第四章 研究結果
第五節 四組在雙側等式之差異
於本節討論不同數學學習障礙學童在「雙側等式」的得分及其差異 情形。分為通過率、算式填充題和數學等式等三部分，以四組受試者(MD、
MD&RD、RD、NA)為自變項，「雙側等式」分數為依變項，進行獨立樣 本單因子變異數分析考驗。接著再呈現反應類型、協助量、及訪談前後 的改變。最後則為小結。
壹、 通過率
雙側等式共有 9 題，分別是算式填充題的題 8、題 9、題 10(5－□＝
6－3；5＋□＝6＋3；36＋21＝□＋40)，以及數學等式的題 5、6、7、8、
9、10(2＋3＝5＋2；3＋5＝0＋8；2×2＝4×1；7－3＝4＋1；3×3＝9＋3；
2×4＝5＋3)，每題滿分 2 分，共 18 分。以下分別以描述統計、獨立樣本 單因子變異數分析等兩項，呈現統計結果。
一、 描述統計
數學學障組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、
以及年級對照組(NA)等四組之雙側等式通過率的平均數與標準差，見表 4-5-1。
表 4-5-1 四組在「雙側等式」通過率的平均數與標準差
MD(N=9) MD&RD(N=7) RD(N=8) NA(N=10) 合計 雙側等式
通過率
M SD M SD M SD M SD M SD 1.64 .55 1.06 .76 1.61 .59 1.99 .04 1.62 .60
由表 4-5-1 可以得知，以各組通過率來看，雙側等式通過率的高低，
由高到低依序仍是 NA 組＞MD 組＞RD 組＞MD&RD 組。
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二、 獨立樣本單因子變異數分析
四組在雙側等式通過率的變異數分析摘要表，請見表 4-5-2。從表 4-5-2 可以看出四組受試者在「反向等式」通過率，F 值為 F(3,30)= 4.245，
p＜.05 的顯著水準，四組經 Scheffe 事後比較結果為 MD&RD 組顯著低 於 NA 組。接著做兩兩一組的事後比較，先以 MD 和 MD&RD 組與 RD 和 NA 組考驗組間差異是否受數學能力影響，得 F＝6.079。再以 MD&RD 和 RD 組與 MD 和 NA 組考驗組間差異是否受閱讀能力影響，得 F＝6.917。
兩兩一組的事後比較皆小於決斷值 F’＝8.76，結果皆未達組間差異。但 以 F 值來看，閱讀能力組間差異的影響力較數學能力大。
以 NA 組和 MD&RD 組的平均數和標準差計算效果值，效果值為 1.73，
係屬於相當大的實際顯著性，依據 Cohen(2011)效果值轉換百分等級，
NA 組在 MD&RD 組平均數常態分配中，PR 值約 95.5，重疊百分率僅約 24.6％，有高度以上的實際顯著性。
表 4-5-2 四組在「雙側等式」通過率的變異數分析摘要表
變異來源 SS df MS F P 效果值 事後比較 雙側
等式
組間 3.533 3 1.178 4.245 .013 1.73 MD&RD＜NA 組內 8.323 30 .277
總和 11.857 33 註：*p＜.05。
四組學生在雙側等式題型，通過率表現達組間顯著差異，並且以 MD&RD 組顯著低於 NA 組。雖兩兩一組的事後比較未達組間差異，但 以 F 值來看，閱讀能力組間差異的影響力較數學能力大。平均通過率以 NA 組和 MD 組較高、RD 組和 MD&RD 組較低，且效果值達中度至高 度的實際顯著性。
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貳、 算式填充題
一、 描述統計
算式填充題中，題 8、題 9、題 10(5－□＝6－3；5＋□＝6＋3；36
＋21＝□＋40)是雙側等式，共 3 題，總分 6 分。表 4-5-3 則為 MD、MD&RD、
RD、以及 NA 四組之平均數與標準差。
表 4-5-3 四組在算式填充題中「雙側等式」的平均數與標準差
MD(N=9) MD&RD(N=7) RD(N=8) NA(N=10) 合計 M SD M SD M SD M SD M SD 題 8 1.33 .87 0.43 .79 1.25 1.04 2.00 .00 1.32 .91 題 9 1.22 .97 0.29 .76 1.25 1.04 2.00 .00 1.26 .96 題 10 1.33 1.00 0.86 1.07 1.25 1.04 1.90 .32 1.38 .92
雙側 得分
3.89 2.42 1.57 2.15 3.75 2.71 5.90 .32 3.97 2.49
從表 4-5-3 發現，整體而言 MD、MD&RD、RD 和 NA 四組在算式 填充題中「雙側等式」的平均得分，以題 10 表現最好(M=1.38)、接著是 題 8(M=1.32)、最後為題 9(M=1.26)。以四組來看，算式填充題中「雙側 等式」的平均得分，由高分到低分依序排列為 NA(M＝5.90)＞MD(M＝
