第二章 文獻探討
第三節 性別與數學能力
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學生在愈困難試題上的作答結果，大多數是被期望「答錯」試題，所以這個區域 應該出現大多數的「0」。
就每一位學生而言，在 S 曲線左邊答錯(即「0」)的個數，會等於其右邊答 對(即「1」)的個數；亦即，答錯和答對的個數，對 S 曲線而言，是呈現「對稱 的」(symmetric)分布。就每一道試題而言，在 P 曲線上方答錯(即「0」)的個數，
會等於其下方答對(即「1」)的個數；亦即，答錯和答對的個數，對 P 曲線而言，
亦是呈現「對稱的」分布。這種對稱性分布的特性，對後續 S-P 表分析而言很重 要，特別是當學生人數或試題個數增加時，使用手工方式來畫 S 曲線和 P 曲線，
很容易因為眼花撩亂而畫錯該二曲線的位置，而不對稱的曲線形狀將使得後續進 行 S-P 表分析所要計算的指標，陷於錯誤和不精確的地步，間接影響到對學生與 試題的診斷分析和判別結果的正確性。因此，這種對稱性分布的特性，可以幫助 讀者檢查所畫的 S 曲線和 P 曲線是否正確、有無畫錯位置和形狀，以降低因計 算錯誤而導致推論不正確的事情發生。
第三節 性別與數學能力
「性別平等」課題近來備受重視，男女生學習成就差距為國際間教育界所關 注，一些國際性的學生學習成就調查研究，如：Trends in Mathematics and Science Study[TIMSS]和 Programme for International Student Assessment [PISA]，都專章 或專節報告男女生差異的分析結果，反觀國內性別學習差異之研究則較受忽略 (盧雪梅、毛國楠，2008)。
在各學科中，男女生之數學成就差異研究是最受關注的(Fan，Chen &
Matsumoto，1997)。一般傳統觀點大多認為男生在數理科方面的表現優於女生，
而女生則在語文方面的表現優於男生，而實際情形則必須透過研究進行檢定才能 明瞭。接下來，統合分析國內外學者針對性別差異為研究變項，來探討性別差異 與數學能力之間關係的研究結果。
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Fennema 與 Sherman(1978)、Kurshan與Williams(1984)他們的研究結果指出 男生在數學方面的解題表現優於女生。Leinhardt，Seewald與Engel(1979)也根據 研究結果指出教師在數學課給予男學生的教學指導多於女學生，此即表示在課堂 上男學生與數理教師的互動多於女學生與數理教師的互動。Kellogg(1995)指出男 女生在學習上的差異主要表現在三個方面：語文能力(verbal abilities)、空間視覺 能力(visual-spatial abilities)及數學計算能力(mathematical computation abilities)。
Maccoby 與 Jacklin(1974)對1500餘篇兩性差異實徵研究進行統合分析，指出男 女差異主要在語言能力、數學能力、視覺空間能力和攻擊性四範疇，除語言能力 外，其餘三個範籌皆是男性高於女性。Friedman(1989)對98篇1974年之後出版的 兩性數學表現實徵研究進行統合分析，他指出近年來性別在數學方面的表現差異 有縮小的趨勢。Hyde、Fennema 與 Lamon(1990)對100篇數學性別研究進行統合 分析，其研究結果：就年齡來說，在小學和中學階段，女生表現略優於男生；在 高中和大學階段，男生表現優於女生。就認知層次來說，女生在計算表現較佳，
男生在問題解決的表現較佳，男女生在數學概念理解則無明顯差距。
在國內的學者研究方面，陳濱興(2001)研究國小四年級學童，女生在數學解 題歷程之理解題意上優於男生。蕭美琪(2003)研究國小二年級學童，發現男女學 童在乘法解題各歷程中與整合認知能力等方面的表現沒有差異。簡茂發曾計畫主 持「國民教育階段學生基本學習成評量研究」，因此曾與一群學者在進行研究考 驗後討論男女學生在數學方面表現之差異情形，以下為他們的研究結果。簡茂發 等人(1995)以小五學童男女共約3600餘人為樣本，研究結果顯示：在數學內容方 面，男生機率的平均數顯著高於女生；但在算術運算、數的關係、幾何、度量、
統計、類型與關係、代數等項目則無顯著性別差異；在數學歷程方面，女生的數 學解題平均數顯著高於男生，但在數學溝通、數學推理和數學聯結等項目則無顯 著性別差異。簡茂發等人(1996)以國中二年級男女生近4200餘人為樣本，研究結 果顯示：在數學內容方面，男生在幾何、測量和代數的平均數顯著高於女生，但
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在算術運算、數的關係、統計、機率、類型與關係等項目上則無顯著性別差異；
在數學歷程方面，男生的數學解題平均數顯著高於女生，不過在數學溝通、數學 推理和數學聯結等項目則無顯著性別差異。簡茂發等人(1999)以小三學童男女共 約3600餘人為樣本，研究結果顯示：在所有的數學內容項目：估算、算術運算、
數的關係、幾何與度量、統計、機率、類型與關係，女生平均數都顯著高於男生；
在所有數學歷程項目：數學溝通、數學推理和數學聯結，女生平均數也都顯著高 於男生。洪義德(2002)在其研究中指出小六學童的數學能力與性別在解題表現上 有顯著的交互作用，但女生的解題表現略優於男生。
在數學成就測驗上，因男、女性別而產生的差異表現，一直是教育及心理研 究者關心的議題。許多研究聚焦在試題本身特徵對受試者的影響，其重點在於受 試者在受測過程中的認知運作是否相同(Ryan & Chiu, 2001)。有部分研究結果發 現某些因素(如試題的內容、形式、認知背景等)對不同性別受試者有不同的影 響，如：Harris & Carlton(1993)、Lane, Wang & Magone(1996)等人發現代數題對 女生較有利。
