第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
際數學教學委員會 (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI) 就以“數學證明與論證的教與學 (Proof and proving in mathematics education)”
為專題，探討有關數學證明的相關議題。其中 Kunimune、Fujita 與 Jones (2009) 分 析日本 418 名國中學生 (206 位八年級，212 位九年級) 對幾何證明的理解，研 究 發 現 有 90% 的 八 年級 學 生 以 及 77% 的 九年 級 學 生 會 認 為 透 過實 驗 驗 證 (experimental verifications) 就足以陳述一個幾何證明是真確的，還不能理解必須 透過證明才可以論證幾何陳述的正確性，這說明實驗驗證和演繹推理 (deductive reasoning) 之間的差異並不是大部分國中學生都能正確掌握。透過實驗驗證的方 式進行探索，無疑是可以幫助學生理解相關論證的內容；就如同 Boero (1999) 提 出對於產生猜想和建講數學證明活動的模型，當中包含六個非線性的階段來描述 專家的證明過程，以經驗 (或觀察) 為依據的論證 (empirical arguments) 雖然在 探究階段扮演重要的角色，但最後還是需要以演繹的形成對猜想提出證明。因此 讓學生理解演繹推理才能作有效的推論，從而培養數學思維。
從近年來國際間的學生能力評比 (The Programme for International Student Assessment, PISA; Progress in International Reading Literacy Study, PIRLS) 對閱讀 素養的重視，顯示透過閱讀來學習無疑是一種重要的技能，它對學習演繹推理也 佔有同樣重要的地位。因此在近年數學教育的研究中，有不少的學者對閱讀證明 的議題進行研究 (Selden & Selden, 2003, 2011; 楊凱琳, 2004; Yang & Lin, 2008;
左台益等人, 2011; Weber & Mejia-Ramos, 2011)。Selden 與 Selden (2011) 的研究
是探討閱讀能力與數學能力均表現良好的學生，在自行閱讀數學教科書時，卻顯 示出他們不能理解教科書中所寫的內容。他們嘗試從心理學的角度來說明影響學 生閱讀理解的因素，儘管被研究的學生們都能顯現出他們具備良好閱讀者的一些 特徵，但數學教科書中所呈現的是對概念性知識和程序性知識的整合，顯示出數 學閱讀理解與一般的閱讀理解存在差異，因此探討適當的數學文本閱讀策略來輔 助學生學習是值得研究的問題。Selden 與 Selden (2003) 在探討學生透過閱讀來 判定數學證明正確性的研究結果，顯示學生對於閱讀來自老師或教科書所呈現的 證明，都會先認定一定是正確的，學生們會對權威性 (authoritative) 的來源存有 一種認同，但隨著老師或指導者鼓勵學生進行不斷的反思後，他們會重新檢視證 明的正確性並作出正確的判斷。因此，他們也同時建議教科書中應增加各種審視 證明正確性的練習，如：找出證明中的謬誤 (fallacy)、判斷證明過程的正確性、
對證明過程進行評級 (完全正確、部分正確或完全錯誤)、對一個證明或反例進 行評價等，其實也是幫助學生對證明進行不同反思的良好建議。
正如 Duval (1998) 認為幾何解題活動是需要高度認知要求的複雜過程，而 幾何證明是利用嚴謹的演繹方式把幾何的概念呈現出來，並常透過圖形作為物件 (object)，再以數學語言及符號來表達。Luhmann (1997, 引自 Steinbring, 2002) 提 出由符號 (sign)、表示意義的符號 (signifier)、符號所表示的意義 (signified) 形 成的符號三角形 (semiotic triangle)，而數學概念也是以符號建構的，Steinbring (1989, 2006) 建構認識論的三角形模型，說明知識不能夠單從物件 (object)、符 號 (sign) 或概念 (concept) 中的一個就能推論出來的，而是必須靠三者形成一 個平衡且相互支持的系統而產生的。幾何證明的學習也是一樣，它必須同時透過 幾何圖形、演繹推理符號以及幾何概念三者來形成知識系統。
圖 1-1-1 修改自 Steinbring (2006) 認識論的三角形
不過，透過閱讀來達到這樣的連結對學習者是存在一定的困難，Snow (2002) 認為考慮閱讀理解應該包括讀者 (reader)、內容 (text) 和活動 (activity) 三個元 素，因此需要設計合適的活動來幫助學生透過閱讀來學習。其中以工作例 (worked-out examples) 的方式進行教學，較直接進行高負荷量的解題任務來得有 效 (Carroll, 1994; Renkl, 2005)，因此工作例的學習被普遍應用到教學以及教科書 的編寫中，成為學習的重要工具。van Gog、Kester 與 Paas (2011) 使用電路疑難 排解任務的工作例 (worked examples only)、例子-問題 (example-problem pairs)
