研究工具

壹、六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗

透過「六年級學生因數倍數相關單元診斷測驗」來了解六年級學生在因數與 倍數概念的精熟情形。故將此測驗的擬定過程，包含測驗設計的依據、蒐集錯誤 類型、編製預試試題並施測、修審試題、正式施測等說明如下：

ㄧ、測驗設計的依據：

以 NAEP 數學能力評量架構及九年一貫課程綱要中因數與倍數分年細目 5-n-03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數」、6-n-01「能認識質數、合數，

並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100)」、6-n-02「能認 識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公 倍數的計算方式」為依據，來擬定雙向細目表。表 3-1 為本研究正式測驗的雙向 細目表，表 3-2 為概念與能力指標對應表，表 3-3 概念代號與題號對應表。

表 3-1 國小六年級因數與倍數測驗雙向細目表 數學能力

分年細目內容 概念理解 程序

執行

解題與

思考 合計 5-n-03 能理解因數、倍數、公

因數與公倍數 1,2,4,5,6,9 3 21 8

6-n-01 能認識質數、合數，並 作質因數的分解（質數

＜20，質因數＜10，被 分解數＜100)

11,12,13,14,18 5

6-n-02 能認識兩數的最大公因 數、最小公倍數與兩數 互質的意義，理解最大 公因數、最小公倍數的 計算方式

7,10,15,16,19,

20 8,17 22,23 10

合計 17 3 3 23

表 3-2 概念與能力指標對應表

編號 概念 能力指標

K1 能理解因數和倍數 5-n-03

K2 能了解兩數的公因數、公倍數、

最大公因數與最小公倍數

5-n-03 6-n-02

K3 認識質數 6-n-01

K4 認識合數 6-n-01

K5 認識質因數 6-n-01

K6 了解質因數分解 6-n-01

K7 了解兩數互質的意義 6-n-02

表 3-3 概念代號與題號對應表

編號 概念內容 題號 出現次數

K1 能理解因數和倍數 1-23 23

K2 能了解兩數的公因數、公倍數、最 大公因數與最小公倍數

6、7、8、9、10、

15、16、17、19、

20、22、23

12

K3 認識質數 11、13、14、18 4

K4 認識合數 12 1

K5 認識質因數 13、14、18 3

K6 了解質因數分解 14、18 2

K7 了解兩數互質的意義 15、16、17 3 二、蒐集錯誤類型：

為了編製預試試題的誘答選項，必須先蒐集學生可能的錯誤類型，故先參考 相關文獻，並依此設計開放題，再請學生寫出做法，藉以確切得知學生的錯誤類 型。此階段樣本為研究者任職學校 99 學年度六年級兩班，共 58 人。

三、編製預試試題並施測：

將蒐集到的錯誤概念設計成誘答選項編製成試卷後，先經由幾位多年任職於 高年級數學的教師共同進行內容、形式的檢驗，包含題幹敘述、選項設計、選項 順序、雙向細目表以及各試題所需用到的認知概念，再編製成預試試卷。為了獲 知學童對測驗試題題意設計是否了解、作答是否順暢等，故於正式施測前先進行 預試，以便進行修正試題。本研究預試樣本來自基隆市的三間國民小學 99 學年 度六年級五班學生，有效的施測樣本共 140 人。

四、修審試題：

本階段在完成預試分析與修正試題，表 3-4 為 Tester2 分析的預試測驗結 果，難度指數介於 0~1，數字越高代表題目越容易，答對的人越多；鑑別度指數 介於-1~+1，數字越高代表愈能鑑別出學生個別程度，一般而言，鑑別度以 0.25 以上為標準，高於 0.4 為優良試題；Cronbach^，s α係數能了解各試題的功能是 否和測驗的功能一致，數字越高代表信度越高。本預試測驗結果，試題的鑑別度 範圍為 0.03~0.83，試題的難度範圍為 0.51~0.98，整份測驗平均通過率為 0.75，

整份測驗的信度（Cronbach^，s α係數)為 0.87。詳細說明見表 3-4 為 Tester2 分 析預試各試題的難度、鑑別度。

表 3-4 預試測驗分析總表（N=140)

題號 難度 鑑別度 刪題後信度 1 0.98 0.03 0.87 2 0.87 0.26 0.87 3 0.86 0.29 0.87 4 0.63 0.63 0.86 5 0.74 0.51 0.86 6 0.89 0.23 0.87 7 0.94 0.11 0.87 8 0.94 0.11 0.87 9 0.89 0.23 0.87 10 0.94 0.11 0.87 11 0.74 0.51 0.87 12 0.74 0.51 0.87 13 0.51 0.80 0.86 14 0.71 0.57 0.86 15 0.74 0.51 0.86 16 0.57 0.74 0.86 17 0.61 0.71 0.86 18 0.70 0.54 0.86 19 0.71 0.57 0.86 20 0.70 0.54 0.86 21 0.56 0.83 0.86 22 0.79 0.43 0.87 23 0.63 0.74 0.86 24 0.70 0.60 0.87 25 0.71 0.40 0.87 平均 0.75 0.46 0.87

