常見立體觀念

我們先從幾個簡單的範例著手，慢慢推廣到較複雜的圖形，以下我們舉幾題大學 入學考試與立體空間相關的題目，應用 Cabri-3D 來呈現其立體圖形。

例 1.圖 4.1.1 為一正立方體，A,B,C 分別為所在的邊之中點。通過 A,B,C 三點的平面與 此立方體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀? (1)直角三角形 (2)非直角的三 角形 (3)正方形 (4)非正方形的長方形 (5)六邊形(88 學測單選第 3 題)

圖 4.1.1 正立方體 圖 4.1.2 平面截正立方體 如圖 4.1.2 所示，截痕為長方形，邊的比例是 2 :1。答案選(4)。

從這個題目可以看出來，其實學習目標未必都需要複雜計算，觀念清楚很重要。

例 2.設一球之球心與一正立方體之中心重合，考慮球面與正立方體所有邊的交點，則 交點的個數 不可能是(A) 0 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 24(90 指考數甲單選第 3 題)

圖 4.1.3 當0< <R 2

交點 0 個

圖 4.1.4 當R= 2 交點 12 個

圖 4.1.5 當 2< <R 3

交點 24 個

圖 4.1.6 當R= 3交點 8 個 圖 4.1.7 當R> 3交點 0 個

假設正立方體的稜長為 2，球半徑為 R，在 Cabri-3D 環境下，將球的半徑逐步放大，

可得圖 4.1.3~4.1.7。故知交點數可能為 0,8,12,24 個。答案選(D)

例 3.在空間中，一平面與一正方體相截，若在平面的兩側各有正立方體的 4 個頂點，

則其截面的形狀可能是下列哪種圖形？(1)三角形(2)四邊形(3)五邊形(4)六邊形(5) 八邊形(93 指考數乙多選第 5 題)

如圖 4.1.8 與 4.1.9，本題答案應選(2)與(4)。

圖 4.1.8

平面截正立方體的截面為四邊形

圖 4.1.9

平面截正立方體的截面為六邊形 如果沒有立體圖形，很難憑空想像，如果能用 Cabri-3D 輔助，如圖 4.1.8 與圖 4.1.9 就很清楚知道有四邊形與六邊形兩種，當然考試時，是不能帶電腦進去跑軟體，平時 若有這種訓練，養成清楚的空間概念，評量時，自然能想像出該立體畫面。

Cabri-3D 這套軟體的操作介面很親合，很容易上手，適合學生摸索操作。

例 4.將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個 正八面體，如圖 4.1.10 所示。如果原四面體 ABCD 的體積為 12，那麼此正八面體 的體積為何？(90 學測填充第 H 題)

圖 4.1.10 正八面體(一) 圖 4.1.11 正八面體(二) 圖 4.1.12 正八面體(三) 如圖 4.1.11 與 4.1.12,從不同的視角觀察圖形，可以發現將四個角落的小正四面體 減掉，剩下的就是正八面體，因為小正四面體的稜長為原正四面體稜長的1

2，而體積 比例是邊長比例的立方，因此其小正四面體體積為原正四面體體積的1

8，正八面體體

積= 1

12 1 4 6 8

⎛ ⎞

× − ×⎜ ⎟=

⎝ ⎠

例 5.如圖 4.1.13 的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長 2 的正方形，四個側面都是腰長 為 4 的等腰三角形，則此四角錐的高度為何？(90 學測填充第 F 題)

圖 4.1.13 四角錐展開圖 圖 4.1.14 四角錐 圖 4.1.15 四角錐的高 將四角錐展開圖摺起，如圖 4.1.14 所示，再將其展開後如圖 4.1.15,等腰三角形的 腰長 4 會對應到圖中紅色直角三角形的斜邊，另ㄧ股為底面正方形對角線的ㄧ半 2， 根據畢氏定理得此四角錐的高為 ⁴²⁻

( )

例 6.圖 4.1.16 為一單位正立方體 ABCDEFGH，(即稜長 1)。則四面體 ACFH 的表面積 為何？體積為何？(92 指考數乙填充第 G,H 題)

由圖 4.1.17 與 4.1.18 可看出，四面體 ACFH 為正四面體，其中任ㄧ面都是正三角 形，故四面體ACFH 的表面積=4 個△ACH 面積^{= ×4} ₄³

( )

( )

四面體ACFH 的體積=正立方體(ABCD-EFGH)減四個四面體(A-EFH)體積

1 1

1 1 1 4 1 1 1

6 3

⎛ ⎞

= × × − ×⎜⎝ × × × =⎟⎠

A D

C

B

G H

E

F

圖 4.1.16 正立方體 圖 4.1.17 四面體 圖 4.1.18 四面體 在 Cabri-3D 軟體中，操作者只要用滑鼠右鍵拖曳，就可以變換各種視角來看立體 圖形，對於空間概念的建構有很大的幫助。