因子分數之估計

在第二章的正交因子模型裡，負載矩陣 L 代表 m 個潛在因子作用於 p 個股票 觀察變量的效果；對任何股票而言，L 都是定值，不隨著股票之間的相異而有所變 化。隨股票相異而有所變化的是共同因子 F 的具體數值，而這個具體數值稱為因 子分數。換言之，因子分數就是潛在因子的績效指標。在本研究裡，每支股票原 先具有的 20 個股票觀察變量能被降維成 4 個因子分數，而這 4 個因子分數分別代 表該股票在四個潛在因子的定量性質。若能夠估計出每支股票的因子分數，就能 夠定點地、橫斷地比較各股票的表現，又或者是歷史地、縱貫地推論該股票的變 化。因此，若要利用因素分析法的結論做後續衍生，當務之急就是先產生有效的 因子分數估計值。

因子分數的估計法可分為兩種類別。第一種稱為精煉型因子分數（refined factor score）。精煉型因子分數著重於建立統計模型來預測最佳的因子分數之數值。常用 的統計模型包括最大概似迴歸模型（MLE's regression model）與加權最小平方模型

（weighted least-squares model），利用這些模型估計出來的因子分數分別稱為迴歸 分數（regression score）與 Bartlett 分數（Bartlett score）。這兩個方法的共同步驟是 先將資料矩陣 X 標準化，接著再將此標準化的資料矩陣 Z 乘上經由統計模型推導 出的因子分數係數矩陣 W，進而得到因子分數的估計 F。亦即

𝐅 = 𝐙𝐖

若使用最大概似迴歸模型來得到迴歸分數，則

𝐖 = 𝐑^−𝟏𝐋^∗

其中 R 是原始 p 維變量的相關矩陣，L^*是旋轉後的因子負載矩陣。另一方面，若 以主成分因素分析法來求解負載矩陣 L^*，並使用加權最小平方模型來得到 Bartlett 分數，則因子分數係數矩陣 W 可寫為

𝐖 = (𝐋^∗(𝐋^∗)^𝐓)^−𝟏𝐋^∗

這兩種方法都會產生母體期望值為 0 的因子分數。

由於本研究致力於檢定放空限制前、後的因子分數差距，若使用精煉型因子 分數來估計因子分數之數值將產生兩大限制。首先，使用迴歸分數的先決條件為 原始資料須遵循常態分配，然而表 3.1 的 13 筆樣本皆不滿足多維常態分布的假設。

另外一個限制是此作法必須先將兩筆樣本分別標準化。這麼一來，經過矩陣運算，

亦即線性組合而成的新資料依然有平均數為 0 的特性；這個性質若用在兩群資料 間的差異檢定時，資料間的差異往往過小，致使無效假設（null hypothesis）無法 被推翻，然而之所以無法拒絕無效假設並非因為這兩個樣本沒有真實差異，而是 由於這兩群資料已經依照定義先分別進行標準化，它們在比較前就已正規化到相 同的基準，導致統計檢定無法反映出真實的樣本差異。因此，精煉型因子分數較 常被應用於判斷單筆樣本是否有離群值（outlier）以及因子模型的診斷（diagnosis），

不常被應用於多筆樣本的差異檢定或其他因素分析法的後續分析。

第二種因子分數估計法稱為粗略型因子分數（coarse factor score）。粗略型因 子分數著重於反映各支股票在潛在因子機率分佈的定位。它保留了原始資料的變 異，並且考慮在負載矩陣中較顯著的因子負載𝑙_𝑖𝑗^∗，將各支股票的 p 維變量綜合成 m 個潛在因子的新指標。粗略型因子分數中最常被使用的方法為加總分數（sum score）；其作法是若因子負載為正數，先設定一截止負載作為基準（例如 0.5），再 將超過此基準的對應變量之數值相加；若因子負載為負數，則扣掉小於此截止負 載之相反數的對應變量數值。若觀測變量的尺度差距極大，則這些變量數值可以 先標準化之後再做運算。

加總分數的運算方法雖然簡單，但它保留了原始資料的變異，Tabeachinck 與 Fidell（2001）指出加總分數在探索式的研究中有很高的效力。而它也被廣泛地應 用在因素分析法的後續分析裡，例如 Kawashima 與 Shiomi（2007）曾以加總分數 作為指標來檢驗不同性別的高中生在學習態度上的差異；Bell、McCallum 與 Cox 也曾應用加總分數於因素分析法後續的複迴歸模型中。考量了加總分數與精煉型 因子分數的來源、特性、適用性之後，本研究採用加總分數作為四個潛在因子的 績效指標。如此一來，各個時期、各個樣本的每支股票都可以求其四個潛在因子 的加總分數，因此後續的統計推論與經濟分析便可根據此定量指標來進行。