國小二年級數學課程教材分析

(十) 其題目內容、表達型式需配合學童的程度。

(十一)試題題材以融入學童的日常生活情境為主。

(十二)在初步實施宿題評量時，需與學校、家長多溝通，並且次數不宜超過三次。

第三節 國小二年級數學課程教材分析

壹、學童數概念的發展

學童的數概念發展會影響學童在解決問題時所使用的解題策略。對於學童的 數概念發展，甯自強(1994)將數概念分成四個層次。以下就以「38」這個數字為 例 並以糖果做具體物來做說明。

一、前置概念：「38」代表從 1 開始，對應標準數詞序列到具體物的最後一項。

也就是說，對此概念層次的學童而言，「38」就是指第 38 顆糖果。

二、起始數概念：「38」代表由 38 個「1」所合成的新聚集單位。也就是說，對 此概念層次的學童而言，「38」就是指全部的 38 顆糖果。

三、內嵌數概念：「38」代表由一個聚集單位再往上累積合成的新聚集單位。也 就是說，對此概念層次的學童而言，「38」就是指 15(也可以是其他數字)顆 糖果，再加上 23(由 38 減到原先的聚集單位)顆糖。亦即此概念層次的學童

已了解分解合成的意義。

四、巢狀數概位：「38」代表可由 3 個「10」和 8 個「1」所合成的新聚集單位。

也就是說，對此概念層次的學童而言，「38」就是指每堆 10 顆的糖果有 3 堆，

再加上一個一數的糖果有 8 個，共 38 顆糖果。亦即此概念層次的學童已有 了位值概念。

以上四個數的概念層次，是有其不可跳躍的順序性，兒童必須經過前一個階 段才會到達下一個階段，而具備不同概念層次的兒童，其表現出的運思方式也會 有所不同。民國八十二年「國小數學課程實驗研究小組」將學童數概念發展的運 思方式，分為五個發展階段：序列性合成運思期(integration)、累進性合成運思 (progressive) 、 部 分 - 全 體 運 思 (part-whole operation) 、 測 量 運 思 (measurement operation)、比例運思(國民學校教師研習會，2000)。因本研究的對象是低年級，

僅以序列性合成運思、累進性合成運思及部分-全體運思三種運思方式表現在加減 法的活動中。故以下「16+12=？」及「37-12=？」為例，將序列性合成運思、累 進性合成運思及部分-全體運思三種運思方式的意義及解題方式做一說明。

一、序列性合成運思期

學童將數個「1」合而為一，形成一個聚集單位的集合體。換句話說，序列 性合成運思的學童，必須序列性地進行兩次做數活動和一次數數活動，然後才能 夠得答案。例如：解決 16+12=？時，學童先各自畫出 16 和 12 個圈，再合併它們，

由 1 重新數過得到答案是 28。而在解決 37-12=？時，學童先畫出 37 個圈，再畫 掉 12 個圈，然後再計數剩下的集聚單位內的個數，最後得到答案為 25。

二、累進性合成運思期

學童可以以一個聚集單位(例如：10)為起，繼續合成新的「1」，而形成一個 新的聚集單位。例如：解決 16+12=？時，學童直接以 16 為基礎，依數詞序列「向 上數」9 個數而得到 28 的答案。而在解決 37-12=？時，學童可直接以 37 為基礎，

依數詞序列「向下數」12 個數而得到 25 的答案。

三、部分-全體運思期

學童能掌握「1」與「1」為元素所合成的聚集單位(例如：10)間的部分—全 體關係，同時也能明顯分辨兩者的意義，因此在混合使用兩個以上的被計數單位 時，也不會混淆其意義。例如：16+12=？時，兒童可以先使用數詞序列點數有 8 個「1」，再使用相同的數詞序列點數有 2 個「10」，同時可將 8 個「1」和 2 個

「10」合而為一，形成一個新的聚集單位(28)。

貳、加減法教材的類型

一、加減法文字題的分類

就加減法文字題的分類，可因觀點的不同而有所差異 (林碧珍，1991；林能 傑，1995) ，包括下列幾種：

(一) 依照「步驟」(step)來區分

依照解題步驟的多寡，可分為單步驟文字題 (one-step wordproblems) 、二步 驟文字題 (two-step word problems) 和多步驟文字題(multi-step word problems)。

(二) 依照「運算」(operation)來區分

依照解題過程中所使用到的運算符號，可分為單一符號 (加、減) 或多種符 號 (同時使用加減) 等。

(三) 依照「情境」(situation)來區分

情境 (situation)是指文字題所闡述內容的情境，如：時間、長度等。

(四) 依照「語意結構」(semantic structure)來區分

依照語意結構，加減法分為改變型 (change) 、合併型 (combine) 、比較型 (compare) 、等化 (equalize)等類型。

二、以「語意結構」為標準分類

在加減法文字題的研究上，依照「語意結構」為標準，來區分文字題的類型 有很多種，茲分述如下：

(一) Gibb (1956) 將加減法文字題分為改變 (chang) 、合併 (combine) 、比較 (compare) 三類。

(二) Marshall, Pribe & Smith (1987) 將加減法文字題分為改變類(chang)、合併類 (combine)、比較類(compare)、變異類 (vary) 、轉換類 (transforn) 等五類。

(三) Fuson (1992) 將加減法文字題細分為改變、合併、比較、等化四類。

(四) Baroody (1998) 將加減法文字題分為併加、添加、拿走、等化及比較五種類 型，再配合未知數位置的不同，而形成 15 種加減法文字題。

(五) 國內張子貴、周君彥 (2001) 再將加法文字題與減法文字題再作細分，加法 問題的基本類型為：1.添加。2.併加。3.求大數。而減法問題的基本類型為：1.

