四、 立體環境下的教學素材開發
4.5 圓錐截痕
圓錐曲線這個名詞的由來，其實即指橢圓、雙曲線與拋物線這三種曲線都是圓錐 截痕，亦即給定一個圓錐體，用一個平面去切割圓錐，可切出上述三種曲線痕跡。
在課程標準中，圓錐曲線的定義是用焦點或準線去定義的，所以要如何說明圓錐 截痕的性質，除了直觀的感覺之外，最常見的方式就是使用模型教具來輔助，如圖 4.5.1~圖 4.5.3, 但是在實際的教學現場，模型的教學效果非常有限，一方面是教師手 上拿著模型時，多數學生很難近距離仔細觀察模型，無法跟上教師的解說；將模型教 具讓同學傳閱時，又無法同時兼顧每個同學觀察時都有教師解說，除非每種模型都大 量製作滿足學生人手一個，但基於成本考量，這又是不太可能的事。
圖 4.5.1 圓錐截痕 橢圓模型
圖 4.5.2 圓錐截痕 雙曲線模型
圖 4.5.3 圓錐截痕 拋物線模型
但 Cabri-3D 改變了這個現況，它具備幾個模型教具沒有的優點，如可以投影至大 螢幕讓所有學生同時觀察，可以動態呈現從各個不同角度觀察，可以局部強調重點幾 何元件如點、線或面等等。在 Cabri-3D 環境下，實作圓錐截痕素材如後：
因論文書面輸出，無法呈現動態效果，故僅擷取代表性靜態圖片展示。
4.5.1 圓錐截痕之橢圓
圖 4.5.4 平面截圓錐 圖 4.5.5 作二切球 圖 4.5.6 切線段軌跡 如圖 4.5.4 給定一圓錐與一平面，二者相交部份即為截痕，截痕上取一動點 P。如 圖 4.5.5 作二個球，同時相切於圓錐體與平面，假設此二球與平面的切點分別為F 與1
F 。如圖 4.5.6 過 P 點對上方小綠球作切線段，構成一個圓錐體，所有的切線段等長，2
所有的切點構成小綠球面上的一圓如圖 4.5.7，假設該圓與圓錐體的交點為 B 點，則 PF1 =PB，同理對下方大黃球得PF2 =PA。如圖 4.5.8PF1+PF2 =PA PB AB+ = ，線段 AB 的長度與 P 點的所在位置無關，為一定值。如圖 4.5.9 平面與圓錐的截痕軌跡滿足
1 2
PF +PF =定值，即滿足橢圓的定義，故此截痕軌跡為橢圓。
圖 4.5.7 切線段等距 圖 4.5.8 距離和定值 圖 4.5.9 橢圓定義
4.5.2 圓錐截痕之雙曲線
圖 4.5.10 平面截圓錐 圖 4.5.11 作二切球 圖 4.5.12 切線段軌跡 如圖 4.5.10 給定一圓錐與一平面，二者相交部份即為截痕，截痕上取一動點 P。
如圖 4.5.11 作二個球，同時相切於圓錐體與平面，假設此二球與平面的切點分別為F1 與F 。如圖 4.5.12 過 P 點對上方小綠球作切線段，構成一個圓錐體，所有的切線段等2 長，所有的切點構成小綠球面上的一圓如圖 4.5.13，假設該圓與圓錐體的交點為 A 點，
則PF1 =PA，同理對下方大黃球得PF2 =PB。如圖 4.5.14 PF1−PF2 = PA PB− =AB， 線段AB 的長度與 P 點的所在位置無關，為一定值。如圖 4.5.15 平面與圓錐的截痕軌 跡滿足 PF1−PF2 = 定值，即滿足雙曲線的定義，故此截痕軌跡為雙曲線。
圖 4.5.13 切線段等距 圖 4.5.14 距離差定值 圖 4.5.15 雙曲線定義
4.5.3 圓錐截痕之拋物線
圖 4.5.16 平面截圓錐 圖 4.5.17 作切球 圖 4.5.18 切線段軌跡 如圖 4.5.16 給定一圓錐與一平行圓錐側高的平面 E，二者相交部份即為截痕，截 痕上取一動點 P。如圖 4.5.17 作一個球，同時相切於圓錐體與平面，假設此球與平面 的切點分別為F 。如圖 4.5.18 過 P 點對球作切線段，構成一個圓錐體，所有的切線段 等長，所有的切點構成球面上的一圓如圖 4.5.19，假設該圓與圓錐體的交點為 G 點，
則PF =PG。如圖 4.5.20 過點 G 作垂直於圓錐體對稱軸的平面 'E ，與原平面 E 交於 一線 L，如圖 4.5.21 過點 P 對直線 L 作垂足 T，過點 P 對平面 'E 作垂足 R。
圖 4.5.19 切線段等長 圖 4.5.20 作準線 圖 4.5.21 過 P 作垂足
圖 4.5.22 同位角相等 圖 4.5.23 同位角相等 圖 4.5.24d P F
(
,)
=d P L(
,)
如圖 4.5.22∠RPT =w=圓錐體的側高與對稱軸的夾角，如圖 4.5.23∠RPG w= ， 因此∠RPT = ∠RPG，故ΔRPT ≅ ΔRPG ASA( )，得PG PT= =d P L
(
,)
，配合前述PF =PG，如圖 4.5.24 得平面與圓錐的截痕軌跡滿足PF d P L=
(
,)
，即滿足拋物線的定義，如圖 4.5.25 故此截痕軌跡為拋物線。
圖 4.5.25 拋物線定義
4.5.4 圓柱截痕
平面截圓柱也可以產生橢圓，但無法產生拋物線或雙曲線。
圖 4.5.26 平面截圓柱 圖 4.5.27 作二切球 圖 4.5.28 切線段軌跡 如圖 4.5.26 給定一圓柱與一平面，二者相交部份即為截痕，截痕上取一動點 P。
如圖 4.5.27 作二個球，同時相切於圓柱體與平面，假設此二球與平面的切點分別為F1 與F 。如圖 4.5.28 過 P 點對上方小黃球作切線段，構成一個圓錐體，所有的切線段等2 長，所有的切點構成小黃球面上的一圓如圖 4.5.29，假設該圓與圓錐體的交點為 B 點，
則PF2 =PB，同理對下方大綠球得PF1 =PA。如圖 4.5.30PF1+PF2 =PA PB AB+ = ， 線段AB 的長度與 P 點的所在位置無關，為一定值。如圖 4.5.31 平面與圓錐的截痕軌 跡滿足PF1+PF2 =定值，即滿足橢圓的定義，如圖 4.5.32 故此截痕軌跡為橢圓。
圖 4.5.29 切線段等距 圖 4.5.30 距離和相等 圖 4.5.31 距離和定值