第五章 結論與建議
第二節 建議
從上述研究結果的情況，以下分別就教學方向和未來研究方向提出建議：
一、教學方向
1.幾何證明問題是較困難的學習任務，因此在學習過程輔以適當的策略將有助於 學生理解相關內容，其中練習題是學生熟悉且容易掌握的方式，但只配合類似 結構的練習題會讓學生只從模仿改編的方式來回應問題，缺乏深層的理解，因 此建議的策略可以考慮同時使用類似結構和需要概念轉移的題目來加強學生 思考的深度。而後設認知的問題卻對學生來說有一定的困難度，但透過反思回 答問題可以讓學生有較好的理解及保留成效，因此也建議可考慮完成類似結構
的練習題後，再回答一些後設認知問題作進一步的歸納及反思，加強學生對回 答問題的信心。
2.良好的學習習慣需要長期培養而成，現今的課堂教學或教科書的編寫，都習慣 以練習的方式來鞏固學生的學習，從研究結果發現，對知識作有效的反思可以 增加學習的效果，提供學生合適的環境和機會來培養反思的能力是成功學習的 要素，因此建議現場教師和教科書的編寫都能適時融入一些合適的後設認知問 題來作學習過程，從而培養學生不同的學習能力。另外，從研究結果發現同為 理解性和連結性的後設認知問題，對不同層次題目的回應有很大的差異，當然 整體層次的問題的確較局部層次的問題來得複雜，但回答問卷中第一題和最後 一題同屬理解性問題學生的人數看來，被分類到「沒有反思」的類別人數有很 多的差異，尤其在低程度學生中尤其明顯，除了有可能是因為時間不足而無法 完成外，更有可能時回答前面較難的題目後失去答題的信心，因此建議在設計 回答問題的在使用各種面向的後設認知問題進行學習反思時，需要考慮循序漸 進的方式來引導學生，以增加學習效果。
二、研究方向
1.承教學方向第一點，加入類似結構和概念轉移的練習題，或類似結構練習題和 後設認知問題的學習方式，也是在未來研究上可行的建議，以補足使用單一學 習策略可能的不足。
2.各種影響學生數學程度的因素都會影響理解的表現，包括的因素除了先備知識 不足外，未能理解數學邏輯結構或推論的方式也可能是導致學習效果不好的原 因，建議未來研究可對影響學生數學概念的因素進行研究，從而對多媒體環境 的設計提供更多參考的資訊。
3.配合練習或後設認知問題的學習方式對低數學程度學生來說都沒有太大的幫 助，建議未來研究可以從改善低數學程度學生的閱讀意願、信心等面向著手，
發展適合輔助不同數學程度學生學習的理解策略。
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附錄一：幾何證明內容
一、工作例 1 版面
二、工作例 2 版面
三、工作例 3 版面
四、工作例 4 版面
附錄二：學習單
幾何證明練習及問卷(SP 版本)
學校：_______市______________國民中學
班級：_______年_______班 姓名：______________
座號：_______號 性別：男女 日期：_______年_______月_______日
各位同學：
這是一份數學教育研究的問卷，主要是想了解國中生學習幾何證 明的情況。請各位同學保持平常心完成各練習並填寫問卷。問卷調查 的結果除了有助於瞭解各位的學習情況外，也為日後教材的設計提供 參考，謝謝你們的幫忙！
練習以及感受量表總共有 4 頁，你需要獨立完成它們。請務必確 認已填寫完感受量表，再舉手告知老師，以領取測驗卷。準備好了嗎？
目前的時間是_______午_______時_______分
【練習 1】如右圖，在△ABC 中，D 是 BC 邊上的一點，
試證明△ABD 面積：△ACD 面積＝
BD
： DC 。【練習 2】如右圖，在△XYZ 中，W 是
XZ
邊上的一點，試證明△XYW 面積：△WYZ 面積＝ XW ：WZ 。
【練習 3】如右圖，在梯形 ABCD 中，
AD
//BC ，
試證明△ABC 面積＝△DBC 面積。【練習 4】如右圖，在△ABC 中，D、E 分別是
BA
、 BC 上 一點，且DE
//AC ，試證明 BD
：DA
＝BE
：EC 。
幾何證明練習及問卷(SMQ、OSMQ 版本)
學校：_______市______________國民中學
班級：_______年_______班 姓名：______________
座號：_______號 性別：男女 日期：_______年_______月_______日
各位同學：
這是一份數學教育研究的問卷，主要是想了解國中生學習幾何證 明的情況。請各位同學保持平常心完成各練習並填寫問卷。問卷調查 的結果除了有助於瞭解各位的學習情況外，也為日後教材的設計提供 參考，謝謝你們的幫忙！
練習以及感受量表總共有 4 頁，你需要獨立完成它們。請務必確 認已填寫完感受量表，再舉手告知老師，以領取測驗卷。準備好了嗎？