求餘。2.求差。3.求補數。

大體而言，近來國內外學者最常採用分類法為Fuson (1992) 的分類法，再依數 量運作方向和未知量在問題中的角色，進一步區分，以下就依Fuson (1992)所歸納 的加減問題的分類作一介紹：

(一) 改變型：屬於動態問題情境，這一類的問題含有起始量、改變量和結果量，

這三量中的任何一量 都可以作為求解的問題。

1.添加型(Add to)：這一類的問題的基本算式為 a + b= c。

(1) 起始量未知：小明原有一些貼紙，又買了 13 張貼紙，共有 43 張貼紙，

請問小明原有幾張貼紙？

(2) 改變量未知：小明原有 20 張貼紙，又買了一些貼紙，共有 43 張貼紙，

請問小明買了幾張貼紙？

(3) 結果量未知：小明原有 20 張貼紙，又買了 13 張貼紙，請問小明共有幾 張貼紙？

2.拿走型(Take away)：這一類的問題的基本算式為 a- b= c。

(1) 起始量未知：小明原有一些糖果，吃掉了 13 顆糖果，還剩下 29 顆糖果，

請問小明原有幾顆糖果？

(2) 改變量未知：小明原有 42 顆糖果，吃掉了一些糖果，還剩下 29 顆糖果，

請問小明吃了幾顆糖果？

(3) 結果量未知：小明原有 42 顆糖果，吃掉了 13 顆糖果，請問還剩下幾顆 糖果？

(二) 合併型—屬於靜態問題情境，這一類的問題包含兩個部份量和一個全體量，

這三量中的任何一量，都可以作為求解的問題，其基本算式為 a + b= c。

(1) 全體量未知：小明有 23 輛玩具汽車，小英有 39 輛玩具汽車，請問兩個 人共有幾輛玩具汽車？

(2) 部份量未知：小明和小英共有 62 輛玩具汽車，其中有 23 輛玩具汽車是 小明的，請問小英有幾輛玩具汽車？

(三) 比較型—屬於靜態問題情境，這一類的問題含有參考量、比較量和差異量，

這三量中的任何一量，都可以作為求解的問題。其基本算式為 a - b= c。

1. 較多型(More)：

(1) 參考量未知：小英有 60 枝鉛筆，比小明多 22 枝，請問小明有幾枝鉛筆？

(2) 比較量未知：小明有 38 枝鉛筆，小英比小明多 22 枝，請問小英有幾枝 鉛筆？

(3) 差異量未知：小英有 60 枝鉛筆，小明有 38 枝鉛筆，請問小英比小明多 幾枝鉛筆？

2. 較少型(Less)：

(1) 參考量未知：小明有 38 枝鉛筆，比小英少 22 枝，請問小英有幾枝鉛筆？

(2) 比較量未知：小英有 60 枝鉛筆，小明比小英少 22 枝，請問小明有幾枝 鉛筆？

(3) 差異量未知：小明有 38 枝鉛筆，小英有 60 枝鉛筆，請問小明比小英少 幾枝鉛筆？

(四) 等化—是比較型和改變型的混合，像改變型一樣，含有行為，但卻是在比較

兩個互斥集合的大小，屬於算式動態的問題，這一類的問題含有參考量、比 較量和差異量，這三量中的任何一量，都可以作為求解的問題。

1. 添加等化型(Equalize Add On)：這一類的問題的基本算式為 a + b= c。

(1) 參考量未知：小明有 42 張卡片，他再買 27 張就跟小英一樣多，請問小 英有幾張卡片？

(2) 比較量未知：小英有 69 張卡片，小明再買 27 張就跟小英一樣多，請問 小明有幾張卡片？

(3) 差異量未知：小英有 69 張卡片，小明有 42 張卡片，小明必須再買幾張，

才會跟小英的卡片一樣多？

2. 拿走等化型(Equalize Take away)：這一類的問題的基本算式為 a- b= c。

(1) 參考量未知：小明有 42 顆果凍，小明吃掉 25 顆後就和小英一樣多，問 小英有幾顆果凍？

(2) 比較量未知：小英有 17 顆果凍，小明吃掉 42 顆後就和小英一樣多，問 小明有幾顆果凍？

(3)差異量未知：小英有 17 顆果凍，小明有 42 顆果凍，小明必須吃掉幾顆果 凍後才會跟小英的果凍一樣多？

對於上述二位數加減法的類型，有許多學者對於各類型的難度做了一系列的 研究(呂玉琴，1997；蔣治邦、鍾思嘉，1991；Riley，1981)。綜合其研究結果發 現，改變型結果量未知通過率最高，合併型全體量未知次之，且問題難度會因未 知數的位置而產生改變。

參、九年一貫數學課程之加減法教材

一、九年一貫課程之能力指標

教育部於民國九十二年十一月公佈的國民中小學九年一貫課程綱要中，九年 一貫數學學習領域的教學總體目標為：

(一) 培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。

(二) 學習應用問題的解題方法。

(三) 奠定下一階段的數學基礎。

(四) 培養欣賞數學的態度及能力。

(五) 在第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念。

(六) 第二階段(四至五年級)能熟練非負數的四則與混合計算，

培養流暢的數字感。

(七) 在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常 用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體 的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計 圖形並理解其概念。 (引自教育部，2003，頁 22-23)

為了能達到這些目標，教育部明訂了詳細的分段能力指標。以下將數學學習 領域中「二年級二位數加減法教材」之相關能力指標(教育部，2003)彙整為表 2-3-1

表 2- 3-1 「二年級二位數加減法教材」之相關能力指標

上完二位數加減法課程且實施總結性評量之後。