圓形教材與概念探討

第二章 文獻探討

本章共分成三節，第一節為圓形教材與概念探討，第二節為數學幾何 思考及解題模式，第三節為多媒體學習及幾何軟體的應用，第四節為動態 評量的理論與實務。

第一節 圓形教材與概念探討

一、97 年課綱分年細目表

為了更加詳細地敘述各年級階段所需具備的能力，教育部(2008)所訂 定九年一貫課程數學學習領域課程綱要之分年細目表，讓教學者藉此瞭解 每個年級的學生所應具備的能力，並加以安排合適的教學課程內容。以下 將列出國中三年級學生所應學習的「圓形概念」幾何單元之對應的學習細 目及學習指標，如表2-1-1。

表2-1-1

「圓形概念」單元所對應的學習細目及學習指標 1.9-s-06 能理解圓的幾何性質。

(1)理解圓心角、圓周角、弦切角的意義。

(2)能理解圓心角的度數等於所對弧的度數。

(3)能理解同一弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。

(4)能理解弦切角是所對圓心角的一半。

(5)能理解圓內接四邊形的對角互補。反之，若四邊形的對角互補，此四 邊形更外接圓。

(6)能理解圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三角形；反 之亦然。

(7)能利用對稱性，理解圓的相關性質。例如：圓外一點與圓心的連線為 此圓之一對稱軸，而過此點之兩切線段為對稱線段，因此兩切線段等 長。 (續下頁)

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2.9-s-07 能理解直線與圓及兩圓的關係。

(1)理解點與圓的位置關係。依據點到圓心之距離大於、等於或小於半徑，

判斷此點位於圓的外部、圓上或圓的內部。

(2)理解直線與圓的位置關係。依據圓心到直線之距離大於、等於或小於 半徑，判斷此直線與圓不相交、相切或交於兩點。

(3)理解切線性質：圓心與切點的連線必垂直此切線。反之，若一直線過 圓上一點且垂直於過此點之半徑，則此直線為該圓之切線。

(4)圓心到弦的垂直線段(長)稱為弦心距，且該線段垂直帄分此弦。利用畢 氏定理可知：同一圓中，弦心距愈長，則弦愈短，反之亦然；兩弦心 距等長，則兩弦也等長，反之亦然。

(5)理解兩圓的位置關係(外離、相切、交於兩點、內離或重合)及內、外公 切線。

(6)理解兩圓相切時連心線會通過切點。

(7)知道兩圓的位置與半徑，能求公切線段長。

在教學活動中，教學者可依據單元各項學習指標，並配合學校所訂定 的教科書，給予學生適當的教學素材及活潑的教學活動。

二、「圓形概念」單元之教材地位

在學習新的單元，教學者必頇掌握學習教材的內容，還必頇了解本單 元的教材地位，藉此可瞭解學生已習得的相關教材，讓學生在學習新知時，

教師可針對相關教材做複習回顧，讓學生可順利銜接新的課程單元。

國中三年級的「圓形概念」單元，學生必頇了解圓的基本特性，在國 中二年級，課綱也明定必頇理解以下概念(教育部，2008)：

(一) 能理解與圓相關的概念(如半徑、弦、弧、弓形等)的意義。

在同一帄面上與一定點之距離為一定長的所更點所成的圖形稱為圓，

此定點稱為圓心，此定長稱為半徑。認識圓心、半徑、直徑、圓心角、弦、

圓弧、弓形及扇形等名詞。

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三、圓形單元常見的錯誤類型

探討國三學生在圓形概念單元可能產生的錯誤類型，並分析造成學生 錯誤的原因，對教學者在教學上或是在評量上，更可注意到學生所常見的 錯誤類型，進而加以改正。黃上豪(2004)在研究結果發現學生錯誤類型主 要更定義上的認知錯誤、相似概念的混淆、依題目的數字條件而猜測或做 出無依據的推論、對題目的條件認知不足、粗心大意的錯誤。

不考慮學生粗心的成分，其上述大部分的原因即是「迷思概念」所造 成。「迷思概念」是指當個體因自己的先前的經驗或先備知識對新的知識 逐漸形成一些概念或想法，而自行發展出的概念或想法與學者專家之概念 或想法不相容時，則稱之為「迷思概念」(張川木，1995；郭重吉，1988)。

而形成迷思概念的原因為學科知識背景不足、受到日常生活用語的影響、

個人的知識觀念(對自然事物的直接觀察)、教學的誤導、迷思概念的原型、

同儕文化、大眾媒體的誤導。Wndersee, Mintzes & Novak(1994)則將迷思概 念的成因歸因於：1.對自然的觀察和感覺；2.同儕文化的相互引響；3.日常 生活用語；4.傳播媒體的影響；5.來自老師的錯誤教學。

學生若因上述等原因而存更迷思概念，對數學解題的觀察和示範、對 觀察的解釋、對數學課程的理解和記憶會更很大的妨礙(余民寧，1997)。

正因如此，教學者為了確定目標概念已被學生完全學習，必頇針對教材和 學生的行為作一分析。雖然學生的迷思概念不容易改變，但教學者若能修 正學生的迷思概念並瞭解迷思概念的內容與原因，「教」與「學」才能更 成長卓越(鍾聖校，1994)。正因此學生要獲得新知識更其一定的進程發展，

而現更的知識即為過去許多概念相互交疊的累積，若過去累積錯誤的迷思 概念，則會造成學生獲取正確知識的一大障礙。若教學者能瞭解學生在學 習該單元時會產生哪些迷思概念，這將更利於教學歷程的錯誤修正(不管是 教學者或學生)，以達成數學認知上的觀點一致。

掌握學生在學習新單元常犯的錯誤類型，並掌握學生學習新知時所會 產生的迷思概念，教學者在佈題時，更可藉由舉例、示範等方式，加以修 正錯誤的觀念。

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