本文貢獻

為了突破上述研究限制，本研究以因素分析法進行歷時性、本質面、一般化 的探討；透過建立股票觀察變量背後的潛在因子模型，進而定量判斷放空限制對 股票市場的影響。本論文將於第二章詳細說明研究方法，並於第三章將此方法應 用在台灣各段放空限制前、後的股票市場上。這些分析指出表面上多達 20 個股票 觀察變量，但其實它們是由 4 個更本質的潛在因子所主導；探討這 4 個更本質的 潛在因子如何變化會比從表面變數建立迴歸模型獲得更深層的資訊。接著本論文 於第四章進行歷時性的分析，發現雖然台灣有 7 次放空限制的政策變革，但若由 這 4 個潛在因子著手，將可對放空限制對股市的影響得到一般化的結論。

本論文的獨到之處與學術貢獻有以下三點。首先，本研究說明了只由表面變 數――或稱為股票觀察變量――進行迴歸分析的缺點，並指出若要得出因果關係 的推論，則必須對複雜的股票市場行為、變量相關結構找出其潛在因子，再定量 分析這些潛在因子的行為於放空限制前、後的變化情形。第二，本研究以因素分 析法來尋找潛在因子，並以聚類分析（cluster analysis）進行佐證，最後發現複雜 的股市行為是由四個潛在因子所主導；這四個潛在因子並非統計工具的產物，而 是確實存在於經濟行為的深層資訊，包含了投資人意見分歧程度、市場交易活絡 程度、散戶之知訊交易程度、價格訊息揭露程度。這些潛在因子的經濟意涵將在 本論文第三章詳細討論。最後，本研究以這些潛在因子的定量指標－因子分數

（factor score）來檢驗台灣 7 段放空限制的具體成效，發現放空限制的影響並非如 歷史文獻所宣稱的絕對有效或絕對無效；放空限制的成效視當時的時空背景、經

濟局勢而定，當經濟條件動盪不安，那麼放空限制確實有遏止崩盤的效果；但當 股市行為穩定，放空限制政令改變的效果將變得不再顯著。這也是為什麼定點探 討放空限制的文獻無法得到一致的結論；只有縱貫地、本質地比較放空限制的影 響，才能得出最符合現況的一般化結論。

第 二 章

研究方法

近年來探討放空限制的實證文獻多以統計檢定來推論放空限制前後是否有顯 著超額報酬，或是以迴歸分析來解釋放空限制前後流動性、波動性、報酬分配之 影響為主。例如 Van T. Nguyen 與 Alex P. Tang（2011）採用多變數迴歸，以市值、

槓桿比率、放空比率、帳面價值與市值比例、放空改變量、限制前的累積超額報 酬做為自變數，藉此估計超額報酬的變化，進而比較 2008 年美國放空限制前、後 報酬分配的差異以及不同規模的公司之超額報酬情形。Christos I. Giannikos 與 Eleni Gousgounis（2012）採用複迴歸，以價格錯估做為應變數，歷史波動率、日內波動 率、價格範圍、週轉率、日報酬率、買賣價差做為自變數，驗證印度放空限制下 意見分歧對於價格錯估的影響效果。Robert Battalio 與 Paul Schultz（2011）採用複 迴歸，以選擇權買賣價差做為應變數，股票價格與履約價比例、選擇權隱含波動 度、選擇權標的股票交易量、買權平均價、賣權平均價做為自變數，驗證 2008 年 美國放空限制下對於股票選擇權市場的影響。然而，這些實證研究的重大限制為 用於統計推論的資料屬於觀察性資料，而非實驗性資料。只有實驗性資料能夠論 證變數間的因果關係；若僅對這些表面觀察變量進行迴歸分析，則這些研究的論 證都只僅止於變數間的相關性，無足夠證據來推論因果關係；這是因為其中可能 有潛在因子之影響。換言之，這些文獻宣稱的因果關係可能背後有潛在因子在操 控，而這些潛在因子才是導致股票變量共同反應的主因。

股票觀察變量之間觀察到的相關性，可分為直接因果關係、共同反應、交絡 等三種。直接因果係指自變數的變動對應變數造成改變，二者之間沒有其他擾動 變數。共同反應則是指表面上看似共同增減的觀察變量，背後存在一潛在因子，

因為它的作用導致這二者產生相關聯之改變；乍看之下研究者容易把這些觀察變 量各自視為自變數與應變數，但其實它們都是潛在因子作用下共同變動的結果，

它們都會因為潛在因子的變化而同時改變。交絡則是指自變數和潛在因子會一起 對應變數產生作用；乍看之下貌似只有自變數引發應變數的變化，但是自變數和 潛在因子之間又有相關性，使得難以從表象區隔出自變數對應變數的影響程度或 是潛在因子對應變數的影響程度。若不深究股票觀察變量背後的潛在因子，可能 會只得到表象的錯誤推論，無法得到更深層、更本質的資訊。

