國小六年級學生因數與倍數概念認知診斷與試題關聯之研究

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文. 指導教授：曾建銘. 博士. 施淑娟. 博士. 國小六年級學生因數與倍數概念認知診斷與試題關聯之研究. 研究生：劉昱泓撰. 中華民國 101 年 7 月.

(2) 謝誌四年的研究所生涯終於告一段落，僅能以一切盡在不言中來形容當下的心情，並且對一路走來許多幫助過我的人感到無限的感激，因為有你們，我才能順利畢業。首先，要感謝在論文的研究過程中，一直溫和的、有耐心指導我的曾建銘老師，儘管老師自己的工作很多，但還是利用假日的時間來指導我，一直鼓勵我，告訴我一定可以完成的，所以非常感謝曾老師的教導，才能有今日順利完成的論文。其次要感謝的是三位口試委員─許天維院長、施淑娟老師、吳慧珉老師，感謝三位口試委員對於本論文疏漏之處的細心指正，並給予詳細的指導與建議，使得本論文能更加嚴謹與完整。再來要感謝的是我的姐姐，由於有妳的支持、陪伴與協助，才能讓我支撐下這四年的研究所生涯，得以順利畢業。還要感謝其他的家人─爸爸、媽媽、岳母、老婆以及兩個寶貝兒子，因為有你們當我強大的後盾，使我沒有後顧之憂，才能完成學業。最後要感謝的是研究夥伴─思綺，以及思綺的先生登民，因為有你們的陪伴，讓論文寫作過程中充滿歡樂。. 昱泓 2012年7月20日誌於中教大.

(3) 摘要本研究參酌教育部九十二年國小數學課程綱要九年一貫能力指標，及 NAEP 數學能力評量架構，編製有關「因數倍數」單元雙向細目，據此設計「國小六年級學生因數與倍數概念之認知診斷研究」試題，再以測驗工具檢視六年級學生對於因數倍數概念熟練情況，將學生施測的結果以古典測驗理論及認知診斷模式來分析進行比較，再將認知診斷的結果透過試題關聯結構法來探討學生的知識結構。ㄧ、由 Tester2 軟體及 DINA 模式來分析學生的錯誤概念，可以發現： 1.學生在合數概念中，常發生「偶數就是合數」、「誤認 2 是合數」的迷思概念，尤其以低分組的學生更為明顯。 2.學生在解題過程中時常會出現「題意了解錯誤」或「題意了解困難」的情形。 3.學生在因數、倍數、公因數、公倍數計算過程中普遍會發生「遺漏」的現象，尤其是以「1」和「本身」最為常見。 4.學生在質數概念中，會出現誤認「奇數就是質數」、「互質概念不清楚」等情形。二、由認知診斷的結果用試題關聯結構來分析，可以發現： 1.在不同概念間有其順序性，應按學生知識結構的順序按部就班的教導，如此學生才較容易學習。 2.學生對於名詞的定義不甚清楚，所以建議在教學時，必須對因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數、質數、合數等專有名詞進行詳細且清楚的解說，才不至於各個概念互相混淆，以影響到後來的學習。. 關鍵字：因數、倍數、DINA 模式、試題關聯結構分析. I.

(4) The Study of Cognitively Dignostic and Item Relation Structure in Factor and Multiple Concept of the Sixth Grade Abstract In this study, the test instrument for the cognitive diagnostic study of the sixth graders’ factor and multiple concepts were first designed by considering the elementary mathematical ability index of Grade 1-9 curriculum guideline 2003 and NAEP mathematical ability assessment structure. and the study analyzed the test results by item classical theory and cognitively diagnostic model to examine the proficiency of using factor and multiple of the sixth graders. Finally, the study investigated the sixth graders’ knowledge structure by analyzing the results of cognitive diagnostic model as well as Item Relation Structure (IRS). A. The study used Tester2 software and DINA model to analyze the student’s incorrect concepthe following results. and got t a. About the concept of composite number, the students often misunderstood the concepts of “even number is composite number” and “2 is a composite number”, especially the low ability students. b. “Misunderstanding the items” and “hard to understand the items due to the lack of reading-interpretation abilities” occured frequently when solving problems. c. “1” and the number itself were always omitted when calculating the factor, common factor, multiple and common multiple. d. “Misunderstanding that odd number is prime number” and “unclear concept of relatively prime” appeared in students’ primary concept. B. Analyzing the results of cognitive diagnostic model and comparing to IRS, the study had the following observations and suggestions: a. Different concepts existed the sequence. Students will learn easily if teachers teach them by the order of knowledge structure. b. The students are unclear on the definitions of proper nouns including factor, multiple, common factor, common multiple, the largest common factor, the least common multiple, prime number and composite number. Therefore, a more detailed and clear explanation is needed in teachers’ instruction. Keywords: factor and multiple、DINA model、item relation structure. II.

(5) 目. 錄. 摘要 ................................................................................................................................. I 目錄 ...........................................................................................................................III 表目錄 ............................................................................................................................ V 圖目錄 ......................................................................................................................... VII 第一章緒論 .................................................................................................................1 第一節研究動機 ...............................................................................................1 第二節研究目的 ...............................................................................................3 第三節研究問題 ...............................................................................................4 第四節研究範圍與限制 ...................................................................................4 第五節名詞解釋 ...............................................................................................5 第二章文獻探討 .........................................................................................................9 第一節因數與倍數 ...........................................................................................9 第二節認知診斷評量 .....................................................................................20 第三節試題關聯結構 .....................................................................................26 第三章研究方法 .......................................................................................................31 第一節研究流程 .............................................................................................31 第二節研究架構 .............................................................................................33 第三節研究工具 .............................................................................................34 第四節研究對象 .............................................................................................40 第五節資料處理與分析 .................................................................................41 第四章結果與討論 ...................................................................................................43 第一節測驗分析 .............................................................................................43 第二節 DINA 模式分析 ....................................................................................49 第三節探討通過率、鑑別度與猜測、粗心的關係 .....................................58 第四節由認知診斷結果來探討知識結構 .....................................................65 第五章結論與建議 ...................................................................................................77 第一節結論 .....................................................................................................77 第二節建議 .....................................................................................................79 參考文獻 .......................................................................................................................83 壹、中文部份 .......................................................................................................83 貳、外文部份 .......................................................................................................85 附錄 ...............................................................................................................................87 附錄ㄧ因數倍數概念開放題 .............................................................................87 附錄二因數與倍數概念預試試題 .....................................................................89 附錄三因數與倍數概念正式施測試題 .............................................................94. III.

(6) 附錄四全部試題之順序性係數分析表 .............................................................99 附錄五全部試題之順序性係數二分矩陣分析表 ...........................................100. IV.

(7) 表目錄表 2-1 因數與倍數標準名詞解釋 ..............................................................................10 表 2-2 89 年暫綱與 92 年課綱能力指標對照表 ....................................................... 11 表 2-3 因數與倍數相關分年細目 ..............................................................................12 表 2-4 因數與倍數相關研究 ......................................................................................14 表 2-5 因數與倍數的迷思概念 ..................................................................................18 表 2-6 因數與倍數相關概念 ......................................................................................22 表 2-7 Q 矩陣 ...............................................................................................................22 表 2-8 受試者具備的概念狀態 ..................................................................................23 表 2-9 試題 i 跟 j 的聯合邊界機率 ..........................................................................27 表 2-10 試題 i 與試題 j 答對與答錯人數統計表 ....................................................28 表 3-1 國小六年級因數與倍數測驗雙向細目表 ......................................................34 表 3-2 概念與能力指標對應表 ..................................................................................35 表 3-3 概念代號與題號對應表 ..................................................................................35 表 3-4 預試測驗分析總表（N=140) ..........................................................................36 表 3-5 預試的 Q 矩陣 ..................................................................................................38 表 3-6 正式施測的 Q 矩陣 ..........................................................................................39 表 3-7 正式施測樣本人數分配表 ..............................................................................41 表 4-1 正式測驗分析總表（N=854) ..........................................................................43 表 4-2 第 22 題學生作答反應情形 ............................................................................46 表 4-3 第 21 題學生作答反應情形 ............................................................................47 表 4-4 第 12 題學生作答反應情形 ............................................................................47 表 4-5 第 17 題學生作答反應情形 ............................................................................48 表 4-6 低分組學生錯誤概念類型比例表 ..................................................................48 表 4-7 23 題試題適配性分析表 .................................................................................49 表 4-8 22 題試題適配性分析表 .................................................................................51 表 4-9 21 題試題適配性分析表 .................................................................................53 表 4-10 原 23 題與後 21 題題號對照表 ....................................................................54 表 4-11 全體學生概念精熟程度分析表 ....................................................................55 表 4-12 第 11 題學生作答反應情形 ..........................................................................55 表 4-13 第 1、2、3、4 題學生作答反應 ..................................................................56 表 4-14 第 14、15、16 題學生作答反應 ..................................................................57 表 4-15 低分組學生精熟程度分析表 ........................................................................57 表 4-16 各試題猜測與粗心分析表 ............................................................................58 表 4-17 第 17 題學生作答反應情形 ..........................................................................59 表 4-18 第 18 題學生作答反應情形 ..........................................................................60. V.