目前的時間是_______午_______時_______分
活動 3 在這個證明過程中，你認為哪一個步驟最重要？請說 明理由。
活動 2 在這個證明過程中，應用到哪些你曾經學過的數學內 容？
活動 1 這個證明題的已知條件是什麼？想要證明什麼？
綜合活動 請根據剛看完的證明內容，回答下列問題：
1.在這個證明過程中，你認為哪一個步驟最重要？
請說明理由。
2.這個證明題告訴我們什麼？
3.你要如何解釋這個證明的過程給同學聽？
4.在這個證明過程中，應用到哪些你曾經學過的數學內容？
5.這個證明題的已知條件是什麼？想要證明什麼？
附錄三：認知負荷感受量表
閱讀幾何證明感受量表 各位同學你好：
這份量表主要是用來瞭解你在閱讀這份題本時，對這份題本的 個人感受。量表的調查結果除了有助於瞭解各位的學習情況外，也 為日後教材的設計提供參考，請你依照自己本身的感覺確實回答，
由於每個人的感受不同，這些問題並沒有標準答案。謝謝你的幫忙！
※注意：每題只能勾選一個答案！※
一、這些證明題的寫法讓你想讀下去的意願如何？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
非常不願意 非常願意
二、你覺得這些證明題的困難度如何？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
非常容易 非常困難
三、你覺得理解這些證明題需要花費的心力如何？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
非常輕鬆 非常費力
四、你有多少把握看懂這些證明題？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
非常沒把握 非常有把握
五、你投入多少努力來了解這些證明題？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
非常少 非常多
謝謝你耐心的作答！
附錄四：幾何證明理解測驗問卷
姓名：_________________ 班級：________ 座號：________
幾何證明理解測驗
1.請依據下列敘述「作
EF
⊥AB
且 F 在AB
上」，在圖(一)中畫出EF
。圖(一)
2.如圖(二)，
BH
⊥DE
，請用一個算式表示△DBE 的面積。圖(二)
3.請依據圖(三)及下列敘述回答問題：
「因為
DE
// BC ，所以BH
＝ CK 。」(1)在上述敘述中，哪一個是推導的結果？
(2)在上述敘述中，哪一個是已知條件？ 圖(三)
4.如圖(四)，在△ADC 中，E 是
AC 邊上的一點，
試證明△ADE 面積：△DCE 面積＝
AE
： EC 。 證明：圖(四)
5.如圖(五)，
DE
// BC ，附錄五：理解測驗評分細則說明
1.學生在第 1 題的作答如屬下列情形，所得評分均為 1 分：
(1)沒有標示垂直符號或垂足記號 F，但能從尺規作圖的作法或垂足的位置來判 別學生是否瞭解三角形的高的概念。
SC205：
(2)沒有標示垂直符號和垂足記號 F，且在圖形中顯示超過一條表示三角形高的 線段，但能從顯示的方式來判別學生可以瞭解三角形高的概念。
SB224：
(學生連結了很多線段，其中以實線表示所求。) 2.學生在第 2 題的作答如屬下列情形，所得評分均為 1 分：
(1)使用原圖所呈現以外的其他元素來表達(如：自行添加輔助線畫出三角形的 高，再用三角形面積公式正確表達△DBE 的面積)。
SB310：
(2)使用超過一次面積公式(如：面積填補方法)來表達式子。
SB121：
3.學生在第 4 題的作答如屬(1)、(2)或(3)情形，所得評分均為 2 分；如屬(4)或(5) 情形，所得評分均分 1 分：
(1)不一定要完整地把證明的演繹過程書寫出來，只要能表達出兩三角形有共同 的高，透過面積比可以得到邊長比的概念即可。
SC209：
(2)由於面積比的比例式會把面積公式中的1
2消去，若學生在第 2 題中有寫出正 確的面積公式，則過程中兩面積比的式子可以不顯示乘以1
2。
SA309：
(3)沒有在附圖中畫出高，只說明兩三角形具有同高的性質。
SB122：
(4)沒有找到正確的底和高，只顯示透過面積比等於底邊比的式子。
SA102：
(5)說明兩三角形有相同的高以及寫出正確的面積的比例式，但獨立表示其中一 個三角形面積時沒有寫乘以1
2。
SC301：
4.學生在第 5 題的作答如屬(1)或(2)情形，所得評分均為 2 分；如屬(3)、(4)或(5) 情形，所得評分均分 1 分：
(1)不一定要完整地把證明的演繹過程書寫出來，只要能表達出兩三角形有相同
(1)不一定要完整地把證明的演繹過程書寫出來，只要能表達出兩三角形有相同