三階段隨機邊界估計法

常見的 Battese and Coelli (1995)的模型。估計完畢後可以得到估計係數向量𝛽̂和估 計變異數-共變異數矩陣Σ̂_𝛽，其中𝛽̂的維度為(¹

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3.4.3 第三階段估計

把第二階段得到的𝑙𝑛 𝑥̂ 當作唯一的投入，再使用一般的 SFA 模型進行估計: _𝑁𝑖𝑡⁻¹

𝑙𝑛(𝑥_𝑁𝑖𝑡⁻¹) = 𝛼₀+ 𝛼₁𝑙𝑛 𝑥̂ + 𝑣_𝑁𝑖𝑡⁻¹ _𝑖𝑡 − 𝑢_𝑖𝑡， (16) 其中𝑣_𝑖𝑡~𝑖𝑖𝑑𝑁(0, 𝜎_𝑣²)，𝑢_𝑖𝑡~𝑁⁺(𝜇_𝑖𝑡, 𝜎_𝑢²)，𝜇_𝑖𝑡 = 𝛿₀+ ∑^𝐿_ℎ=1𝛿_ℎ𝑧_ℎ𝑖𝑡。𝑣是隨機干擾項，

𝑢是無效率因子，𝑧_ℎ𝑖𝑡為第 t 期第 i 家廠商的第 h 種環境變數。估計完畢後即可得 到各廠商的效率值與各環境變數對於無效率的邊際效果。只要估計後的𝛼̂₁ > 0，

則原先已滿足單調性的係數𝛽̂⁰，其單調性質不會因經過𝛼̂₁的單調遞增轉換而改 變。

為了處理 3.3 節的單調性與效率衡量問題，本文以第三階段得到的效率值衡 量各銀行的經營績效，並使用𝛼̂₀和𝛼̂₁調整𝑙𝑛 𝐷_𝐼(𝑦_𝑚𝑖𝑡, ^𝑥𝑖𝑡

𝑥_𝑁𝑖𝑡, 𝑡; 𝛽̂⁰)中的各項係數，

並使用調整後的係數計算一般化 Malmquist TFP 指數，以取得滿足經濟理論下的 效率值與生產力變動值，例如:調整後的截距項係數為𝛼̂₀+ 𝛼̂₁𝛽̂₀⁰，調整後的第一 個斜率項係數為𝛼̂₁𝛽̂₁⁰，其餘依此類推。

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3.5 一般化 Malmquist 總要素生產力變動

3.5.1 Malmquist TFP 指數

Malmquist TFP 指數最早是由 Caves, Christensen, and Diewert (1982a, 1982b) 所提出。藉由衡量兩期投入產出向量與某一期的參考技術(reference technology) 邊界之間的距離來建構此指數。因此，Malmquist TFP 指數可由投入距離或產出 距離衡量，同時也可選擇使用哪一期為參考的技術邊界。要注意的是，Malmquist TFP 指數必須在固定規模報酬的技術下衡量才會滿足比例性(proportionality)¹¹。 以 s 期和 t 期為技術水準的產出導向 Malmquist TFP 指數分別定義如下:

𝑀_𝑂^𝑠(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) = 𝐷_𝑂(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑠)

𝐷_𝑂(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑠)， (17) 𝑀_𝑂^𝑡(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) = 𝐷_𝑂(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑡)

𝐷_𝑂(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑡)， (18) 其中(17)式中的𝐷_𝑂(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑠)和𝐷_𝑂(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑠)為在 s 期的技術水準下，s 期與 t 期之 產出距離函數值，M 上標的 s 代表在 s 期的技術下衡量。(18)式中的𝐷_𝑂(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑡) 和𝐷_𝑂(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑡)則是在 t 期的技術水準下，s 期與 t 期之產出距離函數值，M 上標 的 t 代表在 t 期的技術下衡量。

由於有上述兩種衡量產出導向 Malmquist TFP 指數的方式，因此產出導向 Malmquist TFP 指數定義為此兩種方式的幾何平均:

