第一章 緒論
第一節 研究動機與目的
壹、研究動機
美國數學教師協會於 1997 指出(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)代數是一種語言(引自 Usiskin，1997)。Usiskin 舉例，代數式可以用文字敘述(如 3 加多少會變成 7？)、空格(3＋ ＝7)、
方格(3＋□＝7)、問號(3＋？＝7)、字母(3＋x＝7)來敘寫變數。一般孩子 對於數字知識、運算特性的知識、代數的思維(algebraic thinking)開始發 展的時間，比他們正式學習代數的年級還要早。而幼童代數推理的發展 基礎概念之一，就是相等和等號的概念。
Kieran(1981)指出孩童必須理解等式中所代表的關係概念，如果缺乏 這樣的理解，則將成為從計算思維銜接到代數思維的主要絆腳石；Knuth, Alibali, McNeil, Weinberg 和 Stephens(2005)也說到，代數被許多人視為是 通往更深層的數學，也是未來進階的教育機會、工作機會的看守者 (gatekeeper)。而學者 Oksuz(2007)在探討孩童相等和等號的理解時，認為 相等和等號的概念是幼童代數推理發展的基礎概念，等號是計算和代數 的重要連結。但是由於學校老師和課程，把計算和代數視為兩種完全不 同的東西，將計算和代數單元畫分、壁壘分明，所以學生們無法自行連 結這兩個單元。導致學生帶著先前的錯誤理解、錯誤概念，和直覺的獨 立知識，使得在正式進入代數學習的時候，而覺得學習代數是很困難的。
Freiman 和 Lee(2004)也指出，雖然等號是一個很小的觀察目標，但「等 式的概念和等號的關係概念」卻是代數思考中最基礎的元素。Falkner, Levi 和 Carpenter(1999)闡明了孩童為什麼必須理解等號的關係概念，有 兩個理由，一個理由是孩童可以透過等號的關係概念，理解進行計算時，
算式之間所呈現的關係。當孩童說「我不知道 7＋8 是多少，但我知道 7
＋7 是 14，所以 14 再加 1 是 15」，他正解釋由算式所表達的一個非常重
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要的關係。孩童理解等量概念，則將有能力表徵這樣的算式，因此他們 有能力用算式溝通並更進一步的反應出這些想法。有許多機會表達和反 應這樣算式的學生(17－9＝17－10＋1)，可能有能力使用相同的數學規則 解決更困難的問題(45－18 也可以這樣表示 45－18＝45－20＋2)。此例顯 示出理解等號的關係概念，可以促進計算能力和代數能力。另一個理由 則為銜接計算思維和代數思維。例如方程式 4x＋27＝87，你會如何開始 解方程式？第一步可能就是 87－27。為什麼我們會這麼做？因為我們同 時在兩邊減去 27。如果我們視等號為兩個算式的關係，意味著兩邊的量 相等，左式減去 27 意味著右式也減去 27。如果孩童視等號為「進行某 項動作的符號」，結果可能只是試著去記憶一系列的規則，用來解方程式。
也因為這些規則不涉及理解，因此學童極有可能不正確的記憶，並且不 會彈性的運用。基於這兩個理由，孩童必須理解等號代表是關係，而不 是進行某項動作的符號。
從上可知，小學生從計算的學習，進入到代數的學習，中間轉化的 過程有困難的現象。在學習代數之前，我們必須檢示孩子是否正確理解 算式中的等號其背後的概念是否精確，不只停留在了解等號是計算的結 果、或代表相等，更重要的是，瞭解等號更進階的意義，視相等是一種 關係、等值的概念。由 Usiskin(1997)、Oksuz(2007)、Freiman 和 Lee(2004)、
Falkner, Levi 和 Carpenter(1999)等學者的研究得知，等號的學習與代數的 學習息息相關，通往代數的必需品之一，就是對等號有更豐富的理解。
學生因為缺乏對等號延伸的認識，可能會未來在學習代數時，增加更多 認知的負擔、錯誤的認知。一般學生在等號概念學習上，從瞭解「等於」
