結合不同學習策略的工作例對理解幾何證明之影響研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 結合不同學習策略的工作例對理解幾何證明之影響研究. 研究生：李健恆. 中華民國一○一年七月.

(2) 誌謝辭兩年前一個任性的想法，到寫下謝辭的這一刻，只能說今天的我比兩年前的我更體會到自己的不足。感謝指導教授左台益老師，從不嫌棄我基礎不好，總是不斷給予很多不同的學習機會和指導，也常把不小心陷入教學角色的我，適時拉回學習做研究的路上。在理論與實務兩個世界中遊走，我隱約看到它們之間的一條通道，希望藉著這兩年跟老師所學的，有一天可以親身走走看，告訴兩年前的自己我做了一個正確的決定。感謝我過去的學生們，給予我研究方向的很多啟發；感謝我過去的同事們，總是願意跟我分享你們的寶貴經驗，也給我很多支持和鼓勵，這些點點滴滴，都是潛藏在論文背後不能取代的重要經歷；同時也很感謝政德、鳳琳、偉斌、巧倪、振源、慶安、康鈞，少了你們的幫忙，實驗數據就沒有信度可言，也謝謝你們給予很多論文修改的建議，讓研究的結果可以更有效地展現它的內容。特別想感謝鳳琳所做的努力，讓我的論文可以在一個好的架構上繼續發展；也謝謝淑娟幫我找到實驗班級以及不厭其煩地從旁協助，讓研究的結果能更真實地呈現。當然更重要的是要感謝我的口試委員，得到鄭英豪老師和吳昭容老師的指導，對很多研究不盡完善的地方，提出了客觀且具反思性的意見，結合指導教授的修改建議，才讓論文順利完成修訂。最後想感謝一路陪伴著我的家人，你們總都能諒解我的任性與固執，而且不斷支持我走自己想走的路，因為有你們的陪伴，一直都是我能夠勇敢走下去的原動力，謝謝你們！.

(3) 結合不同學習策略的工作例對理解幾何證明之影響研究摘要. 幾何證明是發展數學思維和學習演繹推理的重要工具，卻也是學生數學學習的難點之一。工作例是展示數學思維的基本方式，因此尋找合適的學習策略結合工作例來理解幾何證明的內容是值得探討的議題。我們以平行線截比例線段證明做為工作例的內容，在電腦環境下閱讀相關證明後，配合練習或後設認知問題所形成的閱讀學習模組，以檢驗對學生理解幾何證明的影響。本研究選取 254 位尚未學習幾何演繹證明的八年級學生，使用理解測驗問卷和認知負荷感受量表，分別檢測學生能否理解相關的內容和其學習成效的保留情況，以及學生的認知負荷感受。從學生回答問題的策略檔案中，進一步分析學生的學習過程與理解幾何證明之間的關係。研究結果顯示，使用類似結構的練習策略有助於學生在當下的理解，但卻容易受工作例所產生的原型影響，僅使用模仿改編策略來回答問題；回答後設認知問題對學生來說是較困難的學習任務，但卻能反映學生真正的理解程度且產生較好的保留成效。因此，後設認知問題可以作為幫助學生反思的理想工具，適當搭配練習題的優點相信能有助於學生理解幾何演繹證明的內容。關鍵字：幾何證明、工作例、後設認知、認知負荷.

(4) The Effects of Worked-out Examples with Different Strategies on Comprehending Geometry Proof Abstract Geometry proof is an important tool for the development of the mathematical thinking and the learning deductive reasoning; nevertheless, geometry proof is also one of the learning difficulties for students. Worked-out example is a fundamental approach to demonstrate mathematical thinking. Thus, the topic of finding suitable learning strategies in order to understand geometry proof is worth to discuss. The effects of comprehending geometry proof are detected under using different reading learning modes. Proofs are showed with a computer setting. The reading learning modes are formed by worked-out examples with practices or metacognition questions. The intercept theorem (or Thales' theorem) is used as the presenting content of worked-out examples. 254 eighth grade students who have not learned deductive proof are chosen for this research. Reading comprehension test is used to examine students’ understanding and conservation of learning effects. Students also need to fill out the rating-scale measurement of cognitive load. Furthermore, we investigate the relationship between learning process and comprehending geometry proof from students’ writing files of responding questions. The results show that practice with similar structure of worked-out example is helpful for the instant understanding for students; however, students are affected by the prototype of worked-out examples which tend to use copy-and-adapt strategy for doing practices. On the other hand, learning task combined with metacognition questions are more difficult than practices; however, metacognition questions reflect the students’ level of understanding and provide a better conservation. Hence, metacognition question is an ideal tool which is helpful for the reflection in student learning. It is suggested that proper pair of the metacognition question with the advantage of practices may support students to understand the content of deductive proof. Keywords: geometry proof, worked-out example, metacognition, cognitive load.

(5) 目次第一章緒論 ........................................................................................................... 1 第一節研究背景與動機 .................................................................................. 1 第二節研究目的與問題 .................................................................................. 5 第二章文獻探討 ................................................................................................... 7 第一節閱讀理解與幾何證明 .......................................................................... 7 第二節閱讀學習模組構成要素 .................................................................... 11 第三節認知負荷感受 .................................................................................... 17 第三章研究方法 ................................................................................................. 23 第一節研究對象 ............................................................................................ 23 第二節研究設計 ............................................................................................ 25 第三節研究工具 ............................................................................................ 26 第四節研究流程 ............................................................................................ 32 第五節資料處理與分析 ................................................................................ 33 第六節研究限制 ............................................................................................ 41 第四章研究結果 ................................................................................................. 42 第一節理解表現 ............................................................................................ 42 第二節認知負荷感受 .................................................................................... 60 第三節理解表現與認知負荷感受之關聯 .................................................... 70 第四節回答問題策略 .................................................................................... 73 第五節理解表現與回答問題表現之關係 .................................................... 88 第五章結論與建議 ............................................................................................. 97 第一節結論 .................................................................................................... 97 第二節建議 .................................................................................................... 99 參考文獻 ................................................................................................................... 101 一、中文部分 .................................................................................................. 101 二、英文部分 .................................................................................................. 101 附錄一：幾何證明內容 ........................................................................................... 108 附錄二：學習單 ....................................................................................................... 110 附錄三：認知負荷感受量表 ................................................................................... 116 附錄四：幾何證明理解測驗問卷 ........................................................................... 117 附錄五：理解測驗評分細則說明 ........................................................................... 119 附錄六：各練習題知識程度編碼細則說明 ........................................................... 125 附錄七：各後設認知問題編碼分類細則說明 ....................................................... 133.

(6) 表目次表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表. 2-1-1 2-3-1 2-3-1 2-3-2 3-1-1 3-1-2 3-1-3 3-3-1 3-5-1 3-5-2 3-5-3 3-5-4 3-5-5 3-5-6 3-5-7 4-1-1 4-1-2 4-1-3 4-1-4 4-1-5 4-1-6 4-1-7 4-1-8 4-1-9 4-1-10 4-1-11 4-1-12 4-1-13 4-1-14 4-1-15 4-1-16 4-1-17 4-1-18 4-2-1 4-2-2 4-2-3. 平行線截比例線段定理中所包含的知識以及知識的掌握程度 ........... 10 各種後設認知策略的分類 ....................................................................... 16 NASA-TLX 量表指標意義 ...................................................................... 20 認知負荷感受評量指標 ........................................................................... 21 前導性研究之各閱讀學習模組學生分配表 ........................................... 23 正式施測之各閱讀學習模組學生分配表 ............................................... 24 各閱讀學習模組的有效樣本數統計表 ................................................... 25 認知負荷感受量表內容說明 ................................................................... 31 理解測驗問卷的內部一致性信度 ........................................................... 34 理解測驗評分標準 ................................................................................... 34 練習 1 及練習 2 的分析架構 ................................................................... 36 練習 3 的分析架構 ................................................................................... 37 練習 4 的分析架構 ................................................................................... 38 後設認知問題的分析架構 ....................................................................... 39 認知負荷感受量表的內部一致性信度 ................................................... 40 學生閱讀幾何證明內容的平均時間 ....................................................... 42 學生在理解表現後測中各層次的描述統計 ........................................... 43 閱讀學習模組與數學程度對後測微觀層次的二因子變異數分析 ....... 43 閱讀學習模組與數學程度對後測局部層次的二因子變異數分析 ....... 45 閱讀學習模組與數學程度對後測整體層次的二因子變異數分析 ....... 46 閱讀學習模組與數學程度對後測總體層次的二因子變異數分析 ....... 48 閱讀學習模組與數學程度對學生在後測中的影響 ............................... 49 學生在延後測中各層次的描述統計 ....................................................... 50 閱讀學習模組與數學程度對延後測微觀層次的二因子變異數分析 ... 51 閱讀學習模組與數學程度對延後測局部層次的二因子變異數分析 . 52 閱讀學習模組與數學程度對延後測整體層次的二因子變異數分析 . 53 閱讀學習模組與數學程度對延後測總體層次的二因子變異數分析 . 55 閱讀學習模組與數學程度對學生在延後測中的影響 ......................... 56 後測微觀-延後測微觀層次表現的成對樣本 T 檢定分析 ................... 57 後測局部-延後測局部層次表現的成對樣本 T 檢定分析 ................... 58 後測整體-延後測整體層次表現的成對樣本 T 檢定分析 ................... 58 後測總體-延後測總體層次表現的成對樣本 T 檢定分析 ................... 59 閱讀學習模組與數學程度對學生在後測與延後測的比較和影響 ..... 60 學生認知負荷感受各面向的敘述統計 ................................................... 60 閱讀學習模組與數學程度對閱讀意願的二因子變異數分析 ............... 61 閱讀學習模組與數學程度對困難度的二因子變異數分析 ................... 62.

