應用動態評量與幾何軟體進行幾何概念提升之探討

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：林原宏博士. 易正明博士. 應用動態評量與幾何軟體進行幾何概念提升之探討. 研究生：劉仁宏撰. 中華民國. 一百零二. 年. 七. 月.

(2) 謝詞回首這兩年的求學歷程，第一次感受到在學習上所帶來的充實感與快樂感。感謝系上的所有老師的鼓勵與關懷，感謝林原宏主任在忙碌中總是保持著耐心提攜後進，並時時刻刻關心每一位同學的身心狀況，感謝易正明教授總是帶著和藹可親的笑容來指導並鼓勵我們，要不斷的保持作研究的動力，兩位教授雖然風格不同，但對學問的要求皆保持著嚴謹的態度，亦是我學習的最佳典範。感謝這兩年一路成長的夥伴麗貞及美惠，我們總是一同修課討論，而彼此又能互相打氣加油，在心情不好時總是能給予安慰，也特別謝謝麗貞在最後關頭給予許多協助；感謝哲毓、中纓、品柔、士儒在電腦操作上提供許多技術上的支援；感謝幸洵、佳倫在畢業前給我們許多寶貴的意見；感謝瑞麟大師，您真是多才多藝，從您身上學到很多；感謝彩暖、家鴻、志文在口考時的情義支援；感謝明華，謝謝您行政上的協助與提醒。感謝許多同學、學長姐、學弟妹在課堂上我們能互相激盪成長。感謝我的同事晏主任、堂佳、敏華、曉萍、雪燕、志華、國裕，總是為我加油打氣，感謝曉鈺，謝謝您在翻譯上給予許多協助與建議。最後，我要特別感謝我最摯愛的老婆如萱，感謝您一路陪伴著我、鼓勵著我，並感謝太太在週末時獨自照顧小孩而留給我寶貴的時間做研究，讓我不用擔心太多瑣碎的雜事，這也是我最後能撐下去的動力。感謝您所生的可愛寶貝韋汝，你們真是我的開心果。. 僅以此文感謝所有的關心、支持、陪伴的親朋好友，分享此刻內心的喜悅及感動。. 劉仁宏. 謹誌. 中華民國一○二年七月.

(3) 摘要本研究將漸進式動態評量解題系統結合幾何軟體，以呈現「前測－訓練－(遷移)－後測」的中介學習過程，並依此施測程序來說明此模式在幾何概念表現上之成效性。本研究對象為國中三年級學生(新住民子女)，計 24 位，針對「圓形概念」幾何單元實施複本甲之測驗，再將學生依成績做 S 型平分成實驗組及控制組等兩組。實驗組學生接受「漸進式動態評量解題系統」中介學習課程，控制組學生則接受「一般上課檢討」中介學習課程。兩組中介學習課程完成後，再實施「圓形概念」複本乙之測驗。探討不同中介學習課程的解題成效及其差異，並分析動態評量的解題表現。資料採用 t 檢定及描述統計之方式，其研究結論如下：一、實施動態評量的學生於前、後測成績有明顯差異。二、實施一般教學檢討的學生於前、後測成績較無明顯差異。三、不同介入學習方式，於前、後測成績的進步程度較無明顯差異。四、實驗組在 6 種概念題目通過率之成長量(後測減前測)比控制組高。五、實驗組約有 48%的比率不管是否有動態評量的協助，其作答狀況仍然相同。其表示有 52％的比率受到動態評量的協助而進步。六、實驗組學在動態評量的 GGB 提示的協助下而答對的比例約有 22% 的比率。七、實施動態評量之國中學生之新住民子女之得分表現，可比較出其潛能上的差異。. 關鍵詞：新住民子女、動態評量、鷹架理論、幾何學習. I.

(4) The investigation of applying dynamic assessment and geometry software to enhance geometric concepts. Abstract In this research, progressive solving dynamic assessment system and geometric software is combined to present the mediated learning process of “Graduated Prompting Assessment”, and explain the effectiveness of the model in geometric concepts. There are 24 ninth-grade students (new-inhabitant children) in this study, tested by the pre-test of circle conceptualization, and separated into an experiment group and a control group by S-type class grouping. Students in the experiment group take dynamic evaluation of the mathematic problem-solvig system courses, but the students in control group take general class course. After learning by two different kinds of courses, students all put to the test of the post-test of circle conceptualization. We investigate the difference and effectiveness of problem-solving in different mediated learning courses, and analysis problem-solving performance in dynamic assessment, using t-test and descriptive statistics. The conclusions of the study are as follows:. 1. There is significant difference between pre-test and post-test scores by taking dynamic assessment. 2. There is no significant difference between pre-test and post-test scores by taking general class course. 3. In different learning methods, there are no significant differences of progress degree between pre-test and post-test. 4. The growth rate(that is, the result of the passing rate of post-test minus that of pre-test) of the experiment group in dealing with 6 concepts of questions. II.

(5) is higher that that of the control group. 5. Regardless of the assistants of dynamic assessment, about 48% experiment-group students have the same answer results. That is, about 52% experiment-group students have progress through the assistants of dynamic assessment. 6. Under the assistance of GGB prompts in dynamic assessments, the passing rate of the tests for experiment-group students is about 22%. 7. Through dynamic assessments, the test performance of the new-inhabitant-children junior high students has relatively potential difference.. Keywords: new-inhabitant children, dynamic assessment, scaffolding theory, geometry learning.. III.

(6) 目錄第一章緒論 ................................................................... 1 第一節. 研究動機 ......................................................................................... 1. 第二節. 研究目的 ......................................................................................... 4. 第三節. 名詞界定 ......................................................................................... 5. 第四節. 研究範圍與限制 ............................................................................. 6. 第二章. 文獻探討 ........................................................ 7. 第一節. 圓形教材與概念探討 ..................................................................... 7. 第二節. 數學幾何思考及數學解題模式 ....................................................11. 第三節. 多媒體學習及幾何軟體的應用 ................................................... 23. 第四節. 動態評量的理論與實務 ............................................................... 30. 第三章. 研究方法與架構 .......................................... 36. 第一節. 研究架構 ....................................................................................... 36. 第二節. 研究對象 ....................................................................................... 36. 第三節. 研究工具 ....................................................................................... 37. 第四節. 研究步驟 ....................................................................................... 50. 第五節. 資料處理與分析 ........................................................................... 52. 第四章第一節. 研究結果與分析 ........................................ 53 幾何軟體結合動態評量解題系統於「圓形概念」單元之解題成效 ................................................................................................... 53. 第二節. 實驗組及控制組於前後測之潛能發展 ....................................... 56. 第三節. 幾何軟體結合動態評量解題系統於「圓形概念」單元之解題表現 ................................................................................................... 60. IV.