因此，為了瞭解本文從股票市場選取的 p 個股票觀察變量的相關性結構，本 文以因素分析法詳加探討這些觀察變量背後的潛在因子結構；藉由研究潛在因子 本質上的影響，進而得到更深入的資訊，並以此資訊更嚴謹的定量分析放空限制 政策之效果。

2.1 因素分析法之模型及其求解過程

考慮研究範圍內的股票市場有 n 支股票，每支股票有 p 個觀察變量，並將此 資料以 n 列 p 行之矩陣 X 表示：

X=

�𝓍11 ⋯ 𝓍𝑝1

⋮ ⋱ ⋮ 𝓍₁^𝑛 ⋯ 𝓍_𝑝^𝑛� = �

(𝐗¹)^𝐓 (𝐗²)^𝐓 (𝐗ⁿ⋮)^𝐓

�

其中 𝓍_𝑗^𝑖 代表第 i 支股票之第 j 個觀察變量值，i = 1,2,…n，j = 1,2,…p。

若對每個觀察變量求取這 n 支股票的平均值，則此 p 維之平均向量可表示為 一 p × 1 維的樣本均值向量：

𝐗� = � 𝓍1

𝓍���₂

���⋮ 𝓍_p

���

�

其中 𝑥� =𝚥 ¹_𝑛∑^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑗^𝑖。而這 n 筆 p 維股票觀察變量的相關性結構，可以由其樣本共

其中 L 稱為負載矩陣（loading matrix）；F 稱為共同因子（common factor），它代 表 p 個股票觀察變量背後的 m 個潛在因子。此模型的實質意義為若第 j 個變數 xj

與此變數平均值𝓍� 的差異為𝑥ȷ 𝑗− 𝓍�，那麼此差異可被 Fȷ ¹, F₂, …, F_m潛在因子所解釋，

而每個潛在因子 Fi的解釋力以 lij表示。此外，𝓔為此線性模型的誤差向量。

因素分析法的關鍵有二：其一為估計潛在因子的個數，也就是 m 的數值；其

二為估計這些潛在因子如何影響𝑥_𝑗 − 𝓍�，也就是 l_ȷ ^ij的大小，並使得誤差向量的值越 小越好。在說明如何估計 L 之前，正交因子模型有如下假設：

Ε(𝐅)＝𝟎(m×1), Cov(𝐅) = 𝐈(m×m),

Ε(𝓔)＝𝟎_(p×1), Cov(𝓔) = 𝚿_(p×p) =

⎣⎢

⎢⎢

⎡ψ₁ 0

0 ψ₂ ⋯ 0

⋯ 0 0 0⋮ ⋮

⋱ ⋮

⋯ ψ_p⎦⎥⎥⎥⎤

亦即Ｆ的數值為隨機變數，它會隨著某特定股票 X^j而變動；L 則是定值，它是待 估計的系統參數。為了更方便地估計 L，考慮如下運算：

(𝐗 − 𝐗�)(𝐗 − 𝐗�)^Ｔ= �𝐋 𝐅 ＋𝓔��𝐋 𝐅 ＋𝓔�^Ｔ

= �𝐋 𝐅 ＋𝓔� �(𝐋 𝐅)^Ｔ+ 𝓔^Ｔ� = (𝐋 𝐅)(𝐋 𝐅)^Ｔ+ 𝓔(𝐋 𝐅)^Ｔ+ 𝐋 𝐅𝓔^Ｔ+ 𝓔𝓔^Ｔ

若對等號左側取期望值，則可發現Ε(𝐗 − 𝐗�)(𝐗 − 𝐗�)^Ｔ即為這 n 支 p 維觀察變量之股 票的母體共變異矩陣，且它能以樣本共變異矩陣 S 來估計，亦即

𝐒 = Cov(𝐗) = Ε(𝐗 − 𝐗�)(𝐗 − 𝐗�)^Ｔ

= 𝐋Ε �𝐅𝐅^Ｔ� 𝐋^Ｔ+ Ε �𝓔𝐅^Ｔ� 𝐋^Ｔ+ 𝐋Ε �𝐅𝓔^Ｔ� + Ε �𝓔𝓔^Ｔ�

若代入正交因子模型之假設，可推得

𝐒 = 𝐋𝐈𝐋^Ｔ+ 𝟎𝐋^Ｔ+ 𝐋𝟎 + 𝚿

= 𝐋𝐋^Ｔ+ 𝚿 (2)

因此，若要估計 L 的數值，可將原始資料之樣本共變異矩陣分解為一 p × m 之矩陣與其轉置矩陣相乘，再加上一對角矩陣𝚿。目前已發表之文獻裡，最常使用 的 L 估計方法有主成分因素分析法（principal component factor analysis）以及最大 概似估計法（maximum likelihood estimation），兩種方法常可得到一致之 L 估計。

本研究使用主成分因素分析法來得到 L 的估計值。

若再進一步觀察可知 S 必為一對稱矩陣，因此，S 可以被頻譜分解（spectral decomposition），進而得到特徵值－單位特徵向量對�𝜆_𝑖，𝐞_i�，i = 1, 2,..., p。其中 𝜆₁ ≥ 𝜆₂ ≥ ⋯ ≥ 𝜆_𝑝，|𝐞_i| = 1，則