(8) 表 4-19 表 4-20 表 4-21 表 4-22 表 4-23 表 4-24 表 4-25 表 4-26 表 4-27 表 4-28 表 4-29 表 4-30 表 4-31 表 4-32 表 4-33 表 4-34. 第 20 題學生作答反應情形 ..........................................................................60 第 19 題學生作答反應情形 ..........................................................................61 第 2、3、16 題學生作答反應情形 ..............................................................61 低分組的通過率與猜測參數 ........................................................................62 高分組的通過率與粗心參數 ........................................................................63 猜測參數、粗心參數與鑑別度 ....................................................................64 概念與題號對應表 ........................................................................................66 第 1、2、3、4、19 題試題關聯順序性係數表 ..........................................66 第 1、2、3、4、19 題試題關聯順序性係數二分矩陣表 ..........................66 第一分群試題分析表 ....................................................................................68 第 10、11、14、15、16 題試題關聯順序性係數表 ..................................69 第 10、11、14、15、16 題試題關聯順序性係數二分矩陣表 ..................70 第二分群試題分析表 ....................................................................................71 第 12、13、17 題試題關聯順序性係數表 ..................................................72 第 12、13、17 題試題關聯順序性係數二分矩陣表 ..................................73 第三分群試題分析表 ....................................................................................74. VI.

(9) 圖目錄圖 2-1 DINA 反應程序圖 .............................................................................................25 圖 3-1 研究流程圖 .......................................................................................................32 圖 3-2 研究架構圖 .......................................................................................................33 圖 4-1 第一分群試題關聯結構圖 ...............................................................................67 圖 4-2 第二分群試題關聯結構圖 ...............................................................................70 圖 4-3 第三分群試題關聯結構圖 ...............................................................................73. VII.

(10) 第一章. 緒論. 本研究以 National Assessment of Educational Progress（簡稱 NAEP)數學能力評量架構及九年一貫課程綱要中因數與倍數分年細目為基礎，編製標準化之「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」，再以測驗工具檢視六年級學生對於因數倍數概念熟練情況，將學生施測的結果以古典測驗理論及認知診斷模式來分析進行比較，再將認知診斷的結果透過試題關聯結構法來探討學生的知識結構。本章分為四節，第一節說明研究動機，第二節列舉研究目的，第三節根據研究目的列舉研究問題，第四節說明研究範圍與限制，第五節為本研究專有名詞解釋。. 第一節研究動機根據民國九十二年公布的九年一貫國小數學課程標準，數學領域「數與量」主題在五、六年級時的重點有認識因數、公因數、倍數、公倍數、最大公因數、最小公倍數等，而這些又與整數的乘法、除法計算，以及分數的約分和擴分、通分、分數的四則運算有密切的關係。在王環源（2009)國小階段因數與倍數相關分年細目階層結構研究中提到，乘法和除法的概念是學習因數和倍數的先備知識，而因數與倍數的概念則是學習分數擴分、約分的先備知識。在陳怡娟（2007) 的研究中發現因數與倍數的學習和異分母加減法的學習有顯著相關，在教導異分母加減法時，必須先確認學生因數、倍數概念的完整性。所以在因數、公因數、倍數、公倍數單元能學得好，擁有正確的因數、公因數、倍數、公倍數概念，將有助於學習分數的約分和擴分、通分、分數的四則運算，到了國中階段，就能以此為基礎學好相關的數學知識概念。但是根據一些專家的研究報告發現，國小學童的因數、倍數、公因數、公倍數單元表現並不理想（謝堅，1997；何東墀、蕭金土，1996；黃耀興、邱易斌，. 1.

(11) 1999)。任晟蓀（1986)也曾針對台東縣 32 所國小教師做問卷調查，發現在五年級上學期的數學課程中因數、倍數單元為學生較感困惑的單元之一。此外，也有研究發現學童在學習因數、倍數、公因數、公倍數時所存在著許多各種不同迷思（林珮如，2002；王詩惠，2003；何欣玫，2003；林清煌，2008；陳智遠，2012)。在王詩惠（2003)的研究中認為因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數的概念相當抽象，是一個獨立於生活之外的數學名詞，在學生的生活中也缺乏與因數、倍數、公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數概念相結合的經驗，故在教學時相當難以具體的活動來呈現。根據皮亞傑（Jean Piaget)認知發展理論，五、六年級學生的認知歷程是剛好介在「具體運思期」及「形式運思期」的過渡階段，具體運思期（concrete operational, 7-11 歲)能根據具體經驗思維解決問題，能使用具體物之操作來協助思考，能理解因果關係、可逆性、守恆、連續性、分類的道理。形式運思期（formal operational, 11-16 歲)則開始會類推，有邏輯思維和抽象思維，能從可得到的訊息得出結論。而因數與倍數的概念又是屬於抽象概念，故學生在學習此單元時容易發生迷思概念。為了解學生的學習成效及迷思概念，必須施以精確且客觀的評量；但傳統的紙筆測驗僅記錄學生對於此單元的精熟程度，並無法了解其在學習歷程中所遇到的問題，故無法進行補救教學。若能由評量中學生的作答反應來診斷出學生的學習成效及迷思概念，才能使老師針對迷思概念進行補救教學，而不是只一昧的從頭再教起。傳統教育測驗的結果只是一些測驗分數的集合，而這些測驗分數反映了學生答對與答錯的題數，這些測驗分數僅能提供關於學生的能力在團體中所佔的相對位置，但卻無法由學生的作答反應中，顯現出學生是否精熟某種概念的訊息，故傳統評量理論既無法提供有效的訊息，讓教師對學童的錯誤學習進行診斷的評量。因此，Nichols（1994)提倡將認知科學（cognitive science)與心理計量學. 2.

(12) （psychometrics)結合，以心理學所發展出的理論為基礎，編製一份可以反映受試者知識狀態的測驗，進而達成認知診斷評量所追求的目標。Nichols將這種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量（cognitively diagnostic assessment, CDA)。認知診斷評量認為受試者會因認知歷程與知識結構不同，而產生不同的診斷訊息，因此主張可以透過受試者的作答反應型態，就可以推論出受試者認知歷程和知識結構的可能狀況（涂金堂，2003)。認知診斷模式（cognitive diagnostic models, CDMs)是可以用來評估受試者的優勢與劣勢之處的心理計量學模式。透過認知診斷評量，可以測量出受試者的學習結果，再根據結果診斷出受試者的認知結構、迷思概念等，讓施測者能藉此針對迷思概念進行有效的補救教學。故教師若能運用認知診斷模式來檢測學生的學習成效，便能診斷出學生在學習上的認知歷程、迷思概念等。基於上述動機，本研究依據民國九十二年數學領域課程綱要分年細目中「因數與倍數細目」，以及學生常發生的錯誤類型為選項編列之考量，來進行標準化測驗編製，透過試題分析、認知診斷模式分析來檢視六年級學童對於因數與倍數概念的熟練情況，以提供教學者關於學生錯誤類型的診斷分析，以及用認知診斷的結果以試題關聯結構法來探討學生知識結構，用以得知學生在概念形成時的順序關係，了解其錯誤原因及概念形成的順序，進而提供補救教學之參考。. 第二節研究目的本研究的目的，想要了解六年級學生對於因數與倍數相關單元概念的精熟情形，故透過 NAEP 數學能力評量架構及九年一貫數學領域課程綱要中因數與倍數細目為基礎，編製標準化之「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」，透過認知診斷模式分析，瞭解學生對於因數與倍數概念的精熟情形，進而提供老師在進. 3.