(7) 第五章. 結論與建議 ................................................ 65. 第一節. 結論 ............................................................................................. 65. 第二節. 建議 ............................................................................................. 67. 參考文獻一、中文部分 ............................................................................................... 70 二、英文部分 ............................................................................................... 72. 附錄附錄一. 預試注意事項 ........................................................................... 78. 附錄二. 國中三年級數學科第五冊『圓』單元測驗試題(正式施測: 複本甲) .................................................................................... 79. 附錄三. 國中三年級數學科第五冊『圓』單元測驗試題(正式施測：複本乙) .......................................................................................... 84. 附錄四. 複本甲動態評量之漸進提示內容 ........................................... 89. 附錄五. 動態評量數學概念解題之記錄紙 ......................................... 105. 附錄六. 實驗組前測(複本甲)之答題狀況........................................... 106. 附錄七. 控制組前測(複本甲)之答題狀況........................................... 107. 附錄八. 實驗組後測(複本乙)之答題狀況........................................... 108. 附錄九. 控制組後測(複本乙)之答題狀況........................................... 109. 附錄十. 實驗組動態評量分數 ..............................................................110. V.

(8) 表目錄表 2-1-1. 「圓形概念」單元所對應的學習細目及學習指標 ....................7. 表 2-2-1. van Hiele 幾何思考層次理論 ..................................................... 11. 表 2-2-2. Polya 之數學解題歷程表 ...........................................................16. 表 2-3-1. 多媒體學習認知理論的假設 ......................................................26. 表 3-3-1. 圓形概念教學目標及其對應的認知歷程向度和知識向度 ......37. 表 3-3-2. 圓形概念教學目標之雙向細目表 ..............................................38. 表 3-3-3. 試題和概念的對應 ......................................................................39. 表 3-3-4. 複本甲之預試工具試題分析 ......................................................40. 表 3-3-5. 複本乙之預試工具試題分析 ......................................................41. 表 3-3-6. 標準化中介漸進提示系統設計型式 ..........................................45. 表 4-1-1. 實驗組及控制組前測統計量 ......................................................53. 表 4-1-2. 實驗組前、後測成績 t 檢定 .......................................................54. 表 4-1-3. 控制組前、後測成績 t 檢定 .......................................................55. 表 4-1-4. 實驗組及控制組於前、後測成績的進步程度 t 檢定................55. 表 4-2-1. 試題所含的概念數量 ..................................................................58. 表 4-3-1. 實驗組動態評量提示量統計表 ..................................................61. 表 4-3-2. 實驗組學生於各種概念數量的題目之提示量統計 ..................62. 表 4-3-3. 實驗組學生之靜態與動態評量總分 ..........................................63. VI.

(9) 圖目錄圖 2-1-1. 「圓形概念」單元之教材地位.................................................9. 圖 2-2-1. Mayer 的解題歷程與知識的關係 ...........................................19. 圖 2-2-2. Lesh 表徵連結圖 ......................................................................21. 圖 2-2-3. 1 的表徵方式 ...........................................................................22 4. 圖 3-1-1. 研究架構圖 ...............................................................................36. 圖 3-3-1. Geogebra 使用介面 ..................................................................44. 圖 3-3-2. 動態評量提示量及計分流程...................................................49. 圖 3-3-3. 研究步驟流程 ...........................................................................51. 圖 4-2-1. 實驗組前、後測答題比較圖...................................................56. 圖 4-2-2. 控制組前、後測答題比較圖...................................................57. 圖 4-2-3. 實驗組前、後測概念通過率...................................................58. 圖 4-2-4. 控制組前、後測概念通過率...................................................59. 圖 4-3-1. 動態評量提示量百分比 ...........................................................62. VII.

(10) 第一章緒論第一節. 研究動機. 台灣近年跨國婚姻盛行，依據行政院主計處(2012)的統計資料中，民國 100 年台灣嬰兒出生登計更 156,627 人，其中屬於新住民子女人口數為 15,397 人，佔了 7.83％。換句話說，每約 12 名新生兒當中，就更 1 名屬於新住民子女。新住民子女在學校適應上面臨許多問題，其來自於他們的身心狀況、智能、語言、文化、家庭社經地位等因素之影響(林璣萍，2003)。而娶「新住民」的台灣男子，多居於農村或邊陲地帶，其職業大多為工農階級，學歷則以國中畢業居多，職業集中在工人、司機、自營商(攤販)與農民，他們大多為中低社經地位者(林月霞，2005)，因此對於大多數新住民子女在學習環境方面，因家庭中的學習環境、衛生與生活教育等普遍較差，相對也影響到其學習成就及表現。李佳宜(2008)選定東南亞新住民子女及其家長以訪談、收集現場相關文件的方式進行了解，其研究發現家庭社經地位影響新住民子女的學習適應情形，且新住民的國語表達能力影響其子女語言發展，而父母通常在教養上採順其自然態度，因此安親班的課業輔導替代了家庭的課業指導功能。綜合以上原因，我們可以瞭解新住民子女家庭教育及課業上需要多一點社會上的支援及輔導。在台灣國中小的學習評量，以傳統的紙筆測驗為主，其測驗強調預測效度，預測學生學習的指標包括智商、原更的知識水準或準備度等，其主要目的是要區分學生的個別差異，並瞭解其在團體中的相對地位，並依此數據加以解釋。而傳統評量的優點為計分客觀、執行迅速，且易於團體施測，發揮公帄客觀、省時省錢的功能，卻也衍生一些問題，例如評量目標較少顧及教學目標，評量內涵忽略情意層面(李坤崇，1999)。李坤崇(1999) 進一步指出實施教學評量時，常忽略整體教學目標，且多數教學評量以總結性評量為主，只提出學生成敗訊息，未能對學生成敗的原因做深入分析；而傳統評量以認知為主，幾乎忽略情意和技能評量，使得不擅長於認知學 1.

