第三章 單調性、三階段隨機邊界估計法與生產力指數
3.3 單調性與效率
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上述模型可利用最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimation；MLE)估計 𝛽、𝛿、𝜎𝑣2、𝜎𝑢2等各項參數，並可利用條件期望值估計出個別廠商於各期之技術 效率:
𝑇𝐸𝑖𝑡 = 𝐸[𝑒𝑥𝑝(−𝑢𝑖𝑡) |𝜑𝑖𝑡]，𝜑𝑖𝑡 = 𝑣𝑖𝑡− 𝑢𝑖𝑡。 (7)
3.3 單調性與效率
在分析廠商的效率與生產力變動前，確認估計的生產函數或距離函數是否滿 足單調性(monotonicity)、曲度(curvature)等常規條件(regularity conditions)是相當 重要的，尤其當估計的函數不滿足單調性時，估計而得的效率值與生產力變動值 可能會發生嚴重的偏誤(O’Donnell and Coelli, 2005；Sauer et al., 2006)，因此本節 將說明單調性在評估廠商效率值上的重要性。由於本文將使用投入距離函數衡量 各家銀行的效率值，因此以下將利用投入距離函數進行說明。若以生產函數或產 出距離函數衡量廠商的效率時，仍會遇到與本節陳述的相同問題，只是在圖形的 呈現上可能會有所不同。
假 設 廠 商 使 用 N 種 投 入 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) ， 生 產 M 種 產 出 ， 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑀)。根據 Färe and Primont (1995)，理論上，投入距離函數是投入的非 遞減函數(nondecreasing in inputs)，同時是產出的非遞增函數(nonincreasing in outputs)。因此滿足單調性的投入距離函數要求:
𝜕𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝑛 ≥ 0，𝜕𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝑚 ≤ 0，
𝑛 = 1,2, … , 𝑁，𝑚 = 1,2, … , 𝑀。
(8)
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首先，本文從投入距離函數是投入的非遞減函數性質開始討論。假設在眾多 廠商之中，我們想比較 A 廠商與 B 廠商的效率值。為了方便說明，假設除了廠商 B 使用比較多的第一種投入(𝑥1𝐵 > 𝑥1𝐴)之外，兩廠商的其餘投入和所有的產出皆 相同，即(𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁) = (𝑥̅2, 𝑥̅3, … , 𝑥̅𝑁)， (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑀) = (𝑦̅1, 𝑦̅2, … , 𝑦̅𝑀)，每一 項產出水準皆大於 0。假設𝐷𝐼(𝒙̅, 𝒚̅; 𝛽̂) = 𝐷𝐼(𝑥̅1, 𝑥̅2, 𝑥̅3, … , 𝑥̅𝑁, 𝑦̅1, 𝑦̅2, … , 𝑦̅𝑀; 𝛽̂) = 1，
表示在固定的產出與其他投入的水準下，𝑥̅1會是最有效率(最少)的第一種投入量。
