五、 資訊科技輔助專題導向式學習
5.6 四面體體積平分
O ABC− ：O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)。
面對比較抽象的立體空間，剛開始先用猜測的做法。
這個四面體有一個很具對稱性的平分面
第一種分割情形：1-3 分的討論
考慮四面體O ABC− ：O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)
圖 5.6.1 四面體 1-3 分
和上述的重心重合。也就是說，猜想(V-5)在 1-3 分的時候是成立的。
定義 5.6.1 體積平分面包絡曲面
若一凸多面體存在有一內部的曲面，使得此曲面的切面為此多面體的體積平分 面，則稱此曲面為體積平分面包絡曲面
由於 GSP 為一平面繪圖軟體，較不擅於處理立體圖形，故在此使用 Maple 來呈現。
圖 5.6.2 曲面 1
xyz=54的圖形 圖 5.6.3 雙曲面
圖 5.6.2 是 1
xyz= 54的圖形。由圖可以明顯的看出，這些曲面會向x=0、y=0、z=0，
逐漸地靠近。因此大致上支持猜想(V-3)。但從 Mathworld 上找到的雙曲面的圖形(如圖 5.6.3)並非如此。而且雙曲面是三元二次的曲面，並非這裡的三元三次曲面。所以猜想 (V-2)失敗了，但在 1-3 分的時候，將四面體四個頂點分成 1-3 分的方法有四種，各產 生一個曲面，因此曲面確有四片。
圖 5.6.4 中的藍色部分為使用參數 p,q 限制所畫出來的圖形，而 p,q 的限制條件為 1
2≤ pq且 0≤ p q, ≤ 。這些限制條件請參閱本節後續的討論。此圖是圖 5.6.2 的一部1 分，如果將它延伸，將會向x=0、y=0、z=0 漸近。
同理對另外每三稜分別作截面可得類似結果，不再贅述過程，僅將結果整理如下：
截 1
: 54 O ABC xyz− =
截 :
(
1)
1A OBC x y z yz 54−
− + + − =
截 :
(
1)
1B OAC x x y z− + + − z= 54−
截 :
(
1)
1C OAB xy x y z 54−
− + + − =
將上述四曲面以參數加以限制範圍，用 Maple 去同時描繪其立體幾何圖形，如圖 5.6.5.從這張圖，很明顯可以看出，猜想(V-4)失敗了，這四個曲面沒有圍成一個封閉的 曲面。但是尚有 2-2 分這一類型沒考慮進去。說不定在把 2-2 分的包絡面給考慮進來 時，它將有機會形成封閉的曲面。
第二種分割情形：2-2 分的討論
考慮四面體O ABC− ：O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，如圖 5.6.7，設體 積平分面截二稜OA,OB於P(p,0,0)，Q(0,q,0)，截CA於M(1-m,0,m)，CB於N(0,1-n,n)，
p,q 的限制範圍為何？
因為p,q 屬於四面體的一個邊，所以 p,q 分別都要≦1，而且 pq 相乘要小於 0.5.
因為如果pq 大於 0.5 的話，那麼就存在一個點 R 屬於OC，使平面PQR 的三截 距相乘等於 0.5，也就變回了 1-3 分的情況，因此有這樣的限制： 1
pq≤ 且2 0≤ p q, ≤ 。 1
圖 5.6.8 第一片包絡曲面 圖 5.6.9 第二片包絡曲面 圖 5.6.10 第三片包絡曲面 因為 2-2 分時，會有一組對稜沒有被割到，而一個四面體共有三組對稜，所以會 有上列的三個不同曲面圖形。這三個圖形的邊界，是由上述討論的不等式所決定的。
圖形中間隱約有一條線，這是把p 等於 0.5 的情況給標出來。後續會討論這個 p=0.5 的特殊之處。
圖 5.6.11 三片包絡曲面 圖 5.6.12 七片包絡曲面 圖 5.6.13 七片包絡曲面 將 2-2 分的三個平分面包絡曲面畫在一起(圖 5.6.11)，再把 1-3 分的四個曲面一起 畫進來(圖 5.6.12)(黑色為 1-3 分，彩色為 2-2 分)，換個角度觀察一下(圖 5.6.13)。
其中 2-2 分的部分(圖 5.6.11)看起來有三條直線。此三線就是陳和平先生找到的特 殊平分解，就是歪斜對稜中點的連線。過這條線的所有平面，都可以把這個四面體平 分，而用參數的方法，把p 等於 0.5 的情況給特別標明，發現這三條線段正是這三個 曲面中，兩兩相交的交集。從圖形中可以發現，猜想(V-4)需要一點點的修正，因為這 個圖形不會只形成一個封閉空間，而是會由四片 1-3 分的曲面分別與三片 2-2 分的曲 面圍成的四塊封閉空間。
在本節中提到，陳和平先生發現的特殊平分解。那麼，有沒有可能在一組對稜上
1-3 分與 2-2 分的交會：
以下是專題研究的初步成果
在專題研究的輔導過程中，學生是主角，教師只是引導協助者，而數學軟體是重 要的輔助工具，由一開始平面上的 GSP, 到後來空間圖形用到的 Maple, 都是利用電腦 的運算速度，精準度，產生模擬實驗結果，據以判斷推測，再進一步加以驗證。尤其 是使用 Maple 來繪出複雜的 3D 立體曲面，得以具體觀察其相關性質，據以推測再嘗 試驗證。Maple 是功能強大的英文軟體，雖然上手門檻高，只要願意花時間去摸索學 習，就能利用 Maple 來作許多進階的研究。
在資訊科技的協助下，我們得以更精準的去觀察許多數學上的性質，如同(李政 豐，2003)使用 Excel, GSP, Maple 發現的兩函數y a= x與y=loga x的圖形交點個數的 探索，當a∈
(
0,e−e)
時，兩函數有三個交點，e−e約等於 0.065988, 若無數學軟體的協 助，僅憑人力去繪製函數圖形，實難發現如此神奇性質。參考文獻
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第四章：
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第五章：
余尚芸，「國二學生實施專題導向式合作解題活動之歷程分析」，高雄師範大學，碩 士論文，2004
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MathWorld, http://mathworld.wolfram.com/Envelope.html
附錄
附錄二、斜三角柱的體積
附錄三、2-2 分的平分面包絡曲面參數式(Maple)