是否相同(Ryan & Chiu, 2001)。有部分研究結果發. ‧ 國. 學. 現某些因素(如試題的內容、形式、認知背景等)對不同性別受試者有不同的影. y. Nat. 女生較有利。. ‧. 響，如：Harris & Carlton(1993)、Lane, Wang & Magone(1996)等人發現代數題對. er. io. sit. 由於男女的解題能力差異在不同的樣本下會有不同的結果，且研究若能統計大量的數據，會有較精準的結果。因此，若要探討性別與解題能力是否有所差異，. al. n. v i n TIMSS和PISA等大型研究測驗結果，會比較有代表性。雖然本研究的研究樣本 Ch engchi U. 並不大，但本研究將順便利用分析的數據資料，看看男女性別的差異，是否對解題能力有所影響。. 14.

(18) 第三章研究設計與實施本研究主要探討新北市九年級的學生，對於七、八年級的數學題目，在解題上，有什麼樣的差異。而這其中的差異，包括了解法上的差異，以及解題能力上，所該具備的能力差異。本章，將針對研究的設計、樣本、工具與研究步驟加以說明。. 第一節. 研究設計. 由於國中階段的數學題目相當的多，因此若要找個適當的評量依據，一定必須要有普遍的接受度。況且，目前各個學校使用的教科書版本並不一定相同，在. 政治大. 內容上仍有些許的差異。正因如此，目前的國中基本學力測驗，採取「考綱不考. 立. 本」的模式，而這個「綱」，即為教育部所訂定的數學能力指標，只要指標上所. ‧ 國. 學. 訂定的能力達到了，就可以把以此指標所設計的問題解決。因此，如果要設計在新北市不同的學校所要測驗的問題，將一定得根據數學能力指標來設計問題，如. ‧. 此來測驗學生也比較不會有爭議。. y. Nat. sit. 而測驗的內容，考量到各校進度或許有所差異，且也考量到施測的時間點，. n. al. er. io. 是在上學期初，因此，才決定測驗的內容為七、八年級所有的內容，如此一來，. i n U. v. 就可以確定該生一定已經學過這些觀念。但教育部民國 97 年所修訂的數學課綱. Ch. engchi. 中能力指標，單從七、八年級的指標來看，數與量就有 14 條(N-4-01～N-4-14)、幾何有 14 條(S-4-01～S-4-13、S-4-19)、代數有 17 條(A-4-01～A-4-16、A-4-20)。以上這三項主題，能力指標就已經有 45 條，以每題包含 1~3 個指標來算，如果這些指標都要考到，題目至少要有二、三十題，而如果考的都是選擇題，也不易發現學生在解題方法上，有著什麼樣的差異。因此，如果考的是計算題，要考慮到學生的作答時間。目前國中一節課 45 分鐘，測驗時間如果超過一節課，學生就會想要下課，同時專注力將大為下降，如此測驗出來的結果也將大打折扣。所以如果以一節課 45 分鐘來考量，加上這又是考計算題，比起基測一題平均作答可花 2 分鐘，要再稍微多一點。在種種考量下，最後決定施測 45 分鐘，題目共 15.

(19) 15 題，測驗題型為計算題，內容為七、八年級部分的數學概念。但如此勢必無法將所有的能力指標都考到，必須有所取捨。而從國中的章節來看，第一冊有 3 章：第一章. 整數的四則運算. 第二章. 分數的運算. 第三章. 一元一次方程式. 第二冊有 5 章：第一章. 二元一次聯立方程式. 第二章. 平面直角坐標系. 第三章. 比與比例. 第四章. 函數及其圖形. 第五章. 不等式. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 乘法公式與多項式. 第二章. 平方根與勾股定理. 第三章. 因式分解. 第四章. 一元二次方程式. n. er. io. al. sit. y. Nat. 第一章. ‧. 第三冊有 4 章：. 第四冊有 4 章：第一章. 數列與等差級數. 第二章. 簡單幾何圖形. 第三章. 三角形的性質. 第四章. 平行四邊形. Ch. engchi. i n U. v. 四冊總共 16 章，若以一章大約選擇 1~3 個能力指標來測驗，比較接近能把主要觀念都測驗到的目標。因此，在與學校資深老師、指導教授討論後，確定了測驗試題(如附錄一)。每一個測驗的問題，都有與其對應的能力指標，而由於能力指 16.

(20) 標所代表的能力範圍仍然相當廣，因此也往下更確立了所對應到的分年細目，茲列如下： [問題1] 有一題數學題目：「 2010 2 ÷ 999 × (−. 123 ) 」的正確答案應該是 a，但大 456. 雄錯把題目中間的「 ÷ 」看成「 × 」，結果算出來的答案是 b。如果大雄除了看錯題目的運算符號之外，沒有計算的錯誤。求 a 是 b 的幾倍？對應能力指標 A-4-13 能熟練乘法公式。 N-4-08 能熟練正負數的四則混合運算。. 政治大. N-4-09 能認識指數的記號與指數律。. 立. 分年細目. ‧ 國. 學. 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。(A-4-13) 7-n-07 能熟練數的運算規則。(N-4-08). ‧. 7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。(N-4-09). sit. y. Nat. al. er. io. [問題2] 某麵包店推出週年慶優惠，買 100 元的商品就送 50 元的商品抵用券 1. v. n. 張，但商品抵用券必須要下次消費 100 元起，才能抵用 1 張 50 元的商. Ch. engchi. i n U. 品抵用券，並且不再贈送商品抵用券。以多次消費合併來看，這間麵包店的優惠方式，相當於最多打到幾折？對應能力指標 N-4-03 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。分年細目 7-n-13 能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比例的問題。(N-4-03). 17.