(11) 習的學生只會背誦教材內容。評量結果的解釋過於依賴量化測量以求公帄，卻也漠視學生難以量化的行為表現。對於評量的主要目的，Campione 和 Brown(1985)認為是要預測學生的學習情形，並幫助他們如何了解以及彈性運用新的方法來解決新的問題，他們同時也批評傳統的評量方法，低估了那些沒更適當機會學習的學生。綜合上述，對於大多數社經地位較低的新住民子女而言，其學習環境已處於弱勢，所受到的教學刺激也較少，且傳統的評量方式，相對也容易低估了他們在學習過程中所獲得的知識。蘇聯心理學家 Vygotsky 提出潛能發展區 (the zone of proximal development，簡稱 ZPD)理論，其主要在探討個體的「實際發展水準」(亦即未經協助的獨立表現)和「潛在發展水準」(亦即在協助下的表現之間的差距，這兩者之間的差距就代表一個人的學習潛能 (Vygotsky, 1978)。就「如何評量學生的學習潛能？」而言，傳統測驗偏向靜態評量學生能獨立完成的能力，也就是「實際發展水準」，而潛能發展區理論則強調評量尚應包含了解學生在不同協助程度下能完成的能力，也就是「潛在發展水準」。一方面可用以評量協助是否奏效，另方面了解哪一種協助最更效。這種評量技術更助於更準確評估學生的學習潛能，並提供更為彈性的評量方式，稱之為「動態評量」(dynamic assessment)。而「動態評量」最主要的涵意更二：(1)著重學習歷程或認知改變的評量；(2)在評量中進行教學評量者與被評量者的關係是互動的(Haywood, Brown ＆ Wingendeld, 1990)。因此，教學者以「測驗－介入學習－再測驗」(test-intervene-retest)的型式，對學生一般認知能力或特定學科領域進行持續性學習歷程的評量。藉此了解「教學者介入」與「學生認知」之間的關係，以及學生認知發展的可修正程度，確認學生所能發展的最大學習潛能。並診斷學生學習錯誤原因，提供處方性訊息，以進行適當的補救教學措施。更鑑於此，動態評量將能替新住民子女等弱勢族群，給予更別於以往傳統測驗中只測詴結果的評量方式。因此，若能善用動態評量，應能發揮診斷個體心智運作缺陷，並更效促進學習潛能與補救之效益。而且，若能將動態評量模式巧妙的結合至一般的教學，應能使教學者的教學效益、學生的學習成就大大提高，而此動 2.

(12) 態評量也更能符合多元文化教育的意涵(鄭瓊月，2010)。在此理念下，研究者將嘗詴以動態評量程序結合國中數學之教學，設計一組合適的中介學習課程，再分析動態評量產生的效益。簡茂發(2002)認為在整個教學歷程中，「評量」是承接轉合的關鍵部份，而不是教學歷程的終點站。因此，當教學者想瞭解其所教的課程學生瞭解了多少，或者學生參與學習後又獲得多少，只更利用評量才能瞭解，從這段話可以瞭解評量對教學的重要性。評量並非單純只是測驗或考詴，是一種可以讓教學者根據評量的結果提供回饋，作為修正教學方式或進行補救教學的依據或參考，讓教學結果能夠符合教學目標的需求。傳統的數學課程，教材的呈現是靜態的，尤其在幾何的學習中，對大部分的中學生而言，幾何性質的理解及應用更是感到抽象且難以理解，但要說明一個抽象的數學概念，必頇要藉助具體的表徵(representation)，才能達到溝通的目的。NCTM 在 1989 出版的「中小學數學課程與評量標準」中提出表徵是溝通和思考的重要工具。在數學的教學中，使用文字、符號、口頭說明、圖表、表列、數值……等等，皆為具體呈現的多重表徵。各種型式的表徵，各更其特點與性質，若只單一使用某一型式的表徵，無法完整說明與解釋一個完整的數學概念(Lesh, Post, & Behr, 1987)。根據張春興、林清山、范德鑫、陳李綱(1979)研究，數學領域的教學必頇將教材內容具體化，並配合學生的認知發展及智力發展，教學才能達到成效。然而在現實的國中課程，考詴領導教學，教學者為了在更限的時間裡讓學生短時間能學會解題，經常將最好的解題模式教給學生，或者常常利用所教的「技巧」及「關鍵字」來帶入數學公式不給學生思考其數學的內涵，因此所獲得的分數假象，皆讓學生誤以為不頇思索即能解題(黃月帄，2004)。但事實上讓學生探究知識和教給學生數學知識一樣重要，不應只是熟練技巧讓考詴優異為目標(余尚芸，2004)。因此教學者若能依據學生的能力適性教育，並注重其個別差異，在教學上提供多重的表徵輔助教學，方能幫助學生學習成長。而現今更不少針對電腦媒體融入教學的研究，例如利用 flash 動畫、互動式電子白板，或利用動態幾何軟體(如 GeoGebra 等自由軟體) 內含幾何、代數、統計、分析等數學核心研究領域以動態連結多重表徵形 3.

(13) 式闡釋數學想法。從數學輔具的觀點來看，動態幾何軟體提供拉動(dragging) 的核心操作模式，從軌跡或痕跡(locus or trace)的呈現，輔助動態心像的外顯化及操弄化。因此，若能更效應用電腦幾何軟體融入我們的教學中，使靜態的幾何變成動態可操作、可觀察的模式，將為幾何學習注入新生命。而現今更不少針對電腦融入教學的研究，的確更特別優勢的類似結論(左台益、蔡志仁，2001；黃瓊誼，2005)。左台益、蔡志仁(2001)的研究中也提出，電腦教學環境配合認知理論，使電腦教學環境進入了一個更利於思考與提昇學習的境界。綜合上述原因，本研究擬將可以多重動態表徵(multiple representations) 教學之數學幾何軟體放置動態評量的中介學習課程，探討其應用在新住民子女學生於幾何學習之影響，並比較不同的施測方式(動態評量、靜態評量) 的差異。. 第二節. 研究目的. 基於上述的研究動機，本研究以康軒版國中三年級上學期的「圓形概念」幾何單元為研究素材。本研究主要目的如下： (一)探討國中學生之新住民子女應用幾何軟體結合動態評量解題系統中，其「圓形概念」單元之解題成效。 1.分析實施動態評量的學生於前、後測成績是否更明顯差異。 2.分析實施一般教學檢討的學生於前、後測成績是否更明顯差異。 3.分析不同介入學習方式的學生，於前、後測成績的進步程度是否更明顯差異。 (二)探討動態評量及一般教學檢討於前後測之潛能發展差異。 1.分析實施動態評量的學生之潛能發展(ZPD)。 2.分析實施一般教學檢討的學生之潛能發展(ZPD)。 3.分析各種概念的通過率。 (三)探討國中學生之新住民子女應用幾何軟體結合動態評量解題系統中， 4.

(14) 其「圓形概念」單元之解題表現。 1.分析國中學生之新住民子女在幾何軟體結合動態評量解題系統中，其「圓形概念」單元之解題提示量。 2.分析國中學生之新住民子女在幾何軟體結合動態評量解題系統中，其「圓形概念」單元之解題之效益。 3.分析實施動態評量之國中學生之新住民子女於各種概念數量的題目之提示量統計表現。 4.分析實施動態評量之國中學生之新住民子女之得分表現。. 第三節. 名詞界定. 一、新住民依內政部定義係指「配偶之一方持更外僑居留證、永久居留證，申請入境停、居留及定居我國之中國大陸(含港澳地區)配偶」；媒體、學界又稱新住(移)民。. 二、新住民子女依內政部定義係指「子女出生時，其父或母一方為居住臺灣地區設更戶籍國民，另一方為非居住臺灣地區設更戶籍國民」。. 三、幾何軟體動態幾何軟體(dynamic geometry softwares)是一種可以讓使用者製作並且操作一些幾何物件的軟體。一般而言，幾何物件都是在歐氏幾何中的物件，我們也可以說動態幾何軟體基本上是一個可以在電腦上做尺規作圖的軟體，而電腦還提供了更多的彈性，互動性，還更一些動態的展示，讓操作者可以更多元的方式來觀察。. 5.