從表 3-4 中可以得知第 1 題的難度 0.98、鑑別度 0.03、通過率 98.57，可以 知道這一題對於學生而言是非常簡單的，因為這一題考的是學生的先備知識「整

除」的概念，所以在正式施測時就將這一題刪掉。

第 18 題、第 19 題在難度與鑑別度上差異不大，且兩題皆是考有關與「互質」

概念，僅在題幹的敘述上有所不同，故經由專家討論後，一致認為第 18 題可以 不用放入正式施測中，因為第 18 題的題幹敘述提示較多，故取消第 18 題，並將 原第 19 題的數字加大。

預試時，總題數為 25 題，依預試結果與專家討論後，刪減第 1、18 題，故 在正式施測時，總題數為 23 題。

五、正式施測：

本階段在進行正式施測，且學生必須已上過六上「最大公因數與最小公倍數」

單元教學，因此選定 100 學年度上學期的六年級學生。

貳、Q 矩陣

Q 矩陣表示在該測驗中個別試題解題時所需具備特定概念的所有集合，若一 份測驗中有 J 個試題及 K 個概念，則 Q 矩陣的大小為 J×K。

Q 矩陣的製作，首先依雙向細目表編製試卷，請專家們在空白的矩陣內填入 各試題所需的概念，再將個別所填的矩陣比對，逐一對有填入不同概念的試題進 行探討，找出要解答該試題，學生所需具備的所有概念，蒐集完所有試題的概念，

形成試題與概念的集合，即為 Q 矩陣。表 3-5 為預試的 Q 矩陣。

表 3-5 預試的 Q 矩陣 概念

題號 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0

7 1 1 0 0 0 0 0 0 0 8 1 1 0 0 0 0 0 0 0 9 1 1 0 0 0 0 0 0 0 10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 12 1 0 1 0 0 0 0 0 0 13 1 0 0 1 0 0 0 0 0 14 1 0 1 0 1 0 0 0 0 15 1 0 1 0 1 1 0 0 0 16 1 1 0 0 0 0 1 0 0 17 1 1 0 0 0 0 1 0 0 18 1 1 0 0 0 0 1 0 0 19 1 1 0 0 0 0 1 0 0 20 1 0 1 0 1 1 0 1 0 21 1 1 0 0 0 0 0 0 1 22 1 1 0 0 0 0 0 0 1 23 1 0 0 0 0 0 0 0 0 24 1 1 0 0 0 0 0 0 1 25 1 1 0 0 0 0 0 0 1 概念數統計 25 13 4 1 3 2 4 1 4

原本預試 Q 矩陣內的 K6 是會做質因數分解，K8 是會用短除法做質因數分解，

K9 是會用短除法求兩數的最大公因數和最小公倍數，但是利用 Ox 軟體執行 de la Torre（2008, 2010)撰寫之 DINA 模式程式，根據學生的作答反應去反推 Q 矩陣，

發現電腦所判斷的 Q 矩陣裡並不具備有 K6、K8 這兩個概念，有此發現後，再與 專家們重新檢視各個試題所需具備的概念，發現在求最大公因數與最小公倍數的 題目時，並不一定要使用短除法才能算出，所以便取消掉 K8、K9；但試題中能有 要求質因數分解的題目，經過討論後 K6 仍做保留，故正式施測時，概念數為 7 個。表 3-6 即為正式施測的 Q 矩陣。

表 3-6 正式施測的 Q 矩陣

概念

題號 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0 0

3 1 0 0 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 0 0

5 1 0 0 0 0 0 0

6 1 1 0 0 0 0 0

7 1 1 0 0 0 0 0

8 1 1 0 0 0 0 0

9 1 1 0 0 0 0 0

10 1 1 0 0 0 0 0

11 1 0 1 0 0 0 0

12 1 0 0 1 0 0 0

13 1 0 1 0 1 0 0

14 1 0 1 0 1 1 0

15 1 1 0 0 0 0 1

16 1 1 0 0 0 0 1

17 1 1 0 0 0 0 1

18 1 0 1 0 1 1 0

19 1 1 0 0 0 0 0

20 1 1 0 0 0 0 0

21 1 0 0 0 0 0 0

22 1 1 0 0 0 0 0

23 1 1 0 0 0 0 0

概念數統計 23 12 4 1 3 2 3