依一般經濟直覺，在其他情況不變下，因為廠商 B 使用比較多的𝑥1，廠商 B 應是 比較沒有效率的。假設經過估計後的投入距離函數為圖 3-1，圖中的 A 點代表廠 商 A，B 點代表廠商 B，𝐷𝐼(𝑥1, 𝒙̅−1, 𝒚̅; 𝛽̂)代表估計後而得的投入距離函數，其中 𝒙̅−1 = (𝑥̅2, 𝑥̅3, … , 𝑥̅𝑁)，𝒚̅ = (𝑦̅1, 𝑦̅2, … , 𝑦̅𝑀)。從圖 3-1 中可知，A 點和 B 點都滿足 投入距離函數是投入的非遞減函數單調性質。此時若以兩廠商的投入距離函數值 進行比較，可以發現廠商 B 的投入距離函數值𝐷𝐼𝐵大於廠商 A 的投入距離函數值 𝐷𝐼𝐴，因此廠商 B 的效率值𝑇𝐸𝐼𝐵 = 1
𝐷𝐼𝐵小於廠商 A 的效率值𝑇𝐸𝐼𝐴 = 1
𝐷𝐼𝐴，廠商 B 會被 認為是較無效率的，此結果與實際一般經濟直覺一致。
圖 3-1 給定產出，所有樣本點皆滿足單調性的情況下比較兩廠商的效率值
A 點
𝑥1 𝐷𝐼(𝑥1, 𝒙̅−1, 𝒚̅; 𝛽̂)
B 點
𝑥1𝐴 1
𝑥̅1 𝑥1𝐵
𝐷𝐼𝐴 𝐷𝐼𝐵
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然而，當估計後的投入距離函數如圖 3-2 時，若利用投入距離函數衡量效率 值，則可能出現 B 廠商被判定為較有效率的錯誤結果。從圖 3-2 可知，A 點仍然 符合投入距離函數是投入的非遞減函數單調性質，惟 B 點卻不滿足。圖中廠商 B 的投入距離函數值𝐷𝐼𝐵小於廠商 A 的投入距離函數值𝐷𝐼𝐴，因此廠商 B 的效率值 𝑇𝐸𝐼𝐵= 1
𝐷𝐼𝐵大於廠商 A 的效率值𝑇𝐸𝐼𝐴 = 1
𝐷𝐼𝐴，廠商 B 會被認為是相對有效率的，產 生了不滿足一般經濟理論與直覺的錯誤結果。
圖 3-2 給定產出，有樣本點不滿足單調性的情況下比較兩廠商的效率值
A 點
𝑥1 𝐷𝐼(𝑥1, 𝒙̅−1, 𝒚̅; 𝛽̂)
B 點
𝑥1𝐴 1
𝑥̅1 𝑥1𝐵
𝐷𝐼𝐴 𝐷𝐼𝐵
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但是 Henningsen and Henning (2009)指出即使在每個樣本點都滿足單調性的 情況下，仍有可能發生 B 廠商被誤判為較有效率的結果，此時問題可能為圖 3-3。圖中的 A 點與 B 點都滿足了投入距離函數是投入的非遞減函數單調性質，但 樣本點與樣本點之間並不滿足，如 C 點(C 點非樣本點)。根據前一段關於圖 3-2 一 樣的說明，B 廠商可能會被判斷為是較有效率的，產生了違反一般直覺的錯誤結 果，進而後續的效率與生產力變動分析也將產生偏誤。
圖 3-3 給定產出，在樣本點之間不滿足單調性的情況下比較兩廠商的效率值
A 點
𝑥1 𝐷𝐼(𝑥1, 𝒙̅−1, 𝒚̅; 𝛽̂)
B 點
𝑥1𝐴 1
𝑥̅1 𝑥1𝐵
𝐷𝐼𝐴 𝐷𝐼𝐵
C 點
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再者，本文探討投入距離函數是產出的非遞增函數單調性質。為了方便說明，
假設除了廠商 A 創造比較多的第一種產出(𝑦1𝐴 > 𝑦1𝐵)之外，兩廠商的其餘產出和 所有的投入皆相同，即(𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑀) = (𝑦̅2, 𝑦̅3, … , 𝑦̅𝑀) ≥ 𝟎，(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑁) = (𝑥̅1, 𝑥̅2, 𝑥̅3, … , 𝑥̅𝑁)。假設𝐷𝐼(𝒙̅, 𝒚̅; 𝛽̂) = 𝐷𝐼(𝑥̅1, 𝑥̅2, 𝑥̅3, … , 𝑥̅𝑁, 𝑦̅1, 𝑦̅2, … , 𝑦̅𝑀; 𝛽̂) = 1，表 示在固定的投入與其他產出的水準下，𝑦̅1會是最有效率(最多)的第一種產出量。