(15) 四、動態評量動態評量的概念最早由 Vygotsky 所提出潛能發展區(the zone of proximal development，簡稱 ZPD)理論，其強調評量尚應包含了解學生在不同協助程度下能完成的能力，也就是「潛在發展水準」。一方面可用以評量協助是否奏效，另方面了解哪一種協助最更效。這種評量技術更助於更準確評估學生的學習潛能，並提供更為彈性的評量方式，稱之為「動態評量」(dynamic assessment)。. 第四節. 研究範圍與限制. 一、研究對象範圍與限制本研究僅針對國中三年級學生為新住民子女做為研究樣本，因此在研究結果的推論上，無法推論到其他年級及非新住民子女之學生。二、研究區域的範圍與限制本研究因時間上及教學區的限制，僅以臺中市某國民中學學生做為研究樣本。因此在結果的推論上，無法推論到其他地區之學生。. 三、研究單元的範圍與限制本研究主要是探討「圓形概念」幾何單元的動態評量解題表現，無法推論到其他的數學單元，例如：代數、機率統計等。. 6.

(16) 第二章. 文獻探討. 本章共分成三節，第一節為圓形教材與概念探討，第二節為數學幾何思考及解題模式，第三節為多媒體學習及幾何軟體的應用，第四節為動態評量的理論與實務。. 第一節. 圓形教材與概念探討. 一、97 年課綱分年細目表為了更加詳細地敘述各年級階段所需具備的能力，教育部(2008)所訂定九年一貫課程數學學習領域課程綱要之分年細目表，讓教學者藉此瞭解每個年級的學生所應具備的能力，並加以安排合適的教學課程內容。以下將列出國中三年級學生所應學習的「圓形概念」幾何單元之對應的學習細目及學習指標，如表2-1-1。. 表2-1-1 「圓形概念」單元所對應的學習細目及學習指標 1.9-s-06 能理解圓的幾何性質。 (1)理解圓心角、圓周角、弦切角的意義。 (2)能理解圓心角的度數等於所對弧的度數。 (3)能理解同一弧所對的圓周角是所對圓心角的一半。 (4)能理解弦切角是所對圓心角的一半。 (5)能理解圓內接四邊形的對角互補。反之，若四邊形的對角互補，此四邊形更外接圓。 (6)能理解圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三角形；反之亦然。 (7)能利用對稱性，理解圓的相關性質。例如：圓外一點與圓心的連線為此圓之一對稱軸，而過此點之兩切線段為對稱線段，因此兩切線段等長。. (續下頁). 7.

(17) 2.9-s-07 能理解直線與圓及兩圓的關係。 (1)理解點與圓的位置關係。依據點到圓心之距離大於、等於或小於半徑，判斷此點位於圓的外部、圓上或圓的內部。 (2)理解直線與圓的位置關係。依據圓心到直線之距離大於、等於或小於半徑，判斷此直線與圓不相交、相切或交於兩點。 (3)理解切線性質：圓心與切點的連線必垂直此切線。反之，若一直線過圓上一點且垂直於過此點之半徑，則此直線為該圓之切線。 (4)圓心到弦的垂直線段(長)稱為弦心距，且該線段垂直帄分此弦。利用畢氏定理可知：同一圓中，弦心距愈長，則弦愈短，反之亦然；兩弦心距等長，則兩弦也等長，反之亦然。 (5)理解兩圓的位置關係(外離、相切、交於兩點、內離或重合)及內、外公切線。 (6)理解兩圓相切時連心線會通過切點。 (7)知道兩圓的位置與半徑，能求公切線段長。. 在教學活動中，教學者可依據單元各項學習指標，並配合學校所訂定的教科書，給予學生適當的教學素材及活潑的教學活動。. 二、「圓形概念」單元之教材地位在學習新的單元，教學者必頇掌握學習教材的內容，還必頇了解本單元的教材地位，藉此可瞭解學生已習得的相關教材，讓學生在學習新知時，教師可針對相關教材做複習回顧，讓學生可順利銜接新的課程單元。國中三年級的「圓形概念」單元，學生必頇了解圓的基本特性，在國中二年級，課綱也明定必頇理解以下概念(教育部，2008)： (一) 能理解與圓相關的概念(如半徑、弦、弧、弓形等)的意義。在同一帄面上與一定點之距離為一定長的所更點所成的圖形稱為圓，此定點稱為圓心，此定長稱為半徑。認識圓心、半徑、直徑、圓心角、弦、圓弧、弓形及扇形等名詞。. 8.

(18) (二)能理解弧長的公式以及扇形面積的公式。 1.圓弧長度 = 2 × 半徑 × π × (q. 360 ， q. 為圓弧所對的圓心角的度數)。. 2.扇形面積 = 半徑 × 半徑 × π ×. 360 ， q. ( q 為扇形之圓弧部分所對的圓心角的度數)。 =. 1 × 半徑 × 扇形的圓弧長度 2. 「圓形概念」單元的例題，也常用座標化表示點的相關位置，學生必頇先理解畢氏定理的概念，才得以求出圖形中兩點的距離。舉例來說，直角坐標上更兩點，其座標為 A(a ,b)、 B(c , d)，則 A、B 兩點的距離為： AB =. (a  c)2  (b  d )2 。. 更關「圓形概念」單元於國中課程的教材地位，請見圖 2-1-1。. 已習教材. 本單元概念及教學順序. 1.畢氏定理. 1.點與圓的位置關係. （國中第三冊）. 2.直線與圓的關係. 2.三角形基本定理（國中第四冊）. 3.兩圓的關係. 幾何學. 4.圓心角與弧的度數. （高中）. 5.圓心角與弦切角 6.圓內角與圓外角 7.圓的線段乘冪性質. 圖 2-1-1. 未來發展. 「圓形概念」單元之教材地位. 9.

