第五章 結論
5.2 未來研究方向
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最後，在 TFP 變動及其變動來源方面，本文發現純技術效率變動相對較大，
樣本期間平均而言，效率是每季微幅進步的(+0.106%)，而技術則是每季微幅成長 (+0.004%)，規模效率反而每季退步(-0.019%)。此外，主導生產力變動的來源來自 於純技術效率變動和規模效率變動，而且樣本銀行業目前屬於規模報酬遞減的階 段。綜合言之，因為利率、股價指數等是總體經濟的重要指標，所以央行會藉由 一些貨幣政策(例:降準、降息等)試圖改善經濟情況，因此，銀行的生產力變動與 當時總體的經濟環境和央行貨幣政策有著密切的關係。
5.2 未來研究方向
本文使用非貝氏估計法確保了估計的距離函數滿足單調性，然而並沒有確保 估計的距離函數滿足曲度，因此未來的研究可試著在既滿足單調性和曲度的情況 下，估計各家銀行的效率值，並討論曲度與效率值之間的關係。另外未來在研究 銀行產業時，也可嘗試在不同的模型架構下(例如:兩階段生產模型、共同邊界模 型、網絡隨機共同邊界模型、四成分或六成分隨機邊界模型等)，確保估計的距離 函數同時滿足單調性、曲度等常規性質，以獲得較為正確的效率值與生產力變動 值。
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比較(A.9)和(A.10)式後，會發現兩式其實是一模一樣的。以相同的方法可以 證明，對於𝑦1, 𝑦2, 𝑦3和𝑥3而言，也能得到一樣的結果，代表當 3.4 節於第二階段 使用(A.5)和(A.6)式為限制式時，其等同於投入距離函數滿足單調性的條件。要注 意的是，(A.5)式中有兩條不等式，但(A.7)式中卻有三條不等式，亦即第二階段估 計並沒有施加限制讓所有樣本點都滿足投入距離函數是𝑥1的非遞減函數。關於這 部分，本文選擇於估計完畢後，再檢查其違反比例。
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A.2 以下參考 Tangian (2002)，證明當投入距離函數為 translog 形式時，只要確保
樣本空間中位於多邊體(polyhedron)頂點(vertex)的樣本點都滿足單調性，則此多 邊體樣本空間內的所有點(樣本點及非樣本點)皆會滿足單調性。為了方便說明多邊體頂點的概念，本文先假設廠商使用單一投入𝑥創造單一 產出𝑦，且投入距離函數為 translog 形式。最後再以多投入多產出的情況下證明:
𝑙𝑛 𝐷𝐼(𝑥, 𝑦) = 𝛽0+ 𝛽1𝑙𝑛𝑥 + 𝛽2𝑙𝑛𝑦 +1
2𝛽3(𝑙𝑛𝑥)2+1
2𝛽4(𝑙𝑛𝑦)2+ 𝛽5𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑦。
(A.11)
假設目前收集到了 5 家廠商(A、B、C、D、E)的投入產出資料，依序為(𝑙𝑛𝑥𝐴, 𝑙𝑛𝑦𝐴)、
(𝑙𝑛𝑥𝐵, 𝑙𝑛𝑦𝐵)、(𝑙𝑛𝑥𝐶, 𝑙𝑛𝑦𝐶)、(𝑙𝑛𝑥𝐷, 𝑙𝑛𝑦𝐷)、(𝑙𝑛𝑥𝐸, 𝑙𝑛𝑦𝐸)，如圖 A-1 所示。
圖 A-1 5 家廠商的樣本點
C
投入 x 產出 y
E
D A
B
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圖 A-2 藉由 ACDE 頂點所形成的多邊形
根據(A.18)式和(A.19)式，可得(A.20)式會大於等於 0。因此，當位於頂點的 D 點 與 E 點滿足投入距離函數是投入的非遞減函數性質時，F 點亦滿足。另外根據 (A.21)式和(A.22)式，可得(A.23)式會小於等於 0，因此，當位於頂點的 D 點與 E 點 滿足投入距離函數是產出的非遞增函數性質時，F 點亦滿足:
𝜕𝑙𝑛𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑙𝑛𝑦 |D 點 = 𝛽2+ 𝛽4𝑙𝑛𝑦𝐷+ 𝛽5𝑙𝑛𝑥𝐷 ≤ 0 (A.21)
𝜕𝑙𝑛𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑙𝑛𝑦 |E 點 = 𝛽2+ 𝛽4𝑙𝑛𝑦𝐸+ 𝛽5𝑙𝑛𝑥𝐸 ≤ 0 (A.22)
𝜕𝑙𝑛𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑙𝑛𝑦 |F 點= 𝛽2 + 𝛽4𝑙𝑛𝑦𝐹+ 𝛽5𝑙𝑛𝑥𝐹
= 𝛽2+ 𝛽4(𝜆𝑙𝑛𝑦𝐷+ (1 − 𝜆)𝑙𝑛𝑦𝐸) + 𝛽5(𝜆𝑙𝑛𝑥𝐷+ (1 − 𝜆)𝑙𝑛𝑥𝐸)
= 𝜆(𝛽2+ 𝛽4𝑙𝑛𝑦𝐷+ 𝛽5𝑙𝑛𝑥𝐷) + (1 − 𝜆)(𝛽2+ 𝛽4𝑙𝑛𝑦𝐸+ (1 − 𝜆)𝛽5𝑙𝑛𝑥𝐸)
= 𝜆𝜕𝑙𝑛𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑙𝑛𝑦 |D 點+ (1 − 𝜆)𝜕𝑙𝑛𝐷𝐼(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑙𝑛𝑦 |E 點 ≤ 0
(A.23) C
投入 x 產出 y
E
D A
B F
‧
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對於𝑥1, 𝑥3, 𝑦2, 𝑦3，經過一模一樣的證明過程也可以得到一樣的結果。關鍵在 於投入距離函數滿足單調性的條件是否為線性方程式，如果是(如(A.27)式)，由於 多邊體內部及邊界上的每一點皆是頂點的線性組合(參考圖 A-2)，只要確保位於 多邊體頂點的樣本點都滿足單調性，所有的邊界點和內部點都會滿足單調性。
這邊隱含著一個重要的資訊:當生產函數、成本函數或距離函數假設為 translog 形式時，在沒有強加單調性的限制式下，估計完畢後，若所有樣本點皆 滿足單調性的話，則樣本點與樣本點之間也會自動滿足，不會產生本文 3.3 節的 估計效率偏誤問題。
本文共有 792 個研究樣本，不知道哪一些觀察值為投入產出空間中多邊體的 頂點，因此本文利用三階段估計法中的第二階段估計，使得「所有的樣本點」皆 滿足單調性。如此一來，不論是誰擔任頂點，其都會滿足單調性。另外，本文的 第一種投入(即資金)並沒有經過第二階段－二次規劃的處理，因此本文於估計後 檢查其違反單調性的比例，發現違反的比例是 0。既然樣本點全部滿足單調性，
就可以確保擔任頂點的樣本點也滿足，繼而樣本點與樣本點之間也會滿足，解決 了單調性與效率衡量問題。