(21) [問題3] 解一元一次不等式 5 −. 2 − 5x 5x − 3 ，並在數線上畫出解的範圍。 < 3 2. 對應能力指標 A-4-08 能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。分年細目 7-a-17 能解出一元一次不等式，並在數線上標示相關的線段。(A-4-08). [問題4] 媽媽帶著一張 500 元的鈔票到銀行換錢，打算將 500 元全部換成 20 元和 50 元的硬幣(2 種都要有)。若 20 元的硬幣有 a 個，50 元的有 b 個，. 政治大. 但因為媽媽的零錢包很小，所以 a + b 必須小於 15。求 a − b =？對應能力指標. 立. ‧ 國. 學. A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。. ‧. A-4-09 能理解二元一次方程式的意義。. y. Nat. sit. 分年細目. n. al. er. io. 7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二元一次方程式。(A-4-03、A-4-09). Ch. engchi. i n U. v. [問題5] 有間歷史悠久的學校舉辦校慶，請來歷任校長的其中 3 位，已知這 3 人中任 2 位的年齡總和分別為 168 歲、179 歲、175 歲。求這 3 位校長當中，年齡最大的與年齡最小的差幾歲？對應能力指標 A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。 A-4-06 能理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗算其解的合理性。 18.

(22) A-4-12 能熟練二元一次聯立方程式的解法，並用來解題。分年細目 7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二元一次方程式。(A-4-03、A-4-09) 7-a-08 能熟練使用代入消去法與加減消去法解二元一次方程式的解。 (A-4-12). 4 [問題6] 一次函數 3 x = 4 y + k 的圖形通過 (− ,2)，求此函數圖形與 3 x − 2 y = 0 及 3. 政治大. x 軸所圍出的三角形面積是多少？對應能力指標. 立. ‧ 國. 學. A-4-11 能在坐標平面上，畫出一次函數或二元一次方程式的圖形。 A-4-12 能熟練二元一次聯立方程式的解法，並用來解題。. ‧. S-4-04 能利用形體的性質解決幾何問題。. sit. y. Nat. 分年細目. al. er. io. 7-a-13 能在直角坐標平面上描繪二元一次方程式的圖形。(A-4-11). v. n. 7-a-14 能理解二元一次聯立方程式解的幾何意義。(A-4-12). Ch. engchi. i n U. 8-s-19 能熟練計算簡單圖形及其複合圖形的面積。(S-4-04). [問題7] 快樂中學舉辦畢業旅行，晚上包下台灣大飯店，全部的同學都住在裡面。若全部的房間每間都住 4 人，則還有 10 位同學沒有房間住。若全部的房間每間都住 5 人，則還剩 1 間空房間沒人住，且住人的房間中，有一間只住了 3 個人。求全部的學生總共有多少人？飯店總共有幾間房間？對應能力指標 A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題 19.

(23) 中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。 A-4-05 能理解等量公理的意義，並做應用。 A-4-07 能熟練一元一次方程式的解法，並用來解題。 A-4-06 能理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗算其解的合理性。分年細目 7-a-03 能理解一元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出一元一次方程式。(A-4-03、A-4-06、A-4-07). 政治大 7-a-05 能利用移項法則來解一元一次方程式，並做驗算。(A-4-07) 立. 7-a-04 能以等量公理解一元一次方程式，並做驗算。(A-4-05、A-4-07). ‧ 國. 學. [問題8] 在天文學上，1AU，即 1 天文單位，指的是太陽到地球的平均距離，1AU. ‧. ≒ 1.5 × 10 8 km。而最近很常討論的奈米，其實也是長度單位，1 奈米＝. y. Nat. 10 −9 ｍ。如果太空中有 2 個星球的距離是 20AU，若把 1AU 當成. n. al. er. io. 對應能力指標. sit. 1.5 × 10 8 km，則這兩個星球的距離是多少奈米？(請用科學記號表示). Ch. N-4-09 能認識指數的記號與指數律。. engchi. i n U. v. N-4-10 能認識科學記號。分年細目. 7-n-10 能理解指數為非負整數的次方，並能運用到算式中。(N-4-09) 7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。(N-4-09) 7-n-12 能用科學記號表示法表達很大的數或很小的數。(N-4-10). [問題9] 小天西元 1990 年出生，今年 2010 年剛好年滿 20 歲。試利用乘法公式，計算 2010. 20 20 ＝？ × 1990 1990 2010 20.

(24) 對應能力指標 A-4-02 能理解數的四則運算律，並知道加與減、乘與除是同一種運算。 A-4-13 能熟練乘法公式。分年細目 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。(A-4-13). [問題10] 喬巴找到一個長方體的寶藏盒，已知長方體兩兩相鄰的三個面面積分別為 9 x 2 − 1 、 3 x 2 − 8 x − 3 、 3 x 2 − 10 x + 3 ，且 x > 3 。求這個長方體寶藏盒的體積是多少？. 立. A-4-14 能認識多項式，並熟練其四則運算。. 學. ‧ 國. 對應能力指標. 政治大. ‧. A-4-16 能用因式分解或配方法，解出二次方程式，並用來解題。. y. Nat. 分年細目. er. io. sit. 8-a-04 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算。(A-4-14) 8-a-06 能理解二次多項式因式分解的意義。(A-4-16). al. n. v i n 8-a-08 能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。(A-4-16) Ch engchi U [問題11] 解一元二次方程式 x 2 = 5624 + 2 x 對應能力指標 A-4-16 能用因式分解或配方法，解出二次方程式，並用來解題。分年細目 8-a-10 能利用因式分解來解一元二次方程式。(A-4-16) 8-a-11 能利用配方法解一元二次方程式。(A-4-16). 21.