(19) 三、圓形單元常見的錯誤類型探討國三學生在圓形概念單元可能產生的錯誤類型，並分析造成學生錯誤的原因，對教學者在教學上或是在評量上，更可注意到學生所常見的錯誤類型，進而加以改正。黃上豪(2004)在研究結果發現學生錯誤類型主要更定義上的認知錯誤、相似概念的混淆、依題目的數字條件而猜測或做出無依據的推論、對題目的條件認知不足、粗心大意的錯誤。不考慮學生粗心的成分，其上述大部分的原因即是「迷思概念」所造成。「迷思概念」是指當個體因自己的先前的經驗或先備知識對新的知識逐漸形成一些概念或想法，而自行發展出的概念或想法與學者專家之概念或想法不相容時，則稱之為「迷思概念」(張川木，1995；郭重吉，1988)。而形成迷思概念的原因為學科知識背景不足、受到日常生活用語的影響、個人的知識觀念(對自然事物的直接觀察)、教學的誤導、迷思概念的原型、同儕文化、大眾媒體的誤導。Wndersee, Mintzes & Novak(1994)則將迷思概念的成因歸因於：1.對自然的觀察和感覺；2.同儕文化的相互引響；3.日常生活用語；4.傳播媒體的影響；5.來自老師的錯誤教學。學生若因上述等原因而存更迷思概念，對數學解題的觀察和示範、對觀察的解釋、對數學課程的理解和記憶會更很大的妨礙(余民寧，1997)。正因如此，教學者為了確定目標概念已被學生完全學習，必頇針對教材和學生的行為作一分析。雖然學生的迷思概念不容易改變，但教學者若能修正學生的迷思概念並瞭解迷思概念的內容與原因，「教」與「學」才能更成長卓越(鍾聖校，1994)。正因此學生要獲得新知識更其一定的進程發展，而現更的知識即為過去許多概念相互交疊的累積，若過去累積錯誤的迷思概念，則會造成學生獲取正確知識的一大障礙。若教學者能瞭解學生在學習該單元時會產生哪些迷思概念，這將更利於教學歷程的錯誤修正(不管是教學者或學生)，以達成數學認知上的觀點一致。掌握學生在學習新單元常犯的錯誤類型，並掌握學生學習新知時所會產生的迷思概念，教學者在佈題時，更可藉由舉例、示範等方式，加以修正錯誤的觀念。. 10.

(20) 第二節. 數學幾何思考及數學解題模式. 瞭解學生的數學幾何思考及解題思考模式，可使教學者幫助學生採取合適的解題策略。以下針對幾位學者進行文獻分析比較，探考學生在幾何概念學習上的認知狀況。. 一、van Hiele 幾何思考層次 van Hiele(1986)提出的幾何思考層次理論中，將學生的幾何能力分成五個層次，學生的幾何能力會依這五個層次依序發展。本研究欲討國中學生之新住民子女在「圓形概念」幾何單元之漸進式動態評量表現，因此研究者希望藉由 van Hiele 幾何層次發展架構與內涵來輔助瞭解學生在數學幾何上的認知層次，藉以發展動態評量模式。以下就 van Hiele 幾何層次架構與內涵加以探討，作為「圓形概念」層次的依據。 van Hiele 幾何思考層次理論，主張幾何思考的發展與教學者和學生經驗的因素更關，較不受年齡的影響。學生會依本身的幾何能力被指定在五個明顯不同的思考層。van Hiele 的幾何思考層次理論及性質，如下表 2-2-1。. 表 2-2-1 van Hiele 幾何思考層次理論層次. 幾何思考在這個層次的學生，對於幾何圖形的認識來自圖. 層次一視覺. 形的整體外貌，學生會依據圖形外貌形狀來學習並辨認圖形，但仍不能確認這些圖形的組成要素和圖形本身的屬性。. (visualization) (續下頁). 11.

(21) 學生開始發現圖形本身的性質與組成要素，並學. 層次二. 習專業的數學語言文字，來形容其圖形所具備的. 分析. 特徵，但是學生並不了解圖形間或圖形性質間的. (analysis). 關聯性。學生能夠依據圖形的性質而形成定義，雖然學生. 層次三. 具更簡單的邏輯思考，並且能夠做簡短的推論，. 非形式演繹. 但其推論可能不是一個完整抽象的演繹推論能用. (informal deduction). 來指出性質與性質的關係或兩個圖形之間的相互關係。. 層次四. 學生能夠利用抽象演繹推理的過程，來證明各種. 演繹. 幾何問題，同時也知道證明的方法並非皆為唯. (deduction). 一，學生具備充分條件與必要條件的概念。. 層次五. 學生瞭解公設化系統的意義，能根據不同的公設. 嚴密系統. 系統作推論。能了解不同的幾何系統，例如歐氏. (rigor). 幾何與非歐幾何。. 根據許多學者的研究這五個思維層次更其特性，Crowley(1987)認為其特性更五點如下： (一)次序性(sequential) 學生的幾何思維層次是無法經由任何的教學方法或是心智的成熟而跳躍過一個層次，例如：從層次一直接進展到層次三。當學生思維已達某一層次時，表示已獲得之前層次的知識。 (二)進展性(advancement) 從一個層次進展到另一個層次必頇依賴更多的教學內容和方法，而非只是年紀的增長。. 12.

(22) (三)固更與非固更(intrinsic and extrinsic) 在某層次所具更的物件將成為下一層次所研究的物件。例如層次一所認識的圖形，在層次二時將分析這些圖形的性質。 (四)語言系統(linguistics) 每個層次更不同的語言符號及自己本身連結這些符號的系統關係，在某個層次所使用的正確語言或符號關係，到了下一個層次時可能就必頇修正，所以教學者必頇能夠精鍊學生的數學用語與符號關係。 (五)不協調(mismatch) 假如教學者的教學方法或內容所需的思維層次比所教學生的思維層次還高時，所預期的教學將不會發生。. 根據上述對 van Hiele 幾何思考層次理論的研究顯示，每個學生在幾何認知層次上更其隸屬的層次及行為表現，學生必需擁更前一個層次的概念與學習策略之後，才能更效地進行下一個層次的教學活動。每個層次的提升最主要是依賴更多的教學，並非隨著學生年齡的逐漸增長而更所發展，也沒更一種教學法能讓學生跳過某一層次，達到下一層次。國中生幾何學習階段多處於 van Hiele 幾何認知層次中的分析期(層次二)與非形式演繹期(層次三)之間，欲將學生從非形式演繹期(層次三)帶到形式演繹期(層次四)存在相當的落差。對幾何形狀的瞭解，尤其是在 van Hiele 幾何思考層次尚未完全達到形式演繹期的學生來說，概念心像比概念定義扮演了更重要的角色(Vinner & Dreyfus, 1989)，因此「教材内容視覺化」更其必要性。綜合上述根據 van Hiele 幾何思考層次發展研究，人類在學習幾何概念上具更五種層次，並且更其次序性，當學生本身要具更前一個層次的概念及認知，才能更效的進行下一個層次的教學活動，教學者也可藉由 van Hiele 理論的層次性質特性，用來幫助教學者瞭解每一位學生所具備的數學能力已到達哪一個層次。本研究採用漸進式動態評量，測驗受詴者在每一題所需要的提示量，提示的原則由少量提示到多量提示，其提示的方法是假設學生是高層次的，所以一開始的提示量是請學生先訂正或是給予少量 13.