(13) 行此單元教學時的參考，或單元結束後進行補救教學的依據。故本研究目的如下：ㄧ、透過 NAEP 數學能力評量架構及九年一貫課程綱要中因數與倍數細目為基礎，編製標準化之「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」。二、了解不同程度學生在因數與倍數概念精熟的情形。三、由認知診斷結果以試題關聯結構分析法來探討學生的知識結構。. 第三節研究問題根據上述的目的，所以訂定了以下的研究問題：ㄧ、用Tester2軟體分析學生作答反應，用以進行試題分析、選項分析，來了解學生的錯誤類型為何？二、六年級學生在「因數與倍數」測驗中各個概念的精熟程度為何？三、試題分析中的通過率、鑑別度與認知診斷模式中猜測參數、粗心參數的關係為何？四、由認知診斷結果以試題關聯結構分析法來探討學生的知識結構為何？. 第四節研究範圍與限制壹、研究範圍本研究之範圍，依「研究對象」與「研究內容」等方面加以說明：ㄧ、研究對象本研究係以基隆市、新北市、桃園縣公立小學一百學年度之六年級學童為研究對象。二、研究內容本研究先以 NAEP 數學能力評量架構及民國九十二九年一貫數學課程綱要中因數與倍數細目為基礎，編製標準化之「六年級學生因數倍數相關. 4.

(14) 單元診斷測驗」，將測驗結果以 Tester2 軟體分析試題及選項的通過率、鑑別度等。以 OX 軟體來分析學生概念認知的精熟程度差異。以試題關聯結構分析學生作答來探討學生的知識結構。. 貳、研究限制ㄧ、本研究係以 100 學年度國民小學六年級的學生為正式施測對象，但基於時間、人力、研究樣本取樣等多項因素考量，故採取立意選取方式，而樣本只有來自基隆市、新北市和桃園縣之國民小學，施測對象有限，所得結果不宜做過度推論。二、由於各校所使用的版本不同，且必須於六年級上學期最大公因數與最小公倍數單元學習完後才能施測，其施測時的環境、施測者的心理因素等，非本研究者所能控制。三、本研究的測驗題型以選擇題方式呈現，每一試題有四個選項，扣除正確選項後，僅剩三個選項能設計成誘答選項，故無法呈現出學生所有可能會犯的錯誤類型。. 第五節名詞解釋壹、認知診斷模式本研究中所用的 DINA 模式（Deterministic Inputs, Noisy “and” Gate Model)是認知診斷模式中的ㄧ種，是一種以選擇題方式測驗的二元計分的模式。在 DINA 模式中，對於解答某ㄧ試題時，學生必須具備解答該試題所需的所有概念才能答對，若是缺少其中的一個概念，則答對的機率相當低；若是具備所有概念的學生答錯時，則是屬於「粗心」；若是不具備所有概念的學生答對時，則屬於「猜對」。故在往後文中所提到的認知診斷模式皆是指 DINA 模式。. 5.

(15) 貳、 Q 矩陣關聯矩陣（incidence matrix)，通常以Q矩陣表示（Tatsuoka, 1985)，Q矩陣表示在該測驗中個別試題解題時所需具備特定概念的所有集合，若一份測驗中有J個試題及K個概念，則Q矩陣的大小為J×K。 Q 矩陣的製作，首先依雙向細目表編製試卷，再請專家們對試卷中的每一試題進行探討，找出要解答每一試題，學生所需具備的所有概念，蒐集所有試題的概念，形成試題與概念的集合，即為 Q 矩陣。. 參、知識結構可分成兩種，一種是專家知識結構，另一種是學生知識結構。ㄧ、專家知識結構由數位具有教學經驗的現場老師與專家，根據教學理論與教學現場的經驗，針對課程內容進行討論，分析施測範圍內的知識概念，將學生必須習得的相關概念，依教材內容順序及學生概念形成的發展，即先習得較簡單的概念，後習得較深的概念，進而界定概念的上下位關係結構，稱為專家知識結構。二、學生知識結構將專家知識結構編製成紙筆測驗，對學生施測後，將學生的作答反應以試題結構分析法來分析各試題間的順序關係，再將所得到的試題順序結構轉化成概念形成的順序及各概念間的上下位關係，而組織成學生的知識結構來界定學生在概念形成時的順序關係，稱為學生知識結構。. 肆、迷思概念指學生對於某ㄧ事物或概念的一種錯誤認知，可能是因為知識的不足，或是因為對抽象事物或概念未具備有足夠的推理能力、邏輯思維等，只依個人的觀點來做判斷，而形成了錯誤的概念（陳智遠，2011)。. 6.

(16) 伍、因數與倍數根據民國九十二九年一貫數學課程綱要中，對於國小五、六年級階段，因數與倍數相關內容涵括三個能力指標、三個分年細目，包含因數、倍數、公因數、公倍數、質數、合數、質因數分解、最大公因數、最小公倍數與兩數互質等，因此在本文中所言因數與倍數，即包含上述部分。. 7.

(17) 8.

(18) 第二章. 文獻探討. 本章共分成三節，第一節探討因數與倍數相關研究，第二節為探討認知診斷評量，第三節為探討試題關聯結構。. 第一節因數與倍數本研究主要是在探討國小六年級學生對於因數與倍數相關單元概念的精熟情形，故在本節中先探討因數與倍數在數學領域中的重要性，再進行相關文獻的探討。. 壹、教材分析在民國九十二年課程綱要中，數學領域主要內涵為包含數、形、量基本概念之認知、具運算能力、組織能力，並能應用於日常生活中，了解推理、解題思考過程，以及與他人溝通數學內涵的能力，並能做與其他學習領域適當題材相關之連結。數學學習領域階段劃分：分為四階段，第一階段為一至三年級、第二階段為四至五年級、第三階段為六至七年級、第四階段為八至九年級。各階段的目標為：在第一階段（一至三年級)能掌握數、量、形的概念。在第二階段（四至五年級 ) 能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念（教育部，2003)。ㄧ、因數與倍數標準名詞解釋依據教育部民國九十二年公布的國民中小學九年一貫數學領域課程綱要，因數與倍數屬於「數與量」主題，在標準名詞解釋中所提到有關本研究所用之因. 9.

(19) 數與倍數相關名詞，如表 2-1。表 2-1 因數與倍數標準名詞解釋名詞. 解釋一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因. 因數、倍數. 數，乙稱為甲的倍數。國小階段祇學習正因數、正倍數，國中階段則引進負因數、負倍數的學習。一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的. 公因數、最大公因數公因數。公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因數一定為正整數。公倍數、最小公倍數. 一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的公倍數。在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。. 質數. 一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個正因數時，稱為質數。. 合數. 又稱合成數，大於 1 的正整數中不是質數者稱之。. 互質. 兩正整數除 1 外無其他公因數者稱為兩數互質。. 質因數. 短除法. 是質數又是某數的因數，稱為某數的質因數。判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商，並不詳細運算除法過程，如 2 12 2 6 3 其計算型態為短除法。若除數皆為質數，其過程即稱為質因數分解。. 資料來源：教育部（2003) 二、89 年暫行綱要與 92 年課程綱要對照表 2-2 為 89 年暫行綱要與 92 年課程綱要能力指標對照表，雖然現在已經公布 97 年課程綱要，但是在 100 年起逐年實施，而本文的研究對象是 100 學年度. 10.