(25) [問題12] 有間會議室的座位是這樣安排的：第一排和第二排的座位都是 9 個，第三排和第四排的座位都是 11 個，第五排和第六排的座位都是 13 個，往後以此類推，即每往後 2 排，每排的座位數會增加 2 個。已知全部共有 449 個座位，求座位總共有幾排？對應能力指標 N-4-13 能辨識數列的規則性。 N-4-14 能熟練等差數列與等差級數的樣式、記法與公式，並解決相關問題。. 政治大 8-n-04 能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規則性。(N-4-13) 立分年細目. 列的一般項。(N-4-13、N-4-14). 學. ‧ 國. 8-n-05 能觀察出等差數列的規則性，並能利用首項、公差計算出等差數. ‧. 8-n-06 能理解等差級數求和的公式，並能解決生活中相關的問題。. er. io. sit. y. Nat. (N-4-13、N-4-14). [問題13] 有一個正四角錐，側面的等腰三角形高是 12，底面的正方形邊長是. al. n. v i n Ch 10。求此錐體的高(從立體圖上方的頂點到底面的距離)是多少？ engchi U. 對應能力指標 A-4-15 能理解畢氏(勾股)定理，並做應用。 S-4-05 能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題。 N-4-12 能理解根式的四則運算。 22.

(26) 分年細目 8-a-05 能理解畢氏定理（Pythagorean Theorem）及其應用。(同 8-s-08)(A-4-15、S-4-05) 8-a-02 能理解簡單根式的化簡及有理化。(N-4-12) [問題14] 如下圖，∆ABC 中， AB = BE ， AC = CD，∠BAC = 102 。求 ∠DAE ＝？. 對應能力指標. 立. 政治大. ‧ 國. 學. A-4-03 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式)。. ‧. A-4-09 能理解二元一次方程式的意義。. Nat. sit. y. S-4-12 能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的. al. n. 分年細目. er. io. 幾何性質。. Ch. engchi. i n U. v. 7-a-06 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能由具體情境中列出二元一次方程式。(A-4-03、A-4-09) 8-s-10 能理解三角形的基本性質。(S-4-12). 23.

(27) [問題15] 如下圖， ∠BAC = ∠ACD = ∠ABE = 45 ° ，若 AP = 10 ，求 BC ＝？. 對應能力指標 S-4-09 能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。. 政治大. S-4-12 能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的幾何性質。. 立. S-4-19 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。(同 A-4-20). ‧ 國. 學. 分年細目. ‧. 8-s-12 能理解特殊的三角形與特殊的四邊形的性質。(S-4-12). er. io. sit. y. Nat. 8-s-17 能針對幾何推理中的步驟，寫出所依據的幾何性質。(S-4-19). n. 研究樣本 i v a第二節 l C n U h engchi 本研究預定的施測對象，是新北市九年級的學生，但由於新北市的國中生人數相當多，根據新北市教育局網站 http://www.ntpc.edu.tw/_file/2052/SG/25532/D.html 民國 99 年 8 月 1 日統計資料顯示，新北市國中總數有 87 所，九年級學生總數為 43657 人。這樣的人數，要實施普測，幾乎是不可能的，於是必須採取抽樣調查。在這 87 所學校當中，先隨機抽取 5 個學校，分別為 A 校、B 校、C 校、D 校及 E 校，有效抽樣人數如下表 3-1。總抽樣學校的九年級學生總數 4032 人占全新北市九年級學生總數 43657 人的 9.24%。再從各校中抽樣施測，每校抽樣 2 個班，有效抽樣樣本數占五所抽樣學校九年級學生總數的 5.58%。 24.

(28) 表 3-1 各校抽樣人數表抽樣男學生數抽樣女學生數合計抽樣人數. 該校九年級學生數. A校. 18. 20. 38. 1320. B校. 14. 15. 29. 1129. C校. 27. 24. 51. 905. D校. 32. 28. 60. 621. E校. 26. 21. 47. 57. 合計. 117. 108. 225. 4032. 第三節. 研究工具. 政治大準備，主要是與學校資深教師、指導教授討論，並依據教育部訂定之數學能力指立本研究所使用的工具依測驗前、後主要分成兩大部分，第一部分為測驗前所. ‧ 國. 學. 標(民國 97 年修訂版)所設計之測驗試題(如附錄一，實際測驗版面為 B4 大小)，共 15 題。第二部分是測驗後，所需的相關統計軟體部分，共計有 Microsoft Excel. ‧. 2003 版、統計軟體 SPSS15.0 中文版、余民寧教授編著的教育測驗與評量─成就. y. sit. io. n. al. er. 表)。. Nat. 測驗與教學評量一書所附加的 TESTER for Windows 2.0 版統計軟體(主要跑 SP. i n U. C. h e n g研究步驟第四節 chi. v. 本研究之步驟，主要分成施測前之資料蒐集與相關文獻探討、設計施測題目、正式施測、施測後之資料統整、結果分析等，將逐一說明如下：一、施測前之資料蒐集與相關文獻探討從網站、國家圖書館、學校圖書館蒐集相關論文資料與新北市學校資料，並進行相關的文獻探討後，與教授討論，決定出研究的主題與方向。二、設計施測題目依據教育部訂定九年一貫數學能力指標(民國 97 年修訂版)，蒐集坊間相關測驗卷、參考書、講義、AMC 歷屆相關試題，挑選合適之問題加以修改情境、 25.