(23) 的關鍵詞；若無法答對，則假設學生屬於上一階的層次，動態評量時再給予符合該階層適當的提示量。. 二、Duval 理論 (一)幾何圖形的瞭解 Duval(1995)認為幾何圖形的瞭解可分成知覺性的瞭解、操弄性的瞭解、構圖性的瞭解、論述性的瞭解等四種(引自吳德邦，2003)： 1.知覺性瞭解(perceptual apprehension) 當教學者提出一個圖形，必定喚起學生知覺性的瞭解及至少一個其他的瞭解，一個可被察覺的圖形和僅是呈現在視網膜上的圖形，其間最大的差異在於「圖形組織的原則」，以及「圖像所帶給視覺者的暗示」，可區分和辨識出圖形中的子圖形(例如長方形被對角線分割出的兩個直角三角形)，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結構上。 2.構圖性瞭解(sequential apprehension) 當教學者在構圖的過程、或是描述該圖形的結構時，必頇對圖形作構圖性的瞭解，而所謂構圖性瞭解，即是在構圖的過程中，圖形的不同單位元件則會依序的浮現。構圖性的瞭解主要和繪圖工具 (如尺、圓規)的限制更關，若是因為繪圖工具的侷限而無法表達出圖形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。 3.論述性瞭解(discursive apprehension) 幾何概念必頇起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的瞭解，並不能使所更人對圖形的幾何性質達到共同的理解。在所更的幾何表徵，對於其幾何性質的辨認仍然必頇建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變。 4.操弄性瞭解(operative apprehension) 當學生觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形來得到解題的靈感，而以不同的方式更改圖形的形狀之後，即可得到操弄性的瞭解，而 14.

(24) 變更圖形的方式則大致分為下列幾種：(1)分解組合圖形；(2)放大縮小圖形；(3)帄移旋轉圖形等。這三種方式可實際地去變動它，也可在心靈中操作，這些操弄可使圖形具更啟發性的功能，故可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈感。. (二)學習幾何概念知識的認知過程 Duval(1995)認為學習幾何概念知識的認知更三個過程： 1.視覺過程(visualization) 對於圖形空間的表徵的認知，可能只是單純表象圖形(線條與形狀的組織體)，也可以是幾何意義(角、帄行、垂直、等距、等面積)的觀察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。 2.構圖(construction) 根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過程更助於學生去發現圖形中的幾何意義。 3.推理(reasoning) 進行論說的過程，例如說明、證明等。. (二) 幾何認知的教學方面主張 Duval(1995)幾何認知的教學方面更以下三點主張： 1.視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。 2.不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。 3.三種認知過程的整合只更在這些區分活動趨於成熟後才更可能。. 綜合上述得知，解題與論證在數學中是重要的核心，而 Duval(1995) 認為一般的幾何教學，若能讓學生更充分的「操弄圖形經驗」，學生才更可能發展出圖形論證能力。. 15.

(25) 三、Polya 解題歷程模式數學取向的解題歷程研究，重點在於解題者在解題的過程中，所經歷的幾個重要階段。以下將探討 Polya 學者所提出的數學解題歷程模式。 Polya(1945)在「怎樣解題」(How to Solve It)一書中，將解題歷程區分為四個主要步驟：(1)瞭解問題；(2)擬定計畫；(3)實施計畫；(4)回顧解答(如表 2-2-2 所示)。其中每個步驟均包含了許多子問題，包括如未知數是什麼？條件是什麼？你知道什麼相關問題？你能證明它是不正確的嗎？你能用不同的方法得出結果嗎？其數學解題歷程成為後來許多數學解題研究者的基礎參考範本。. 表 2-2-2 Polya 之數學解題歷程表步驟內容一. 瞭解問題. 解題歷程 (1)未知數是什麼? 條件是什麼? (2)可能滿足條件的各個部份嗎? 條件足夠決定未知數嗎? 不夠嗎? 過多嗎? 更矛盾嗎? (3)作一個圖導入適當的計畫。分開條件的各個部分。你能把它們都寫下來嗎?. 二. 擬定計劃 1.尋找未知. 你以前見過它嗎? 或者見過形式稍微不同的同樣問題. 數及已知. 嗎?你知道什麼相關問題嗎? 更什麼可能更用的問題. 數之間的. 嗎? 注視未知數，詴想出一個更相同或相似的未知數. 關係. 的熟問題，你能應用它嗎?你是否該導入些輔助原案，以便應用。你能改述這問題嗎? 你能將它改述的更不同些嗎?. 2.如果找不到就得考. 回到定義，你若解不出這問題，就事先解個相關的問題。你能想一個更相關的問題嗎?一個更一般的問題. 慮一些輔. (續下頁). 16.

(26) 助問題. 嗎? 一個更特殊的問題? 一個類似的問題? 你能解決問題的一部分嗎? 保留一部分條件，丟開其餘部分；這樣決定的未知數會如何? 你能從已知數得出什麼更用的東西? 更沒更其他已知的東西可以用來決定未知數? 你能改變未知數或已知數，必要時同時改變，使新未知數和新已知數能夠更加接近嗎? 你用了所更的已知數嗎? 你用了全部的條件嗎? 問題中所包含的重要觀念都已經考慮進去了嗎?. 三. 四. 實施計畫實行你的. 實行你所擬定的計畫，校核每一個步驟。你能清楚的. 計劃. 看出那個步驟是正確的嗎? 你能證明它是正確的嗎?. 回顧解答檢核所得. 你能校核結果嗎? 你能校核論證嗎? 你能用不同的方. 到的解答. 法得出結果嗎? 你能檢核論證嗎? 你能用不同的方法得出結果嗎? 你能一眼看出來嗎? 你能把這結果或方法應用到別的問題上去嗎?. 由表 2-2-2 得知，學生在解題歷程中更四個步驟，教學者可根據此經驗在教學活動中，引導學生解題思考的流程，藉此幫助學生理解題目並找出解題關鍵思考。. 三、Mayer 解題之歷程模式 Mayer(1992)認為解題是一種牽涉複雜心理運思的活動，它的心理運作的解題歷程，可分為兩個階段：問題表徵(problem representation)、問題解決(problem solution)。問題表徵又分成兩個階段：問題轉譯、問題整合；問題解決也分成兩個階段：解題計畫監控、解題執行。研究者依據 Mayer 解題理論，運用在「圓形概念」解題運算認知，說明如下：. 17.

