第四章 研究結果
第四節 回答問題策略
低
總體 高 SMQ SP、SMQ
中 SMQ SP、SMQ
低 OSMQ SMQ
註：僅列出達顯著相關的項目
第四節 回答問題策略
回答問題策略是透過學生在使用不同閱讀學習模組的學習，對學習過程中填 寫的問題答案作分析的結果。其中 SP 版本是完成類似工作例結構的練習題時所 使用的策略；而 SMQ 版本和 OSMQ 版本則是分析回答後設認知問題時所使用的 策略。
一、SP 版本閱讀學習模組的回答問題策略 (一)局部層次問題
練習 1 是檢測等高三角形面積比等於底邊比概念的題目，其中圖形所放置的 方向不同，並使用與工作例 1 類似的英文字母來標示頂點，但比例式的前後項與 工作例所使用的相同，均是由高所在的銳角三角形與鈍角三角形的比。表 4-4-1 顯示 85 位學生在練習 1 的解題分類：
表 4-4-1 練習 1 各知識程度分類
的答案。從練習 2 的程度分類中可以看出，高程度的學生有較好的解題表現，中 和低程度學生較容易因未能察覺全部細節，而導致無法寫出正確的解答。
練習 3 是檢測同底等高的三角形面積相同的概念，圖形的放置方向和所標示 頂點字母與工作例類同，但工作例是說明以梯形的上底為同底的兩個三角形面積 相等，而練習 3 則是設計讓學生說明以梯形的下底為同底的兩個三角形面積相等 的題目。表 4-4-3 顯示 85 位學生在練習 3 的解題分類：
表 4-4-3 練習 3 各知識程度分類
練習 3 分類 各程度人數
高 中 低 總人數
1.一無所知 0 1 5 6 (7.1%)
2.知道相關概念存在，但不清楚其中的細節 1 1 1 3 (3.5%) 3.回想或察覺部分細節，但不太肯定 11 19 20 50 (58.8%) 4.滿懷信心地相信 16 7 3 26 (30.6%) 由表 4-4-3 可知，有 30.6%的學生能寫出完全正確的解答，而無法寫出清晰 解題過程 (分類 1 及分類 2) 的學生數也與前兩個練習相約。其中比較特別的是，
有 26 位學生雖然能寫出正確的解答，但其中 18 位是模仿工作例作高的方式，畫 出梯形的外面，如圖 4-4-1 所示，只有 8 位學生是把所求三角形的高表示為頂點 到底邊的垂線段，而 3 位低程度的學生均屬於前者，即低程度學生通常會以模仿 工作例的方式作為解題的依據。而 50 位學生未能正確寫出解答的原因，有 16 位是寫出與工作例位置相同 (即以梯形上底為同底) 的兩個三角形的面積公式，
即書寫過程中的三角形面積代號有依據練習 3 的元素，但三角形的底和高卻使用 與工作例所呈現相同位置的底和高；而有 24 位是完全忽略題目的要求，直接使 用與工作例完全相同位置的三角形及其代號來說明面積相等；有 4 位學生所寫的 解答已經呈現出正確的概念，但在書寫時卻出現錯誤的符號；有 2 位學生是因為 直接抄寫工作例所顯示的符號來表示練習 3 的答案所引起的錯誤；有 4 位學生在 證明過程中使用由求證敘述倒推兩高相等或沒有說明高相等的原因。從練習 3 的知識程度分類中可以看出與練習 2 有類似的結果，高程度學生有較好的解題表 現，中和低程度學生較容易因未能察覺全部細節，而導致無法寫出正確的解答問 題。
圖 4-4-1 學生回答練習 3 範例
(二)整體層次問題
練習 4 是平行線截比例線段的題目，所標示頂點字母與工作例類同，但把圖 形的放置方向作 90 度方向旋轉，比例順序不變。表 4-4-4 顯示 85 位學生在練習 4 的解題分類：
表 4-4-4 練習 4 各知識程度分類
練習 4 分類 各程度人數
高 中 低 總人數
1.一無所知 0 1 5 6 (7.1%)
2.知道相關概念存在，但不清楚其中的細節 0 0 3 3 (3.5%) 3.回想或察覺部分細節，但不太肯定 15 20 19 54 (63.5%) 4.滿懷信心地相信 13 7 2 22 (25.9%) 由表 4-4-4 可知，有 25.9%的學生能寫出正確的解答，而無法寫出清晰解題 過程的學生數也與前三個練習相約。而 54 位學生未能正確寫出解答的原因，有 14 位兩個比例等式中，至少有一個沒有找到對應的三角形；有 8 位兩個比例式 都沒有找到對應的三角形或它們的面積比和邊長比顛倒處理；有 13 位寫出正確 的邊長和三角形面積的比例式，卻沒有或不正確說明面積相等的原因；另外有 13 位有找到大部分證明過程的元素，但書寫邏輯或所用符號不完全正確；有 6 位的證明過程中，三角形的邊長或面積代號依工作例的符號來書寫。從練習 4 的程度分類中可以看出與前面練習有類似的結果，高程度學生有較好的理解能力，