(7) 表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表表. 4-2-4 4-2-5 4-2-6 4-2-7 4-3-1 4-3-2 4-3-3 4-3-4 4-4-1 4-4-2 4-4-3 4-4-4 4-4-5 4-4-6 4-4-7 4-4-8 4-4-9 4-4-10 4-4-11 4-4-12 4-4-13 4-4-14 4-4-15 4-5-1 4-5-2 4-5-3 4-5-4 4-5-5 4-5-6 4-5-7 4-5-8 4-5-9 4-5-10. 閱讀學習模組與數學程度對花費心力的二因子變異數分析 ............... 64 閱讀學習模組與數學程度對信心的二因子變異數分析 ....................... 65 閱讀學習模組與數學程度對投入努力的二因子變異數分析 ............... 67 閱讀學習模組與數學程度對學生認知負荷感受的影響 ....................... 68 SP 版本學生的認知負荷感受與理解之 Pearson 相關 ........................... 70 SMQ 版本學生的認知負荷感受與理解之 Pearson 相關....................... 71 OSMQ 版本學生的認知負荷感受與理解之 Pearson 相關.................... 72 各認知負荷感受與理解層次的關聯 ....................................................... 73 練習 1 各知識程度分類 ........................................................................... 74 練習 2 各知識程度分類 ........................................................................... 74 練習 3 各知識程度分類 ........................................................................... 75 練習 4 各知識程度分類 ........................................................................... 76 各練習題中錯誤類型分佈 ....................................................................... 77 各程度學生在活動 1 的回答問題策略 ................................................... 77 各程度學生在綜合活動 5 的回答問題策略 ........................................... 78 各程度學生在活動 2 的回答問題策略 ................................................... 80 各程度學生在綜合活動 4 的回答問題策略 ........................................... 80 各程度學生在活動 3 的回答問題策略 ................................................. 81 各程度學生在綜合活動 1 的回答問題策略 ......................................... 82 各程度學生在綜合活動 2 的回答問題策略 ......................................... 83 各程度學生在綜合活動 3 的回答問題策略 ......................................... 84 在 SMQ 和 OSMQ 版本中回答後設認知問題之間的差異總表 ......... 86 在兩個不同層次問題中回答後設認知問題之間的差異總表 ............. 87 各閱讀學習模組版本的回答問題量化表現數據統計 ........................... 88 高數學程度學生使用 SP 版本各表現得分 ............................................ 89 高數學程度學生使用 SMQ 版本各表現得分 ........................................ 89 高數學程度學生使用 OSMQ 版本各表現得分 ..................................... 90 中數學程度學生使用 SP 版本各表現得分 ............................................ 91 中數學程度學生使用 SMQ 版本各表現得分 ........................................ 92 中數學程度學生使用 OSMQ 版本各表現得分 ..................................... 93 低數學程度學生使用 SP 版本各表現得分 ............................................ 93 低數學程度學生使用 SMQ 版本各表現得分 ........................................ 94 低數學程度學生使用 OSMQ 版本各表現得分 ................................... 95.

(8) 圖目次圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 1-1-1 1-2-1 2-1-1 2-1-2 2-3-1 3-3-1 3-3-2 3-3-3 3-4-1 4-1-1 4-1-2 4-1-3 4-1-4 4-1-5 4-1-6 4-1-7 4-1-8 4-1-9 4-1-10 4-1-11 4-1-12 4-1-13 4-1-14 4-1-15 4-1-16 4-2-1 4-2-2 4-2-3 4-2-4 4-2-5 4-2-6 4-2-7 4-2-8 4-2-9 4-2-10 4-4-1. 修改自 Steinbring (2006) 認識論的三角形.............................................. 2 研究架構圖 ................................................................................................. 5 幾何範典與 Van Hiele 幾何思考層次之相互作用 ................................... 8 RCGP 的一個假設性模型及其五個面向的整合圖 ................................. 9 有效學習中學習者記憶容量關係圖 ....................................................... 18 閱讀環境操作一份論文能完成說明版面 ............................................... 27 SP 版本及 SMQ 版本的工作例設計版面配置圖 ................................... 27 OSMQ 版本中結構總覽圖示的設計版面 .............................................. 28 研究流程圖 ............................................................................................... 33 不同閱讀學習模組對學生在後測微觀層次的表現 ............................... 44 不同數學程度學生在後測微觀層次的表現 ........................................... 44 不同閱讀學習模組對學生在後測局部層次的表現 ............................... 45 不同數學程度學生在後測局部層次的表現 ........................................... 46 不同閱讀學習模組對學生在後測整體層次的表現 ............................... 47 不同數學程度學生在後測整體層次的表現 ........................................... 47 不同閱讀學習模組對學生在後測總體層次的表現 ............................... 48 不同數學程度學生在後測總體層次的表現 ........................................... 49 不同閱讀學習模組對學生在延後測微觀層次的表現 ........................... 51 不同數學程度學生在延後測微觀層次的表現 ..................................... 52 不同閱讀學習模組對學生在延後測局部層次的表現 ......................... 53 不同數學程度學生在延後測局部層次的表現 ..................................... 53 不同閱讀學習模組對學生在延後測整體層次的表現 ......................... 54 不同數學程度學生在延後測整體層次的表現 ..................................... 54 不同閱讀學習模組對學生在延後測總體層次的表現 ......................... 56 不同數學程度學生在延後測總體層次的表現 ..................................... 56 不同閱讀學習模組對學生的閱讀意願感受 ........................................... 62 不同數學程度的學生的閱讀意願感受 ................................................... 62 不同閱讀學習模組對學生的困難度感受 ............................................... 63 不同數學程度的學生的困難度感受 ....................................................... 63 不同閱讀學習模組對學生的花費心力感受 ........................................... 65 不同數學程度的學生的花費心力感受 ................................................... 65 不同閱讀學習模組對學生的信心指數 ................................................... 66 不同數學程度的學生的信心指數 ........................................................... 66 不同閱讀學習模組對學生的投入努力感受 ........................................... 68 不同數學程度的學生的投入努力感受 ................................................. 68 學生回答練習 3 範例 ............................................................................... 76.

(9) 圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 4-4-2 4-5-1 4-5-2 4-5-3 4-5-4 4-5-5 4-5-6 4-5-7 4-5-8 4-5-9. 學生回答連結性問題範例 ....................................................................... 79 高數學程度學生使用 SP 版本各表現得分統計圖 ................................ 89 高數學程度學生使用 SMQ 版本各表現得分統計圖 ............................ 90 高數學程度學生使用 OSMQ 版本各表現得分統計圖 ......................... 90 中數學程度學生使用 SP 版本各表現得分統計圖 ................................ 91 中數學程度學生使用 SMQ 版本各表現得分統計圖 ............................ 92 中數學程度學生使用 OSMQ 版本各表現得分統計圖 ......................... 93 低數學程度學生使用 SP 版本各表現得分統計圖 ................................ 94 低數學程度學生使用 SMQ 版本各表現得分統計圖 ............................ 94 低數學程度學生使用 OSMQ 版本各表現得分統計圖 ......................... 95.