到瞭解「等價」的過程，有上述轉化上的困難，然而，普通班級中的特 殊需求學生，尤其是有數學學習困難的數學障礙學生，對此數學單元的 學習狀況又是如何？此為研究者之研究動機一。
研究者因對上述問題好奇，先行到臺北市兩所國小，與低年級、中 年級擔任國小數學課程之普通班導師進行訪問。訪問主要以他們在數學
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教學中對於等號的意義之看法、對等號學習之重要性、以及教等號的方 法和學生之反應，並進一步瞭解學生在等號學習可能的困難。依據 Behr、
Erlwanger 及 Nichols (1980)訪談 6 到 12 歲的孩子四種問題，詢問老師 a
＋b＝□、□＝a＋b、3＝3、2＋1＝1＋2 等這些題目，低年級與中年級 的學生學習情形。
受訪教師都是教學年資超過 10 年，且任教該年段數學至少 3 年以上，
訪問低年級、中年級普通班導師各 6 位，共計 12 位。訪談結果發現所有 老師皆認為等號的學習是重要的，但在實際教學中卻沒有直接教等號。
低年級老師認為「分與合」、「大於、小於」才是需要特別把等號提出來，
在課堂上使用口訣等讓學生進行區辨。中年級老師認為「算式填充題」
的學習上，學生看到( )直覺反應就是填答案，但算式填充題的符號如□，
大部分出現在等號左邊，因此學生觀念上容易混淆；另外，中年級老師 也提到「四則運算」的學習上，學生不習慣將等號寫在左下方，而是習 慣繼續將等號寫在式子後面，隨著一層、一層的計算，結果造成等式越 來越長，而且每一層的值並沒有相等。12 位老師皆認為 a＋b＝□、2＋1
＝1＋2 題型需要經教學及反覆練習後，學生大部分可以全部通過；低年 級老師認為□＝a＋b、3＝3 之題型未出現於課本教科書中，有老師認為 學生會問式子是否寫相反了、或認為學生不會有問題、或是因為□在左 邊而無法推估。低年級老師指出「重量」單元中，有提到類似的概念，
此時會使用天平進行操作性的教學，會教等號。中年級老師表示等號的 教學應該是低年級即具備的能力，中年級不需特別再針對等號進行教學。
由此可見，12 位普通班導師皆肯定等號的學習，且認為學生在學習等號 上沒有困難，困難應在等號概念的運用，如分與合、算式填充題、四則 運算等。
在實際教學現場的訪問中，可以得知低年級、中年級學生在等號概 念上，從認識等號相等的關係，轉化到等號等價的關係有困難。低年級 老師指出算式填充題需要經過不斷大量重複的練習，在列式的時候，才
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能將學生看到( )就填答案、( )都在等號右邊的習慣，改成( )、□、？
等都可以用來代表未知數，並非只有單一用途，只用來表示填答案的地 方，而且未知數可以放在等號左邊，進而教導學生用不同的符號來代表 未知的概念，學習算式填充題的列式。中年級四則運算將等號寫在左下，
而且每一層都必須是等值，也需要大量練習才習慣這樣的模式。
從國內教育部(2003)公佈的「九年一貫數學學習領域課程綱要」(92 課綱)中，已於 94 學年度起從一年級開始實施，至 98 學年度一到六年級 均採用依據 92 課綱之綱要所編寫的數學教科書(徐偉民，2011)。在分年 細目中可以看見，尤其是代數的部分，特別將「算式填充題」往下延伸 至國小一、二年級。課綱所列的能力指標，所代表的意義不僅是讓老師 明確知道教學的目標、讓學生知道學習的目標，能力指標更是期待學生 可以在每一個相對應的年段發展出來相對應的數學能力。謝闓如(2010b) 研究指出，國小學童對於等號算式問題的答題情形不佳，而且他們對於 問題的想法和解決方法，與成人數學界約定俗成的算則之間有很大的差 異。正如 Usiskin(1997)所說，等號的概念是否正確，會影響到更進階的 代數學習。
猶如本研究動機一提到一般學生學習等號時，等號運算觀點轉化到 等號關係概念有困難，那麼研究者感興趣的是在數感和計算上有困難的 數學學習障礙學童其等號概念的轉化是否也有類似的困難呢？這是本研 究以數學學習障礙學童(MD)和年級對照組(NA)為受試者的原因。接著，
