研究步驟

第二階段為預試階段，第三階段為正式施測階段，第四階段為資料分析 階段，第五階段為撰寫報告階段。

壹、 計劃階段

研究者於 100 年 8 月開始蒐集並閱讀國內外有關「等號」、「等式」

的相關文獻，以建立本研究的理論基礎與所需的研究工具。自編「等號 概念評量」作為本研究之主要評量工具。準備「等號概念評量紀錄紙」

和「等號概念評量施測指導語」。自 100 年 9 月至 101 年 1 月間撰寫研究 計劃，於一月初進行研究計劃口試。徵詢指導教授及口試委員的意見，

修正研究計劃，使論文得以順利進行。於 101 年 3 月中經由行政聯繫，

於四月份進行等號概念測驗。

貳、 預試階段

一、 編製題本：閱讀等號相關文獻，歸納整理等號評量的三大向度，

與指導教授多次討論，並考慮受試者之特殊需求，編制與修正試題，

再進行預試。

二、 預試：101 年 3 月 23 日於一所臺北市國小資源班預試，共 6 位。

三、 修正測驗方式：本研究於 101 年 3 月 26 日至 3 月 30 日進行測驗 實施的調整，調整內容包含施測時間長度的確定、以及施測指導語 的增修。

參、 正式施測階段

本研究於 101 年 4 月 16 日至 24 日之間於一所新北市國小進行正式 施測，受試者共計 34 位。預試後修正，並多次與指導教授討論，成為本 研究之正式題本。正式等號概念評量題本，詳見附錄四。正式等號概念 評量紀錄紙，詳見附錄五。本研究於正式施測之前，先以調查表徵詢班

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級教師適當之施測時間，避免影響受試者正式課程上課時間，以及受試 可能產生疲勞的情形。每位受試者進行等號概念評量的時間預計為 20 至 40 分鐘。測驗結束，由研究者帶領受試者回到原班級教室，並通知班級 老師測驗已結束，該生可繼續在校之學習活動。施測地點由研究者於正 式測驗之前，向受試學校徵詢適合之安靜、不受干擾的獨立空間。按照 正式等號概念評量施測指導語進行施測，詳見附錄六。首先，確認受試 者的協助量屬於哪一層次(見表 3-3-3)；接著，由受試者完成第一部分，

進行半結構訪談，同樣的方式完成第二部分、第三部分。當受試者開始 進行測驗時，研究者全程予以錄音，並將觀察和紀錄寫在「等號概念評 量紀錄紙」上。

肆、 資料分析階段

一、 分析比率：

量化資料編碼並登錄入電腦中，以統計套裝軟體 SPSS for Windows 19.0 中文版，進行各個假設相關變項的統計資料處理與分 析，各項考驗顯著水準訂為α＝.05。

二、 分析反應類型：

將四組受試者，共 34 位學生，進行反應類型的分析。以下按照 等號概念評量三大部分進行反應類型的說明：

(一) 等號概念解釋

整理並採用 Knuth(2005)、謝闓如(2010)及陳嘉皇(2008a)之分 類方式，將 MD、MD&RD、RD 和 NA 組學生反應主要歸納為四 類，分別是運算觀點、關係概念、其他，以及空白或我不知道。

在資料分析的部分，呈現四組在這四個分類上的次數、比率。

(二) 算式填充題、數學等式

算式填充題和數學等式的題型設計上，皆為四大題型，分別 是典型等式、反向等式、反身性，以及雙側等式。

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1. 計算正確率：呈現 MD、MD&RD、RD 和年級對照組學生，四 組在上述四個題型上的正確次數、比率。

2. 分析反應類型：本研究反應類型採用謝闓如(2010)六種作答反應 為基礎，在分類的過程中進行新增與修改。因受試者作答反應 不在此範圍內，經過與指導教授討論，新增反應類型七，以及 擴充反應類型五。七種反應類型的內容及舉例(以本研究受試者 之反應類型為例)，請見表 3-4-1。反應類型 0 指受試者作答反應 正確且等號概念完整，得滿分 2 分。

(1) 新增的反應類型七為「式子要對稱」。此情形發生在雙側算 式時，等號兩邊的式子看起來要一模一樣。例如一名 RD 受 試者認為算式填充題第 8 題(5－□＝6－3)和第 9 題(5＋□＝

6＋3)題目有問題，該學童原始作答反應分別是「因為 5－□

為什麼是 6－3，6－3 這裡怪怪的，5－為什麼會等於 6－？

要改成 5－□＝5－3」以及「5＋為什麼會等於 6＋？要改成 5＋□＝5＋3」。另一位 RD 受試者在第 8 題的理由為「應該 要改成 5－□=5－3，要一樣才對，這樣比較好算」。由以上 兩例可以得知，受試者皆認為等號兩邊的式子，數字必須要 一模一樣、要對稱才是正確的。由於此類反應無法以原有的 六種反應類型加以歸類，因此本研究決定，新增此類反應為 反應類型七。

(2) 反應類型五為「等號是有方向性的運算(單向、雙向)」，是 由「等號是由外而內的運算」擴充而來。原「等號是有方向 性的運算」是指學童計算等號左邊算式時方向是由左而右、

計算等號右邊算式時方向是由右而左，而在本研究中也發現 的確有此種等號單向的反應。在算式填充題第 6 題(□＝48

－20)，作答反應分為兩種，第一種會指出「題目有問題」，

如 MD 與 RD 組各有 1 位皆呈現此反應，學童原始作答反應

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為「題目有問題，因為 20－48 不能減，式子要改成 48－20

＝□才對」；第二種則是自行依照想法算出答案，如 1 位 MD 組與 2 位 RD 組的反應，學童原始作答反應為「因為 20－48 會有負的現象，所以用 48－20，等於 28」。以上兩種作答反 應皆顯現出有學童在□＝48－20 的題目上，會使用由外而 內的方向來運算。

(3) 除此之外，在進行受試者反應類型分類時，發現有一名 RD 組的學童，在第 8 題(5－□＝6－3)、第 9 題(5＋□＝6＋3) 以及第 10 題(36＋21＝□＋40)的作答反應不是使用單向運 算，而是雙向運算。在第 8 題學童原始作答反應為「5＋3

＝8、8－6＝2，因為外項加外項再減內項，5 和 3 是外項，

外項算出來的答案再減內項。」為了確認該生的想法，因此 加以追問，回答「因為之前老師教的是外項、內項去乘除，

例如 48：□＝12：8，算法是 48×8÷12。我把它改成加、減。」

第 9、10 題該受試者在訪談前後改變答案。第 9 題該受試者 原本的算法是「5＋3＝8、8－6=2，5＋3＝8 是外項積、8－

6 等於內項積」，訪談後改變算法「5＋3＝8、8＋6=14，因 為題目的符號是加的，外項積加外項積的答案、再加內項積，

這個才對」。第 10 題原本算法是「36＋40＝76、76－21＝55」， 訪談後改變算法「好像要改成加的，36＋40＝76、76＋21

＝97，因為題目是加的符號，外項加外項的答案、再加內項」。 由以上 3 題的原始作答反應可得知，這名 RD 組的受試者在 計算雙側等式時，使用了外項、內項相加或相減的雙向方式。

此種作答反應未曾出現於六種反應類型中，但與類型五的方 向性有關，因此本研究決定，將類型五從單向「等號是由外 而內的運算」擴充為單向與雙向「等號是有方向性的運算(單 向、雙向)」。

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