等號學習的組間差異

本研究利用四組進行比較，主要目的在探討與學習等號符號有關的 核心能力主要是數學能力或是閱讀能力，還是兩者皆是。以下將就研究 發現進行整理與討論。

壹、 組間差異可能受閱讀能力影響

一、 四組在四大題型之正確性

四組在四大類型算式填充題和數學等式之差異如圖 5-3-1、圖 5-3-2 所示，這兩種不同的作答方式所得結果一致。MD、MD&RD、RD 以及 NA 四組皆在典型等式的表現展現 100％的正確性；表現最差的是反身 性，四組受試者無論是年級對照組、數學障礙或閱讀障礙或數學兼閱讀 障礙，四組表現皆差、且為四種題型中最差的，尤其是算式填充題中 MD&RD 組，更是沒有人在此項題型通過，也因此呼應在四大題型得分 的統計考驗上呈現典型等式與反身性未見顯著的組間差異，因為典型等 式四組得分皆高、反身性四組得分皆低。然而，反向等式和雙側等式二 者，四組組間之差異達顯著水準，MD&RD 組和 NA 組有組間差異，效 果值呈現相當大的實際顯著性，而其他組間比較沒有顯著差異。

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二、 有無閱讀障礙組的組間差異

本研究四大題型中通過率、算式填充題、以及數學等式的組間差異 比較，請見表 5-3-1。通過率、算式填充題與數學等式此兩種不同的作答 方式，所得的研究結果有一致的趨勢，典型等式與反身性未達組間差異、

反向等式與雙側等式則達組間顯著差異。

典型等式和反身性無論是通過率或兩種不同作答方式的題目皆未達 組間顯著水準，因為典型等式皆為 100％的正確性、反身性四組皆表現 最差，也因此在統計考驗上顯示典型等式與反身性未達組間差異。

然而反向等式和雙側等式在通過率和算式填充題上達顯著差異，四 組經 Scheffe 事後比較結果為 MD&RD 組顯著低於 NA 組，本研究進一 步做兩次兩兩一組的事後比較，分別是 MD 和 MD&RD 組與 RD 和 NA 組考驗組間差異是否受數學能力影響，以及 MD&RD 和 RD 組與 MD 和 NA 組考驗組間差異是否受閱讀能力影響。結果在雙側等式的算式填充 題中發現，僅後者考驗達顯著差異(F＝9.814＞F^’＝8.76)，表示閱讀能力 顯著影響了組間差異，而數學能力則否(F＝8.62)。兩兩一組事後比較的 結果，雖然反向等式的通過率和算式填充題、以及雙側等式通過率等三 項，閱讀能力和數學能力的考驗結果皆未達顯著差異，但以 F 值來看，

閱讀能力組間差異的影響力較數學能力大，其差異考驗可能受限於受試 者的數量(反向等式通過率：F ^數＝4.804、F ^閱＝5.533；反向等式算式填 充題：F數＝4.82、F閱＝5.78；雙側等式通過率：F數＝6.079、F 閱＝6.917)。

事後比較的結果是有閱讀障礙組的學童表現較沒有閱讀障礙組的學童差，

可見學習等號符號有關的核心能力可能是閱讀能力。

本研究以 NA 組和 MD&RD 組的平均數和標準差計算效果值，在反 向等式和雙側等式的效果值更是幾乎都在 1.00 以上，呈現相當大的實際 顯著性，依據 Cohen(2011)效果值轉換百分等級，NA 組在 MD&RD 組平 均數常態分配中，PR 值大於 84，重疊百分率小於 44.6％，有高度以上 的實際顯著性。效果值的結果也支持組間差異。另呈現有、無閱讀障礙

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169 題型得分的表現，以四組進行考驗時，雙側等式的算式填充題以 MD&RD 和 RD 組顯著低於 MD 和 NA 組，達統計上顯著差異，此兩兩一組的事 後比較結果，以及效果直接呈現相當大的實際顯著性，NA 組在 MD&RD 組平均數常態分配中，PR 值大於 84，更直接證明有閱讀障礙組和沒有

