由認知診斷結果來探討知識結構

試題關聯結構分析法（IRS)是在對試卷進行試題的統計分析，用學生的作答 反應所得的通過率和題目間的順序關係來建構試題關聯結構圖。本研究意欲以認 知診斷的結果來探究學生在因數與倍數的知識結構，用認知診斷的結果將試題依 概念進行分群，由表 4-11 全體學生概念精熟程度分析表中可知，未達標準的概 念有：K1、K4、K7；由表 4-15 低分組學生精熟程度分析表中可知，未達標準的 概念除了有 K1、K4、K7 以外，尚有 K5、K6。故依據此結果分成三群，第一分群 探討只具有 K1 概念的試題，第二分群探討具有 K4、K7 概念的試題，第三分群探 討具有 K5、K6 概念的試題，如下表 4-25 概念與題號對應表，並討論如下：

表 4-25 概念與題號對應表

圖 4-1 第一分群試題關聯結構圖 通過率

0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1

Item19

Item2

Item3

Item4 Item1

表 4-28 第一分群試題分析表

在 1336、2349、5709、6689 這些數中，哪些是 3 的倍數？

但試題的通過率卻不盡相同，且試題間仍具有其順序性，如：Item1→Item2、Item1

→Item3、Item3→Item1、Item3→Item2、Item4→Item1、Item4→Item2、Item4

→Item3 等，也就代表著當學生在學習 K1 概念時還是有著順序，由上表 4-28 第 一分群試題分析表及圖 4-1 第一分群試題關聯結構圖中，可以得知對學生而言，

在 K1「能理解因數和倍數」這個概念裡，應先學會如何判斷 3 的倍數(Item4)，

對學生而言，學過乘法，所以在找尋、判斷倍數是較簡單的，再以此為基礎，進 而學習因數(Item1)、倍數(Item3)的定義，然後再學會去找出某數的因數個數 (Item2)，要學會上位的試題時必須先學會下位的試題，依此步驟學習 K1 概念，

就能讓學生對於 K1 概念較為精熟。

至於 Item19 因為是屬於較難的解題與思考的題目，所以與較基本的題目就 無順序性。

貳、第二分群試題關聯結構圖

在探討具有 K4「認識合數」、K7「了解兩數互質的意義」概念的試題時，研 究者認為應該再加入 K3「認識質數」這個概念一同探討，故有第 10、11、14、

15、16 題，根據下表 4-29 第 10、11、14、15、16 題試題關聯順序性係數表及表 4-30 第 10、11、14、15、16 題試題關聯順序性係數二分矩陣表，繪製出第二分 群試題關聯結構圖，如圖 4-2。

表 4-29 第 10、11、14、15、16 題試題關聯順序性係數表 試題

題號 10 11 14 15 16

10 0.50* 0.41* 0.39* 0.45*

11 0.12 0.12 0.16 0.29 14 0.18 0.21 0.10 0.32*

15 0.11 0.19 0.07 0.28 16 0.08 0.20 0.13 0.16

註：*代表順序性係數大於閾值 0.3

表 4-30 第 10、11、14、15、16 題試題關聯順序性係數二分矩陣表 試題

題號 10 11 14 15 16

10 1 1 1 1

11 0 0 0 0

14 0 0 0 1

15 0 0 0 0

16 0 0 0 0

註：順序性係數大於閾值 0.3 者以 1 表示，即兩試題間有順序性，反之以 0 表示。

圖 4-2 第二分群試題關聯結構圖 通過率

0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1

Item16

Item15

Item14

Item10 Item11

表 4-31 第二分群試題分析表

由圖 4-2 第二分群試題關聯結構圖中，可知試題間的順序性有：Item10→

Item11、Item10→Item14、Item10→Item15、Item10→Item16、Item14→Item16 等，由上表 4-31 第二分群試題分析表及圖 4-2 第二分群試題關聯結構圖中，可 以得知對學生而言，在學習 K3 、K4、 K7 概念中，K3「認識質數」是最基本的 概念，要先了解質數的定義(Item10)才能進一步去學會其他概念，學會了 K3 概 念後，再分別學 K4「認識合數」(Item11)及 K7「了解兩數互質的意義」；在 K7 概念中有三題，分別是 Item14、 Item15、 Item16，而 Item15 除了要了解互質 的意義外，還須具備最小公倍數的概念，才能答對這一題；Item14 和 Item16 之 間有順序性，代表需先了解互質的定義(Item14)，當兩數的公因數只有 1，就說 兩數互質，知道了互質的定義，才能去判斷任兩數之間是否存在著互質的關係 (Item16)，所以當在學這三個概念時，應按學生知識結構的順序按部就班的教 導，先學會下位試題的概念，再學上位試題概念。

参、第三分群試題關聯結構圖

探討具有 K5、K6 概念的試題，有第 12、13、17 題，根據下表 4-32 第 12、

13、17 題試題關聯順序性係數表及表 4-33 第 12、13、17 題試題關聯順序性係數 二分矩陣表，繪製出第三分群試題關聯結構圖，如圖 4-3。

表 4-32 第 12、13、17 題試題關聯順序性係數表 試題

題號 12 13 17

12 0.19 0.12

13 0.44* 0.18 17 0.56* 0.35*

註：*代表順序性係數大於閾值 0.3

表 4-33 第 12、13、17 題試題關聯順序性係數二分矩陣表 試題

題號 12 13 17

12 0 0

13 1 0

17 1 1

註：順序性係數大於閾值 0.3 者以 1 表示，即兩試題間有順序性，反之以 0 表示。

圖 4-3 第三分群試題關聯結構圖 通過率

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1

Item12

Item13

Item17

表 4-34 第三分群試題分析表

由圖 4-3 第三分群試題關聯結構圖中，可知試題間的順序性有：Item17→

Item12、Item17→Item13、Item13→Item12 等，由上表 4-34 第三分群試題分析 表及圖 4-3 第三分群試題關聯結構圖中，可以得知對學生而言，用短除法做質因 數分解是較簡單的(Item17)，只要反覆多練習幾次，學生就會習得此項技巧；反 而，若不靠短除法求質因數分解(Item13)，有可能在過程中會出現遺漏的情形；

在這三題中以 Item12 得通過率最低，所以是被歸在上位的試題，但 Item12 的概 念是 K5「認識質因數」，而 Item13、Item17 的概念是 K6「了解質因數分解」，依 教材編製及專家知識結構而言，應是先教 K5「認識質因數」，再教 K6「了解質因 數分解」，但是從學生作答反應繪製成的試題關聯結構圖中，卻又違反了順序性，

經與專家探討後認為：學生對於質因數的定義並不是很清楚，而至於求質因數分 解只要反覆多練習就會解題；由此可以發現學生普遍會有的通病，即是對於概念 的定義總是不甚了解，而對於計算的題目只要重複不斷的練習即可習得。