研究數學學習障礙必須面對數學學習障礙異質性的問題，如文獻上指出 數學學科的學習跟閱讀能力的關係密切(洪儷瑜、洪碧霞、秦麗花、陳淑 麗，2009a），而且 Badian (1983)指出中小學發現有 6.4％的數學學習障礙、
4.9％的閱讀障礙，其中 43％的數學學習障礙有閱讀低成就，而 56％的 閱讀障礙有數學低成就的問題，可見數學與閱讀學習困難的密切關係(引 自 Ardila & Rosselli, 2002)。根據 Geary (1993)所提出數學學習障礙可能 的三種亞型，語意記憶、程序性、以及視覺空間，其中語意記憶型與閱
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讀障礙共病的關係最為密切。國內洪儷瑜(2011)在不同類型的數學學障學 童的數學能力發展研究報告中也指出，閱讀障礙有高比率出現數學低成 就，而數學障礙也有相當比率出現閱讀困難，而且數學學科的學習跟閱 讀能力的關係很密切。學習障礙學生的確有數學學習上的問題，相較於 閱讀障礙的研究，數學學障的探討卻較少受到關注(Bender，2011; Chiappe, 2005; Garnett,1998)。
從上述的文獻可得知，數學學習障礙有許多閱讀上的問題，而研究 數學學習障礙時碰到此異質性的問題(即本研究 MD 組與 MD&RD 組)要 如何解決呢？在研究設計上，國內研究數學學習障礙多採取控制相關變 項的干擾，以靜態組間差異比較的方法進行研究(洪儷瑜，2009a、2009b、
2011；陳敏華，2006)。國外 Jordan、Hanich 和 Kaplan (2003)從六百位小 二的學生中選出 MD、MD&RD、RD、和 NA 四組，最後得到 180 位學 生，追蹤兩年共四次的數學核心能力表現。Geary、Hamson 和 Hoard(2000) 也是將小學一、二年級共計 42 位學童區分為 MD、RD、MD&RD 以及 一般年級對照組等四組，進行一系列的數學測驗。由上述六篇文獻可得 知，為了解決數學學習障礙異質性的問題，就是放入閱讀障礙組(RD)一 併討論，成為數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱 讀障礙組(RD)、以及年級對照組(NA)等四組。因為如果只包含數學學習 障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、以及年級對照組(NA)等三 組，研究結果只能澄清等號符號學習是否受數學能力影響，但本研究更 關心的是影響等號符號的學習，是數學運算操作的能力，或是閱讀理解 符號的能力，因此必須再加入閱讀障礙組。由此可以得知，我們在探討
2011；陳敏華，2006)。國外 Jordan、Hanich 和 Kaplan (2003)從六百位小 二的學生中選出 MD、MD&RD、RD、和 NA 四組，最後得到 180 位學 生，追蹤兩年共四次的數學核心能力表現。Geary、Hamson 和 Hoard(2000) 也是將小學一、二年級共計 42 位學童區分為 MD、RD、MD&RD 以及 一般年級對照組等四組，進行一系列的數學測驗。由上述六篇文獻可得 知，為了解決數學學習障礙異質性的問題，就是放入閱讀障礙組(RD)一 併討論，成為數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱 讀障礙組(RD)、以及年級對照組(NA)等四組。因為如果只包含數學學習 障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、以及年級對照組(NA)等三 組，研究結果只能澄清等號符號學習是否受數學能力影響，但本研究更 關心的是影響等號符號的學習，是數學運算操作的能力，或是閱讀理解 符號的能力，因此必須再加入閱讀障礙組。由此可以得知，我們在探討