𝐒 = 𝜆1𝐞1𝐞1T+ 𝜆2𝐞2𝐞2T+ ⋯ + 𝜆𝑝𝐞p𝐞pT

= ��𝜆1𝐞1 �𝜆₂𝐞₂ ⋯ �𝜆𝑝𝐞_p�

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎡�𝜆¹𝐞₁^T

�𝜆2𝐞2T

⋮

�λp𝐞pT

⎦⎥

⎥⎥

⎥⎤

亦即 S 可被拆解為一矩陣 L 乘上它的轉置矩陣，恰好能滿足(2)的條件。只是此時

L 的維度為 p × p，亦即潛在因子的數目與股票觀察變量的個數相同；這麼多的潛

在因子使得因素分析法缺乏解釋意義與實用價值。

既然將 S 做頻譜分解時已將 S 的特徵值由大到小排列，通常這 p 個特徵值間 大小相差極為劇烈，若將較小的 p – m 個特徵值捨去，根據主成分分析（principal component analysis）的性質，S 能夠被精確地近似為：

𝐒 ≃ 𝐋𝐋^Ｔ+ 𝚿 correlation matrix）來表示，亦即：

𝐑 =

𝜆₁+ 𝜆₂+ ⋯ + 𝜆_𝑚 𝑝

𝐋̂的列向量之負載值𝑙̂₁₁, 𝑙̂₂₁,…, 𝑙̂_𝑝1指出第 i 個潛在因子如何影響這 p 個股票觀 察變量。這些負載的相對大小及性質符號也透露了表面變數的群性；若負載之絕 對值越大，代表這個潛在因子越能解釋這些對應的股票觀察變量，而這些股票觀 察變量的相關性也越有可能是由這個本質上的潛在因子所引起。然而，因素分析 法希望更進一步強化潛在因子解釋性的效力，亦即它希望透過特殊作法，使得同 個潛在因子的負載值一部分趨向極端大，另一部分則趨向極端小，進而提升股票 觀察變量的群性解析度。這個特殊作法稱為「因子旋轉」（factor rotation）。

之所以稱為因子「旋轉」，這是因為在(2)的模型裡，若將 L 乘上一正交矩陣 Q，

即𝐋̂^∗ = 𝐋̂𝐐，則(2)之等式依然成立：

𝐒 = 𝐋̂𝐋̂^Ｔ+ 𝚿

= 𝐋̂(𝐐𝐐^𝐓)𝐋̂^Ｔ+ 𝚿 = �𝐋̂𝐐��𝐋̂𝐐�^𝐓+ 𝚿

= 𝐋̂^∗𝐋̂^∗T+ 𝚿

而 Q 的幾何意義即為對原矩陣𝐋̂作旋選或映射。因此，若能妥善地選取 Q，並將它 作用於主成分因素分析法求解出來的𝐋̂上，那麼𝐋̂就能被旋轉至群性解析度更高的 方向。常見的因子旋轉方法有變異最大旋轉法（varimax rotation）、四方最大旋轉

（quartimax rotation )、相等最大值法（equimax rotation）等方式；本研究使用變異 最大旋轉法。此方法透過數值方法找出 V 的最大值：

V = 1

𝑝 � ���𝑑^𝑖𝑗2 − 𝑑̅_𝑗�²

p i=1

�

m j=1

𝑑𝑖𝑗 = 𝑙̂𝑖𝑗

�𝑙̂_i1² + 𝑙̂_i2² + ⋯ + 𝑙̂_im²

, 𝑑̅𝑗 = � 𝑑_𝑖𝑗²

p j=1

而使 V 最大時所對應的 d_ij即為對應的新負載值，亦即𝑙_𝑖𝑗^∗。當 V 最大時，這些新負 載值將遠離它們的平均值𝑑̅_𝑗，因此𝑙_𝑖𝑗^∗將一部分趨近於 1，而另一部分趨近於 0；換 言之，同一個潛在因子能解釋的表面變數將會更專精，模型的解釋力也將更強化。

至此，p 個股票觀察變量的相關結構已能用統計模型求出背後的 m 個潛在因 子；這些潛在因子由本質著手，各自解釋某特定群股票觀察變量的變化。然而，

實務上最關鍵的問題並非以何種方法來估計負載矩陣，或是以何種操作來進行因 子旋轉，而是如何選取 m 的數字大小，以及如何確認這 m 個潛在因子確實能各司 其職地解釋對應的表面變數。傳統上，若以主成分因素分析法求得的因子模型，

最常被用來估計 m 的數字大小的方式有兩種。第一種是定性觀察陡坡圖（scree plot）

最常被用來估計 m 的數字大小的方式有兩種。第一種是定性觀察陡坡圖（scree plot）

在文檔中 以因素分析法探討放空限制對股市之影響 (頁 23-0)