𝑀_𝑂(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) = (𝑀_𝑂^𝑠 × 𝑀_𝑂^𝑡)^0.5。 (19)

而以 s 期和 t 期為技術水準的投入導向 Malmquist TFP 指數分別定義如下:

𝑀_𝐼^𝑠(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) =𝐷_𝐼(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑠)

𝐷_𝐼(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑠)， (20) 𝑀_𝐼^𝑡(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) =𝐷_𝐼(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑡)

𝐷_𝐼(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑡)， (21)

11 若 TFP 指數為一函數𝑀(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡)，則比例性條件為𝑀(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝛼𝑥^𝑠, 𝛽𝑦^𝑠) = 𝛽/𝛼。不論以何 種方式衡量 TFP 指數，學者們普遍認為一個有意義的 TFP 指數應滿足比例性。

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同樣地，由於有上述兩種衡量投入導向 Malmquist TFP 指數的方式，因此投入導 向 Malmquist TFP 指數定義為此兩種方式的幾何平均:

𝑀_𝐼(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) = (𝑀_𝐼^𝑠× 𝑀_𝐼^𝑡)^0.5。 (22)

雖然 Malmquist TFP 指數並不符合傳統生產力的定義，但其優點是此指數只 要求廠商的投入產出數量資料，而不需要價格資料即可進行衡量。因此，本文將 採用李文福、張佩茹(2013)的投入導向一般化 Malmquist TFP 指數，衡量銀行總 要素生產力變動及其來源。

3.5.2 一般化 Malmquist TFP 指數

由於本文將採用投入導向一般化 Malmquist TFP 指數，以下從投入方面著手。

將(20)和(21)式代入(22)式可以得到下式:

𝑀_𝐼(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡) = [𝐷_𝐼(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑠)

𝐷_𝐼(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑠)×𝐷_𝐼(𝑥^𝑠, 𝑦^𝑠, 𝑡) 𝐷_𝐼(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑡)]

1 2

， (23) (23)式中，若𝑀_𝐼(∙) > 1，表示生產力成長；若𝑀_𝐼(∙) < 1，表示生產力衰退；

若𝑀_𝐼(∙) = 1，則表示生產力不變。至於導致生產力變動的原因有哪一些呢?其一，

有可能隨著科技的進步，廠商的生產技術發生了變化；其二，有可能是廠商在生 產上沒有盡可能地運用資源，創造最大產出，以致無效率的生產；最後，也有可 能是廠商的生產規模偏離了最大生產規模(most productive scale size)。以上這些 因 素 都 有 可 能 導 致 生 產 力 的 變 動 。 因 此 ， 總 要 素 生 產 力 變 動 (Total Factor Productivity Change ； TFPC)可 拆 解為 純技 術 效率變動 (Pure Technical Efficiency Change；PTEC) 、技術變動(Technical Change；TC)、規模效率變動(Scale Efficiency Change；SEC)，以分別捕捉上述導致生產力變動的因素。Ray and Desli (1997)將 Malmquist TFP 指數分解為:

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個潛在問題，即當廠商的實際生產技術是全域規模報酬遞增(globally increasing returns to scale)、全域規模報酬遞減(globally decreasing returns to scale)、全域固 定規模報酬(globally constant returns to scale)或是射線齊次(ray-homogeneous)時，

規模效率並無上限且無法衡量，繼而規模效率變動也無法取得，使得 Balk (2001) 的方法不能在所有情況下皆適用，因此 Orea (2002)提出了一個更一般化的 Malmquist 生產力指數，可以在上述的情況下仍能適當地衡量規模效率變動。

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距離函數。由於 translog 距離函數可被視為是𝑙𝑛𝑥, 𝑙𝑛𝑦, 𝑡的二次式(quadratic form)，