(20) 六年級學生，故 97 年課程綱要在此並不進行討論。表 2-2 89 年暫綱與 92 年課綱能力指標對照表 89 暫行綱要能力指標. 92 課程綱要能力指標. N-3-18 能察覺整數的因數、倍數、公因數、公倍數. N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數. N-3-20 能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、質數和合數，並能將一個數做質因數分解. N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解. N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數資料來源：教育部（2003) 在 89 年暫行綱要裡因數與倍數相關概念僅有 2 個能力指標，且 N-3-18 是國小六年級的能力指標，另一個 N-3-20 是國中七年級的能力指標；但是在 92 年課程綱要中將因數與倍數相關概念分成 3 個能力指標，且 N-2-04 是國小五年級能力指標，N-3-01 及 N-3-02 這兩個能力指標除了出現在國小六年級以外，在國中七年級時又重複出現，但是若詳細去查看能力指標的分年細目說明時（見表 2-3)，就可以發現：N-3-01 在國小六年級時是認識質數且質數＜20；但是在國中七年級時是理解質數，並認識 100 以內的質數。N-3-02 在國小六年級時是能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數；但是在國中七年級時是能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數，並熟練質因數分解的計算方法，能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。由此可知，. 11.

(21) 雖然是同樣的能力指標，但是國中七年級的運用是更加深加廣，也讓學生有再反覆練習的機會，對於因數與倍數相關概念，92 年課程綱要比起 89 年暫行綱要來得更貼近於學生學習概念的形成。三、因數與倍數相關分年細目依據教育部民國九十二年公布的國民中小學九年一貫數學領域課程綱要中，階段能力指標須採分年進階式教學才能達成其教學目標，因此將階段能力指標演繹出更細微的分年細目及詮釋，並依此作為教師教學及教科書編輯的主要參考依據；在評量時，教師應以教材內容、教學目標與相關課程能力指標，訂定評量的標準，細目詮釋中所附之評量範例，可作為教師命題難度的參考。因此在本研究中亦採用民國九十二年數學領域課程綱要分年細目中「因數與倍數細目」，來進行標準化測驗編製，透過試題分析、認知診斷模式分析來檢視六年級學童對於因數與倍數概念的熟練情況，以及提供教學者關於學生錯誤類型的診斷分析，了解其錯誤原因，進而提供補救教學之參考。表 2-3 為因數與倍數的相關分年細目。表 2-3 因數與倍數相關分年細目對照年級. 分年細目指標. ㄧ年級. 1-n-07. 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。. 二年級. 2-n-08. 能理解九九乘法。. 3-n-04. 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄（包括有餘數的情況），並解決生活中的問題。. N-1-01 N-1-03 N-1-06. 三年級. 12. A-1-03 N-1-04.

(22) 五年級. 5-n-03. 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。. N-2-04. 6-n-01. 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100)。. N-3-01. 6-n-02. 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。. N-3-02. 7-n-09. 能理解質數的意義，並認識 100 以內的質數。. N-3-01. 7-n-10. 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數，並熟練質因數分解的計算方法。. N-3-02. 7-n-11. 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。. N-3-02. 六年級. 七年級. 資料來源：教育部（2003) 在分年細目 5-n-03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數」，說明中有提到是以 1-n-07（幾個一數)，2-n-08（九九乘法)，3-n-04（除法)為前置經驗，來理解因數、倍數的概念；依據黃國勳、劉祥通（2003)的研究中指出，要學好因數、倍數的概念前，必須先熟悉整數的乘除法。在施秀麗（2007)倍數概念結構分析中也發現，學生的倍數概念結構發展為先認識乘法的意義，進而才認識倍數的意義。由此可知，要學習因數與倍數概念時，學生會以過去乘除法的概念為基礎來進行學習。在九年ㄧ貫數學領域「數與量」的主題中，「整數」子題教學的課程目標在六年級時是理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整的數字感。從七年級的分年細目 7-n-09、7-n-10、7-n-11 與六年級的分年細目 6-n-01、. 13.

(23) 6-n-02 比較中可以得知，七年即對於因數與倍數的概念只是在數字上較六年級更大，但是其基本求法及概念是相同的，只是國小階段的延續；在黃寶彰（2003) 的研究中指出七年級在計算因數、公因數、最小公倍數問題時，錯誤答案的情形較六年級更為嚴重；也就是說如果在六年級時沒有學好因數、倍數相關概念，那麼到了七年級時，在因數與倍數的單元錯誤的情況只會愈來愈多。. 貳、因數與倍數相關文獻探討ㄧ、因數與倍數相關研究根據一些專家的研究報告發現，國小學童的因數、倍數、公因數、公倍數單元表現並不理想（謝堅，1997；何東墀、蕭金土，1996；黃耀興、邱易斌，1999)。所以就有著愈來愈多的研究者投入因數與倍數單元的研究，詳見表 2-4 因數與倍數相關研究。表 2-4 因數與倍數相關研究研究者. 研究論文. 研究目的. 邱慧珍（2002). 國小學童倍數解題及迷思概念之研究. 1. 評估國小學童在倍數迷思概念診斷試題的答題表現。 2. 瞭解國小學童在倍數、公倍數及最小公倍數問題的錯誤解題策略。 3. 瞭解國小學童在學習倍數、公倍數及最小公倍數知識時產生的迷思概念。. 林珮如（2002). 國小學童因數解題與迷思概念之研究. 以因數教材為研究重點，透過紙筆測驗與訪談，探討國小五年級學童在因數問題的解題策略、迷思概念及可能成因。. 黃寶彰（2003). 針對六、七年級學生，數學科學習困難的部分，探討學生在這些學習困難部分六、七年級學童數學學的思考方式、錯誤的解題策略或迷思概習困難部分之研究念，以及了解學生學習困難的情形及原因為何。. 14.

(24) 陳標松（2003). 國小六年級數學學習困難學生因數倍數問題解題之研究. 了解國小六年級學生在因數倍數問題的解題表現，比較數學學習困難和數學表現優異學生在因數倍數問題解題之差異，並探討數學學習困難學生在因數倍數解題時的迷思概念。. 王詩惠（2003). 開發因數教學模組進行補救教學之研究-以國小五年級學童為例. 開發國小數學科「因數」教學模組並運用此模組做為國小五年級補救教學之材料探討其學習成效。. 陳筱涵（2004). 高雄地區國一學生因數與倍數單元錯誤類型之分析研究. 探討高雄地區國一學生在因數與倍數單元中可能產生的錯誤類型，進而分析造成學生錯誤類型之成因。. 何欣玫（2004). 國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力研究. 根據因數與倍數之數學解題溝通能力的內涵，編製因數與倍數解題溝通能力測驗，以分析學生的因數與倍數的解題溝通能力。. 林榮貴（2005). 國小六年級學童因數與倍數電腦補救教學之個案研究. 針對「國小因數與倍數單元」設計補救教學活動，利用電子試算表的功能，建構一可經由操作及探索的視覺化學習環境。. 賴容瑩（2006). 國一學生最大公因數與最小公倍數解題困難之研究. 探討國一學生在解最大公因數與最小公倍數相關試題時所遇到的困難，進而了解學生在解題時，為何分不清楚應該使用最大公因數與最小公倍數的原因。. 施美多（2007). 國小六年級學童因數概念之分析研究. 探討學童學習因數概念的知識結構與專家知識結構的不同，並了解學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念。. 張維珍（2007). 探討因數與倍數相關概念及其知識結構— 以中部地區國小五年級學童為例. 應用徑路搜尋法，探討國小五年級學童因數與倍數的知識結構，並深入分析不同能力組別及因數與倍數測驗分數相同之學生其知識結構圖形之差異情形。. 15.