以及問題-例子 (problem-example pairs) 與問題解決 (problem solving only) 四種 1988; 蘇宜芬、林清山, 1992; King, 1994; Mevarech & Kramarski, 2003; Özsoy &
Ataman, 2009)。後設認知與理解的關係應是相當密切的，
King (1994)
針對科學 課堂的研究表明使用問題去引導孩子們將課堂內的概念或他們的先備知識連結 起來，都能讓他們透過建構複雜的知識而增強學習，其中連結到先備知識的問題 有 更 強 的 學 習 效 果 。 Mevarech 與 Kramarski (2003) 分 別 以 工 作 例 教 學 (worked-out example) 和後設認知訓練 (metacognitive training) 兩種方法探討八 年級時間—距離—速率單元的學習成效，不論在後測或延後測的結果中，受後設 認知訓練的學生都優於範例教學者；Mevarech 與 Kramarski 認為接受後設認知訓 練學生的理解力較好，有較多的機會去記住相關的學習內容，而且學生獲得解決 (mediation) 角色，對於圖形的理解必須有知覺性的理解 (perceptual apprehension) (Duval, 1998)，即除了能夠辨識或描繪圖形的特性外，也能看到相關圖形的數學 性質和對組成圖形的子圖 (subconfiguration) 辨識，才能真正理解幾何證明的內 容。隨著資訊科技的發展，在電腦上閱讀各種資訊的情況愈來愈普遍，這種閱讀 方式尤其對於圖形的呈現，不但達到快速精美的效果，還能以動態方式展現圖形 的變化，將有助於理解各種子圖與幾何圖形之間的關係；而強大的資料庫可以快 速連結各種資訊，以超文本的方式閱讀已經是很普遍的一種閱讀模式。Reinking (1992, 2005) 認為閱讀印刷文本與數位文本是不相同的，而數位文本有下列五個特色：(1)建立文本與讀者之間的相互作用；(2)以非線性格式組織及存取資訊；
(3)使用更廣範圍的表徵元素(如：聲音、動畫和影像)來表達意義；(4)在閱讀時可 擴大自由和控制的範圍以獲取資訊；(5)書寫溝通的習慣或用語改變。多媒體學 習就是學生從文字和圖片來建立心智表徵 (mental representations) (Mayer, 2003)，
動態連結方式呈現的閱讀文本就是透過數位文本的特色，來突顯文字與圖形之間 的關係，以輔助學生順利過渡不同表徵之間的轉換。
Mayer (2009) 定義多媒體學習 (multimedia learning) 為透過文字 (例如：語 音文字或印刷文字) 和圖片 (例如：插圖、照片、動畫、錄像等) 來建立心智表 徵，而透過多媒體設計學習環境，可根據每位學習者的個別需要，以最適合的方 式呈現學習內容，是自我學習的理想工具之一。Ausubel (1960) 提出前導組織 (advance organizers) 的概念，意即利用一個包含學習內容相關概念的前導式說明，
為學習者新舊知識作連結，對促進學習和保留的效果有正向的幫助。而前導組織 可以文字或圖像等形式呈現，Langan-Fox、Waycott 與 Albert (2000) 認為圖像的 前導組織比線性的呈現方式更能傳遞概念之間或跨概念的關係，配合多媒體所具 有的超連結優勢，能更迅速及有效整合或展現概念。但另一方面，數位化的學習 系統使資訊的傳遞更加複雜，容易造成學習者的認知負荷，導致學習效果不佳，
而 John Sweller 在 1980 年代提出認知負荷理論，強調有限的工作記憶區為教學 設計有效性之決定因素，而認知負荷普遍被認為是執行特定任務時附加於認知系 統中的負荷 (Sweller, van Merrienboer & Paas, 1998)。因此，研究者認為在檢測學 習成效的同時，還需要從學習者的閱讀意願、困難度、花費心力、信心指數、投 入努力 (左台益等人, 2011) 等面向作探討，才能對動態連結的幾何證明閱讀文 本設計作較全面的分析，為輔助幾何學習的動態環境設計提供初步的建議。
在學習的初始階段，透過工作例來學習是有效的方法之一。但只獨立呈現 工作例的內容並不足以讓學習者掌握其中的原理 (Hilbert, Renkl, Schworm, Kessler & Riess, 2008)，因此設計配合練習和後設認知問題來幫助學生反思所閱 讀的工作例內容，透過填答考卷可以知道學生對幾何證明內容的理解狀況。而對 於透過上述學習方式而無法達到理解程度的學生，嘗試從透過分析他們的回答問 題策略，期望能從中找到可能的原因以及提供改善的方法，以設計更適合學生透 過閱讀自行學習的有效方法。