3.89)＞RD(M＝3.75)＞MD&RD(M＝1.57)，此排序也與題 8、9、10 相同。
二、 獨立樣本單因子變異數分析
從表 4-5-4 可以看出四組受試者在「雙側等式」中，總分上有顯著差
異(F(3,30)=6.139，p＜.01)。經 Scheffe 法事後比較得知，依然是 MD&RD
組顯著低於 NA 組，MD&RD 組在整體雙側等式的表現與得分最高分之 組差距達三倍之多。接著做兩兩一組的事後比較，先以 MD 和 MD&RD 組與 RD 和 NA 組考驗組間差異是否受數學能力影響，得 F＝8.62。再以
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MD&RD 和 RD 組與 MD 和 NA 組考驗組間差異是否受閱讀能力影響，
得 F＝9.814。僅以閱讀能力的 F 值大於決斷值 F’＝8.76，表示閱讀能力 影響了雙側等式的組間差異，而數學能力則否。
以 NA 組和 MD&RD 組的平均數和標準差計算效果值，效果值為 2.65，
係屬於相當大的實際顯著性，依據 Cohen(2011)效果值轉換百分等級，
NA 組在 MD&RD 組平均數常態分配中，PR 值大於 97.7，重疊百分率小 於 18.9％，有高度以上的實際顯著性。
表 4-5-4 四組在算式填充題「雙側等式」的變異數分析摘要表
變異來源 SS df MS F p 效果值 事後比較 雙側
總分
組間 77.967 3 25.989 6.139** .002 2.65 MD&RD＜NA，
MD&RD 與 RD
＜NA 與 MD 組內 127.003 30 4.233
總和 204.971 33 註：**p＜.01。
三、 反應類型、協助量、及訪談前後的改變
以七種反應類型進行分類，得到四組在算式填充題「雙側等式」的 反應類型如表 4-5-5 所示，結果有 0、2、3、5、7 五種反應類型。反應類 型 2 代表未得滿分，等號概念不完整，屬於「等號的一方應該是另一方 的立即結果」的反應；反應類型 3 等號概念不完整的類型屬於「等號右 邊應該是算式中所有數字運算的結果」的反應；反應類型 5 等號概念不 完整，屬於「等號是有方向性的運算(單向、雙向)」的反應；最後，反 應類型 7 屬於「式子要對稱」的反應。圖 4-5-1 呈現四組在算式填充題「雙 側等式」反應正確次數百分比，協助量、及訪談前後的改變，請見表 4-5-6 所示。
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MD&RD (N=7)
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137 反應正確；15.74％呈現反應類型 2；13.89％呈現反應類型 3；2.78
％屬於反應類型 5；最後，5.56％屬於反應類型 7。以四組算式填 兩種反應類型，MD 在「雙側」3 題皆呈現反應類型 3＋2、MD&RD 組 3 題皆呈現反應類型 7＋2。經卡方考驗題 8(χ2.95,(8)=25.687，
p=0.012)和題 9(χ2.95,(8)=22.037，p=0.037)達.05 的顯著水準，表示 四組與五種反應類型之間有顯著的關聯。題 10(χ2.95,(3)=5.962，
p=0.113)則無顯著差異。
四組反應如下：
1. 反應類型 0：亦即反應正確，四組比例由高到低依次為 NA＞
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MD＞RD＞MD&RD，使用等號兩邊量相等的概念進行計算。
2. 反應類型 2：等號概念為「等號的一方應該是另一方的立即結 果」，MD 組和 MD&RD 組的比例相同，接著是 RD 組。作答 反應有兩種：
(1) 完全忽略算式中的一部分、不予理會，等號的一邊是另一 邊的立即結果，MD 和 MD&RD 各有 1 名屬於此種反應。
例如題 8(5－□＝6－3)，MD 的原始反應回答「6－3＝3，
3 就是□，題目沒有問題」；MD&RD 的原始反應回答「應 該寫成 5＋1＝6－3 才對，□應該是 1」。他們看到的式子 僅限於等號的一邊(□＝6－3 或 5－□＝6)，因此僅計算等 號一邊的結果視為□中的數，MD&RD 甚至自行更改運算 符號。
(2) 直接把題目的值當作□中的答案，即便該生已把□中的數 字算出來，但在填寫□時，填上的是等式的值而不是正確 的答案，表示他看到的式子也僅限於等號的一邊。共有 MD 組 1 名、MD&RD 組 2 名、以及 RD 組 1 名屬於此類。
例如 MD 的反應在題 8(5－□＝6－3)、題 9(5＋□＝6＋3)、
題 10(36＋21＝□＋40)的原始作答反應分別是「6－3＝3，
5－2＝3，□等於 3」、「6＋3＝9，9－5＝4，□等於 9」和
「36＋21＝57，40＋17＝57，□等於 57」；MD&RD 組在 題 8、題 9 的原始作答反應為「5－2＝3，□等於 3」、「5
