第四章 研究結果
第四節 四組在反身性等式之差異
本節討論不同數學學習障礙類型學童在「反身性等式」的得分及其 差異情形。分別以通過率、算式填充題、與數學等式等三項的分析，四 組受試者(MD、MD&RD、RD、NA)為自變項，「反身性等式」分數為依 變項，進行獨立樣本單因子變異數分析考驗。接著再呈現反應類型、協 助量、及訪談前後的改變。最後則為小結。
壹、 通過率
反身性等式共有 3 題，分別是算式填充題的題 7(3＝□)，以及數學 等式的題 3 和題 4(3＝3；3＝5)，每題滿分 2 分，共 6 分。以下分別以描 述統計、獨立樣本單因子變異數分析等兩項，呈現統計結果。
一、 描述統計
數學學障組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、
以及年級對照組(NA)等四組之反身性等式通過率的平均數與標準差，見 表 4-4-1。
表 4-4-1 四組在「反身性等式」通過率的平均數與標準差
MD(N=9) MD&RD(N=7) RD(N=8) NA(N=10) 合計 反身性等
式通過率
M SD M SD M SD M SD M SD 1.33 .65 1.10 .54 1.25 .43 1.30 .33 1.25 .48
由表 4-4-1 可以得知，以各組通過率來看，反身性等式通過率的高低，
由高到低依序是 MD 組＞NA 組＞RD 組＞MD&RD 組。
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二、 獨立樣本單因子變異數分析
四組在反身性等式通過率的變異數分析摘要表，請見表 4-4-2。從表 4-4-2 可以看出四組受試者在「反身性等式」通過率，F 值為 F(3,30)= .348，
p＞.05 的顯著水準，表示 MD、MD&RD、RD、以及 NA 四組在數學等 式中「反身性等式」得分上沒有不同。
以 NA 組和 MD&RD 組的平均數和標準差計算效果值，效果值為 0.45，
係僅皆近中度的實際顯著性，依據 Cohen(2011)效果值轉換百分等級，
NA 組在 MD&RD 組平均數常態分配中，PR 值介於 66 到 69 之間，重疊 百分率介於 67％到 72.6％之間，接近中度的實際顯著性。
表 4-4-2 四組在「反身性等式」通過率的變異數分析摘要表 變異來源 SS df MS F P 效果值 反身性
等式
組間 .245 3 .085 .348 .791 0.45 組內 7.314 30 .244
總和 7.569 33
所以四組學生在反身性等式題型，通過率表現達組間沒有顯著差異，
以平均通過率來看，仍以 MD 組和 NA 組較高、RD 組和 MD&RD 組較 低，而 NA 組表現沒有較 MD 組佳。效果值為接近於中等的實際顯著性，
表示組間仍可能有差異。
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貳、 算式填充題
一、 描述統計
算式填充題中，題 7(3＝□)屬於反身性等式，共 1 題，為 2 分。表 4-4-3 則為 MD、MD&RD、RD、以及 NA 四組之平均數與標準差。
表 4-4-3 四組在算式填充題中「反身性等式」的平均數與標準差 MD(N=9) MD&RD(N=7) RD(N=8) NA(N=10) 合計
M SD M SD M SD M SD M SD 反身性
得分
0.89 .93 0.43 .54 0.63 .74 0.50 .71 0.62 .74
由表 4-4-3 發現，MD、MD&RD、RD 和 NA 四組在算式填充題中「反 身性等式」平均得分為 0.62 分。以四組的平均得分來看，由高分到低分 依序排列為 MD(M＝0.89)＞RD(M＝0.63)＞NA(M＝0.50)＞MD&RD(M
＝0.43)，在四大題型中(典型等式、反向等式、反身性、雙側)，反身性 等式是唯一四組平均得分皆低的題型。年級對照組(NA)在算式填充題「反 身性」題型上表現較數學障礙組(MD)以及閱讀障礙組(RD)差，而數學與 閱讀障礙組(MD&RD)仍舊表現最差。
二、 獨立樣本單因子變異數分析
由表 4-4-4 可以得知四組受試者在「反身性等式」的表現沒有顯著差
異，F(3,30)=.619， p 值未達.05 的顯著水準， MD、MD&RD、RD、以及
NA 四組在算式填充題中「反身性等式」得分上沒有不同。以 NA 組和 MD&RD 組的平均數和標準差計算效果值，效果值為 0.11，僅為低度的 實際顯著性，NA 組在 MD&RD 組平均數常態分配中，PR 值為 54，重 疊百分率為 92.3％，無法支持組間之差異。
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MD&RD (N=7)