(29) 數字，設計出大部分的試題，再針對剩餘的章節自行設計問題，最後將問題的順序加以調整、排版，完成要給予學生施測的試題。三、正式施測從新北市的學校抽樣五所測驗學校後，排定施測的時間為上學期 9 月~10 月，由於測驗的內容為 1~4 冊的內容，所以選定該校九年級的學生，可以確定該生已經學過所要測驗的內容。五所學校中，每校抽樣兩個班，請該校的任課老師幫忙，利用一節課 45 分鐘的課堂時間，對學生進行施測。同時也向學生說明，測驗題型為計算題，共 15 題，請學生把所有的計算算式都寫在測驗卷上。. 政治大在五所施測學校測驗後，將有效之測驗卷整理出來(淘汰完全未作答，以及立. 四、施測後之資料統整. 雖然有內容，但是跟問題毫無相關的內容，例如：寫詩、塗鴉、每一題都列一個. ‧ 國. 學. 算式答案皆為他自己的座號……等)，依學校分組，對每一個學生，針對每一個. ‧. 問題的每一項能力指標，探討是否有達到標準，並記錄在 Microsoft Excel 2003. y. Nat. 表格中，並記錄每一題答案的答對與否，與其解答的方式。最後統計每一題每一. er. io. sit. 項能力指標，有達到的人數結果，與各題的答對人數、答錯人數(包含作答但答錯與空白未作答兩種)，將統計結果輸入統計軟體 SPSS 15.0 與余民寧教授編著之. al. n. v i n 教育測驗與評量─成就測驗與教學評量一書所附加之 TESTER for Windows 2.0 版 Ch engchi U. 軟體，利用電腦程式可跑出相關數據與表格，從數據與表格可分析相關結論。五、結果分析. 統計每一位學生解題情形，並針對該題所對應的能力指標與分年細目加以統計達到人數，再從答題狀況思考如何加強往後教學的方向，讓未來教師在教此類型的題目時，可以參考相關結論。利用統計軟體 SPSS 15.0 裡的獨立樣本 T 檢定，可分析出各題的答對率與全部題數的總答對率，是否與性別有顯著關係。另外也可順便利用單因子 ANOVA，看看學校所在新北市不同的分區，與解題能力是否有顯著差異。而 TESTER for Windows 2.0 版軟體，可將各校學生的答題表現，以 26.

(30) 及各題的能力指標是否達到情形，跑出 SP 報表，從 SP 報表中，可看出每一位學生在每一個試題，以及每一個能力指標的掌握程度如何，也可看出該位學生在哪些章節，在什麼能力指標上是比較需要加強的。相對地，也可從問題的角度來看，哪些問題與能力指標是大部分學生比較能掌握的，而哪些問題卻是學生們比較不會回答，哪些能力指標所標註的能力是學生們比較不足的。以上相關的結果探討，將於第四節的資料分析與討論中，加以說明。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i n U. v.

(31) 第四章分析與討論首先，是將本測驗結果輸入 TESTER for Windows 2.0 程式，所得出的相關統計數據，資料如下：表 4-1 測驗統計相關數據表項目. 數值. 項目. 數值. 總答對題數(Sum). 814. 平均每人得分(Average). 3.62. 最小值(Minimum). 0. 最大值(Maximum). 13. 變異數(Variance). 8.59. 變異數(樣本). 8.55. 標準差(SD). 2.93. 標準差(樣本) 政治大. 2.92. 偏態(Skewness). 立 0.74. 平均答對人數. 54.27. 受試者總數. 225. 平均答對率. 0.24. 問題總數. 內部一致性係數. 0.77. 差異係數. 15 0.38. Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. -0.07. 學. 峰度(Kurtosis). n. al. er. io. 接下來，將先就各題加以統計分析。然後，針對測驗統計的結果，進行兩項. i n U. v. 分析討論，第一是性別對於解題能力究竟會不會有影響？第二是在測驗的問題. Ch. engchi. 中，有哪些能力指標是學生們比較無法掌握的？而哪些又是學生們比較容易學得會，比較能了解的能力？最後，順便利用數據資料，看看在新北市不同分區的學校，學生的解題能力是否有所差異。. 第一節. 各題統計分析. 本節，將對每一個測驗問題，把學生們的答對的解法類型，與錯誤的種類加以統計，並針對該題所對應的能力指標與分年細目加以統計達到人數，再從答題狀況思考如何加強往後教學的方向，讓未來教師在教此類型的題目時，可以參考相關結論。最後，針對該題男女生的答題狀況，分析該題的答題能力與性別是否 28.

(32) 有顯著差異。以下，為 15 個測驗題目的相關分析資料：. [問題 1] 有一題數學題目：「 2010 2 ÷ 999 × (−. 123 ) 」的正確答案應該是 a，但大 456. 雄錯把題目中間的「 ÷ 」看成「 × 」，結果算出來的答案是 b。如果大雄除了看錯題目的運算符號之外，沒有計算的錯誤。求 a 是 b 的幾倍？. (一) 解法 (1) 一般常見的解法，是把 a 和 b 直接相除，其中 20102和 − 剩下. 政治大. 123 即可直接約掉， 456. 1 ，再利用乘法公式 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ，把 999 看成 1000－1， 2 999. 立. 學. ‧ 國. 展開計算答案，即. 123 ) 1 1 1 a 456 = = = = 2 2 2 123 b 20102 × 999 × (− (1000 − 1) 1000 − 2 × 1000 × 1 + 12 ) 999 456 20102 ÷ 999 × (−. ‧. y. sit. io. er. 1 998001. Nat. =. (2) 當然，也可以直接把 a 和 b 算出來，再去相除，只是數字會非常大，需要耗. n. al. 費相當多的時間。. Ch. engchi. (二) 能力指標與分年細目本題的能力指標為： A-4-13 能熟練乘法公式。 N-4-08 能熟練正負數的四則混合運算。 N-4-09 能認識指數的記號與指數律。對應的分年細目為 8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。(A-4-13) 29. i n U. v.

(33) 7-n-07 能熟練數的運算規則。(N-4-08) 7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。(N-4-09) 補充說明： (1) 本題有些能力指標雖然沒達到，但仍能把答案解出來。如：8-a-01，有些人並沒有用乘法公式 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 來解. 1 ，反而是直接用直式的 999 2. 乘法來算，雖然仍可以算出答案，但較容易算錯，也較耗時。在答對的 14 人當中，有 3 人即未運用乘法公式，直接用直式計算出答案。 (2) 不熟練能力指標 7-n-07 能熟練數的運算規則的人，常會發生可以約分的沒. 政治大 123. 約掉，不能約分的卻約掉了，或是把運算規則認為. 立. 123 ) = ÷[999 × (− )] 。 456 456. 學. ‧ 國. ÷ 999 × (−. (3) 不熟悉 7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律的人，較常發生的錯誤. sit. y. Nat. n. al. er. 1 2 123 2 ) × (− ) 等情形。 999 456. io. (. 123 ) 456 約完竟然剩下 2010 4 ，或 1 ，或 1 ，或 123 999 1998 2010 2 × 999 × (− ) 456. 2010 2 ÷ 999 × (−. ‧. a 是 = b. i n U. v. 表 4-2 問題 1 對應的各能力指標達到的人數表. Ch. e n g cA-4-13 hi. N-4-08. N-4-09. 8-a-01. 7-n-07. 7-n-11. 11. 33. 35. 9.40. 28.21. 29.91. 3. 27. 29. 占全部女生 108 人比例(%). 2.78. 25.00. 26.85. 合計全部有達到指標人數. 14. 60. 64. 6.22. 26.67. 28.44. 能力指標與分年細目達標人數與比例男生有達到指標人數占全部男生 117 人比例(%) 女生有達到指標人數. 占全部 225 人比例(%). 30.