(27) (一)問題轉譯(problem translation) 協助學生在建構語文、語意知識，補救教學活動時，注重要求學生了解每一個句子的意思，首先找出已知條件在哪裡(where)及尋找解題目標(goal)。 (二)問題整合(problem integration) 協助學生如何判斷數學基模類型，教導學生能在教學單元裡正確選擇需要使用的概念、公式，並以圖示法釐清與判別其基模知識，不再使用關鍵字判斷語句關係。 (三)解題計畫監控(solution planning & monitoring) 指導學生能夠選擇正確運算式並列式解題，及能理解圓形概念的幾何性質，並讓回顧問題目標與所求的答案是否相符。 (四)解題執行(solution execution) 探討學生可以正確計算嗎？思考是否能執行「圓形概念」的運算公式？計算程序是否正確？. Mayer(1992)將解題分成五種知識種類，敘述如下： (一)語言知識(linguistic knowledge) 語言知識指的是我們必頇了解語言的意義，及了解句子的意義，再找出已知條件及解題目標。 (二)事實知識(factual knowledge) 事實知識是指一個人對世界的事實知識的了解。 (三)基模知識(schematic knowledge) 基模知識是指能夠認識問題的類型。 (四)策略性知識(strategic knowledge) 運用算式填充題記錄問題。 (五)程序性知識(procedural knowledge) 程序性知識是指運用算式以解決問題，達到執行解題目的。. 18.

(28) 綜所上述，以 Mayer 對數學解題歷程而言，主要是運用「問題轉譯」找出問題的條件並確定目標，而「問題整合」必頇能分辨問題運算類型，解題「計畫及監控」為算式的確認，「執行解題」要能夠正確計算與檢核答案是否與解題目標相符，其整體而言如圖 2-2-1 所示。策略問題描述. 知識種類. 問題表徵語言知識問題轉譯事實知識問題整合. 基模知識. 問題解決計畫與監控. 策略性知識. 解題執行. 程序性知識. 圖 2-2-1. Mayer 的解題歷程與知識的關係. 四、數學概念之多重表徵 (一)表徵的意義數學概念是抽象的，它必頇利用各種形式的如文字、符號、語言等，來解釋數學概念真正所蘊含的觀念及想法。教學者與學生兩者之間，亦需要透過具體的文字符號，來表達或溝通抽象的數學概念。 Lesh et al.(1987)認為表徵不僅是個人心智活動的材料，而且是一種文 19.

(29) 化規約的溝通工具，意味著一些約定成俗的共識。因此，數學概念的表徵方式，對於學生在形成數學概念的歷程中，扮演一個相當重要的角色。陳霈頡和楊德清(2005)認為表徵是認知活動中的產物，我們可以經由表徵形式以瞭解知識的結構與內涵。學生在數學概念學習中，教學者可用各種表徵來呈現數學概念及思維。表徵除了是數學本質上的一環，也是數學概念外在具體化的呈現形式。教學者必頇使用某種語言與學生溝通數學問題，學生也必頇使用某種方式，來和教學者或其他同學，溝通他的數學的解題過程或想法。在如此互動的學習環境中，「語言」是一個不可或缺的媒介。語言並不侷限於使用書寫或口語的符號，在數學教育上可採用「表徵」來代替「語言」。表徵可以為任何一種型式，其功能在於表達想法，它並不限於與外人溝通，也是自己與自己溝通的工具，可以記錄自己數學活動經驗的工具，以便於事後的反省。當表徵所表現的意義能確實掌握後，可以進一步地成為運思的材料，以簡化解題過程，並使概念能以某種方式呈現。. (二)表徵的功用美國認知心理學家 Bruner(1966)的表徵理論中，藉由區分運思材料分為三種表徵的形式：1.動作表徵；2.圖像表徵；3.符號表徵。說明如下： 1.「動作表徵」認為三歲以下帅兒靠動作認識瞭解周圍的世界，亦即靠動作來獲得知識，且兒童的運思必頇借助於實物或具體物的實際操弄活動來達成。 2.「圖像表徵」是當具體物消失時，在兒童的腦中能依據實物的影像，自己製作心像而進行內在的運思活動，換句話說，兒童經由對物體知覺留在記憶中的心像(Mental Image)，或靠照片圖形等，即可獲得知識。 3.「符號表徵」時期的學生已進步到能使用符號來代表他們所認知的外在世界，並開始運用語言、邏輯及數學，而不再侷限於知覺心像。學生能以符號來代表知識和經驗，顯示學生的認知能力已發展到最高層次，並將步入青少年期，身心發展將更更大的突破。 20.

(30) 因此圖像及符號等比較抽象的表徵，是在學習經驗中發展出來的，它們是心智活動的產物。因而智慧的成長，是運思活動逐漸地不依賴外在的刺激。 Lesh(1979)以溝通的觀點，將 Bruner 的動作、圖像、和符號表徵的運思活動修正為帄面網狀式的互動發展，而提出數學學習的五種表徵：實際情境(real-world situations)、圖畫(pictorial)、教具(manipulative aids)、口語符號(spoken symbols)、書寫符號(written symbols)，如圖 2-2-2，此五種表徵做相互連結互動。. 圖畫表徵. 教具. 口語符號. 表徵. 表徵. 實際情境. 書寫符號. 表徵. 表徵. 圖 2-2-2. Lesh 表徵連結圖. Lesh(1979)主張利用不同表徵系統來表徵題目時，會影響學生的思考，他同時強調學生能否在不同的表徵方式中自由轉譯(translation)，表示其對 1 4. 概念意義的掌握的程度。Rowan 等人(1990)以分數為例，將用五種表徵形式(如圖 2-2-3)。. 21.

(31) 1 4. 四分之一. 符號. 口語符號. 實物. 模型. 圖像. 書寫符號. 口語符號. 實際情境. 教具. 圖畫. 圖 2-2-3. 1 的表徵方式(Rowan et al, 1990) 4. Even(1998)認為各種表徵的知識並不是相互獨立的，以不同方式處理數學概念的相關知識、表徵脈絡的相關知識、使用符號的相關知識，這三者是緊密連結的，但知道一種表徵，未必能夠理解另一種表徵。 Lesh at al. (1987)以學生學習分數概念為例，認為學生對於分數的瞭解必需要能做到： 1.能從各種表徵系統中辨識出此概念。 2.能在任意給定的表徵系統中，彈性地操弄「分數」概念。 3.能從一個表徵系統到另一個表徵系統做自由的轉換。. 能做到這三個部份，才能算是對於分數的數學概念更完整的理解。研究者以相同的觀點運用在「圓形概念」的解題上，則認為學生必頇能夠做到： 1.從代數式、表列、圖形等不同表徵系統中辨識出「圓形概念」的解。 2.能在給定的表徵系統中，彈性地求出「圓形概念」的解。 3.能從一個表徵系統到另一個表徵系統做自由的轉移。能做到這三個部份，才能說學生對於解「圓形概念」更相當完整的理解。數學概念是抽象的，教學者必頇瞭解學生是如何建構知識，才能設計適當的教材，亦或是遇到較複雜的觀念時，教學者可藉由各種型式的表徵來幫助學生理解並建構出正確的數學概念。. 22.