(10) 第一章. 緒論. 第一節研究背景與動機 Healy 與 Hoyles (1998) 認為證明是數學思維和演繹推理的核心。97 年國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的基本理念中也提及，數學能力是國民素質的一個重要指標，而推論能力是數學教育的主軸之一，因此幾何證明成為國中數學課程中重要的學習內容。但根據 Lin 與 Cheng (2003) 的調查顯示，在台灣，剛學完幾何證明的國三學生在兩步驟證明題的表現上，約有四分之一可作出可接受的證明，約三分之一的證明是不完備的，三分之一是空白或無推論的證明，顯示幾何證明一直以來都是學生數學學習的難點之一。幾何證明本身是一種複雜的問題解決的認知過程，Duval (2007) 也認為證明在數學學習中構成一個關鍵門檻，因此尋找可以幫助學生理解幾何證明的方法是值得探討的問題。 Wu (1996) 認為想認識數學的人，都需要去學習如何書寫或者至少去理解證明，而且幾何證明在數學教育的議題中有愈來愈被重視的趨勢，如第十九屆國際數學教學委員會 (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI) 就以“數學證明與論證的教與學 (Proof and proving in mathematics education)” 為專題，探討有關數學證明的相關議題。其中 Kunimune、Fujita 與 Jones (2009) 分析日本 418 名國中學生 (206 位八年級，212 位九年級) 對幾何證明的理解，研究發現有 90% 的八年級學生以及 77% 的九年級學生會認為透過實驗驗證 (experimental verifications) 就足以陳述一個幾何證明是真確的，還不能理解必須透過證明才可以論證幾何陳述的正確性，這說明實驗驗證和演繹推理 (deductive reasoning) 之間的差異並不是大部分國中學生都能正確掌握。透過實驗驗證的方式進行探索，無疑是可以幫助學生理解相關論證的內容；就如同 Boero (1999) 提出對於產生猜想和建講數學證明活動的模型，當中包含六個非線性的階段來描述專家的證明過程，以經驗 (或觀察) 為依據的論證 (empirical arguments) 雖然在探究階段扮演重要的角色，但最後還是需要以演繹的形成對猜想提出證明。因此讓學生理解演繹推理才能作有效的推論，從而培養數學思維。從近年來國際間的學生能力評比 (The Programme for International Student Assessment, PISA; Progress in International Reading Literacy Study, PIRLS) 對閱讀素養的重視，顯示透過閱讀來學習無疑是一種重要的技能，它對學習演繹推理也佔有同樣重要的地位。因此在近年數學教育的研究中，有不少的學者對閱讀證明的議題進行研究 (Selden & Selden, 2003, 2011; 楊凱琳, 2004; Yang & Lin, 2008; 左台益等人, 2011; Weber & Mejia-Ramos, 2011)。Selden 與 Selden (2011) 的研究 1.

(11) 是探討閱讀能力與數學能力均表現良好的學生，在自行閱讀數學教科書時，卻顯示出他們不能理解教科書中所寫的內容。他們嘗試從心理學的角度來說明影響學生閱讀理解的因素，儘管被研究的學生們都能顯現出他們具備良好閱讀者的一些特徵，但數學教科書中所呈現的是對概念性知識和程序性知識的整合，顯示出數學閱讀理解與一般的閱讀理解存在差異，因此探討適當的數學文本閱讀策略來輔助學生學習是值得研究的問題。Selden 與 Selden (2003) 在探討學生透過閱讀來判定數學證明正確性的研究結果，顯示學生對於閱讀來自老師或教科書所呈現的證明，都會先認定一定是正確的，學生們會對權威性 (authoritative) 的來源存有一種認同，但隨著老師或指導者鼓勵學生進行不斷的反思後，他們會重新檢視證明的正確性並作出正確的判斷。因此，他們也同時建議教科書中應增加各種審視證明正確性的練習，如：找出證明中的謬誤 (fallacy)、判斷證明過程的正確性、對證明過程進行評級 (完全正確、部分正確或完全錯誤)、對一個證明或反例進行評價等，其實也是幫助學生對證明進行不同反思的良好建議。正如 Duval (1998) 認為幾何解題活動是需要高度認知要求的複雜過程，而幾何證明是利用嚴謹的演繹方式把幾何的概念呈現出來，並常透過圖形作為物件 (object)，再以數學語言及符號來表達。Luhmann (1997, 引自 Steinbring, 2002) 提出由符號 (sign)、表示意義的符號 (signifier)、符號所表示的意義 (signified) 形成的符號三角形 (semiotic triangle)，而數學概念也是以符號建構的，Steinbring (1989, 2006) 建構認識論的三角形模型，說明知識不能夠單從物件 (object)、符號 (sign) 或概念 (concept) 中的一個就能推論出來的，而是必須靠三者形成一個平衡且相互支持的系統而產生的。幾何證明的學習也是一樣，它必須同時透過幾何圖形、演繹推理符號以及幾何概念三者來形成知識系統。. 圖 1-1-1. 修改自 Steinbring (2006) 認識論的三角形. 不過，透過閱讀來達到這樣的連結對學習者是存在一定的困難，Snow (2002) 認為考慮閱讀理解應該包括讀者 (reader)、內容 (text) 和活動 (activity) 三個元素，因此需要設計合適的活動來幫助學生透過閱讀來學習。其中以工作例 (worked-out examples) 的方式進行教學，較直接進行高負荷量的解題任務來得有效 (Carroll, 1994; Renkl, 2005)，因此工作例的學習被普遍應用到教學以及教科書的編寫中，成為學習的重要工具。van Gog、Kester 與 Paas (2011) 使用電路疑難排解任務的工作例 (worked examples only)、例子-問題 (example-problem pairs) 2.

(12) 以及問題-例子 (problem-example pairs) 與問題解決 (problem solving only) 四種學習策略進行比較，結果發現工作例和例子-問題形式的學習在測試中表現均優於另外兩種學習策略。呂鳳琳 (2010) 透過不同文本呈現方式的幾何證明，探討學生的認知負荷及理解表現之影響，結果發現閱讀切割配合練習文本學生的認知負荷，顯著低於只做切割或切割配合結構引導的閱讀文本，顯示加入相應練習的學習策略，有助於學生進行認知活動。 Flavell 在上世紀七十年代提出認知的認知之後設認知之概念，其意旨一個人對自己認知的歷程、結果或任何與此歷程、結果有關事物的知識 (Flavell, 1976)。對於後設認知訓練的研究，雖然也有未達到立即效果的情況，但大多數均顯示具有增進閱讀者對策略的運用及對理解歷程自我監控的立即效果 (Cross & Paris, 1988; 蘇宜芬、林清山, 1992; King, 1994; Mevarech & Kramarski, 2003; Özsoy & Ataman, 2009)。後設認知與理解的關係應是相當密切的，King (1994) 針對科學課堂的研究表明使用問題去引導孩子們將課堂內的概念或他們的先備知識連結起來，都能讓他們透過建構複雜的知識而增強學習，其中連結到先備知識的問題有更強的學習效果。 Mevarech 與 Kramarski (2003) 分別以工作例教學 (worked-out example) 和後設認知訓練 (metacognitive training) 兩種方法探討八年級時間—距離—速率單元的學習成效，不論在後測或延後測的結果中，受後設認知訓練的學生都優於範例教學者；Mevarech 與 Kramarski 認為接受後設認知訓練學生的理解力較好，有較多的機會去記住相關的學習內容，而且學生獲得解決任務的有效工具，後設認知的問題有助於他們解決新的任務。因此，運用合適的閱讀策略有助於學生內化知識，配合練習或後設認知的提問策略形成的閱讀學習模組輔助學生理解幾何證明是值得探討的研究問題。幾何證明常結合文字符號和幾何圖形的形式呈現，因此理解幾何證明也需要轉換與整合不同的表徵。Duval (2006) 認為不同表徵之間的轉換 (conversion) 是學生的數學學習困難的來源之一，尤其幾何圖形是作為連結概念及推理的中介 (mediation) 角色，對於圖形的理解必須有知覺性的理解 (perceptual apprehension) (Duval, 1998)，即除了能夠辨識或描繪圖形的特性外，也能看到相關圖形的數學性質和對組成圖形的子圖 (subconfiguration) 辨識，才能真正理解幾何證明的內容。隨著資訊科技的發展，在電腦上閱讀各種資訊的情況愈來愈普遍，這種閱讀方式尤其對於圖形的呈現，不但達到快速精美的效果，還能以動態方式展現圖形的變化，將有助於理解各種子圖與幾何圖形之間的關係；而強大的資料庫可以快速連結各種資訊，以超文本的方式閱讀已經是很普遍的一種閱讀模式。Reinking (1992, 2005) 認為閱讀印刷文本與數位文本是不相同的，而數位文本有下列五個. 3.