(34) (三) 答錯原因此題答錯的原因，統整後約略計有如下： (1) 已經把. 1 計算出來了，但可能因不知如何展開，或覺得數字太大而未再 999 2. 加以計算，就直接以. 1 當成答案。這樣的人，計有男生 15 位，女生 16 999 2. 位，共 31 位，占總答錯人數 211 人的 14.69%，占有答題的但答錯這 131 人的 23.66%。 (2) 已經把. 1 計算出來了，但展開後卻計算錯誤，有的少寫一個 0，變成 999 2. 1 1 1 ；有的少了一個 9，變成；有的最後少抄了一個 1，變成； 99801 98001 99800. 立. 也有減法計算錯誤，寫成. 政治大 1. 997001. 。展開計算錯誤這樣的人，計有男生 6 位，. ‧ 國. 學. 女生 2 位，共 8 位，占總答錯人數 211 人的 3.79%，占有答題的但答錯這 131 人的 2.29%。. ‧. (3) 把 a 和 b 的角色搞錯，計算成 b 是 a 的幾倍，因此答案變成 999 2 = 998001 。. y. Nat. io. 占有答題的但答錯這 131 人的 3.05%。. n. al. C ha e=n g c h i. (4) a 和 b 的角色沒搞錯，但算出. er. sit. 這樣的人，計有男生 2 位，女生 2 位，共 4 位，占總答錯人數 211 人的 1.90%，. iv ) 123 n U 456. 2010 2 ÷ 999 × (−. b. 2010 2 × 999 × (−. 123 ) 456. =. 1 ÷ 999 × 1 後，變成 1 × 999 × 1. 999 2 = 998001 。這樣的人，計有男生 5 位，女生 1 位，共 6 位，占總答錯. 人數 211 人的 2.84%，占有答題的但答錯這 131 人的 4.58%。. 123 ) 1 ÷ 999 × 1 a 456 (5) 算出 = 後，因不了解數字的運算規則，答 = 123 b 1 × 999 × 1 2010 2 × 999 × (− ) 456 2010 2 ÷ 999 × (−. 案變成. 1 ，此情形有男生 1 人；也有答案寫成 1998，此情形有男生 1 人； 1998. 也有答案寫成. 1 ，此情形有男生 1 人，女生 2 人。像這樣不了解數字運算 999 31.

(35) 規則的人，計有男生 3 位，女生 2 位，共 5 位，占總答錯人數 211 人的 2.37%，占有答題的但答錯這 131 人的 3.82%。 (6) 想把 a 和 b 算出來，但因數字較大較複雜，算到一半就放棄了。這樣的人，計有男生 17 位，女生 18 位，共 35 位，占總答錯人數 211 人的 16.59%，占有答題的但答錯這 131 人的 26.72%。 (7) 以為 ÷ 999 × (−. 1 123 2 123 123 × (− ) 。這 ) = ÷[999 × (− )] ，所以答案才變成 2 456 456 456 999. 樣的人，計有男生 2 位，共 2 位，占總答錯人數 211 人的 0.95%，占有答題的但答錯這 131 人的 1.53%。. 政治大. (8) 空白未作答，這樣的人，計有男生 36 人，女生 44 人，共 80 人，占總答錯. 立. 學. ‧ 國. 人數的 37.91%。. (四) 從答題狀況思考如何加強往後教學的方向. ‧. (1) 此題答錯一個很重要的原因，在於學生們對於. 1 不知如何化簡。學校在 999 2. y. Nat. sit. 教乘法公式時，幾乎都是用在整數，很少有像此題是乘法公式出現在分母的. n. al. er. io. 情況。往後老師在教學的過程，也應提到若發生在分母，要如何運用乘法公. i n U. v. 式來化簡，對於老師來說，可能這只是發生在分子情形的倒數，但對於學生. Ch. 來說可能卻是很陌生的。. engchi. (2) 雖然這是第 1 題，但卻有高達 80 位同學未作答，比例高達全部學生的 35.56%，顯示學生看到計算複雜的題目，第一個念頭就是放棄！因此，老師在往後的教學，應該多鼓勵學生從中找尋解題的線索與條件，或許從中可以找出不像想像中這麼複雜的解題方法。而不是看到題目就跳過。當然，我相信這也是每一位數學老師一直在努力的目標。. (五) 不同性別的答題情形本題的答對率只有 6.2%，在 225 個學生當中，只有 14 個答對，其中男生有 9 人， 32.