(25) 陳怡娟（2007). 因數與倍數的學習成探討國小六年級學生學習因數與倍效對於異分母加減法數的成效對於異分母加減法的學習影響學習的影響-以中部地進行研究。區國小六年級為例. 施秀麗（2007). 國小六年級學童倍數概念結構分析之研究. 探討學童學習倍數概念的知識結構與專家知識結構的不同，並了解學童學習倍數概念易犯的錯誤及其迷思概念。. 吳育楨（2008). 國小六年級學童因數與倍數概念階層之模糊詮釋結構模式分析. 應用模糊詮釋結構模式分析法，進行國小六年級學童因數與倍數概念階層結構之探討，以提供數學教材、教學及補救教學之參考。. 王環源（2009). 國小階段因數與倍數相關分年細目階層結構研究. 針對九年一貫數學學習領域因數與倍數概念及其前置經驗之相關分年細目，透過多元計分次序理論及能力分組後，分析國小三、六年級學生在因數與倍數相關分年細目的階層結構特徵。. 林清煌（2009). 以貝氏網路為基礎之國中數學數位教材及電腦適性測驗之研發 ─以最大公因數與最小公倍數單元為例. 研發可運用於教學及補救教學的數位指導教材，以及結合貝氏網路的電腦適性診斷測驗，並進行教學實驗，期能同時達到教學、診斷評量、補救教學的功能. 黃玉雙（2011). 國小五年級學童在因探討國小五年級學童在因數與倍數數與倍數問題表現之問題表現，包含學生的答對率、解題策略研究-以高雄縣市為例與錯誤原因。. 陳渝（2011). 國小五年級低成就學生因數與倍數之補救教學研究. 探討四位國小五年級學童在因數與倍數補救教學的學習表現，先以自編的因數與倍數試題為研究工具進行施測與訪談，了解學童在補救教學前的學習困難情況；接著進行因數與倍數的補救教學。. 周素萍（2011). 國小六年級因數與倍數試題分析研究. 探討學童在建造因數與倍數概念時會有何系列性結構。. 16.

(26) 陳智遠（2011). TestGraf98 在國小六年級學童因數與倍數概念之試題編製與分析研究. 藉由自編的「國小六年級因數與倍數概念試卷」，透過統計軟體 SPSS、Excel 及試題分析軟體 TestGraf98 來繪圖，以探討六年級學童對此分測驗的應答情形和可能出現的迷思概念，以作為改進教學內容或進行補救教學的依據。. 上述研究中，大多數都是在探討因數與倍數單元的錯誤類型及其迷思概念（邱慧珍，2002；林珮如，2002；黃寶彰，2003；陳標松，2003；陳筱涵，2004；何欣玫，2005；賴容瑩，2006；黃玉雙，2011)；有部分的研究（施美多，2007；施秀麗，2007；張維珍，2007；吳育楨，2008；王環源，2009；周素萍，2011) 在探討學生在建構因數與倍數的知識結構，用意也是在提供教師在教學上的引導，了解學生學習因數與倍數單元易犯的錯誤及其迷思概念等。本研究的目的，想要了解六年級學生對於因數與倍數相關單元概念的精熟情形，故編製「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」，透過古典測驗理論來分析學生的作答，以進行選項分析求得學生在因數倍數概念的錯誤類型，再用認知診斷模式進行分析，藉以了解全體或個別學生對於因數與倍數概念的精熟情形，最後再由認知診斷的結果，由學生較不精熟的概念用試題關聯結構分析，來了解學生的知識結構，知道在不同概念間有其順序性，應了解學生知識結構與專家知識結構的落差，透過教學減少落差，可以提供老師在進行此單元教學時的參考，也可以做單元結束後進行補救教學的依據。二、因數與倍數迷思概念在林珮如（2002)的研究中發現，由於學生在因數與倍數的先備知識錯誤，導致學生在學習因數與倍數時產生迷思。在林榮貴（2004)的研究中指出學習因數與倍數單元是透過乘法和除法（整除)的概念，進而學習因數與倍數的意義和概念，學生在學習因數與倍數的概念時，若其乘法和除法（整除)的先備知識不足，在學習因數與倍數單元就容易出現錯誤。由此可知，要學習因數與倍數概念. 17.

(27) 時，學生會以過去乘除法的概念為基礎進行學習，但是學生在學習過程中可能是因為知識的不足、先備知識的錯誤，或是因為對抽象事物或概念未具備有足夠的推理能力、邏輯思維等，而發展出錯誤的、不正確的概念，與專家學者的知識概念有所不同，此一錯誤概念即稱為迷思概念（陳智遠，2011)。表 2-5 是針對因數與倍數的相關研究，歸納出學生在因數與倍數單元的迷思概念。表 2-5 因數與倍數的迷思概念研究者. 迷思概念. 邱慧珍（2002). 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 將專有名詞誤解。以乘除符號直接判斷是否為倍數。認為 1 是倍數。遺漏數字本身是倍數。用猜測的方式找解題策略。用關鍵字解題。. 林珮如（2002). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.. 用乘除解題時錯誤連結。概念混淆不清。概念遺漏。概念錯誤。先備知識理解不清產生錯誤連結。缺乏閱讀解釋問題能力以致誤解題意。用關鍵字解題。. 黃寶彰（2003). 1. 粗心而出現遺漏或多選。 2. 名詞混淆不清或對陌生名詞的不瞭解，出現顛倒或錯誤的答案。 3. 轉譯題意有困難，不瞭解是要利用最大公因數或最小公倍數來解題。. 陳標松（2003). 1. 2. 3. 4. 5.. 乘除法運算概念錯誤。題意了解錯誤。專有名詞概念錯誤。解題策略錯誤。粗心錯誤。. 18.

(28) 陳筱涵（2004). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.. 林榮貴（2005). 1. 先備知識錯誤。 2. 因數就是用除的。 3. 倍數就是用乘的。. 何欣玫（2005). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.. 賴容瑩（2006). 1. 題意了解困難。 2. 理解整除概念的困難。 3. 基本名詞概念關係混淆。. 施美多（2007). 1. 「1」是否為質數。 2. 常會把因數「1」給遺忘。. 陳渝（2011). 1. 專有名詞和概念混淆不清。 2. 關鍵字解題。 3. 誤解或看不懂題意。. 周素萍（2011). 專有名詞概念混淆或錯誤。受此單元學習經驗影響，做出錯誤的推論。新知識與舊經驗互相干擾混淆、做錯誤的聯結或類堆。錯誤的使用運算規則。易受文字題中無關訊息的干擾而無法解決問題。語意知識不足，轉譯題意有困難。先備知識的不足。. 題意了解錯誤。語意知識不足。專有名詞概念混淆。運思能力不足。粗心錯誤。運算系統錯誤。解題策略錯誤。. 1. 易陷入於「0」、「1」之迷思概念。 2. 缺乏因數、倍數互逆的概念。 3. 缺乏對文字的理解能力。. 19.

(29) 黃玉雙（2011). 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 未理解整除概念。未建立因數與倍數概念。誤以為某數的因數最大不會超過某數的一半。公因數與公倍數概念模糊。因粗心出現遺漏。採用關鍵字解文字題。. 陳智遠（2011). 1. 2. 3. 4. 5. 6.. 有遺漏或多找。不清楚該使用最大公因數或最小公倍數來解題。認為所有的質數都是奇數。把 1 當成質數。把較大的奇數當作質數。把 2 當成合數. 依據本研究中，藉由蒐集參考相關文獻中關於因數與倍數的迷思概念，設計開放題並施測，再請學生寫出做法，以求得學生的錯誤類型，結果發現學生的錯誤類型與所參考的相關文獻相差不多，因粗心而出現遺漏或多選、專有名詞和概念混淆不清、誤認奇數就是質數、誤認 2 是合數等。. 第二節認知診斷評量對於學生個人的評量結果，教師可以暸解學生已具備的知識與經驗。針對全班評量結果的共通錯誤，也可以反映教師本身教學上的疏失，並可據以改進。教育測驗與評量的目的，除了要能夠評量出學生的學習表現之外，若能測出學生的學習缺失，就可以及時發現學習困難所在，以便進行補救教學。Bloom et al.（1956) 提出教學目標可分認知、情意和動作技能等三類，其中認知領域的教學目標可分成六個階層：知識、理解、應用、分析、綜合與評鑑，傳統測驗的編製就是依據上述六個認知教學目標，然而以這種方式所評量出的結果，只是一種統括性的描述，並無法顯現受試者在該領域的知識結構（涂金堂，2003)。美國在2002年通過了一個No Child Left Behind Act教育改革法案，簡稱為 NCLB，規定全美國3-8年級的學生每年須接受各州政府所辦理的數學與閱讀測. 20.