(13) 特色：(1)建立文本與讀者之間的相互作用；(2)以非線性格式組織及存取資訊； (3)使用更廣範圍的表徵元素(如：聲音、動畫和影像)來表達意義；(4)在閱讀時可擴大自由和控制的範圍以獲取資訊；(5)書寫溝通的習慣或用語改變。多媒體學習就是學生從文字和圖片來建立心智表徵 (mental representations) (Mayer, 2003)，動態連結方式呈現的閱讀文本就是透過數位文本的特色，來突顯文字與圖形之間的關係，以輔助學生順利過渡不同表徵之間的轉換。 Mayer (2009) 定義多媒體學習 (multimedia learning) 為透過文字 (例如：語音文字或印刷文字) 和圖片 (例如：插圖、照片、動畫、錄像等) 來建立心智表徵，而透過多媒體設計學習環境，可根據每位學習者的個別需要，以最適合的方式呈現學習內容，是自我學習的理想工具之一。Ausubel (1960) 提出前導組織 (advance organizers) 的概念，意即利用一個包含學習內容相關概念的前導式說明，為學習者新舊知識作連結，對促進學習和保留的效果有正向的幫助。而前導組織可以文字或圖像等形式呈現，Langan-Fox、Waycott 與 Albert (2000) 認為圖像的前導組織比線性的呈現方式更能傳遞概念之間或跨概念的關係，配合多媒體所具有的超連結優勢，能更迅速及有效整合或展現概念。但另一方面，數位化的學習系統使資訊的傳遞更加複雜，容易造成學習者的認知負荷，導致學習效果不佳，而 John Sweller 在 1980 年代提出認知負荷理論，強調有限的工作記憶區為教學設計有效性之決定因素，而認知負荷普遍被認為是執行特定任務時附加於認知系統中的負荷 (Sweller, van Merrienboer & Paas, 1998)。因此，研究者認為在檢測學習成效的同時，還需要從學習者的閱讀意願、困難度、花費心力、信心指數、投入努力 (左台益等人, 2011) 等面向作探討，才能對動態連結的幾何證明閱讀文本設計作較全面的分析，為輔助幾何學習的動態環境設計提供初步的建議。在學習的初始階段，透過工作例來學習是有效的方法之一。但只獨立呈現工作例的內容並不足以讓學習者掌握其中的原理 (Hilbert, Renkl, Schworm, Kessler & Riess, 2008)，因此設計配合練習和後設認知問題來幫助學生反思所閱讀的工作例內容，透過填答考卷可以知道學生對幾何證明內容的理解狀況。而對於透過上述學習方式而無法達到理解程度的學生，嘗試從透過分析他們的回答問題策略，期望能從中找到可能的原因以及提供改善的方法，以設計更適合學生透過閱讀自行學習的有效方法。. 4.

(14) 第二節研究目的與問題綜合以上所述，幾何證明學習是發展數學推理思維的重要途徑，卻因需要理解其嚴謹的演繹推理過程以及不同表徵的呈現方式，學習上必須克服許多的困難。在資訊快速增長的時代，互聯網瀏覽資訊的普及，透過閱讀學習從而獲得知識是重要的途徑，因此發展適當的閱讀學習策略幫助理解新知識是值得探討的問題，其中配合多媒體的特性以及動態連結的設計，研究者相信將有助於對表徵之間的轉移及轉換，並根據認知負荷理論，期待可以協助學習者透過閱讀來理解幾何證明的內容。而閱讀理解應由讀者、內容和活動 (Snow, 2002) 三個元素所組成，因此本研究針對尚未學習幾何演繹證明的八年級學生，以平行線截比例線段證明作為工作例的內容，在電腦環境下閱讀相關的證明步驟。證明的呈現方式依數學結構，將平行線截比例線段性質的子概念切割為三個例題，以及性質的完整證明共四個例題，配合類似結構的練習題或後設認知問題所形成的閱讀學習模組，其中同為配合後設認知問題的兩個閱讀學習模組的差異，是在呈現四個工作例前先提供一個結構總覽圖示 (structured overview) 來說明整個證明的結構，由此形成了三種不同的閱讀學習模組。本研究使用理解測驗問卷和認知負荷感受量表，作為檢測學生能否理解相關的內容和其學習成效的保留情況，以及學生的認知負荷感受，並分析學生的回答問題策略，從而進一步探討學生的學習過程與理解表現之間的關係。圖 1-2-1 說明本研究的架構圖。. 圖 1-2-1. 研究架構圖. 因此，本研究的目的有二，分別是探討：一、不同的閱讀學習模組對不同數學程度學生的認知負荷感受以及理解的影響。二、不同的閱讀學習模組對學生的回答問題策略與理解測驗中表現的關係。. 5.

(15) 基於上述研究目的分別衍生出五個研究問題：一、不同的閱讀學習模組對不同數學程度學生分別在後測及延後測的理解表現有何影響？二、不同的閱讀學習模組對不同數學程度學生的認知負荷感受影響為何？三、不同數學程度的學生在使用不同的閱讀學習模組時，其認知負荷感受與理解的關聯為何？四、在不同的閱讀學習模組中，學生在閱讀過程的回答問題的策略為何？五、在不同的閱讀學習模組中，學生在閱讀過程的回答問題的策略與理解問卷中理解表現的關係為何？. 6.

(16) 第二章. 文獻探討. 本研究旨在探討透過以動態連結呈現的幾何證明閱讀環境，配合不同的學習策略所形成的閱讀學習模組，對不同數學程度的學生理解幾何證明以及其認知負荷感受的影響。本章共分為三節進行論述說明：第一節先說明幾何證明與閱讀理解的意義，並從相關的研究文獻解析數學閱讀理解的理論基礎；第二節則分析構成閱讀學習模組的各種要素 (工作例、前導組織、練習、後設認知)，以及其應用在數學學習上的研究；第三節將說明認知負荷感受的測量及其相關研究。. 第一節閱讀理解與幾何證明近年來，閱讀理解愈來愈受重視，Selden 與 Selden (2011) 認為閱讀理解已被定義為主動產生意義的過程，讀者根據他們所讀的，應用對語言和世界的知識來建構和處理文本的解釋。有能力的讀者透過與閱讀的文字交互作用的過程中主動建構意義，將新的資訊整合他們已存在的知識結構中 (Flood & Lapp, 1990)。而 Selden 與 Selden 認為閱讀數學的定義是有別於一般字典中對文字的定義，因此學生就算可以正確地說出和解釋一個數學的定義，但仍會因為無法分辨數學中約定的 (stipulated) 定義與字典中提取的 (extracted) 定義之間的差別而不能正確地使用它。就正如在閱讀資訊的時候，知道資訊的內容和理解其內涵是存在差異的，柯華葳與詹益綾 (2007) 認為閱讀歷程可以分為認字和理解兩部分，而理解是閱讀的最終目的。但數學跟一般學科的閱讀理解要求是不一樣的，數學的理解需要達到詮釋的層次，即使是回答直接推論的問題，也需要學生與本身的先備知識作連結。楊凱琳 (2004) 認為幾何證明閱讀理解是指學生在閱讀給定的幾何命題與論證過程等資訊後，其對於命題和論證的內容、演繹的規則、論證的有效性和特殊性等方面所建構的意義即是學生的幾何證明閱讀理解。因此，閱讀幾何證明的最終目的，就是能建構數學證明。而幾何證明的歷史源遠流長，從歐基里德 (Euclid, 約紀元前 300 年) 所寫的《幾何原本》(Elements) 得知當時人類已具備幾何知識。《幾何原本》是以形式邏輯、公理化的方法研究數學，在中學階段學習相關的內容知識，是一種潛移默化的方式來訓練中學生推理論證的能力 (康明昌, 2008)。從認知的觀點來看，幾何活動是很複雜的，Duval (1998) 提出幾何學習涉及三種不同的認知過程，分別是視覺化 (visualization)、以工具作構圖 (construction) 以及推理 (reasoning)。這三種認知過程需要獨立地發展，但它們的交互作用對精熟幾何有認知上的需要。 Duval 認為幾何證明的認知過程可分為三類：(1)以操作性理解來說明證明的純粹的圖示過程 (purely configural process)；(2)以平常的語言透過描述、解釋和論證 7.