＋4＝9，□等於 9」；另一名 MD&RD 的原始作答反應分 別為「6－3＝3，5－2＝3，□等於 3」、「5＋4＝9，□等於 9」；RD 組題 9 的原始作答反應為「5＋4＝9，6＋3＝9，
□等於 9」。由以上的例子可以看出，即便這些受試者使用 等號兩邊的量相等之概念進行計算，在填寫□中的數字時，
卻依舊只看見等式的一邊，忽略等式中的一部分。
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3. 反應類型 3：等號概念為「等號右邊應該是算式中所有數字運 算的結果」，比例由高到低依次為 MD&RD＞MD＞RD，共有 MD&RD 組 3 名、MD 組 1 名、以及 RD 組 2 名屬於此類型。
作答反應有以下兩種：
(1) 勾選「我會算」，MD&RD、MD 和 RD 各有一名。MD&RD 在題 8、9、10 的原始作答反應為「6－3＝3，5－3＝2，□
等於 2」、「6＋3＝9、5＋9＝14，□等於 14」以及「36＋21
＝57，57＋40＝97，□等於 97」；MD 組的原始作答反應 在題 9 和題 10 為「6＋3＝9、5＋9＝14，□等於 14」和「36
＋21＝57，40＋57＝97，□等於 97」；最後，RD 組在題 10 的原始作答反應為「36－21＝57(符號看錯)，40＋15＝
55，□等於 55」。由上述的反應可以得知，此類學童認為 題目可以計算、並不覺得題目有問題，並且其等號概念是 將等號左邊的數字全部算出來，等號右邊是所有數字運算 的結果。
(2) 勾選「題目有問題」，共計兩名 MD&RD、一名 RD 組屬於 此類。一名 MD&RD 在題 9、題 10 的原始作答反應是「題 目有問題，應該改成 5＋1＝6＋3＝9，□應該是 1」和「題 目有問題，應該改成 36＋21＝57＋40＝97」；另一名 MD&RD 組在題 8、9、10 的原始作答反應是「題目有問 題，等號應該在後面，□應該在比較後面一點，我可以分 成兩步驟，改成 6－3＝3，5－3＝2」、「題目有問題，把□
和＝去掉，放在後面，就變成 5＋6＋3＝□，□是 14」和
「題目有問題，把□和＝去掉，拿到後面，就變成 36＋21
＋40＝97，□是 97」；最後，RD 組的原始作答反應是「題 目有問題，看不懂，應該要把所有都加起來，改成 40＋36
＋21＝97」。此類反應，學童表示題目有問題，因此追問如
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何列式子才能讓式子沒有問題，以列式的反應判斷，此類 學童等號概念也是屬於「等號右邊是等號左邊所有數字運 算的結果」，甚至 MD&RD 學童指出應該要把□和＝放在 後面才正確、列出 5＋1＝6＋3＝9 此種錯誤的連加式子。
4. 反應類型 5：等號概念為「等號是有方向性的運算(單向、雙 向)」，此類型只出現在一名 RD 組的學童。在題 8、題 9 以及 題 10 的原始作答反應使用雙向運算，反應分別是「5＋3＝8、
8－6＝2，因為外項加外項再減內項，5 和 3 是外項，外項算 出來的答案再減內項。」追問後回答「因為之前老師教的是外 項、內項去乘除，例如 48：□＝12：8，算法是 48×8÷12。我 把它改成加、減」；題 9、題 10 受試者在訪談前後改變答案。
題 9 原算法是「5＋3＝8、8－6=2，5＋3＝8 是外項積、8－6 等於內項積」，訪談後改變算法「5＋3＝8、8＋6=14，因為題 目的符號是加的，外項積加外項積的答案、再加內項積，這個 才對」。題 10 原算法是「36＋40＝76、76－21＝55」，訪談後 改變算法「好像要改成加的，36＋40＝76、76＋21＝97，因為 題目是加的符號，外項加外項的答案、再加內項」。此 RD 學 童的等號概念具有方向性，必且不是使用單向的計算(等號右 邊由左而右、等號左邊由右而左)，而是在計算雙側等式時，
使用了外項、內項相加或相減的雙向方式。
5. 反應類型 7：等號概念為「式子要對稱」，出現在 2 位 RD 組的 學童。作答只有一種，皆勾選「題目有問題」，一位 RD 的原 始作答反應在題 8(5－□＝6－3)是「題目有問題，數字怪怪的，
因為 5－□＝6－3 應該要改成 5－□＝5－3，要一樣才對，這 樣比較好算」；另一位 RD 組在題 8、9 的原始作答反應為「題 目有問題，問題看不懂，5－□為什麼是 6－3，6－3 這裡怪怪 的，5－為什麼會等於 6－？要改成 5－□＝5－3」和「題目有
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問題，問題看不懂，5＋為什麼會等於 6＋？要改成 5＋□＝5
＋3」。由兩位 RD 的反應以及自己列的式子可以得知，他們皆 認為題目有問題，因為等號兩邊的式子數字看起來必須一模一 樣。
6. 反應類型 7 和 2：因為訪問前後所呈現的反應類型不同，該
6. 反應類型 7 和 2：因為訪問前後所呈現的反應類型不同，該