(30) 驗，而測驗的結果應提供給老師、學生、家長，關於學生在數學與閱讀學習上優缺點的診斷訊息。 Nichols（1994)認為傳統評量無法有效的提供學生在學習上的錯誤類型，故提倡將認知科學（cognitive science)與心理計量學（psychometrics)結合，以心理學所發展出的理論為基礎，編製一份可以得知受試者學習狀態的測驗，進而達成教育測驗評量所追求的目標。Nichols將這種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量（cognitively diagnostic assessment, CDA)。本研究中所用的 DINA 模式（Deterministic Inputs, Noisy “and” Gate Model)是認知診斷模式中的ㄧ種，是一種以選擇題方式測驗的二元計分的模式，創建於 Junker & Sijtsma（2001)的研究，DINA 模型僅涉及到“粗心（slip)” 和“猜測（guessing)”兩參數，也就是對於解答某ㄧ試題時，學生必須具備解答該試題所需的所有概念才能答對，若是缺少其中的一個概念，則答對的機率相當低；若是具備所有概念的學生答錯時，則是屬於「粗心」；若是不具備所有概念的學生答對時，則屬於「猜測」。 DINA模式在教學評量上，是將學生分成兩種類型，一種是具備解答該試題的所有概念，另一種是在解答該試題時欠缺至少一種概念。所以當DINA模式要診斷一個具有K個概念的測驗時，給了每個學生在K個概念上的二元向量（不是精熟就是未精熟，1代表精熟，0代表未精熟)。對於學生而言，每個概念都有2種可能，當測驗具有K個概念，則學生會有 2 k 種可能的認知狀態，例如當K=3時，所有可能的認知狀態會有8種：（0,0,0)（1,0,0)（0,1,0)（0,0,1)（1,1,0)（1,0,1)（0,1,1,) （1,1,1)，如果一個學生的認知狀態表示為（0,1,1)，即表示他精熟第2和第3個概念，對第1個則不夠精熟。教師想藉由測驗來了解學生精熟或未精熟哪些概念、技能，必須先清楚知道試題與概念之間的關係，故需建立一個由數值0與1，形成試題與概念的集合，即為所謂的關聯矩陣（incidence matrix，通常以Q矩陣表示， Tatsuoka, 1985)，. 21.

(31) 用來表明每個試題所需具備的概念，若一份測驗中有J個試題及K個概念，則Q矩陣的大小為J×K。以下表2-6因數與倍數相關概念及表2-7來說明DINA模式的Q矩陣：表 2-6 因數與倍數相關概念概念. 敘述. 1. 能理解因數和倍數. 2. 能了解兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數. 3. 認識質數. 4. 認識合數. 5. 認識質因數. 6. 了解質因數分解. 7. 了解兩數互質的意義表 2-7 Q 矩陣. 概念試題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1. 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1. 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0. 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1. 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1. 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0. 由上表可發現，第1題需要概念1、3、6，第2題需要概念1、2、4、7，依此類推。. 22.

(32) Q矩陣內元素的定義如下：.  ij . K.  k 1. ij :. q.  ik jk. 代表受試者是否具有答對第j個試題所需的所有概念。若其值為1，代表受試者具備該題所需的所有概念；若受試者至少缺少1個答對該題所需的概念，其值為0。.  ik :. 代表第i個受試者本身是否擁有第k個概念，若具有該概念則其值為1，無則為0。. q jk :. 代表答對第j個試題是否需要第k個概念，如需要該概念其值為1，無則為 0，其中j=1…J,k=1…K。表 2-8 受試者具備的概念狀態概念受試者 1 2 3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 0 0. 1 0 1. 1 1 0. 1 0 1. 1 1 0. 1 0 1. 1 1 0. 假設三位受試者具備的概念狀態如上表，則在第 6 題（需要概念 1、2、4、 6)的 Q 矩陣內元素定義： q. q. q. q. q. q. q. q. q. q. q. q. 16 1161 1262 1464 1666 11111.  26  2161  2262  2464  2666  0000  0.  36  3161  3262  3464  3666  0111 0. 第一位受試者具有答對第6題所需的所有概念，其值為1，代表會答對該試. 23.

(33) 題；第二位受試者缺少答對第6題所需的所有概念，其值為0，代表不會答對該試題；第三位受試者雖然缺少1個答對第6題所需的概念，其值仍然為0，代表不會答對該試題。所以只有在完整具備題所需的所有概念時， ij 值才會為1。 DINA模式假設具備解該題目所需之所有概念時，即能答對該題，但是試題答對的機率，仍會受到粗心（slip) 及猜測（guessing) 兩個參數的影響，其模式定義如下： Pij  i   PX ij  1 |  i   g j. 1ij. 1  s . ij. j. g j  PX ij  1 | ij  0 s j  PX ij  0 |  ij  1. Pij :. 代表第i個受試者答對第j個試題的機率。. i. 代表第i個受試者所具備的概念向量。. X ij : 代表第i個受試者在第j個試題的反應組型。. 粗心參數；代表受試者完全具備回答第j個試題的概念，但卻因粗心答錯. sj :. 第j題的機率。 gj :. 猜測參數；代表受試者沒有完全具備回答第j個試題的概念，但卻猜對第. j題的機率。假設先給定試題參數 g 6  0.2 、 s6  0.1 ，前述3位受試者在第6題中的答對機率計算如下： 1 0 1 16 1 ， P16  g611 1  s6   0.2 0.9  0.9 0 1 0  26  0 ， P26  g610 1  s6   0.2 0.9  0.2 0 1 0  36  0 ， P36  g 610 1  s6   0.2 0.9  0.2. 24.

(34) DINA模式的核心觀念在於認定受試者在解題時，如果缺少一個或一個以上的概念，他的答對機率都會很低（ P26  P36  0.2 )，即使是答對了也只能歸因於是猜對的；且在該模型中認為受試者完全具備回答第j個試題的概念，即使受到粗心參數的影響，其答對的機率仍高於受試者未完全具備回答第j個試題的概念而猜對的機率， P16  0.9 P26  P36  0.2 ，也就是（1- s j )> g j 。受試者i在試題j的反應程序如下圖表示： q j  q j1 , q j 2 , , q jk . i  i1 ,i 2 , ,ik .  ij. 0. 1. gj. 1 s j. Yij 圖 2-1 DINA 反應程序圖受試者是否具有答對第j個試題所需的所有概念（  ij )，是受到受試者i所擁有的概念狀態（  ik )與答對試題j要具備的概念（ q jk )作用，當受試者i擁有答對試題j要具備的概念時（ ij  1 )，答對的機率是 1  s j ；當受試者i缺少至少一個答對試題j要具備的概念時（  ij  0 )，答對的機率是 g j 。. 25.

(35) 認知診斷模式可以藉由測驗來幫助老師、學生、家長了解學習成效，進而更有效率的學習，目前已經有越來越多的研究者投入不同模式開發、實際應用的研究，根據王文卿（2010)的研究，是以在不同概念數、不同樣本數、不同試題參數下，分別以DINA模型及G-DINA模型估計成效差異，研究結果顯示模擬資料以 DINA模式估計較以G-DINA模式估計準確。在陳亭宇（2011)的研究中，透過模擬樣本資料的實驗設計，探討在不同認知屬性分佈、不同能力分佈、以及不同樣本人數之下，分別以DINA 模式與G-DINA模式進行估計，來比較參數間是否具有不變性的存在，研究結果顯示參數不變性的情況DINA模式比G-DINA模式來得好。故本研究是以DINA模式來分析研究，不再探討其他認知診斷模式。. 第三節試題關聯結構一般常用來定義試題間的結構關係的理論有Airasian & Bart（1973)的「順序理論」（OT)、竹谷誠（1991)的「試題關聯結構法」（IRS)，詳細內容分別說明如下。. 壹、順序理論（ordering theory） Airasian & Bart（1973)的「順序理論」是用來定義試題間順序的方法，主要的內容是：當困難的上位試題j答對，而簡單的下位試題i答錯，這種不合理情形出現的機率小於所設定的閾值（threshold)時，即認為試題i與試題j有其順序性，可表示為i→j，底下就該理論作進一步的說明。假設 X  ( X 1 , X 2 , X 3 ......, X n ) 表示一個向量，每一個受試者作答一份n個二元試題的試卷後，會得到一個0（答錯)與1（答對)組成的向量 X  ( X 1 , X 2 , X 3 ......, X n ) ，其中試題i與試題j的聯合邊界機率（the joint and marginal probabilities) 如下表2-9所示：. 26.