(17) 呈現證明的自然的推論過程 (natural discursive process)；(3)以符號或一般的語言透過演繹的方式來呈現證明的理論的推論過程 (theoretical discursive process)。其中操作性理解是完全獨立於任何的推論過程，因此視覺化是幾何研究中不可或缺的過程。視覺化可以嵌入自然的推論過程，但不能作為理論的推論過程，因此在這兩種推論過程之間是存在缺口的，也就是學習幾何證明讓人感到困難的部分。 Kunimune、Fujita 與 Jones (2009) 也分別從證明的建構 (construction of proof) 和證明的一般性 (generality of proof) 來探討學生對幾何證明的理解，證明的建構是指學生必須學會如何建構幾何中的演繹論證、定義、公理、假設、證明、定理和邏輯循環 (logical circularity) 等概念，而證明的通用性是對幾何定理、圖像的角色、形式證明 (formal proof) 與實驗驗證 (experimental verification) 之差異的理解。由此提出幾何證明的理解層次：層次Ⅰ：學生以實驗驗證足以說明幾何命題為真；層次Ⅱ：學生理解幾何命題是需要被證明才能說明為真；層次Ⅲ：學生可以理解定理之間的簡單邏輯鏈 (logical chains)。這樣的分類類似 Houdement 與 Kuzniak (2003) 建議將初等幾何分為三種不同的範典 (paradigms)：自然幾何學 (natural geometry, GeometryⅠ)、自然公理幾何學 (natural axiomatic geometry, GeometryⅡ) 和形式公理幾何學 (formalist axiomatic geometry, GeometryⅢ)，他們將 Van Hiele 的幾何思考層次作一對照，如圖 2-1-1，給出一個有關直觀、實驗和演繹證明的不同觀點，可作為學生數學思維的良好基準。. 圖 2-1-1. 幾何範典與 Van Hiele 幾何思考層次之相互作用 (引自 Houdement & Kuzniak, 2003). 因此，Houdement 與 Kuzniak 將幾何證明看成是由直觀、實驗到演繹的演進過程，他們認為從一個幾何類型到另一個幾何類型是相當複雜的，因為它涉及到一個理. 8.

(18) 論的變化，這種變化可以被看作是一個變革或是一個辯證的和逐漸的演進。然而，不管是哪一種對幾何證明的理解方式，都在表達幾何證明的學習需要循序漸進，最後必須掌握演繹證明的方法作推理。演繹證明是從前提導出相關的結論後，再結合下一個前提推導下一個相關的結論，經過這樣邏輯地將前提及結論的連結直到得出最終的結論為止，是邏輯性很強的一種推理方式，也有別於一般用於日常生活中的推論事情模式，因此成為學生學習的難點之一。因此，對於演繹證明的理解層次，不同的學者提出不同觀點的看法，如：楊凱琳 (2004) 提出理解幾何證明可分為四個層次，分別是：(1)尚未涉及論點分析的表層理解層次；(2)已區分論點內的元素的辨識元件層次；(3)進一步理解論點間關係的鏈結元件層次；(4)把命題和證明視為一個整體的膠囊化理解層次。而 Yang 與 Lin (2008) 提出幾何證明的閱讀理解模型 (RCGP)，分別從基本知識 (basic knowledge)、邏輯狀態 (logical status)、整合 (integration) 或總結 (summarization)、一般化 (generality)、應用 (application) 或延伸 (extension)、鑑賞 (appreciation) 或評價 (evaluation) 等面向制定的調整閱讀理解的語言的階段，圖 2-1-2 說明 RCGP 模型對證明的理解必須根據先備知識，透過對證明中各元素的辨識，從而連結各元素之間的關係，才能膠囊化相關概念，內化成為知識。. 圖 2-1-2. RCGP 的一個假設性模型及其五個面向的整合圖 (引自 Yang & Lin, 2008). Van Hiele 的理論模型著重描繪幾何思考發展的階段，而 RCGP 模型從不同的面向來展現幾何證明從表層元素的理解到形成基模的各種層次，並提供閱讀理解幾何證明的一個結構 (Lin & Yang, 2007)。對於開始學習幾何證明的階段，學習者或許還未能達到對證明的一般化及應用的層次，因此對利用演繹推理的方式來呈現的幾何證明，可考慮從演繹推理的步驟來探討其理解層次。Duval (1998) 認為幾何證明可以根據得到的資訊而以不同的形式來組織，因此他對命題的組織分為三個層次，分別是：(1)使用定義或定理等連結前提和結論的微觀 (micro) 層次；(2)從假設到結論由至少三個命題組織而成的局部 (local) 層次；(3)每一個步. 9.

(19) 驟都依據它們的結論連結起來的整體 (global) 層次。從上述的觀點，可以清楚展現學習者對不同數量的前提和結論作連結所引出的概念的掌握情況，而 Schoenfeld (1985) 認為知識的觀點是基於在該領域內的相關能力表現，包括：關於該領域的非正式和直觀知識、事實、定義、運算程序、常規程序、相關能力以及關於該領域內的知識和論述的規則。因此對於一個證明問題所包括的事實 (facts) 和程序 (procedures) 等資源都是影響個體去理解或解決問題的重要因素，以平行線截比例線段定理為例，表 2-1-1 說明其中所包含知識的內容以及其掌握的程度：表 2-1-1. 平行線截比例線段定理中所包含的知識以及知識的掌握程度. 事實. 和. 平行線之間的距離相等。同底等高的三角形面積相等。同高三角形的面積比等於底邊比。. 程序. 的. 知識程度. 畫適當的輔助線。. 學生是否：. 找到正確的三角形說明. 1.完全不知道. 對應邊的比例與面積比的關係。找到在平行線之間正確的三角形並說明其面積相等。. 2.知道知識的存在但不清楚當中的細節 3.部分想起或察覺知識的細節但不太確定 4.滿懷信心地相信. 透過不同的觀點去探討幾何證明的閱讀理解情況，可以有助於瞭解學習者在不同層次中所遇到的困難，從而設計不同的策略加以輔助，培養重要的數學思維和能力。. 10.

(20) 第二節閱讀學習模組構成要素解決問題對學習數學來說，並不只是目標也同時是主要的手段 (NCTM, 2000)。學習幾何證明也是如此，透過理解命題成立的推理過程，既形成新的知識基模為往後的知識建立基礎，也同時學習演繹推理這種推論方式。為達到此目標可以配合不同的學習方式，下面分述各學習方式要點及相關研究：一、工作例 (Worked-out Examples) 以工作例進行教學，尤其對於系統結構性強的領域 (如：數學、物理等)，在獲取技能的最初階段會較直接進行高負荷量的解題任務來得有效 (Carroll, 1994; Renkl, 2005; Hilbert & Renkl, 2009)，因此工作例的學習被普遍應用到教學以及教科書的編寫中，成為學習的重要工具。Atkinson、Derry、Renkl 與 Wortham (2000) 認為工作例一般由一個問題、解題步驟和最後答案所組成，對於特定的內容，還會包括一些問題的輔助表徵 (如：圖表)。在學習一個新主題時，尤其是針對法則或模式 (pattern) 的說明，這樣的呈現方式將有助於學習者理解相關內容。例如，Carroll (1994) 的研究發現給予學生工作例來對應學習代數方程，相較傳統只提供解題練習的學習模式，以工作例的方式學習能夠在較短時間完成任務，在相應練習中呈現較少的錯誤及錯誤類型，不會做的題目也顯著較傳統解題練習來得少，也較不需要教師的協助。工作例學習方式較問題解決學習方式能減少學習者獲取知識的時間或投入的心智努力 (Sweller, Van Merriënboer, & Paas, 1998)，而有效的工作例設計通常透過標籤 (labeling) 或分段 (segmenting) 等方式來呈現 (Atkinson et al., 2000)，左台益等人 (2011) 的研究發現以分段方式呈現的幾何閱讀文本，不論是對專家或生手而言均有助於提高閱讀者的閱讀意願，同時也降低其閱讀證明時的困難度以及所花費的心力。Catrambone (1996) 的研究顯示以標籤的形式說明機率問題步驟的數學意義，可以幫助學習者對於被標籤的步驟形成一個子目標，從而促進學生在處理新問題中的表現。二、前導組織 (Advance Organizers) Ausubel (1960) 提出前導組織的概念，是一種在學習特定內容之前的附加資料，可以提供給生手學習包含多種新概念的內容時，快速獲取其整體概念的輔助工具 (Langan-Fox, Waycott & Albert, 2000)。前導組織可以文字或圖像等各種形式呈現，結合多媒體發展的優勢，這樣的學習工具在電腦環境下更容易展現快速連結、動態圖像 (如：動畫) 等特點，為說明各種概念之間的連結提供更好的呈現工具。 11.