因此 Orea (2002)利用 Diewert (1976)的二次式恆等輔理來處理 TFP 的衡量。Orea (2002)使用的是產出距離函數，即產出導向的一般化 Malmquist TFP 指數，本文 則是直接採用李文福、張佩茹(2013)推導出的投入導向一般化 Malmquist TFP 指 數，衡量 18 家台灣本土銀行 2007 年至 2017 年的 TFP 指數。假設多產出多投入 的生產技術為一變動規模的 translog 投入距離函數形式，則根據李文福、張佩茹 (2013)，投入導向一般化 Malmquist TFP 指數為:

𝑙𝑛 𝐺_𝐼 =1

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至於(29)式等號右邊的第二項則用來捕捉規模效率變動率(𝑙𝑛 𝑆𝐸𝐶)。從式中 可知，規模效率變動率取決於規模彈性的大小與兩期之間產量的變動¹²，如果真 實生產技術為固定規模報酬，或兩期之間產出並無變動，則規模效率變動率將消 失，(29)式等號右邊第二項將為 0。若不是如此，則可測得規模變動對生產力變 動之影響。例如:若兩期皆為遞增規模報酬，則產出成長會使生產力提升，若兩期 皆為遞減規模報酬，則產出成長會使生產力降低。要注意的是，在 SFA 估計下，

若投入距離函數沒有在每個樣本點都是產出的非遞增函數，由(29)式測得的規模 效率變動率可能會有偏誤，這也是本文使用三階段估計法確保每個樣本點都滿足 單調性的其中一個原因。

與(24)式相比，形式上(29)式其實是

𝑙𝑛 𝑇𝐹𝑃𝐶 = 𝑙𝑛 𝑃𝑇𝐸𝐶 + 𝑙𝑛 𝑇𝐶 + 𝑙𝑛 𝑆𝐸𝐶。 (31) 亦即(29)式中的𝐺_𝐼才是一般化總要素生產力變動，而𝑙𝑛 𝐺_𝐼則是衡量一般化總要素 生產力的變動「率」，例如:當𝐺_𝐼 = 1.2時，𝑙𝑛 𝐺_𝐼 ≈ 0.18，表示這一期的總要素生 產力比上一期成長了將近 18%。

本文會利用 3.4 節三階段估計法中，第三階段(16)式的估計結果，由(30)式估 計純技術效率變動率(𝑙𝑛 𝑃𝑇𝐸𝐶)與技術變動率(𝑙𝑛 𝑇𝐶)，並由(29)式等號右邊的第 二項估得規模效率變動率(𝑙𝑛 𝑆𝐸𝐶)，將三者加總即為(29)式的一般化總要素生產 力變動率(𝑙𝑛 𝐺_𝐼)。

12 產出規模彈性(Färe and Primont, 1995)為𝜂_𝑚^𝑡 = −[∑^𝑀_𝑚=1𝜕𝑙𝑛𝐷_𝐼(𝑥^𝑡, 𝑦^𝑡, 𝑡)/𝜕𝑙𝑛𝑦_𝑚]⁻¹。

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4.1.2 投入與產出變數

文獻上，選取銀行業的投入產出變數有很多種方法，如:資產法、中介法、生 產法等。其中，中介法將銀行視為中介機構，銀行先從資金供給者手中收集資金，

再將其貸放給資金需求者，或透過金融市場投資給資金需求者(如:於初級市場上 購買股票)。中介法把存款(或資金)、資本還有勞動當作投入變數，而把放款、投 資當作產出變數。此法的優點在於資料取得相對容易，而且此法的概念也與現實 生活中銀行扮演的角色相符，因此本文採用中介法來選取銀行的投入與產出變數。

近年來，銀行不只經營傳統業務(如:存款、放款)，也經營許多非傳統業務，

文獻上關於這部分已有不約而同的共識，那就是銀行的產出變數除了放款與投資 外，應還有一項能捕捉銀行非傳統業務的變數，才能真實呈現銀行使用資金、資 本、勞動的情況。銀行的收益不僅來自投資與放款，也來自資產負債表外業務，

例如:擔保性業務、承諾性業務等，這類業務不列入資產負債表中，卻是能為銀行 帶來非利息收入(如:手續費收入等)，進而影響銀行當期損益的營運活動，因此本 文以表外資產(Off Balance Sheet；OBS)為捕捉銀行非傳統業務的代理產出變數。