(36) 表 2-9 試題 i 跟 j 的聯合邊界機率試題i. X j 1. Xj 0. 總計. Xi 1. P( X i  1, X j  1). P( X i  1, X j  0). P( X i  1). Xi  0. P( X i  0, X j  1). P( X i  0, X j  0). P( X i  0). 總計. P( X j  1). P( X j  0). 1. 試題j. 在順序理論的定義中認為當困難的上位試題j答對（ X j  1 )，而簡單的下位試題i答錯（ X i  0 )，這種違反順序性的情形出現機率是  ij *  P( X I  0, X j  1) ，當  ij* <  ，表示試題i與試題j有其順序性，試題j為試題i上位試題，試題i為試題j 的下位試題，可紀錄為 X i → X j ，ε為一閾值（threshold)，常設定為0.02 ≤ε ≤ 0.04（Airasian & Bart,1973)。 P( X i  1). 表示試題i答對人數的機率。. P( X i  0). 表示試題i答錯人數的機率。. P( X j  1). 表示試題j答對人數的機率。. P( X j  0). 表示試題j答錯人數的機率。. P( X i  1, X j  1). 表示試題i與試題j都答對的機率。. P( X i  1, X j  0). 表示試題i答對，試題j答錯的機率。. P( X i  0, X j  1). 表示試題i答錯，試題j答對的機率。. P( X i  0, X j  0). 表示試題i與試題j都答錯的機率。. 27.

(37) 貳、試題關聯結構分析法（Item Relation Structure) 竹谷誠（1991)根據Airasian & Bart（1973)的「順序理論」，提出另一種定義試題間的結構關係，稱為「試題關聯結構法」，簡稱IRS分析法（許天維， 1995)，是以受試者測驗試題的作答結果，先依試題答對率求出試題間的順序性係數，以閾值做為判斷標準，再按照試題間的順序關係，製成具有指向性的結構圖，並依此結構圖來分析試題的特性，試題關聯結構順序性係數  ij 定義如下：  ij  1 . P( X i  1, X j  0) P( X i  1) P( X j  0). 竹谷誠的研究中指出當試題間的順序性係數大於所設定的閾值時，表示試題間具有順序性，而此閾值定為0.5，表示當  ij ≧0.5，表示試題i與試題j有其順序性，試題j為試題i上位試題，試題i為試題j的下位試題，可紀錄為 X i → X j ，且若  ji ≧0.5，則試題i與試題j存在著雙向的順序性關係，可紀錄為 X i  X j 。許天維（1995)將試題關聯結構順序性係數  ij 簡化，下表2-10為試題i與試題j 答對與答錯人數統計表，並將公式簡化如下：表 2-10 試題 i 與試題 j 答對與答錯人數統計表試題i. X j 1. Xj 0. 總計. Xi 1. A. B. A+B. Xi  0. C. D. C+D. 總計. A+C. B+D. N=A+B+C+D. 試題j. 28.

(38) A+B. 表示試題i答對的人數。. C+D. 表示試題i答錯的人數。. A+C. 表示試題j答對的人數。. B+D. 表示試題j答錯的人數。. A. 表示試題i與試題j都答對的人數。. B. 表示試題i答對，試題j答錯的人數。. C. 表示試題i答錯，試題j答對的人數。. D. 表示試題i與試題j都答錯的人數。. N. 表示受測的總人數.  ij  1 . CN ( A  C )(C  D). 根據許天維（1995)的研究中，指出IRS試題關聯結構分析法對於教學，有著可供教學設計之運用、可供形成性評量之應用、可供認知學習構造之分析、概念形成過程之考驗及課程教材構造之解析等功能，故本研究採用試題關聯結構法來做分析，不再探討其他分析法。本研究中IRS閾值定為0.3，是因測驗試題之難易度較低，經調整閾值為0.5、0.4、0.3後，發現0.3所畫出之試題關聯較合適，所以在後面的第四章結果與討論的第四節處IRS閾值都是定為0.3。. 29.

(39) 30.

(40) 第三章. 研究方法. 本研究的目的，想要了解六年級學生對於因數與倍數概念的精熟情形，故編製標準化之「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」，透過認知診斷模式分析，進而瞭解學生對於因數與倍數概念的精熟情形，進而提供老師在進行此單元教學時的參考，或單元結束後進行補救教學的依據。為達本研究之目的，本章就研究中所使用的方法及實施過程做說明，分成五節，第一節說明本研究的流程，第二節說明本研究的架構，第三節研究工具，第四節研究對象，第五節資料處理與分析。. 第一節研究流程本研究以 NAEP 數學能力評量架構及九年一貫課程綱要中因數與倍數分年細目 5-n-03、6-n-01、6-n-02 為依據，來擬定雙向細目表，再參考因數倍數相關文獻來設計開放題，用以蒐集學生的迷思概念，來編製預試試題，透過預試結果來修正試題、建立試題的信度，接著進行正式施測，依據學生作答資料分析提出研究結論與建議，提出研究報告。研究流程如圖 3-1 所示。. 31.

(41) 設計雙向細目表. 蒐集及探討相關文獻. 編擬試題（開放題). 施測、蒐集學生錯誤類型. 編擬預試試題. 進行預試. 修審預試試題. 正式施測. Tester2 軟體分析. Ox 軟體分析. 資料分析整理. 提出研究報告圖 3-1 研究流程圖. 32. 試題關聯結構分析.

(42) 第二節研究架構本研究的目的在透過自編「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」，來了解六年級學生對於因數與倍數概念的精熟情形。期望藉由學生作答資料以 Tester2 軟體來分析試題及選項，以 DINA 模式來分析學生的概念認知精熟程度，並以認知診斷的結果來探討試題關聯結構下，學生的認知結構。本研究的架構如圖 3-2 所示：. 正式施測結果. Tester2 軟體分析. Ox 軟體分析. 試題關聯結構分析. 分析試題及選項的鑑別度、通過率等. 分析學生的概念認知精熟程度差異. 界定學生的知識結構. 從概念精熟程度來探討學生的知識結構. 比較鑑別度、通過率和粗心、猜測之間的關係. 圖 3-2 研究架構圖. 33.

(43) 第三節研究工具壹、六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗透過「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」來了解六年級學生在因數與倍數概念的精熟情形。故將此測驗的擬定過程，包含測驗設計的依據、蒐集錯誤類型、編製預試試題並施測、修審試題、正式施測等說明如下：ㄧ、測驗設計的依據：以 NAEP 數學能力評量架構及九年一貫課程綱要中因數與倍數分年細目 5-n-03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數」、6-n-01「能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100)」、6-n-02「能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式」為依據，來擬定雙向細目表。表 3-1 為本研究正式測驗的雙向細目表，表 3-2 為概念與能力指標對應表，表 3-3 概念代號與題號對應表。表 3-1 國小六年級因數與倍數測驗雙向細目表數學能力分年細目內容 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數. 概念理解. 程序執行. 解題與思考. 合計. 1,2,4,5,6,9. 3. 21. 8. 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數 11,12,13,14,18 ＜20，質因數＜10，被分解數＜100). 34. 5.

(44) 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數 7,10,15,16,19, 互質的意義，理解最大 20 公因數、最小公倍數的計算方式合計. 8,17. 22,23. 10. 3. 3. 23. 17. 表 3-2 概念與能力指標對應表編號. 概念. 能力指標. K1. 能理解因數和倍數. 5-n-03. K2. 能了解兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數. 5-n-03 6-n-02. K3. 認識質數. 6-n-01. K4. 認識合數. 6-n-01. K5. 認識質因數. 6-n-01. K6. 了解質因數分解. 6-n-01. K7. 了解兩數互質的意義. 6-n-02. 表 3-3 概念代號與題號對應表編號. 概念內容. 題號. 出現次數. 1-23. 23. K1. 能理解因數和倍數. K2. 6、7、8、9、10、能了解兩數的公因數、公倍數、最 15、16、17、19、大公因數與最小公倍數 20、22、23. 12. K3. 認識質數. 11、13、14、18. 4. K4. 認識合數. 12. 1. 35.