(36) 女生有 5 人。以男女生的答題狀況來看，男生的答對率，略比女生稍微好一點，男女的答題統計如下：. 表 4-3 問題 1 男女生答題統計表男生. 女生. 合計. 答對人數. 9. 5. 14. 答錯人數. 108. 103. 211. 總人數. 117. 108. 225. 政 7.69治 4.63 大答錯占比例(%) 92.31 95.37 立答對占比例(%). ‧ 國. 學. (六) 答題能力與性別有無差異. y. Nat. 可寫出. ‧. 本題的答題狀況，以獨立樣本 T 檢定，檢驗答題能力與性別是否有明顯的差異，. er. io. sit. 虛無假設 H 0 ： µ M = µ F. 對立假設 H 1： µ M ≠ µ F ( µ M 為男生本題的答對比例， µ F 為女生本題的答對比例). al. n. v i n C h t 值為 0.948，tU值小於 2，p 值為 0.344，大以 SPSS12.0 中文版電腦操作，得出 engchi. 於 α 值 0.05，落入接受區，故接受虛無假設，拒絕對立假設，即男生與女生在本題的解題能力沒有顯著差異。. [問題 2] 某麵包店推出週年慶優惠，買 100 元的商品就送 50 元的商品抵用券 1 張，但商品抵用券必須要下次消費 100 元起，才能抵用 1 張 50 元的商品抵用券，並且不再贈送商品抵用券。以多次消費合併來看，這間麵包店的優惠方式，相當於最多打到幾折？. 33.

(37) (一) 解法此題主要讓思考打折的定義與概念，了解折數=實際付出的金額÷所拿到的價值金額。因此，此題若第一次消費 100 元，送了 50 元的商品抵用券 1 張，到了第二次消費，又消費 100 元，但因為可以使用抵用券 50 元，實際付出金額僅 50 元，但卻拿到了 100 元的商品。合併兩次的消費，實際花了 150 元，卻拿到了 200 元的商品，折數即為. 150 = 0.75 ，相當於打了七五折。 200. (二) 能力指標與分年細目. 政治大 N-4-03 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的問題。立本題的能力指標為：. ‧ 國. 學. 對應的分年細目為. 7-n-13 能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比例的問題。. ‧. (N-4-03). 能力指標與分年細目. al. n. 達標人數與比例. Ch. N-4-03. er. io. sit. y. Nat. 表 4-4 問題 2 對應的各能力指標達到的人數表. engchi. 男生有達到指標人數. 占全部男生 117 人比例(%) 女生有達到指標人數. i n U. v7-n-13 34 29.06 13. 占全部女生 108 人比例(%). 12.04. 合計全部有達到指標人數. 47. 占全部 225 人比例(%). 20.89. (三) 答錯原因此題答錯的原因，統整後約略計有如下： 34.

(38) (1) 沒注意到抵用券下次消費才能使用，所以認為 100 元的消費可以直接抵用 50 元，因此是答案為五折。這樣的人，計有男生 16 人，女生 14 人，共 30 人，占總答錯人數 175 人的 17.14%，占有答題的但答錯這 72 人的 41.67%。 (2) 以為下次消費 100 元起，才能抵用 1 張 50 元的商品抵用券的意思是下次消費了 100 元後，還要再消費 50 元，但這 50 元是可以用抵用券折抵的，所以實際花了 100＋100＝200 元，但拿到商品價值為 100＋100＋50＝250，因此折數為. 200 = 0.8 。這樣的人，計有男生 4 人，女生 4 人，共 8 人，占總答 250. 錯人數 175 人的 4.57%，占有答題的但答錯這 72 人的 11.11%。，答案就寫 2 折。這樣的人，計有男 = 2治政100 50 大. (3) 搞不清楚折數的算法，直接用. 立. 學. ‧ 國. 生 1 人，女生 2 人，共 3 人，占總答錯人數 175 人的 1.71%，占有答題的但答錯這 72 人的 4.17%。. (4) 也有知道實際是花了 150 元，且拿到 200 元的商品，但以為折數是少付的錢. ‧. 的比例，所以以為答案是. y. Nat. 50 = 0.25，以為折數叫做打了二五折。這樣的人， 200. er. io. sit. 計有男生 2 人，女生 1 人，共 3 人，占總答錯人數 175 人的 1.71%，占有答題的但答錯這 72 人的 4.17%。. al. n. v i n 不清楚實際花費與實際拿到的商品價值是多少，所以出現了 Ch engchi U 100 150. (5). 150. = 0.666... (六七折) (有女生 1 位)；. 250. = 0.6 (六折) (有女生 1 位) 等錯誤. 的答案。這樣的人，計有女生 2 人，共 2 人，占總答錯人數 175 人的 1.14%，占有答題的但答錯這 72 人的 2.78%。 (6) 空白未作答，這樣的人，計有男生 45 人，女生 58 人，共 103 人，占總答錯人數的 58.86%。. (四) 從答題狀況思考如何加強往後教學的方向 (1) 本題的設計，是筆者觀察到社會上目前有許多商店紛紛採取類似的促銷手 35.

(39) 法，像此題的買多少就送多少的商品抵用券，但是必須在下次消費多少才能使用，這類的行銷策略就常發生在麵包店或百貨公司，而第幾件幾折，或是買幾送幾等，就常發生在便利商店。對於折扣的計算，學生們其實並不了解究竟到底是花了多少錢，而拿到多少價值的商品，也因此當然就不知道折數到幾是幾折。老師們在教到比例的概念時，其實更應該把現實生活中這常常會遭遇到的數學問題，讓學生們了解清楚，才是真正讓學生把所學的知識應用在日常生活中。 (2) 本題是第 2 題，有高達 103 位同學未作答，比例高達 45.78%，將近一半的. 政治大題或許學生都未在課本、參考書裡看過，在看了一兩遍題目卻還沒有具體的立學生未作答，是在第一面的試題(1~7 題)中，未作答的比例最高的！因為此. 想法後，就出現了先放著等一下再回來想的念頭。但一旦後面寫完卻沒時間. ‧ 國. 學. 回過頭來思考，這題就空白了。從此題的答題狀況，筆者也思考了一個問題，. ‧. 雖然老師們都是教學生在寫考卷的時候，沒看過不太會的先跳過，先把會寫. y. Nat. 的寫完再回過頭來想，但這樣的策略就一定是正確的嗎？學生們會寫的，常. er. io. sit. 是比較基本的代數運算題目，但若是計算能力和速度沒那麼好的學生，寫完這些題目，可能就剩下沒多少時間了，這樣一來，要把所學的知識靈活運用. al. n. v i n 在其它題目的時間就更少了。而這樣的測驗，有達到它實際的效果嗎？或 Ch engchi U. 許，老師們在命題時，可以多增加一些和日常生活有相關的，但是概念和算式卻是很簡單的，不過這些題目可能要有原創性，學生們在參考書上可能不容易看到，這樣的測驗，才能真正檢驗學生是否將所學的知識，靈活運用在日常生活所遭遇到的數學問題。. (五) 不同性別的答題情形本題的答對率只有 22.22%，在 225 個學生當中，有 50 個答對，其中男生有 37 人，女生更只有 13 人。以男女的答題狀況來看，男生的答對率，比女生高很多， 36.

