第二章 文獻探討
第一節 因數與倍數
本研究主要是在探討國小六年級學生對於因數與倍數相關單元概念的精熟 情形，故在本節中先探討因數與倍數在數學領域中的重要性，再進行相關文獻 的探討。
壹、教材分析
在民國九十二年課程綱要中，數學領域主要內涵為包含數、形、量基本概 念之認知、具運算能力、組織能力，並能應用於日常生活中，了解推理、解題 思考過程，以及與他人溝通數學內涵的能力，並能做與其他學習領域適當題材 相關之連結。
數學學習領域階段劃分：分為四階段，第一階段為一至三年級、第二階段 為四至五年級、第三階段為六至七年級、第四階段為八至九年級。各階段的目 標為：在第一階段（一至三年級
)
能掌握數、量、形的概念。在第二階段（四至 五年級)
能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。在小學畢業 前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問 題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單 統計圖形並理解其概念（
教育部，2003)。ㄧ、因數與倍數標準名詞解釋
依據教育部民國九十二年公布的國民中小學九年一貫數學領域課程綱要，
因數與倍數屬於「數與量」主題，在標準名詞解釋中所提到有關本研究所用之因
數與倍數相關名詞，如表 2-1。
表 2-1 因數與倍數標準名詞解釋
名詞 解釋
因數、倍數
一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因 數，乙稱為甲的倍數。國小階段祇學習正因數、正倍數，
國中階段則引進負因數、負倍數的學習。
公因數、最大公因數
一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的 公因數。公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因 數一定為正整數。
公倍數、最小公倍數 一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的 公倍數。在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。
質數 一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個正因數時，稱為質 數。
合數 又稱合成數，大於 1 的正整數中不是質數者稱之。
互質 兩正整數除 1 外無其他公因數者稱為兩數互質。
質因數 是質數又是某數的因數，稱為某數的質因數。
短除法
判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商，並不詳 細運算除法過程，如
2 12 2 6
3
其計算型態為短除法。若除數皆為質數，其過程即稱 為質因數分解。
資料來源：教育部（2003)
二、89 年暫行綱要與 92 年課程綱要對照
表 2-2 為 89 年暫行綱要與 92 年課程綱要能力指標對照表，雖然現在已經公 布 97 年課程綱要，但是在 100 年起逐年實施，而本文的研究對象是 100 學年度
六年級學生，故 97 年課程綱要在此並不進行討論。
雖然是同樣的能力指標，但是國中七年級的運用是更加深加廣，也讓學生有再反 覆練習的機會，對於因數與倍數相關概念，92 年課程綱要比起 89 年暫行綱要來 得更貼近於學生學習概念的形成。
三、因數與倍數相關分年細目
依據教育部民國九十二年公布的國民中小學九年一貫數學領域課程綱要 中，階段能力指標須採分年進階式教學才能達成其教學目標，因此將階段能力指 標演繹出更細微的分年細目及詮釋，並依此作為教師教學及教科書編輯的主要參 考依據；在評量時，教師應以教材內容、教學目標與相關課程能力指標，訂定評 量的標準，細目詮釋中所附之評量範例，可作為教師命題難度的參考。因此在本 研究中亦採用民國九十二年數學領域課程綱要分年細目中「因數與倍數細目」，
來進行標準化測驗編製，透過試題分析、認知診斷模式分析來檢視六年級學童對 於因數與倍數概念的熟練情況，以及提供教學者關於學生錯誤類型的診斷分析，
了解其錯誤原因，進而提供補救教學之參考。表 2-3 為因數與倍數的相關分年細 目。
表 2-3 因數與倍數相關分年細目
年級 分年細目
對照 指標
ㄧ年級 1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等 活動。
N-1-01 N-1-03
二年級 2-n-08 能理解九九乘法。
N-1-06 A-1-03
三年級 3-n-04
能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄
（包括有餘數的情況），並解決生活中的問 題。
N-1-04
五年級 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-2-04
六年級
6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質
數＜20，質因數＜10，被分解數＜100)。 N-3-01
6-n-02
能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩 數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍 數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。
N-3-02
七年級
7-n-09 能理解質數的意義，並認識 100 以內的質
數。 N-3-01
7-n-10
能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和 最小公倍數，並熟練質因數分解的計算方 法。
N-3-02
7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約
分、擴分、最簡分數的計算。 N-3-02 資料來源：教育部（2003)
在分年細目 5-n-03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數」，說明中有提到 是以 1-n-07（幾個一數)，2-n-08（九九乘法)，3-n-04（除法)為前置經驗，來 理解因數、倍數的概念；依據黃國勳、劉祥通（2003)的研究中指出，要學好因 數、倍數的概念前，必須先熟悉整數的乘除法。在施秀麗（2007)倍數概念結構 分析中也發現，學生的倍數概念結構發展為先認識乘法的意義，進而才認識倍數 的意義。由此可知，要學習因數與倍數概念時，學生會以過去乘除法的概念為基 礎來進行學習。
在九年ㄧ貫數學領域「數與量」的主題中，「整數」子題教學的課程目標在 六年級時是理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整 的數字感。
從七年級的分年細目 7-n-09、7-n-10、7-n-11 與六年級的分年細目 6-n-01、
6-n-02 比較中可以得知，七年即對於因數與倍數的概念只是在數字上較六年級更
陳標松
陳怡娟
陳智遠 及試題分析軟體 TestGraf98 來繪圖，以 探討六年級學童對此分測驗的應答情形
時，學生會以過去乘除法的概念為基礎進行學習，但是學生在學習過程中可能是
陳筱涵（2004)
黃玉雙（2011)
1. 未理解整除概念。
2. 未建立因數與倍數概念。
3. 誤以為某數的因數最大不會超過某數的一半。
4. 公因數與公倍數概念模糊。
5. 因粗心出現遺漏。
6. 採用關鍵字解文字題。
陳智遠（2011)
1. 有遺漏或多找。
2. 不清楚該使用最大公因數或最小公倍數來解題。
3. 認為所有的質數都是奇數。
4. 把 1 當成質數。
5. 把較大的奇數當作質數。
6. 把 2 當成合數
依據本研究中，藉由蒐集參考相關文獻中關於因數與倍數的迷思概念，設計 開放題並施測，再請學生寫出做法，以求得學生的錯誤類型，結果發現學生的錯 誤類型與所參考的相關文獻相差不多，因粗心而出現遺漏或多選、專有名詞和概 念混淆不清、誤認奇數就是質數、誤認 2 是合數等。