(45) K5. 認識質因數. K6. 了解質因數分解. K7. 了解兩數互質的意義. 13、14、18. 3. 14、18. 2. 15、16、17. 3. 二、蒐集錯誤類型：為了編製預試試題的誘答選項，必須先蒐集學生可能的錯誤類型，故先參考相關文獻，並依此設計開放題，再請學生寫出做法，藉以確切得知學生的錯誤類型。此階段樣本為研究者任職學校 99 學年度六年級兩班，共 58 人。三、編製預試試題並施測：將蒐集到的錯誤概念設計成誘答選項編製成試卷後，先經由幾位多年任職於高年級數學的教師共同進行內容、形式的檢驗，包含題幹敘述、選項設計、選項順序、雙向細目表以及各試題所需用到的認知概念，再編製成預試試卷。為了獲知學童對測驗試題題意設計是否了解、作答是否順暢等，故於正式施測前先進行預試，以便進行修正試題。本研究預試樣本來自基隆市的三間國民小學 99 學年度六年級五班學生，有效的施測樣本共 140 人。四、修審試題：本階段在完成預試分析與修正試題，表 3-4 為 Tester2 分析的預試測驗結果，難度指數介於 0~1，數字越高代表題目越容易，答對的人越多；鑑別度指數介於-1~+1，數字越高代表愈能鑑別出學生個別程度，一般而言，鑑別度以 0.25 以上為標準，高於 0.4 為優良試題；Cronbach，s α係數能了解各試題的功能是否和測驗的功能一致，數字越高代表信度越高。本預試測驗結果，試題的鑑別度範圍為 0.03~0.83，試題的難度範圍為 0.51~0.98，整份測驗平均通過率為 0.75，整份測驗的信度（Cronbach，s α係數)為 0.87。詳細說明見表 3-4 為 Tester2 分析預試各試題的難度、鑑別度。表 3-4 預試測驗分析總表（N=140). 36.

(46) 題號. 難度. 鑑別度. 刪題後信度. 1. 0.98. 0.03. 0.87. 2. 0.87. 0.26. 0.87. 3. 0.86. 0.29. 0.87. 4. 0.63. 0.63. 0.86. 5. 0.74. 0.51. 0.86. 6. 0.89. 0.23. 0.87. 7. 0.94. 0.11. 0.87. 8. 0.94. 0.11. 0.87. 9. 0.89. 0.23. 0.87. 10. 0.94. 0.11. 0.87. 11. 0.74. 0.51. 0.87. 12. 0.74. 0.51. 0.87. 13. 0.51. 0.80. 0.86. 14. 0.71. 0.57. 0.86. 15. 0.74. 0.51. 0.86. 16. 0.57. 0.74. 0.86. 17. 0.61. 0.71. 0.86. 18. 0.70. 0.54. 0.86. 19. 0.71. 0.57. 0.86. 20. 0.70. 0.54. 0.86. 21. 0.56. 0.83. 0.86. 22. 0.79. 0.43. 0.87. 23. 0.63. 0.74. 0.86. 24. 0.70. 0.60. 0.87. 25. 0.71. 0.40. 0.87. 平均. 0.75. 0.46. 0.87. 從表 3-4 中可以得知第 1 題的難度 0.98、鑑別度 0.03、通過率 98.57，可以知道這一題對於學生而言是非常簡單的，因為這一題考的是學生的先備知識「整. 37.

(47) 除」的概念，所以在正式施測時就將這一題刪掉。第 18 題、第 19 題在難度與鑑別度上差異不大，且兩題皆是考有關與「互質」概念，僅在題幹的敘述上有所不同，故經由專家討論後，一致認為第 18 題可以不用放入正式施測中，因為第 18 題的題幹敘述提示較多，故取消第 18 題，並將原第 19 題的數字加大。預試時，總題數為 25 題，依預試結果與專家討論後，刪減第 1、18 題，故在正式施測時，總題數為 23 題。五、正式施測：本階段在進行正式施測，且學生必須已上過六上「最大公因數與最小公倍數」單元教學，因此選定 100 學年度上學期的六年級學生。. 貳、Q 矩陣 Q 矩陣表示在該測驗中個別試題解題時所需具備特定概念的所有集合，若一份測驗中有 J 個試題及 K 個概念，則 Q 矩陣的大小為 J×K。 Q 矩陣的製作，首先依雙向細目表編製試卷，請專家們在空白的矩陣內填入各試題所需的概念，再將個別所填的矩陣比對，逐一對有填入不同概念的試題進行探討，找出要解答該試題，學生所需具備的所有概念，蒐集完所有試題的概念，形成試題與概念的集合，即為 Q 矩陣。表 3-5 為預試的 Q 矩陣。表 3-5 預試的 Q 矩陣概念. K1. K2. K3. K4. K5. K6. K7. K8. K9. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 題號. 38.

(48) 7. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 8. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 9. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 11. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 12. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 13. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 14. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 15. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 16. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 17. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 18. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 19. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 20. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 21. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 22. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 23. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 24. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 25. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 概念數統計. 25. 13. 4. 1. 3. 2. 4. 1. 4. 原本預試 Q 矩陣內的 K6 是會做質因數分解，K8 是會用短除法做質因數分解， K9 是會用短除法求兩數的最大公因數和最小公倍數，但是利用 Ox 軟體執行 de la Torre（2008, 2010)撰寫之 DINA 模式程式，根據學生的作答反應去反推 Q 矩陣，發現電腦所判斷的 Q 矩陣裡並不具備有 K6、K8 這兩個概念，有此發現後，再與專家們重新檢視各個試題所需具備的概念，發現在求最大公因數與最小公倍數的題目時，並不一定要使用短除法才能算出，所以便取消掉 K8、K9；但試題中能有要求質因數分解的題目，經過討論後 K6 仍做保留，故正式施測時，概念數為 7 個。表 3-6 即為正式施測的 Q 矩陣。表 3-6 正式施測的 Q 矩陣. 39.

(49) 概念. K1. K2. K3. K4. K5. K6. K7. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 5. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 6. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 7. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 8. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 9. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 10. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 11. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 12. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 13. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 14. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 15. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 16. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 17. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 18. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 19. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 20. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 21. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 22. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 23. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 概念數統計. 23. 12. 4. 1. 3. 2. 3. 題號. 第四節研究對象本研究的對象為 100 學年度國小六年級學童，以基隆市、新北市、桃園縣等三個地區的四所學校，共 28 班 854 人為正式施測對象，有效樣本為 854 人，以了解六年級學生對於因數與倍數概念的精熟情形，表 3-7 為正式施測樣本人數分. 40.

(50) 配表。表 3-7 正式施測樣本人數分配表縣市. 學校. 班級（班) 有效樣本（人). 基隆市. 甲校. 2. 56. 乙校. 9. 302. 丙校. 9. 283. 丁校. 8. 213. 桃園縣. 新北市總. 計. 854. 第五節資料處理與分析資料處理的過程是將測驗結果以Tester2、OX等軟體及IRS模式之試題關聯結構圖來分析學生的作答，分別說明如下：一、Tester for windows 2.0軟體（余民寧，2006) 1.本研究利用 Tester for windows 2.0 軟體來進行測驗試題與學生作答反應的分析，以求得試題通過率、難易度、鑑別度等。 2.對於試題的個別選項進行分析，以求得學生的錯誤概念類型。二、OX軟體（Doornik,2003) 1.本研究利用 OX 軟體執行 de la Torre（2008, 2010)撰寫之 DINA 模式程式，藉以推估試題對於試卷的適配性，進行每個試題的適配性分析，以汰除不適合的試題。 2.學生對於各個概念的精熟程度。 3.學生對於各個試題的猜測及粗心率。. 41.

(51) 三、IRS 模式之試題關聯結構圖 1.以認知診斷的結果，找出學生不精熟的概念，由這些不精熟的概念試題進行試題間的分群，再透過試題關聯結構法，以 Excel 軟體來計算試題關聯結構順序性係數，求出試題間的順序性，再按照試題間的順序關係，製成具有指向性的試題關聯結構圖，並依此結構圖來分析試題的特性，以探討學生的知識結構。. 42.