依一般經濟直覺，在其他情況不變下，因為廠商 A 創造比較多的𝑦1，廠商 B 應是 比較沒有效率的。假設估計後的投入距離函數為圖 3-4。𝐷𝐼(𝒙̅, 𝑦1, 𝒚̅−1; 𝛽̂)代表估 計後而得的投入距離函數，其中𝒙̅ = (𝑥̅1, 𝑥̅2, 𝑥̅3, … , 𝑥̅𝑁)，𝒚̅−1 = (𝑦̅2, 𝑦̅3, … , 𝑦̅𝑀)。從 圖中可知，A 點和 B 點都滿足投入距離函數是產出的非遞增函數單調性質。此時 若以兩廠商的投入距離函數值進行比較，可以發現廠商 B 的投入距離函數值𝐷𝐼𝐵 大於廠商 A 的投入距離函數值𝐷𝐼𝐴，因此廠商 B 的效率值𝑇𝐸𝐼𝐵 = 1
𝐷𝐼𝐵小於廠商 A 的 效率值𝑇𝐸𝐼𝐴 = 1
𝐷𝐼𝐴，廠商 B 會被認為是較無效率的，此結果與實際一般經濟直覺一 致。
圖 3-4 給定投入，所有樣本點皆滿足單調性的情況下比較兩廠商的效率值
𝑦̅1 A 點
𝑦1 𝐷𝐼(𝒙̅, 𝑦1, 𝒚̅−1; 𝛽̂)
B 點
𝑦1𝐴 𝑦1𝐵
𝐷𝐼𝐴 𝐷𝐼𝐵
1
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然而，當估計後的投入距離函數如圖 3-5 時，若利用投入距離函數衡量效率 值，則可能出現 B 廠商被誤判為較有效率的結果。從圖 3-5 可知，A 點仍然符合 投入距離函數是產出的非遞增函數單調性質，惟 B 點卻不滿足。圖中廠商 B 的投 入距離函數值𝐷𝐼𝐵小於廠商 A 的投入距離函數值𝐷𝐼𝐴，因此廠商 B 的效率值𝑇𝐸𝐼𝐵 =
1
𝐷𝐼𝐵大於廠商 A 的效率值𝑇𝐸𝐼𝐴 = 1
𝐷𝐼𝐴，廠商 B 會被認為是相對有效率的，產生了不 滿足一般經濟理論與直覺的錯誤結果。
圖 3-5 給定投入，有樣本點不滿足單調性的情況下比較兩廠商的效率值
𝑦̅1 B 點
𝑦1 𝐷𝐼(𝒙̅, 𝑦1, 𝒚̅−1; 𝛽̂)
A 點
𝑦1𝐵 𝑦1𝐴 𝐷𝐼𝐵
𝐷𝐼𝐴
1
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同樣地，即使在每個樣本點都滿足單調性的情況下，仍有可能發生 B 廠商被 誤判為較有效率的結果，此時問題可能為圖 3-6。圖中的 A 點與 B 點都滿足了投 入距離函數是產出的非遞增函數單調性質，但樣本點與樣本點之間並不滿足，如 C 點(C 點非樣本點)。根據前一段關於圖 3-5 一樣的說明，B 廠商可能會被判斷為 是比較有效率的，產生了違反一般直覺的錯誤結果，進而後續的效率與生產力變 動分析也將產生偏誤。
圖 3-6 給定投入，在樣本點之間不滿足單調性的情況下比較兩廠商的效率值
Henningsen and Henning (2009)證明當生產函數為 translog 形式時，只要讓位 於頂點(vertex)的樣本點滿足其單調性質，則將可形成一個凸集多邊體(convex polyhedron)的樣本空間，以致於在此空間中所有的樣本點與非樣本點皆會滿足單 調性。以上的結果不只是確保了每個樣本點都滿足單調性，也使得每個樣本點與 樣本點之間都滿足，解決了上述單調性產生的問題7。由於本文估計結果發現有 不少的樣本點違反單調性，因此本文利用 Henningsen and Henning (2009)提出的 三階段估計法，並延伸此法應用在投入距離函數上，來處理單調性的問題8。
7 證明請參考 Henningsen and Henning (2009)。
8 證明請參考附錄 A.2 小節。
B 點
𝑦1 𝐷𝐼(𝒙̅, 𝑦1, 𝒚̅−1; 𝛽̂)
A 點
𝑦1𝐵 𝑦1𝐴 𝐷𝐼𝐵
𝐷𝐼𝐴
C 點
𝑦̅1 1