(40) 男女的答題統計如下：表 4-5 問題 2 男女生答題統計表男生. 女生. 合計. 答對人數. 37. 13. 50. 答錯人數. 80. 95. 175. 總人數. 117. 108. 225. 答對占比例(%). 31.62. 12.04. 答錯占比例(%). 68.38. 87.96. 政治大女生對於折扣的比例觀念，卻還要來的更清楚。立. 從數據顯示，雖然現今社會中，女生購買東西的次數比男生來的多，但男生比起. ‧ 國. 學. (六) 答題能力與性別有無差異. y. Nat. 可寫出. ‧. 本題的答題狀況，以獨立樣本 T 檢定，檢驗答題能力與性別是否有明顯的差異，. er. io. sit. 虛無假設 H 0 ： µ M = µ F. 對立假設 H 1： µ M ≠ µ F ( µ M 為男生本題的答對比例， µ F 為女生本題的答對比例). al. n. v i n C h t 值為 3.617，tU值大於 2，p 值為 0.000，小以 SPSS12.0 中文版電腦操作，得出 engchi. 於 α 值 0.05，落入拒絕區，故拒絕虛無假設，接受對立假設，即男生與女生在本題的解題能力有顯著差異。. [問題 3] 解一元一次不等式 5 −. 2 − 5x 5x − 3 ，並在數線上畫出解的範圍。 < 3 2. (一) 解法本題大致上的解法都大同小異，主要的方法，大概可分一開始是先同乘以 6 讓分母消失，或是先移項通分這兩種做法。 37.

(41) (1) 不等式兩邊先同乘以 6 30 − 2(2 − 5 x) < 3(5 x − 3) 再去括號展開 30 − 4 + 10 x < 15 x − 9. 移項後同類項合併 30 − 4 + 9 < 15 x − 10 x 35 < 5 x 7<x. 政治大 0 1. 圖形. 立. ○ 7. 5<. 5x − 3 2 − 5x + 2 3. 3(5 x − 3) 2(2 − 5 x) + 6 6. er. io. 再把不等式兩邊同乘以 6. n. al. y. 15 x − 9 + 4 − 10 x 6. sit. Nat. 5<. ‧. 5<. 學. ‧ 國. (2) 直接移項，通分化簡. C h30 < 15x − 9 + 4 − 10Ux n i engchi. v. 最後移項同類項合併求解. 30 + 9 − 4 < 15 x − 10 x 35 < 5 x 7<x. 圖形 0 1 (二) 能力指標與分年細目本題的能力指標為： 38. ○ 7.

(42) A-4-08 能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。對應的分年細目為 7-a-17 能解出一元一次不等式，並在數線上標示相關的線段。(A-4-08) 補充說明： (1) 本測驗出一元一次不等式的題目，而沒有出單獨解一元一次方程式的題目，是因為能解出一元一次不等式的範圍，就一定具備有解一元一次方程式的能力，但解得出一元一次方程式的人，或許會在解一元一次不等式的過程當中，忽略了同乘或同除一個負數時，不等式必須要變號，或者是原本不等式. 政治大漏寫了等號。所以，在測驗題目有限的情形下，筆者選擇了以一元一次不等立. 不包含等號，到最後卻加了等號；也可能是原本不等式包含等號，到最後卻. 式來檢驗學生們的解題能力。. ‧ 國. 學. (2) 題目後面加註在數線上畫出解的範圍，是要看學生是否能將代數的解，轉化. ‧. 在數線坐標上。這一題也是所有題目中，學生感到最熟悉的，一方面屬純代. y. Nat. 數的題目，一方面也不需做過多的思考即可以解答，因此也可以順便檢驗，. er. io. sit. 有多少的學生在解題時，是沒有看清楚題目就直接作答。. al. n. v i n 表 4-6 問題 3C對應的各能力指標達到的人數表 hengchi U 能力指標與分年細目. 達標人數與比例. A-4-08 7-a-17. 男生有達到指標人數. 39. 占全部男生 117 人比例(%) 女生有達到指標人數. 33.33 42. 占全部女生 108 人比例(%). 38.89. 合計全部有達到指標人數. 81. 占全部 225 人比例(%). 36.00 39.