(21) Dee-Lucas & Larkin (1995) 使用電子文本，把已結構 (structured) 及未結構 (unstructured) 相關主題之間關係的總覽 (overview)，分別呈現在需要閱讀的文本內容之前與傳統連續性的文本 (各主題下接續呈現詳細的描述) 作比較，兩種總覽均能對文本主題及回想其中的內容均較傳統文本有較好的學習效果。但已結構好的總覽對閱讀者來說較容易作回想和應用，可見有結構性地呈現內容關鍵概念之間的關係，將有助於學生更好掌握相關知識。Kovalik 與 Williams (2011) 使用卡通動畫作為前導組織，結果顯示學生覺得這樣的設計能夠有目的性地帶出學習重點，也能引起學習動機以及有助於課程內容的理解。對於幾何幾何證明，通常可以分為問題敘述、圖形以及證明三個部分，而圖形往往在理解問題或推理過程中起關鍵的引導作用 (Duval, 1995)，因此如何有效辨認各子圖的特性成為幫助推理證明的重要資訊。Atkinson (2005) 舉例說明幾何圖形在問題理解中所扮演的角色時就強調，數學問題的呈現往往不會附以與語言模型整合好的可用圖示模型，若缺乏圖形的引導下，學習者很難形成對問題的連貫心智表徵，因此考慮以圖像形式來呈現的前導組織將較文字訊息來得好 (Wileman, 1993)。以圖像形式所呈現的前導組織 (graphic advance organizers) 與一般以線性方式來呈現的文字不同，Langan-Fox、Waycott 與 Albert (2000) 認為它是利用人類視覺系統的特定能力，以空間形式來傳遞概念之間的關連。如前述的已結構好的總覽就是圖像前導組織之一，一般的呈現方式會對概念作一個空間上的安排，把最重要的概念置於最高的地方，次重要的子概念依序往下排列，而幾何證明的各種性質，往往也是由數個子概念作適當的組織後所形成，透過圖像來呈現它們之間的關聯，相信對概念的整體理解會有所幫助。三、練習 (Practice) Anderson、Fincham 與 Douglass (1997) 認為例題提供了一個類似問題的解答，而解決問題者透過例題解答作類比到當前問題的解答，並藉著不斷的練習，從而發展一般性的規則而不再需要提取特定的例題來協助。根據 Anderson (1993) 的 ACT-R 框架，他們提出一個有關技能獲取 (skill acquisition) 的四個階段模型，分別是： 1.與例題作類比(analogy)：從閱讀的例題中擷取相關的資訊，並將例題類比擴展到當前問題。 2.規則的抽象過程：經過一些運用後，學習者能發現陳述性的規則。 3.規則產生和應用：經過大量練習後，學習者能夠平穩快速地找到問題的解答，並發展出程序性的規則以及應用它來解決其他問題。 4.例題檢索(retrieval)：學習者能夠快速地提取與需要被解決問題相關的例題，並. 12.

(22) 輕易找出問題的答案。這四個階段有相互重疊的部分，而不是各自獨立分離的，由此可見呈現一個例題後，再伴隨類似問題作為練習是一種有效獲取技能的方法，尤其是對於學習解決一些特定類型的問題之初，能成為學習者透過類比方式學習到規則產生的關鍵引導。而對於例題和練習所呈現的順序，van Gog、Kester 與 Paas (2011) 使用電路疑難排解任務的單獨使用例題 (worked examples only) 、例題 — 問題 (example-problem pairs) 以及問題—例題 (problem-example pairs) 三種學習策略與單獨使用問題解決 (problem solving only) 的學習策略進行比較，結果發現單獨使用例題和例題—問題兩種形式的學習在測試中表現均優於另外兩種學習策略。很多研究結果顯示學習程序性概念時使用工作例配合類似問題的方式皆有良好的效果 (Sweller & Cooper, 1985；Trafton & Reiser, 1993)，這種需要較少的學習時間且能容易實施的學習方式，應用在幾何證明學習上的效果是值得研究和探討的主題。四、後設認知 (Metacognition) 後設認知是指一個人對自己認知的歷程、結果或任何與此歷程、結果有關事物的知識（Flavell, 1976）。這樣的歷程若能成為一種學習策略，讓學習者從不同的面向來理解知識，從而達至有效的學習。Jacob 與 Paris (1987) 把後設認知分為認知的自我評估. (self-appraisal of cognition) 和思考的自我管理. (self-management of thinking) 兩大類，自我評估是指個體知道對給定的領域或任務的靜態評量，當中又分成三個子類別，包括： 1.陳述性知識 (declarative knowledge)：對題目和學習內容的理解。例如閱讀者對主題的熟悉程度和先備知識都會影響閱讀的速度和理解，或重讀有助於記憶。 2.過程性知識 (procedural knowledge)：解題過程知識及策略等的應用。例如閱讀時如何瀏覽、使用內容、劃重點、總結、找出中心思想等。 3.條件性知識 (conditional knowledge)：認識影響學習的條件。例如策略使用有效的原因、什麼時候適合使用相關的策略等。而思考的自我管理是知識轉化為行動的動態層面，包括三種執行過程： 1.計劃 (planning)：在評估工作的目的及可運用的資源之後，對策略的一種選擇或安排，以求能順利完成任務。例如熟練的讀者會根據任務的目的和限制調整閱讀的速度和理解的標準。 2.評估 (evaluation)：要不斷的監控認知的進展，然後修正、改變計畫來主導活動的方向，評估思考是一個持續的過程。例如閱讀者可以透過停頓、解釋、回答問題或總結文章中的資訊來評估自己的理解。. 13.

(23) 3.調整 (regulation)：閱讀者要監控進程從而修正或調整計劃和策略。例如使用自問自答的方式來評鑑自己的對文章的瞭解情形。 Jacobs 與 Paris (1987) 對 783 名三年級和 801 名五年級的學生，配合 46 位老師進行後設認知教學的實驗研究，結果顯示後設認知的教學可以改善孩子對閱讀策略的認知和理解。Cross 與 Paris (1988) 同樣針對國小三年級和五年級的學生，檢測他們的後設認知學習與閱讀理解之間的關係，結果顯示實驗組學生在後設認知和閱讀策略的使用上有顯著的差異，即改變學生的後設認知能力對他們的閱讀理解是有正面的影響。五、後設認知策略 Pressley 與 Afflerbach (1995) 提出的「建構回應閱讀理論」(Constructively Responsive Reading, CRR) 架構，主要對閱讀時所能記述和觀察的活動作一分類， Selden 與 Selden (2011) 根據上述架構修改為 CRR-based 策略，認為好的閱讀者會具備以下特徵： 1.對將要閱讀的文本先進行預覽，對內容有一個概觀的了解以及作出合理的預測。 2.對被標示為重要的訊息加以重視。 3.應用先備知識整合到閱讀的文本中，使用先備知識去解釋文本，建構意義和適當修改/調整先備知識。 4.對沒有明確說明的資訊作出推論。 5.確定新的或不熟悉文字的含義。 6.監控理解以及有需要時改變閱讀策略。 7.閱讀後會對文本作評估，也會記得文本內容以及進行反思。 8.可以預期如何使用所獲得的知識。從上述的特徵，可以配對到不同的研究者發展各種方法以鼓勵或教導學生閱讀，以幫助他們對知識的獲取及理解。舉例如下： (一)交互教學法 (Reciprocal Teaching) (Palincsar & Brown, 1984) 是一種針對培養理解. (comprehension-fostering) 和監控理解. (comprehension- monitoring) 的教學方法，所使用的策略包括： 1.總結 (Summarizing)：要求學生用自己的話去總結一段文字，以檢測能否理解文章中的主要內容。 2.提問 (Questioning)：要求學生根據文本內容提出問題，以對書面材料的理解作監控和調整 3.澄清 (Clarifying)：當文本的內容或學生對文本的解釋出現混亂時，要求學生去 14.