由於男女的解題能力差異在不同的樣本下會有不同的結果，且研究若能統計 大量的數據，會有較精準的結果。因此，若要探討性別與解題能力是否有所差異，
TIMSS和PISA等大型研究測驗結果，會比較有代表性。雖然本研究的研究樣本 並不大，但本研究將順便利用分析的數據資料，看看男女性別的差異，是否對解 題能力有所影響。
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l C h engchi U ni ve rs it y 第三章 研究設計與實施
本研究主要探討新北市九年級的學生，對於七、八年級的數學題目，在解題 上，有什麼樣的差異。而這其中的差異，包括了解法上的差異，以及解題能力上，
所該具備的能力差異。本章，將針對研究的設計、樣本、工具與研究步驟加以說 明。
第一節 研究設計
由於國中階段的數學題目相當的多，因此若要找個適當的評量依據，一定必 須要有普遍的接受度。況且，目前各個學校使用的教科書版本並不一定相同，在 內容上仍有些許的差異。正因如此，目前的國中基本學力測驗，採取「考綱不考 本」的模式，而這個「綱」，即為教育部所訂定的數學能力指標，只要指標上所 訂定的能力達到了，就可以把以此指標所設計的問題解決。因此，如果要設計在 新北市不同的學校所要測驗的問題，將一定得根據數學能力指標來設計問題，如 此來測驗學生也比較不會有爭議。
而測驗的內容，考量到各校進度或許有所差異，且也考量到施測的時間點，
是在上學期初，因此，才決定測驗的內容為七、八年級所有的內容，如此一來，
就可以確定該生一定已經學過這些觀念。但教育部民國 97 年所修訂的數學課綱 中能力指標，單從七、八年級的指標來看，數與量就有 14 條(N-4-01～N-4-14)、
幾何有 14 條(S-4-01～S-4-13、S-4-19)、代數有 17 條(A-4-01～A-4-16、A-4-20)。
以上這三項主題，能力指標就已經有 45 條，以每題包含 1~3 個指標來算，如果 這些指標都要考到，題目至少要有二、三十題，而如果考的都是選擇題，也不易 發現學生在解題方法上，有著什麼樣的差異。因此，如果考的是計算題，要考慮 到學生的作答時間。目前國中一節課 45 分鐘，測驗時間如果超過一節課，學生 就會想要下課，同時專注力將大為下降，如此測驗出來的結果也將大打折扣。所 以如果以一節課 45 分鐘來考量，加上這又是考計算題，比起基測一題平均作答 可花 2 分鐘，要再稍微多一點。在種種考量下，最後決定施測 45 分鐘，題目共
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15 題，測驗題型為計算題，內容為七、八年級部分的數學概念。但如此勢必無 法將所有的能力指標都考到，必須有所取捨。而從國中的章節來看，第一冊有 3 章：
第一章 整數的四則運算 第二章 分數的運算 第三章 一元一次方程式 第二冊有 5 章：
第一章 二元一次聯立方程式 第二章 平面直角坐標系 第三章 比與比例
第四章 函數及其圖形 第五章 不等式
第三冊有 4 章：
第一章 乘法公式與多項式 第二章 平方根與勾股定理 第三章 因式分解
第四章 一元二次方程式 第四冊有 4 章：
第一章 數列與等差級數 第二章 簡單幾何圖形 第三章 三角形的性質 第四章 平行四邊形
四冊總共 16 章，若以一章大約選擇 1~3 個能力指標來測驗，比較接近能把主要 觀念都測驗到的目標。因此，在與學校資深老師、指導教授討論後，確定了測驗 試題(如附錄一)。每一個測驗的問題，都有與其對應的能力指標，而由於能力指
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標所代表的能力範圍仍然相當廣，因此也往下更確立了所對應到的分年細目，茲 列如下：
[問題1] 有一題數學題目：「 ) 456 ( 123 999
20102 ÷ × − 」的正確答案應該是 a，但 大 雄 錯把題目中間的「÷」看成「×」，結果算出來的答案是 b。如果 大 雄 除了看錯題目的運算符號之外，沒有計算的錯誤。求 a 是 b 的幾倍？
對應能力指標
A-4-13 能熟練乘法公式。
N-4-08 能熟練正負數的四則混合運算。
N-4-09 能認識指數的記號與指數律。
分年細目
8-a-01 能熟練二次式的乘法公式。(A-4-13) 7-n-07 能熟練數的運算規則。(N-4-08)
7-n-11 能理解同底數的相乘或相除的指數律。(N-4-09)
[問題2] 某麵包店推出週年慶優惠，買 100 元的商品就送 50 元的商品抵用券 1 張，但商品抵用券必須要下次消費 100 元起，才能抵用 1 張 50 元的商 品抵用券，並且不再贈送商品抵用券。以多次消費合併來看，這間麵 包店的優惠方式，相當於最多打到幾折？
對應能力指標
N-4-03 能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中的 問題。
分年細目
7-n-13 能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比 例的問題。(N-4-03)
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[問題3] 解一元一次不等式
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5−2− x < x−
，並在數線上畫出解的範圍。
，並在數線上畫出解的範圍。