中和低程度學生較容易因未能察覺全部細節，而導致無法寫出正確的解答。
上述各練習中，有不少比例的學生只能達到層次 3，即雖已察覺部分解題的 細節，但對證明內容仍然不是十分肯定。從學生的答案中，可把未能呈現正確解
答的原因可以分為抄寫錯誤、概念錯誤和書寫錯誤三類，抄寫錯誤是指練習中的 元素代號依工作例來書寫；概念錯誤是指沒有正確依照題目該有的正確概念來完 成練習，如沒有找到三角形正確的底或高、沒有交待高相等或面積相等的原因等；
書寫錯誤是指所呈現的概念正確，但因為對題目的誤解或書寫時不小心所引致的 錯誤。表 4-4-5 顯示各種錯誤類型分佈的情形：
表 4-4-5 各練習題中錯誤類型分佈
練習 1 練習 2 練習 3 練習 4 抄寫錯誤 14 (16.5%) 1 (1.2%) 2 (2.4%) 6 (7.1%) 概念錯誤 8 (9.4%) 32 (37.6%) 44 (51.8%) 27 (31.8%) 書寫錯誤 5 (5.9%) 18 (21.2%) 4 (4.7%) 13 (15.3%)
由表 4-4-5 可知練習 1 的錯誤來源多半源自於抄寫錯誤，而另外三道練習題 的錯誤則較多與概念不正確有關。
二、SMQ 版本與 OSMQ 版本閱讀學習模組的回答問題策略 (一)理解性問題
活動 1 和綜合活動 5 均是理解性問題，學生需要從工作例的內容中，分別回 答已知條件和想要證明的內容，表 4-4-6 和表 4-4-7 顯示 169 位分別使用 SMQ 版 本和 OSMQ 版本的學生，他們回答理解性問題所使用的策略。
表 4-4-6 各程度學生在活動 1 的回答問題策略
活動 1
學生程度
總數
H M L
SMQ OSMQ SMQ OSMQ SMQ OSMQ SMQ OSMQ
1.沒有反思 1 0 1 0 5 0 7 0
2.重覆 0 1 1 1 8 5 9 7
3.猜測 0 0 7 1 3 2 10 3 4.解釋 3 8 2 6 3 7 8 21 5a.元素間的理解 15 10 13 13 9 11 37 34 5b.推論性理解 9 8 4 6 1 5 14 19
表 4-4-7 各程度學生在綜合活動 5 的回答問題策略
若以活動 1 與綜合活動 5 各層次所呈現的人數作比較，透過 Pearson 卡方檢 定發現，對於不同層次的證明題，雖然同樣都是回答理解性問題 (
χ
2＝26.750，p＜.001) 卻存在顯著差異，由表 4-4-6 和表 4-4-7 提供的數據可以發現：
(1)整體層次證明題(綜合活動 5)中有較多沒有產生合適反思的表現(層次 1)，
尤其在低程度學生中更為明顯；
(2)整體層次證明題(綜合活動 5)中有較多以例題中元素說明條件或結論的反 思表現(層次 5a)，尤其在中高程度的學生中較明顯；
(3)局部層次證明題(活動 1)中，OSMQ 版本有較多的學生可以推論到證明的 性質(層次 5b)；
(4)不管對哪一個程度的學生，局部層次證明題(活動 1)中都有較多以解釋內 容的推理過程方式(層次 4)來回答理解性問題。
(二)連結性問題
活動 2 和綜合活動 4 均是連結性問題，學生需要從工作例的內容中，回答證 明過程所應用到的數學知識，表 4-4-8 和表 4-4-9 分別顯示 169 位使用 SMQ 版本 和 OSMQ 版本的學生，他們回答連結性問題所使用的策略。其中，在學生回答 與證明內容有關的先備知識時，可能會同時出現無效的連結、連結到相關的程序 性或概念性知識、或連結到證明的性質，因此連結性問題的答案分類，將按學生 答案的數量作比例上的分配，如圖 4-4-2 顯示學生 SC311 回答活動 2 中提到三個 學生曾學過的數學內容，分別是「作角平分線」、「比例」和「三角形面積公式」， 但其中「作角平分線」與該證明題的內容無關，因此在分類上將以分類 4 (連結 到與解題無關的先備知識) 佔三分之一；分類 5a (連結到程序性或概念性知識的 概念) 佔三分之二的方式計算，即學生 SC311 在回答活動 2 的分類，將被歸類為