(24) 澄清閱讀時所遇到的困難，使他們能了解文章的意思。 4.預測 (Predicting)：要求學生就其先備知識推測下文的內容。 (二)交流式閱讀策略 (Transactional Reading Strategies) (Borasi et al., 1998) 是一種提供學生具體的方法主動對所閱讀的內容產生意義的方法，所使用的策略包括： 1.說說看 (Say Something)：假設讀者的理解是從文本和其他讀者的對話中逐步形成的，學生選擇一個伙伴去分享他對文章的感覺、疑問或混淆的地方，與先備知識和經驗作連結，並以自己的話去描述文本的內容或形成假設等。 2.作者想法複製 (Cloning an Author)：一個類似閱讀和反思的過程，讀者把他認為文章中重要的想法寫在不同的卡片上，然後對所有的卡片作排序來顯示這些想法之間的關係。 3.草圖延伸 (Sketch-to-Stretch)：要求讀者更進一步把他們對文本的解釋繪畫出來，讀者會被要求繪畫出文本所製造或所學習到的東西，然後與其他學生一起分享他們的草圖。 4.展現 (Enacting)：讀者在解決問題或擴大對文章中的一些章節的理解，作為獲得個人對描述概念的理解以及更一步追蹤它們的方法。 (三)自我解釋閱讀訓練 (Self-Explanation Reading Training, SERT) (McNamara, 2004) 是一種對低領域知識的學生解決基於文本提問的問題時，可改善其理解以及自我解釋的質量的方法，所使用的策略包括： 1.理解監控 (Monitoring comprehension)：對文章的內容提出未能理解的問題。 2.改述 (Paraphrasing)：以相同意思的敘述來解釋文章中的內容大意。 3.連結推論(Bridging inference)：從文章中分散的想法作連結並進行推論。 4.詳細闡述 (Elaboration)：整合先備知識來對文章內容作詳細的解釋。 5.使用邏輯 (Using logic)：以邏輯對文章內容作判斷，以理解其內容。 6.預測 (Predicting)：預測將要閱讀到的下文內容。 (四) IMPROVE (Mevarech & Kramarski, 2003) 是一個根據認知與後設認知理論設計一個多維度的教學方法，所使用的策略包括： 1.理解 (Comprehension)：對內容的理解而提問。 2.策略 (Strategy)：思考解決問題的策略或原則。 3.連結 (Connection)：把問題連結到先前已解決的問題上。 4.反思 (Reflection)：反思解題中所遇到的困難。 15.

(25) 從各種反思的策略中，大致可以分為基於文本的理解策略以及需要作連結或推論的理解策略兩大類，如下表 2-2-1 所示：表 2-2-1. 各種後設認知策略的分類. 交互教學法交流式閱讀策略自我解釋閱讀訓練 IMPROVE. 基於文本的理解策略. 需要作連結或推論的理解策略. 總結、提問. 澄清、預測. 說說看、作者想法複製. 草圖延伸、展現. 理解監控、改述. 詳細闡述、使用邏輯、預測、連結. 理解. 策略、連結、反思. 因此透過閱讀除了能理解文章的內容外，還需要包含能作推論或相關知識的連結，就如同 Brown、Palinscar 與 Armbruster (1984) 所提到的六種培養閱讀理解的活動，包括：(1)理解明確和隱含的閱讀目的和任務需求；(2)活化相關背景知識；(3)分配注意力使之能夠集中在主要的內容上；(4)對內容關鍵性評價要與先備知識和常識具內部一致性 (consistency) 及相容性 (compatibility)；(5)監控持續活動以確定對內容的理解，如定期的檢閱和自我審查；(6)制定和測試多種推論，包括解釋、預測和總結。不同的研究者發展相關策略在數學學習上，並有不錯的成效。例如，Mevarech 與 Kramarski (2003) 根據認知與後設認知理論設計一個多維度的教學方法——IMPROVE，教學步驟包括：介紹新概念 (Introducing new concepts)、後設認知提問 (Metacognitive questioning)、實踐 (Practising)、回顧 (Reviewing)、獲取 (Obtaining )、檢定 (Verification)、豐富 (Enrichment)，在 IMPROVE 方法中，學生會被訓練去提問和回答四種後設認知的問題：理解性問題 (comprehension questions)、連結性問題 (connection questions)、策略性問題 (strategy questions) 以及反思性問題 (reflection questions)。研究發現學生使用後設認知訓練的表現在即時的測驗及延後測的表現均優於工作例 (worked-out examples) 學習的小組，尤其是在數學推理的討論和書寫上，低成就學生更為突顯。Yang 與 Lin (2009) 根據幾何證明閱讀理解 (RCGP) 模型以及交互教學法 (reciprocal teaching method) 設計教學的學習單來改善學生的幾何證明閱讀理解，任務設計是包括提問 (questioning)、預測 (predicting)、澄清 (clarification)、總結 (summarization) 四個閱讀策略的問題來呈現，結果發現實驗組在延後測與使用常規上課材料的控制組有顯著差異，是從閱讀的角度來進行幾何證明課程的一種參考策略。. 16.

(26) 對於幾何演繹證明的初學者，提供經分段方式來呈現的工作例，相信有助於學生理解複雜結構的證明內容。以工作例配合練習的學習方式，呂鳳琳 (2010) 的研究說明對學習成效有一定幫助，本研究將延續該研究的想法，一方面改以動態連結的閱讀文本在電腦環境下進行閱讀，另一方面配合前導組織的設計和回答後設認知的問題，期待藉此幫助學生進行反思並加深理解。透過不同的學習方式，對學生的學習效果以及在學習過程中所產生的影響，研究者認為是值得深入探討的問題。因此，本研究將分別對工作例及先呈現前導組識的工作例，配合練習或後設認知問題所形成的閱讀學習模組進行比較，練習題選擇與工作例結構類似的題目，以一配一 (閱讀完一個工作例後隨即完成一道練習題) 的方式呈現；而對問題敘述的理解、與已學知識的連結、解題所使用的策略、對解題步驟的反思、證明內容的總結等較能反映幾何證明問題的理解程度，皆為本研究選定的後設認知問題設計參考面向。. 第三節認知負荷感受一、認知負荷理論的意涵及其理論假設認知負荷理論 (Cognitive Load Theory, CLT) 是一個心理學的理論，它嘗試解釋從教學所得到的心理或行為現象，其主要的發展是去解釋教學設計的效果對於認知負荷和學習的建構。Moreno 與 Park (2010) 指出認知負荷的概念不是一個新的概念，這與 Neville Moray 在 1979 年所提出的心智負荷 (mental load) 類似，是指任務需求與個人能力去掌握這些需求之間的差異。認知負荷對人類認知結構的概念是建基於一系列的假設 (Sweller, van Merriënboer & Pass, 1998) 上，包括： 1.人類的工作記憶區 (working memory) 容量是有限的。根據 Miller (1956) 提出我們的認知系統只能一次處理 7±2 個項目，因此若有處理新且元素互動性高的訊息時，則個體將沒有足夠的記憶區容量可以應付，造成學習上的困難。而為了去理解這樣的訊息，需要使用其他的結構和其他的機制，處理高互動性材料需要使用長期記憶區和學習機制。 2.人類用作儲存知識的長期記憶區 (long-term memory) 容量是無限的，而儲存的資訊中不只包括小的、獨立的事實，還可以包括大的、複雜的交互作用和程序。這使得新生和專家在處理同樣的訊息時有極大的差異性。由於專家的長期記憶儲存了龐大的問題狀態 (problem states) 知識，以及應對的解法，因此在面對問題情境時，可以從長期記憶區中迅速地檢索對應策略，而新手卻需要在工作記憶區中進行推理和搜索，因為增加了認知負荷。 17.

(27) 3.知識是以基模 (schema) 的形式儲存在長期記憶區中。基模建構的過程使得人們發展複雜的工作技能時，而基模在長期記憶區中可以發揮組織與儲存知識的功能，以減輕工作記憶區的負荷。 4.自動化 (automatic) 是基模形成中重要的程序。人類的訊息處理包含透過意識或自動化來處理，在工作記憶區中作意識處理會佔用許多運作的容量，而自動化處理則少為意識所監控，可藉由初期有意識的處理，反覆練習後形成自動化技能，從而降低工作記憶容量負荷。二、認知負荷的類型許多學者 (Sweller, van Merrienboer, & Paas, 1988; Paas, Renkl, & Sweller, 2003; Mayer & Moreno, 2010) 把認知負荷分為三種類型，分別是： 1.外在認知負荷 (extraneous cognitive load) 是由於將素材呈現在不良設計佈局或在課堂中包含不重要的素材所引致，它是可以藉由教學設計者修正教材及呈現方式來降低。 2.內在認知負荷 (intrinsic cognitive load) 是受任務本身的難易程度所影響，它是由於工作記憶區在同一時間內要處理大量元素所引起的。內在認知負荷是不能藉由教學設計來改變，只有將教材內各要素間的相互連結性簡化，才能降低認知負荷。 3.有效的認知負荷 (germane cognitive load) 是藉由教學設計來適當呈現教材內容，設計有挑戰性或激發性的教材使得學習者專注於理解相關內容的認知過程及基模建構。而內在認知負荷、外在認知負荷和有效的認知負荷的總和，就是學習者的總認知負荷量，因此，Clark、Nguyen 與 Sweller (2006) 認為學習者記憶容量關係可以圖 2-3-1 所示：. 圖 2-3-1. 有效學習中學習者記憶容量關係圖 (引自 Clark, Nguyen, & Sweller, 2006). 即要達到有效的學習，應該利用教學技巧，將無關的負荷量降到最低，由此釋放有限的認知容量給相關負荷；而由學習內容所產生的內在負荷無法控制，利用分段的方式讓一次所呈現的學習內容的量最適化；並讓能夠降低認知負荷的有效的負荷增大，如使用不同的例子進行教學，讓學習者可以應用在更多的情況中。不過，Sweller、Ayres 與 Kalyuga (2011) 提出由教學材料所引起的認知負荷只分. 18.