綜上所述，本文選用了三個投入與三個產出。三項投入變數為:資金、固定資 產淨額及員工人數；三項產出變數為:放款、投資及表外資產。至於逾期放款則視 為放款的減項。對於各項變數的組成內涵，本文採用李文福、張民忠、王媛慧 (2015)。除了員工人數取自於台灣經濟新報，以及逾期放款取自於銀行局金融統 計業務輯要外，其餘變數均取自於中央銀行的台灣地區銀行營運績效季報。考慮 到通貨膨脹的問題，各投入產出實質變數皆以 2016 年為基期之消費者物價指數 (CPI)平減名目變數而得。變數詳細內容列於表 4-2。

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表 4-2 投入產出變數項目及其定義

變數 變數定義

投入變數

資金(𝑥₁)

中央銀行及同業存款+存 款+借入款

固定資產淨額(𝑥₂)

固定資產-累計折舊-累計 折耗

勞動(𝑥₃) 員工人數

產出變數

放款淨額(𝑦₁)

現金及存放同業+放款及 貼現+附賣回票債券 投資-逾期放款

投資(𝑦₂)

公平價值變動列入損益 之金融資產淨額+持有 至到期日金融資產淨額+

採權益法之股權投資 淨額+其他金融資產淨額 +備供出售金融資產 淨額

表外資產(𝑦₃)

放款承諾責任+保證責任 +信用狀責任

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4.1.3 環境變數

有許多外在的環境因素可能會影響銀行的經營績效，因此在評估銀行效率時，

必須納入考量。本文主要參照陳昱銘(2017)選取共 6 個環境變數:股權結構(是否 為公股銀行)、組織型態(是否為金控子公司)、資產規模、逾放比率、分行數目、

資本適足率。下面解釋各環境變數可能對效率的影響。

1. 股權結構(𝑧₁): 此變數為二元變數(dummy variable)。若銀行為公股銀行¹³， 此二元變數值為 1，否則為 0。營運上不論銀行內部制度、政策的執行和目 的等，公股銀行與民營銀行之間有著非常大的差異，因此，此變數想探討銀 行的股權結構在營運制度上的差別會如何影響銀行的績效。

2. 組織型態(𝑧₂): 此變數為二元變數。若銀行為金融控股公司的子公司，此二 元變數值為 1，否則為 0。金融控股公司是證券、保險、銀行等子公司的母 公司，是一種異業結盟的型態。當銀行為金融控股公司的子公司時，在政策 的制定與執行上，可能會需要與證券子公司和保險子公司相配合，以達成母 公司設定的目標。因此，此變數想探討當銀行是金融控股公司的子公司時，

在營運制度與資源分配上，與獨立銀行的差別會如何影響銀行的績效。

3. 銀行規模(𝑧₃): 以取對數後的銀行實質總資產作為代理變數。銀行規模越大，

有越多的資源可以使用，有利於招攬客戶，也可以經營多項業務。另外，規 模較大的銀行，投資組合的可能性較多，分散風險的能力較好，同時也能透 過員工專業化分工，讓生產更有效率，但是規模較大的銀行也可能出現管理 上溝通協調的問題，造成資源浪費與生產無效率。

4. 逾期放款比率(𝑧₄): 一般而言，逾期放款比率越高表示銀行資產品質越差，

逾期放款的增加會嚴重侵蝕銀行的獲利能力，也代表銀行對放款的風險控管 較不好、放款品質較差。因此比率越高，對銀行的經營績效應是負面的影響。

逾期放款的增加會嚴重侵蝕銀行的獲利能力，也代表銀行對放款的風險控管 較不好、放款品質較差。因此比率越高，對銀行的經營績效應是負面的影響。

在文檔中 臺灣本國銀行效率和生產力分析 - 一般化Malmquist生產力指數之應用 - 政大學術集成 (頁 30-0)