五、 資訊科技輔助專題導向式學習
5.5 多邊形面積平分
(3).連 PQ 交AM 於 R.
求L 與1 L 的交點的座標為2
由性質 5.5.2 知道 PQ 中點軌跡即是局部雙曲線，這是一個很好的結果，可以明確 地畫出這條曲線。自此之後，要求的過任一點的平分面積線，就可以大幅簡化為過點 對此局部曲線作切線。過點對雙曲線作切線方法請參見第 5.1 節。圖 5.5.5 展示了此曲 線，其中虛線部分是雙曲線的延伸部分，用以凸顯其漸近於三角形的邊。
A
B C
F E
D H
G I
A
B C
圖 5.5.5 面積平分包絡曲線 圖 5.5.6 三角形內部面積平分包絡曲線 圖 5.5.6 是將圖 5.5.5 內部放大後的圖，並描繪出三角形的中線。因為中線必平分 三角形面積，故亦相切於平分包絡曲線，亦是二段平分包絡曲線的公切線。
定義 5.5.1 三角形面積平分包絡曲線
三角形存在有一內部的曲線，使得此曲線的切線均為此三角形的面積平分線，稱 此曲線為三角形面積平分包絡曲線。
性質 5.5.3
三角形面積平分包絡曲線構成一封閉區域，且三個端點即為三中線的中點 證明：如圖 5.5.6，先考慮局部雙曲線 DF 段，包絡出此段雙曲線的面積平分線，
其面積平分線段端點一端在AI 、另ㄧ端在CG，
故範圍限制的端點為過點A 與點 C,而過點 A 與點 C 的面積平分線即為中線，
由性質 5.5.2 知面積平分包絡曲線是平分線段的中點軌跡，
故雙曲線DF 段的端點即中線AG與CI 的中點，
同理，雙曲線DE 段的端點即中線AG與BH 的中點，
同理，雙曲線EF 段的端點即中線 BH 與CI的中點，
此三組端點兩兩重合，故恰圍成一封閉區域。得證。
(1)三角形的三中線將面積平分包絡曲線構成的封閉區域分成六塊區域(請參見圖
將三角形的面積平分線性質推廣到任意凸多邊形，並以四邊形為例討論。
連BN,過 M 作BN的平行線交CD於F.作點 G 使點 F 為EG中點。
(2)因為 BF 是ΔBEG中線，亦即BF 是ΔBEG面積平分線。
由性質 5.5.1 可知MN也是ΔBEG面積平分線，
由圖 5.5.10 與性質 5.5.1 可得 PQ 也是ΔBEG面積平分線。
由定理 5.5.2 可得 PQ 所包絡的軌跡為一局部的雙曲線，
局部曲線是因P∈AB Q CD, ∈ 所限制條件，
再由性質 5.5.2 得此包絡線和 PQ 的中點軌跡重合。得證。
在性質 5.5.5 中，AB 、CD若改為平行線段，修正如下。
性質 5.5.6
如圖 5.5.12，假設多邊形中有二邊是二段平行線段AB 、CD，面積平分線MN和 AB 、CD分別交於M,N 兩點， AB 上有一動點 P,連NP，並過M 作NP的平行線 交CD於Q,則 PQ 亦為面積平分線，且 PQ 恆過MN之中點R.
證明：因為MQNP 為平行四邊形，故ΔMPR面積=ΔNQR面積，且對角線互相平分。
若面積平分線MN是面積平分線，則PQ 亦為面積平分線，且 PQ 中點 R.得證。
不妨視R 點為極端受限的雙曲線，左右邊界是同一點的局部雙曲線退化情形。
此時，稱這種點為面積平分包絡曲線上的「奇點」。
圖 5.5.12 平行線段包絡軌跡
給定凸多邊形邊上ㄧ點，仿三角形的作法，先作出一條凸多邊形的面積平分直線。
再運用這條面積平分線作出面積平分包絡曲線。
定理 5.5.3
對於任意一個凸n 邊形(n≥4)，必存在至少一個凸 n-1 邊形，滿足：
(1)至少一個頂點共用。
(2)凸 n 邊形的邊，至少有一條未過共用頂點之邊包含於凸 n-1 邊形的邊。
(3)凸 n-1 邊形面積等於凸 n 邊形面積。
證明：如圖 5.5.13，考慮凸 n 邊形A A1 2 A (n n≥4)，保留 n-2 個頂點A A1, 2, ,An−2， 過A 作n A A1 n−1的平行線與A An−2 n−1的延長線交於B 點，
得A A1 2 A Bn−2 面積等於A A1 2 A 面積， n
且頂點A 共用，1 A An−2 n−1仍包含於凸n-1 邊形的邊。得證。
圖 5.5.13 降低邊數 圖 5.5.14 凸四邊形面積平分線 面積平分直線的作法：
對任意一個凸多邊形上的一個頂點M,根據定理 5.5.1，必存在面積平分線。根據 性質 5.5.4，面積平分線必交凸多邊形二點，假設另ㄧ交點是 N.重複引用定理 5.5.3，保留點 N 所在的邊(若 N 為頂點，二側任擇一)，與保留 M 點，使邊數降至 三，可產生一個三角形，面積等於原凸n 邊形。過頂點 M 作此三角形的中線，即 可平分此三角形面積，此直線亦為原凸多邊形的面積平分線。
給定凸多邊形，選定頂點M 之後，尚未能直接判定 N 點所在的邊，需要多嘗試幾 次(凸 n 邊形至多 n-2 次)
面積平分包絡曲線的作法：
根據上述討論與性質 5.5.5 與性質 5.5.6，可得任一凸多邊形的一條面積平分線 MN，在M 點附近取動點 P,進而得面積平分線 PQ ，取 PQ 中點 R,當動點 P 由 M 出發，依逆時針方向，沿凸多邊形繞一圈時，R 點軌跡構成面積平分包絡曲線，
並由上述性質得知，必為多段局部雙曲線的聯集。
又當P 點回到 M 點時，R 點會回到原出發點，故面積平分包絡曲線必為封閉曲線。
圖 5.5.14 為凸四邊形的面積平分線與面積平分包絡曲線示例。
以上涵括的面積平分線是否是這個多邊形的所有面積平分線呢？答案是肯定的。
假設平面上的任一條三角形面積平分線，根據性質 5.5.4，則此線必交多邊形的邊於二 點，假設其中一個交點為P.可依本文的討論方法，作出過多邊形邊上ㄧ點 P 可作多邊 形的面積平分線，根據定理 5.5.1，過 P 點的多邊形面積平分線恰僅一條，該面積平分 線與本文所作出的面積平分線為同一條直線。故本文的討論方法涵括所有的多邊形面 積平分線。
結論：給定平面上ㄧ個凸多邊形與一個定點，均可用有限次尺規作圖作出面積平分線。