(28) 為內在和外在認知負荷兩類，而工作記憶區資源則分成有效的 (germane) 資源來處理內在認知負荷，而外在資源則處理外在認知負荷。認知負荷理論的主要目的就是設計可以減少外在認知負荷的教學程序，以減低工作記憶區的資源負擔，工作記憶區不再需要專門處理外在認知負荷，反而轉為處理與學習過程有密切關係的內在認知負荷。三、認知負荷的測量 Clark 等人(2006)認為認知負荷的效益是根據學習者的表現 (performance) 以及學習者的心智努力 (mental effort) 兩個變量作為定義，而測量心智努力的方法通常分為三類： 1.主觀測量法 (subjective techniques)：基於人們能夠反省自己的認知過程和說出他們所花費的心智努力。 2.生理測量法 (physiological techniques)：基於認知功能的變化可反應在生理的度量上，這些技術包括測量心跳和心跳的變化、大腦的活動 (如：大腦誘發電位) 以及眼球活動 (如：瞳孔擴張，閃爍速率)。 3.任務和績效測量法 (task and performance-based techniques)：包括兩個測量的子類別：主要任務 (primary task) 和次要任務 (secondary task)，這些測量是根據客觀的任務特徵 (例如：需要考慮的元素數量，如命題推理任務中的 IF-THEN 條件的數量)，以及學習成效 (例如：學習時間的差異、錯誤等) 來獲取心智努力的資訊。 Sweller、Ayres 與 Kalyuga (2011) 認為主觀測量是最常用作量度認知負荷的工具。然而，傳統方法去評估工作記憶區負荷是用次要任務 (secondary task) 結合一個首要任務 (primary task)，稱為雙重任務法 (dual-task methodology)，次要任務需要學習者去參加額外的認知活動，是次要於首要任務的學習或問題解決活動。例如，除了學習如何解決一系列數學問題作為首要任務外，學習者可能會被要求對一個特定的聲音以一個特定的方式作回應作為次要任務。如果首要任務施加了沉重的認知負，在次要任務中的表現質量會下降。相反，首要任務是一個較少的認知負荷則可以導致次要任務中的表現。而次要任務使用的頻率較主觀測量法來得少，因為次要任務有較多的侵入式和需要較複雜的實驗條件以及更複雜的儀器。相反，主觀測量可以在一個學習或問題解決章節後立即呈現，以及通常需要不多於 30 秒去執行。然而，次要任務在認知負荷研究中成功被應用去顯示在認知負荷中預測的變化，其他同步和連續的方法去決定認知負荷還有眼球跟蹤 (eye tracking) 和生理方法如腦電圖顯示 (electroencephalography, EGG)，以處理相關數據作為潛在測量但仍然屬於早期測試階段以及需要去驗證其效能。. 19.

(29) Sweller、Ayres 與 Kalyuga (2011) 總結出較早的階段的認知負荷理論，使用非直接的方法如錯誤率 (error rates)、任務時間 (time on task) 以及計算模型 (computational models) 提供證明為不同的教學效果可以由認知負荷的變動來解釋，這些非直接的測量配合測驗分數表現，強化了該理論。直到 Paas (1992) 建議一個單一比例的心智努力的主觀測量，才有意義地遠離非直接的測量，這種測量以及它的衍生(難度比例)以及教學效能的測量，被使用在研究的成績，是認知負荷理論中無價的工具。在大部分的例子中，主觀測量提供合作的證據可以支持所有認知負荷理論效應。然而，主觀評定量表不能提供實際時間的同步 (concurrent) 數據，它只能提供事件的一個認知負荷指標，所以不能用作決定在學習或問題解決期間認知負荷的改變。在嘗試去測量認知負荷不同的面向，一些研究者受一個多維的量表名叫 NASA Task Load Index (NASA-TLX, Hart & Staveland, 1988) 所影響，NASA-TLX 包括六個量表子項目去測量不同的因素與完成一個任務有關連的，包括：(1)心智需求 (mental demands) ； (2) 生理需求 (physical demands) ； (3) 時間需求 (temporal demands)；(4)自我績效 (performance)；(5)努力 (effort)；(6)挫折程度 (frustration level)，其指標意義如表 2-3-1 所示：表 2-3-1. NASA-TLX 量表指標意義. 指標. 程度. 描述需要多少心智和知覺活動(如：思考、決定、計算、記憶、. 心智需求. 低/高觀看、搜尋)？任務是容易還是要求過高？簡單還是複雜？艱難的還是容許失誤的？需要多少生理活動(如：推、拉、轉動、控制、行動等)？. 生理需求. 低/高任務是容易還是要求過高？緩慢的還是輕快的？放鬆的還是費勁的？悠閒的還是吃力的？. 時間需求. 低/高. 自我績效. 好/差. 努力. 低/高. 挫折程度. 低/高. 任務或任務元素出現的步調讓你感受到多少時間的壓力？步調是緩慢且悠閒的還是迅速且狂亂的？你認為你有成功完成實驗者(或你自己)所設定要的任務目標嗎？你滿意你在完成這些目標時的表現嗎？你需要投入多少努力(心智上和心理上)才能完成你認為的績效層次？在完成任務期間，你感受到沒把握、沮喪、煩燥、壓迫、氣惱的程度如何？. 20.

(30) Hart (2006) 回顧過去 20 年間，符合它原來為航空使用而設計的目的， NASA-TLX 量表主要被使用在交通管制和其他的航空活動上；然而，認知負荷理論的研究者則集中在學習環境而經常選取部分的子項目或改變項目的文字來作為評量的工具。如 Hart 與 Staveland (1988) 參考 NASA-TLX 量表的設計，提出 10 種與工作負荷有關的因素，對認知學習方面主觀感受提供參考，其評量指標說明如表 2-3-2 所示：表 2-3-2. 認知負荷感受評量指標. 指標. 程度. 整體工作負荷. 低/高. 任務困難度. 低/高. 描述考慮任務的所有資源和構成要素的總工作負荷。任務是否容易還是吃力的？簡單還是複雜的？嚴格還是容許失誤的？由任務元素的出現率所感到的壓力，任務. 時間壓力. 沒有/匆忙. 是否緩慢和從容不迫的？還是快速和狂亂的？在被要求完成的任務中，個人認為成功的. 表現. 失敗/完美. 程度，或個人對自己所能完成部分的滿意程度。所需要的心智和/或感知活動的量(例. 心智/感官努力. 沒有/不可能. 如：思考、決定、計算、記憶、觀察、搜尋等)。. 身體上的努力. 沒有/不可能. 挫敗程度. 滿意/惱怒. 壓力程度. 鬆弛/緊繃. 疲勞. 耗盡/警惕. 活動類型. 所需要的身體活動的量(例如：推、拉、轉向控制、使…活動等)。個人感到沒有把握、沮喪、煩燥和困擾？還是有把握、高興、滿意和滿足？個人感到焦慮、擔憂、不安和煩擾？還是鎮定、穩定、平靜和鬆馳？個人感到疲倦、乏味、筋疲力盡和耗盡？還是氣息好的、精力充沛和精神飽滿？. 技能為基礎/規. 完成任務所需從無意識反應到已學好的. 則為基礎/知識. 例行程序、對已知規則應用的需求或需要. 為基礎. 解決問題和決策的相關程度。. 21.

(31) 在表 2-3-2 的各項指標中，任務的困難度及所需要投入的努力能分別呈現閱讀者對任務及個人在學習過程中所構成的主觀感受，但由於幾何證明閱讀學習需要具體或實物操作並不是主要的呈現方式，因此本研究並未考慮讓學習者填寫對身體需要投入努力的感受；部分比較負面的指標，如挫敗程度則改以詢問學習者對自己完成相關學習內容所具備的信心指數來作為指標；而對閱讀學習的認知負荷，研究者認為閱讀意願與學生的學習有密切的關係，因此，對幾何證明學習者認知負荷感受的探討，參考 Hart 與 Staveland (1988) 和呂鳳琳 (2010) 的設計，選取閱讀意願、困難度、花費心力、信心指數與投入努力等五個面向作為檢測學習者認知負荷的主要指標。. 22.