(43) (三) 答錯原因此題答錯的原因，統整後約略計有如下： (1) 在 30 − 2(2 − 5 x) < 3(5 x − 3) 的式子中，要將－2 乘入 (2 − 5 x)，前面記得變號，但在(─2)‧(─5x)時，卻沒有把(─2)的負號也一起乘進來，忘了變號，所以變成 − 4 − 10 x ，最後解出答案. 7 < x 。這樣的人，計有男生 4 人，女生 3 人， 5. 共 7 人，占總答錯人數 153 人的 4.58%，占有答題的但答錯這 77 人的 9.09%。 (2) 在計算過程中，有將等式兩邊同乘以－1，但卻沒有將不等式變號，最後解出答案 x < 7 。這樣的人，計有男生 2 人，女生 1 人，共 3 人，占總答錯人. 政治大不等式兩邊同乘以 6立時，分數的式子都記得乘，但 5 卻沒有乘以 6，最後解數 153 人的 1.96%，占有答題的但答錯這 77 人的 3.90%。. (3). ‧ 國. 學. 出答案 x > 2 ，這樣的人計有 C 校男生 1 位；D 校女生 1 位。這樣的人，計有男生 1 人，女生 1 人，共 2 人，占總答錯人數 153 人的 1.31%，占有答題. ‧. 的但答錯這 77 人的 2.60%。. sit. y. Nat. (4) 不等式的解 x > 7 寫對了，但圖形的範圍方向畫反了，畫成 x < 7 的圖形。這. al. n. 占有答題的但答錯這 77 人的 10.39%。. Ch. engchi. er. io. 樣的人，計有男生 4 人，女生 4 人，共 8 人，占總答錯人數 153 人的 5.23%，. i n U. v. (5) 不等式的解 x > 7 寫對了，但沒有畫圖形。這樣的人，計有男生 2 人，女生 5 人，共 7 人，占總答錯人數 153 人的 4.58%，占有答題的但答錯這 77 人的 9.09%。 (6) 不等式的解 x > 7 寫對了，也畫了圖形，但圖形的範圍並不是標在 7 上面，差了好幾個單位。這樣錯誤的人計有 C 校有男生 1 位；D 校女生 1 位；E 校女生 1 位。總計男生共有 1 位，女生有 2 位。這樣的人，計有男生 1 人，女生 2 人，共 3 人，占總答錯人數 153 人的 1.96%，占有答題的但答錯這 77 人的 3.90%。 (7) 空白未作答，這樣的人，計有男生 39 人，女生 37 人，共 76 人，占總答錯 40.

(44) 人數的 49.67%。. (四) 從答題狀況思考如何加強往後教學的方向 (1) 本題作答但答錯的人數有 77 人，占總測驗人數的比例為 34.22%，未作答的人數有 76 人，占總測驗人數的比例為 33.78%，從數據顯示，約有三分之一的人在計算上還是有概念不清楚的地方，而最後約三分之一的人，連作答的動力都沒有，即使該題已經是最不需要動腦筋特別思考的題目，仍然還是有許多學生選擇放棄。但是這種分數型的方程式或不等式，是不能放棄的，所. 政治大國中、高中理科內容，是經常會用到這部分的觀念。這就好像加減乘除的運立有版本的課本都有列出這種型式的題型。因為有了這樣解題能力，在往後的. 算在數學中，扮演不能或缺的角色，是一樣的道理。這是個基本能力，在往. ‧ 國. 學. 後的學科內容，甚至畢業後創業投資做生意，都可能會運用到這一方面的知. ‧. 識。. y. Nat. (2) 在有作答但做錯的學生當中，發生老師比較熟悉的單一錯誤類型(像以上所. er. io. sit. 提到的錯誤原因)的，其實為數並不多，大部分錯誤的學生，都是有兩三種以上錯誤的觀念結合在一起。所以往後若要提升學生的方程式、不等式解題. al. n. v i n 能力，在一開始測驗的試題，就必須只有簡單的一個或兩個觀念，不過可以 Ch engchi U 出很多題用到不同觀念的題目，讓學生們完全了解各個概念後，再出現比較多概念聯結的題目。. (五) 不同性別的答題情形本題的答對率為 32%，在 225 個學生當中，有 72 個答對，男女生剛好各有 36 人。以男女的答題狀況來看，男生和女生的答對比例沒什麼差異，男女的答題統計如下：. 41.

(45) 表 4-7 問題 3 男女生答題統計表男生. 女生. 合計. 答對人數. 36. 36. 72. 答錯人數. 81. 72. 153. 總人數. 117. 108. 225. 答對占比例(%). 30.77. 33.33. 答錯占比例(%). 69.23. 66.67. 政治大本題的答題狀況，以獨立樣本 T 檢定，檢驗答題能力與性別是否有明顯的差異，立 (六) 答題能力與性別有無差異. ‧ 國. 學. 可寫出. 虛無假設 H 0 ： µ M = µ F. ‧. 對立假設 H 1： µ M ≠ µ F ( µ M 為男生本題的答對比例， µ F 為女生本題的答對比例). sit. y. Nat. 以 SPSS12.0 中文版電腦操作，得出 t 值為－0.410，t 的絕對值值小於 2，p 值為. io. 與女生在本題的解題能力沒有顯著差異。. n. al. Ch. engchi. er. 0.682，大於 α 值 0.05，落入接受區，故接受虛無假設，拒絕對立假設，即男生. i n U. v. [問題 4] 媽媽帶著一張 500 元的鈔票到銀行換錢，打算將 500 元全部換成 20 元和 50 元的硬幣(2 種都要有)。若 20 元的硬幣有 a 個，50 元的有 b 個，但因為媽媽的零錢包很小，所以 a + b 必須小於 15。求 a − b =？. (一)解法常見的方法有兩種，一種是去找出 a 和 b 的範圍，再去求解，另一種則是直接找出所有的可能，再把不在範圍內( a + b ≥ 15 )的捨去 (1) 列出一個方程式和一個不等式 42.

(46) 20a + 50b = 500  a + b < 15 將方程式化簡並移項，以 a 來表示 b 20a + 50b = 500 2a + 5b = 50 2a = 50 − 5b 50 − 5b a= 2 再帶入不等式中求解. a + b < 15 50 − 5b + b < 15 2 50 − 5b + 2b < 30 50 − 30 < 5b − 2b 20 < 3b. 政治大 6. 學. ‧ 國. 立. 2 20 = <b 3 3. n. 從範圍中找到唯一的一組解. engchi. y. sit. io. Ch. er. Nat. al. − 100 > −5b 3 100 50 − > 50 − 5b 3 1 25 50 − 5b 8 = > =a 3 3 2. ‧. 再找出 a 的範圍. i n U. v. a = 5  b = 8 所以. a −b = 5−8 = −3 = 3 (2) 直接找出 20a + 50b = 500 的所有正整數解 a. 20. 15. 10. 5. b. 2. 4. 6. 8. 再把 a + b ≥ 15 的捨去，最後只剩下 43.