大部分受試者的作答反應皆屬於類型 4，MD&RD 組 100％、NA 組有 90％、RD 組有 87.5％、而最低比例的 MD 組還有近 7 成，
顯示受試者在算式填充題「反身性等式」的作答反應以反應類型 4 為主。經卡方考驗，四組在題 7(χ2.95,(3)=3.904，p=0.272)的反應類 型之間無顯著差異。
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作答反應分為以下兩種：
1. 第一種是勾選「我會算」，但理由為題目沒有寫其他的運算符 號(加減乘除)，自行想像題目意思是＋0、－0、×1，只是題目 寫 0 是多餘的、省略不寫，所以經過計算之後就等於原本的數 字。例如：3＋0＝3；0＋3＝□；3×1＝□；3×1＝3。由此可知，
即便受試者表示他會寫反身性題目，但還是透過符號計算而得，
以等號概念中基本的運算觀點求得結果，並非以等號左右兩邊 等量的關係概念進行判斷。
2. 第二種會指出「題目有問題」，理由為題目只有單獨一個數字 3，沒有出現和其他題目一樣，有另外的數字和符號(加減乘除) 可以運算。因為受試者勾選題目有問題，則依據本研究施測流 程，施行半結構訪談中列式子的部分，請受試者「列式子說明 你的想法；如果是你，式子應該怎麼寫才不會有問題？為什麼 你會這樣算？」在這種想法之下，受試者所列的式子則會以自 行挑選並補上運算符號和數字，來說明修正後的式子才是正確 的，如：3＋1＝□；3＋1＝4；3＝1＋2；2＋3＝□；2×3＝6。
透過「列式子」的動作，更能加以突顯受試者心中的想法是「反 身性等式的題目有問題，因為缺少運算符號和數字」。
(二) 協助量：見表 4-4-6，四組在算式填充題「反身性等式」中，除 RD 組一位受試者以外，其餘受試者皆可以自行讀題與書寫。該名 受試者在寫第 7 題的理由「只有一個數字，應該要有加減乘除的 符號」時，詢問「除」和「符」的寫法。
(三) 半結構訪談前後的改變：整體而言訪談前後都正確者僅占 14.71%；
其餘大部分的受試者皆屬於自己做的時候反應錯誤、經過訪談後 觀念也錯誤，占全體受試者的 85.29%。見表 4-4-6，在此題型沒有 任何一位受試者在訪談前後改變想法，只有「前後皆對」、「前後 皆錯」兩種結果，加上 8 成 5 以上的受試者皆屬於前後皆錯的結
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果，顯示四組在算式填充題「反身性等式」的反應錯誤率高、訪 談前後也沒有改變，以自身的等號概念進行判斷，概念過於困難 或僵化未能因訪談而修改。
參、 數學等式
一、 描述統計
數學等式中，題 3 和題 4(3＝3；3＝5)也是屬於「反身性等式」，共 2 題，總分 4 分。反身性的題目，理由若是大於、小於、等於這類比大小 的觀念，反應正確性得 1 分、觀念正確性得 0 分，不列入反應類型類別 中。由表 4-4-7 可以得知 MD、MD&RD、RD、以及 NA 四組的平均數與 標準差。整體表現，在「反身性等式」中的數學等式，得分平均為 2.88 分；以四組來看，NA 組得分最高(M=3.10)，接著依次為 MD 組(M=3.00)、
RD 組(M=2.88)，得分最低為 MD&RD 組(M=2.43)。在題 3 的四組得分，
由高到低的順序為 NA 組(M=1.5)＞MD 組(M=1.33)＞MD&RD 組(M=1.14)
＞RD 組(M=1.13)；題 4 的得分順序則為 RD 組(M=1.75)＞MD 組(M=1.67)
＞NA 組(M=1.60)＞MD&RD 組(M=1.29)。
表 4-4-7 四組在數學等式中「反身性等式」的平均數與標準差 MD(N=9) MD&RD(N=7) RD(N=8) NA(N=10) 合計
M SD M SD M SD M SD M SD 題 3 1.33 1.00 1.14 .69 1.13 .84 1.50 .53 1.29 .76 題 4 1.78 .44 1.71 .76 2.00 .00 1.90 .32 1.85 .44 反身性
得分
3.11 1.36 2.86 1.35 3.13 .84 3.40 .70 3.15 1.05
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二、 獨立樣本單因子變異數分析
從表 4-4-8 可以看出四組受試者在「反身性等式」中，總分表現沒有 顯著差異，F 值分別為 F(3,30)=.355， p 值未達.05 的顯著水準，表示 MD、
MD&RD、RD、以及 NA 四組在數學等式中「反身性等式」得分上沒有 不同。以 NA 組和 MD&RD 組的平均數和標準差計算效果值，效果值為 0.50，為中度的實際顯著性，表示組間仍可能有差異，NA 組在 MD&RD 組平均數常態分配中，PR 值為 69，重疊百分率為 67％。