1 0.33
3≈ 屬於分類 4 和2
3≈0.67屬於分類 5a。
圖 4-4-2 學生回答連結性問題範例
表 4-4-8 各程度學生在活動 2 的回答問題策略
(2)中數學程度學生在活動 2 (
χ
2＝1.882，p＝.865) 和綜合活動 4 (χ
2＝2.665，p＝.615) 中，兩個閱讀學習模組的表現均沒有達到統計上的顯著差異；
(3)低數學程度學生在活動 2(
χ
2＝7.934，p＝.160) 和綜合活動 4(χ
2＝5.108，p＝.403)中，兩個閱讀學習模組的表現均沒有達到統計上的顯著差異。
因此，不同數學程度的學生在回答連結性問題時所使用的策略大致相同。若 以活動 2 與綜合活動 4 各層次所呈現的人數作比較，透過 Pearson 卡方檢定發現，
對於不同層次的證明題，雖然同樣都是回答連結性問題 (
χ
2＝27.377，p＜.001) 卻存在顯著差異，由表 4-4-8 和表 4-4-9 提供的數據可以發現：(1)在整體層次證明題(綜合活動 4)中有較多沒有產生合適反思的表現(層次 1)，尤其在低程度學生中更為明顯；而在局部層次證明題(活動 2)中則有 較多以只重覆抄寫例題的步驟作為連結性問題的答案；
(2)在局部層次證明題(活動 2)中有較多以連結到程序性或概念性知識的概念 的有效解題知識的反思表現(層次 5a)，而在整體層次證明題(綜合活動 4) 中則有較多推論到證明的性質的有效連結(層次 5b)；
(三)反思性問題
活動 3 和綜合活動 1 均是反思性問題，學生需要從工作例的內容中，回答認 為最重要的證明步驟，並說明原因，表 4-4-10 和表 4-4-11 分別顯示 169 位使用 SMQ 版本和 OSMQ 版本的學生，他們回答反思性問題所使用的策略。
表 4-4-10 各程度學生在活動 3 的回答問題策略
活動 3
學生程度
總數
H M L
SMQ OSMQ SMQ OSMQ SMQ OSMQ SMQ OSMQ
1.沒有反思 1 0 0 0 7 1 8 1 2.重覆 0 1 3 5 6 14 9 20 3.猜測 1 1 2 1 7 5 10 7
4.監控 4 2 1 4 1 2 6 8
5a.反思元素關係 17 15 18 12 8 8 43 35 5b.反思證明性質 5 8 4 5 0 0 9 13
表 4-4-11 各程度學生在綜合活動 1 的回答問題策略
(2)在 OSMQ 版本中，有較多高數學程度的學生以推論到證明的性質為理由
答總結性問題時是有不同的影響。若以不同數學程度學生的回答分類作比較，則
性質來解釋證明過程的相關概念。若以 SMQ 版本和 OSMQ 版本所呈現的結果作
要求；特別地，練習 3 中即使寫出正確證明過程的 26 名學生解答中，有 18 名學
的表現中，不同版本的學生有較不一致的表現，SMQ 版本的學生多數以空白或 寫出無關內容來回答問題，增加結構總覽圖示的 OSMQ 版本有較多的學生會重 覆抄寫工作例的步驟作為答案，或許結構總覽圖示有給予學生一些啟發，但礙於 學生的程度，卻只能以工作例的內容來作為重要性的依據。在理解性問題的回答 策略分類中也有類似的情形，能透過題目的元素或推論的性質指出已知條件和想 要證明的內容的學生人數，兩個版本之間其實沒有太大的區別，對還沒有正式學
的表現中，不同版本的學生有較不一致的表現，SMQ 版本的學生多數以空白或 寫出無關內容來回答問題，增加結構總覽圖示的 OSMQ 版本有較多的學生會重 覆抄寫工作例的步驟作為答案，或許結構總覽圖示有給予學生一些啟發，但礙於 學生的程度，卻只能以工作例的內容來作為重要性的依據。在理解性問題的回答 策略分類中也有類似的情形，能透過題目的元素或推論的性質指出已知條件和想 要證明的內容的學生人數，兩個版本之間其實沒有太大的區別，對還沒有正式學