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貳、 閱讀能力如何影響等號學習

從本研究結果得知，等號的學習與閱讀能力有關。閱讀能力如何影 響等號的學習，本研究由兩項觀點來說明：

一、 數學式子語意理解錯誤

由 Geary(2003，2004)所提出三種數學學習核心能力「語意記憶」、

「計算程序」以及「空間知覺」中，在「語意記憶」之數學障礙學童的 行為特徵會出現少量的提取數學事實、並且提取數學事實的錯誤率高等，

而此提取數學事實是與長期記憶的提取有關，Geary 更指出「語意記憶」

此項數學核心能力與閱讀障礙有關。Lerner(2009)提到數學是一種符號 語言，與數學學習困難有關之三大相關特質，包括訊息處理困難、語言 與閱讀能力、以及數學焦慮等三項，其中因為訊息處理困難使得閱讀數 學符號有困難，而語言和閱讀能力也會影響學童數學理解，因為他們無 法讀出數學符號或對符號理解有限、錯誤，因而無法理解數學問題中符 號的意義，也因此無法解決數學問題。秦麗花(2007)提到數學語言符號 之多義需要彈性調整，也特別以「等號」為例。就算術而言國小學童視 等號為經計算求得答案的符號，但對代數而言，等號卻還隱含著反身性、

對稱性、遞移性等概念。

我們可以從上述文獻（Geary，2003，2004；Lerner，2009；秦麗花，

2007)所提及有關數學式子「語意」理解錯誤，支持本研究結果，等號 學習與閱讀能力之關係大於數學能力。數學是一種語言，有非常高的精 確性、抽象性（引自秦麗花，2007），數學語言有多種符號形式來代表 相同概念的特質，如以文字、符號、圖示代表相同數量，但也有以單一 符號代表多種不同概念的特質，如本研究之「等號」。等號「＝」僅是 一種簡單符號，從小就出現在學童的數學學習過程中，但是等號卻蘊藏 著基本的運算觀點和關係概念等不同層次的概念，就關係概念而言，更 有非典型、雙側和反身之不同的意義。如果學童對於相同符號未能覺察

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其多義性質，或因語言之障礙難以習得符號之不同層次的多義，將會影 響其數學學習，也因此影響數學式子的閱讀成效。

以 Sfard(1991)數學概念發展理論來看，以等號概念為例，等號概念 就是一種學習算術、代數的核心概念，也是連接算術和代數的橋樑，等 號概念就像年輪的中心，無論是基本運算或是進階的代數學習，必須倚 賴等號概念作為核心出發點，基礎穩固之後向外擴展到更高層的數學概 念，如果核心發展不完全、擴展不完整，僅限於等號運算概念而未衍伸 至另一層次的等號關係概念，則以等號概念為基礎核心的代數將因此受 到嚴重限制，而成為文獻上所說(Kieran，1981)學習代數的絆腳石。

二、 閱讀障礙學童僵化的數學概念

閱讀障礙組(RD)與數學兼閱讀障礙組(MD&RD)學童在等號概念評 量表現是四組中最差的原因，可能與閱讀理解能力的低落有關，導致數 學的閱讀理解困難，閱讀理解能力的不足、拘泥於書面形式，因而無法 理解數學等式。本研究發現，在「典型等式」的作答反應中，MD&RD 呈現看錯運算符號的反應，在「反向等式」與「雙側等式」作答反應中，

MD&RD 與 RD 組比其他組學童較多勾選「我會算」，但卻自行更改等號 與運算符號的位置，以符合他們的認知再進行計算，顯示出他們對等式 拘泥於固定的形式而充滿錯誤的自信，自行更改而不自知；兩位 RD 組 學童甚至在雙側等式呈現反應類型 7，表示等號兩邊的式子數字必須看 起來要一模一樣才對。由以上 MD&RD 與 RD 組結果可以得知，有閱讀 困難之孩童對於書面等式學習之窄化與僵化的錯誤概念，甚至對錯誤毫 不自覺。

由上述研究結果可以結論，不同數學學習障礙類型之國小學童在數 學等號概念評量表現，主要以 MD&RD 組和 RD 組表現較差，無閱讀障 礙之數學障礙學童與一般學童無顯著差異，因此本研究認為等號概念學 習可能與語文能力之關係有關，與數學能力高低關係不大。

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第六章 結論與建議

本章共分為三個部分，第一節歸納整理本研究的結果與發現，第二 節則說明本研究的限制，第三節提出相關建議。