表 4-4-8 四組在數學等式「反身性等式」的變異數分析摘要表 變異來源 SS df MS F p 效果值 反身
性總 分
組間 1.244 3 .415 .355 .786 0.50 組內 35.021 30 1.167
總和 36.265 33
三、 反應類型、協助量、及訪談前後的改變
七種反應類型進行分類，見表 4-4-9，四組在數學等式中「反身性等 式」的反應類型共有 0、4、比大小等三種反應類型。反應類型 4 指受試 者該題未得滿分，屬於「算式中一定要有運算符號」的反應；表示大於、
小於、等於這類比大小的觀念，得分上反應正確得 1 分、觀念正確得 0 分，因為比大小是比較等號兩邊的數字有沒有相同，與等號的關係概念
「等號兩邊等量、等值」不同，因此與指導教授多次討論後，比大小的 觀念正確性得 0 分，並且不列入七大反應類型。圖 4-4-2 呈現四組數學等 式「反身性等式」反應正確次數百分比，另歸納協助量、及訪談前後的 改變如表 4-4-10 所示。
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MD&RD (N=7)
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依序為 NA＞RD＞MD＞MD&RD；32.36％屬於反應類型 4，認為 算式中一定要有運算符號，以 MD&RD 和 NA 組之學生為主；8.82
％學生之反應屬於以大於、小於這種比大小的觀念進行反身性題 型的判斷，以 MD 組與 MD&RD 組為主：
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1. 反應類型 4 的作答有兩種，第一種是勾選「這個算式不對」， 理由是因為題目沒有其他數字和運算符號，因此算式是不對的。
另一種是勾選「這個算式是對的」，理由是因為題目後面沒有 寫數字、代表沒有加減乘除，所以就是原本的答案。
2. 大於、小於的作答反應，主要發生在 MD 組和 MD&RD 組。
例如：
(1) 3＝3，勾選算式是對的，「因為＝是一個數字和一個數字一 樣大的符號，3 和 3 一樣大」；「3 跟 3 的數字一樣，不會有 大於、小於，所以是對的」。
(2) 3＝5，勾選算式是不對的，理由為「5 大於 3，要把 5 改成 3」；「因為 3 比 5 小，3 和 5 不是平等的，不一樣大」；「3 跟 5 的數字不一樣，5 比較大，所以不可能對」；「3 不能直 接等於 5，3 要加 2 才對等於 5。(列式子)要改成 3＋2＝5 或是 3＜5 才對」。
(二) 協助量：表 4-4-10 呈現四組在數學等式「反身性題型」中，受試 者皆可以自行讀題與書寫。
(三) 半結構訪談前後的改變：訪談前後都正確者的比例為 69.12％，
比例高低依序為 MD 組＞NA 組＞RD 組＞MD&RD 組；訪談前後 都錯誤的比例為 30.88％，MD&RD、NA 組的比例大於 MD、RD 組。如同算式填充題「反身性等式」，數學等式的部分，訪談前後 也沒有出現改變想法者。
肆、 小結
綜合本節討論數學學障組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱 讀障礙組(RD)、以及年級對照組(NA)在四大題型之反身性等式，無論是 通過率、算式填充題或數學等式，四組之間皆無顯著差異，效果值為中 度的實際顯著性，表示組間仍可能有差異。算式填充題的部分，四組的
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平均得分都低、是四大題型中最低者、四組之間差異不大；數學等式部 分以 MD 組和 NA 組最高分，MD&RD 組表現最差。
反應類型的部分，算式填充題反應類型有兩種，分別是反應類型 0 和反應類型 4(算式中要有運算符號)；數學等式的反應類型則有三種，除 了反應類型 0、4 以外，還有比大小。在「反身性」題型中，四組受試者 大部分皆以反應類型 4 為主，並非以等價方式判斷數學等式，在算式填 充題和數學等式的比例為 85.29％和 32.36％，並且皆呈現兩種反應，一 種是勾選「我會算」，自行推測題目沒有寫運算符號和數字代表的意思是
反應類型的部分，算式填充題反應類型有兩種，分別是反應類型 0 和反應類型 4(算式中要有運算符號)；數學等式的反應類型則有三種，除 了反應類型 0、4 以外，還有比大小。在「反身性」題型中，四組受試者 大部分皆以反應類型 4 為主，並非以等價方式判斷數學等式，在算式填 充題和數學等式的比例為 85.29％和 32.36％，並且皆呈現兩種反應，一 種是勾選「我會算」，自行推測題目沒有寫運算符號和數字代表的意思是