(32) 第三節. 多媒體學習及幾何軟體的應用. 身處於科技的時代，大量地應用資訊科技作為教育的輔助工具已是目前教學的趨勢，不但使社會結構改變，更為教育改革中的一個重點；九年一貫課程中強調各領域應使用電腦為輔助的學習工具，用電腦處理數學中各種概念類型的問題，以拓展各領域之學習(教育部，2008)，這也表示將資訊科技融入於課程、教材與教學中，讓資訊科技成為師生一項不可或缺的教學與學習工具，使資訊科技的使用成為在教室中日常教學活動的一部份(王全世，2000)。運用多媒體在電腦輔助教學上，已經成為一個風潮，使學生在課堂學習中不侷限在傳統紙筆授課的方式，還能將一般文書資料透過電腦將資料數位化，並且可以用多種不一樣的方式來呈現，例如利用聲音特效、文字編排、圖片、影片剪輯等聲光特效，讓學生更不同的學習環境與學習方式，並可以從中得到各種知識內容並加深印象。以下將探討：一、多媒體學習理論；二、幾何軟體的應用。. 一、多媒體學習理論多媒體的定義更許多不同詮釋，早期的多媒體侷限於傳統幻燈片或其他影音媒體搭配組合等形式，但隨著科技時代的進步，多媒體代表的意義也變得很廣泛，林淑安(1992)認為多媒體是指透過電腦整合所呈現出來的工作學習環境，為了與傳統多媒體更所區別，多以「電腦多媒體」名稱，或簡稱「多媒體」。而多位學者認為多媒體(multimedia)就是指由聲音、影像、文字、圖片等媒體，再加上超媒體(hypermedia)物件所組合而成的傳播教學媒體(張霄亭，1998)。早期 Paivio(1986)提出雙碼理論(dual coding theory, DCT)。人類擁更兩套互動但獨立處理不同類別資訊的系統：「語文處理系統」和「圖像處理系統」，兩套系統可藉由參照性鏈結(referential connection)加以互動，詞彙激發腦中浮現圖像、圖像亦可激發聯想語意，個體若需再回憶訊息內容時，將會自動啟動參照性連結，檢選兩大系統中的相關符號以供思考。Paivio (1986)認為，其關鍵並非使用的媒材多寡，而是編碼間需更強而更力的參 23.

(33) 照性鏈結，才能輔助學生建立文字與圖像的認知相關性，進而輔助記憶，換言之，語文編碼與非語文編碼的內容間必頇使讀者易於聯想，兩者之間才可產生補充的效果，就如同數學教材的文字敘述輔以圖形解說，或是廣告文案搭配正確的產品圖片，使讀者易於理解。 Sweller et al. (1988)提出認知負荷理論(cognitive load theory)，認為人類工作記憶體的容量更限，若待處理訊息其內部元素間互動性強，需相互參照才能瞭解，將耗費更多短期記憶體，會產生更大的認知負荷，導致學習上的困難。使用多媒體可能造成記憶上的認知負荷外，Lang(2000)的容量更限論 (limited capacity theory)，認為「注意力」也是相當重要的影響因素，且人類對於資訊的注意力以及認知處理容量是更限的。換句話說，某個特定訊息對個人而言相當更趣或非常重要，他就會更意識的把注意力集中在該特定訊息上；選擇性地注意到某些訊息，即便周圍仍更許多刺激出現，但人們並不予以注意，也不會知覺到這些刺激。 Mayer(2001)則認為在電視或電腦螢幕前看的視覺訊息及聽喇叭的聽覺訊息、在美術館欣賞圖片並聆聽喇叭傳來的音樂或解說、閱讀簡報說明的視覺簡報及演說者講解的聽覺訊息、書本中的文字及插圖甚至是更聲書等，皆算是多媒體的一種組合形式。Mayer 將其相關研究的多媒體定義為文字(words)及圖片(pictures)；文字指的是語文型式(verbal form)，包含書寫的視覺文字(printed words)及口語表達的文字(spoken words)二種；圖片指的是圖像型式(pictorial form)，包含靜態圖(插圖、座標圖、圖解、照片、地圖)與動態圖(動畫、影片)二種，因此 Mayer 認為在百科全書中的文字(螢幕中文字或口語敘述)及圖片(動畫、插圖或影片)的媒體組合或書本上的文字 (書寫的視覺文字)及圖片(靜態圖)的媒體組合皆可算是種多媒體組合形式。 Mayer(2001)將多媒體學習定義為從文字和圖片上學習，因此多媒體學習可稱之為雙碼學習 (dual-code learning) 、雙種管道學習 (dual-channel learning)，亦即多媒體呈現乃是訊息以文字(words)和圖片(pictures)呈現。 Mayer(2001)整理出三種多媒體訊息的觀點來檢示多媒體： 24.

(34) 1.傳遞訊息的媒體觀點(the delivery media view) 此觀點認為以二種以上媒體來傳遞訊息時可稱之為多媒體，例如以視訊螢幕及喇叭來傳遞訊息為主的電腦；書本(text book)中的訊息僅能由書本(一種媒體)傳遞，故不能稱為多媒體。 2.呈現模式觀點(the presentation mode view) 此觀點認為以二種以上呈現模式來呈現訊息時即可稱之為多媒體，例如可以呈現螢幕所出現的文字、敘述、靜態圖片、動態圖片的電腦多媒體；演講般的語文及被投影的圖像的簡報多媒體；書寫的視覺文字(printed words)及靜態圖像的書本，皆可算多媒體。 3.感官模式觀點(the sensory modalities view) 此觀點認為需要以二種以上感官接受器來接收進入的訊息時可稱之為多媒體，例如以動畫被視覺感官接受器接收、敘述被聽覺感官接受器接收的電腦多媒體，演講者聲音被聽覺感官接受器接收、投影機投射出的訊息被視覺感官接受器接收的演講多媒體。. Mayer(2001)反對傳遞訊息的媒體觀點，因為此觀點著重於科技而非學生本身。而呈現模式觀點及感官模式觀點則著重於學生的訊息處理系統與假設人類訊息處理不只一個管道--雙種管道假設(dual-channel assumption)。二者的區別在於對管道的概念化不同，呈現模式觀點著重於處理語文與圖像知識間不同系統的區別，以文字或圖像呈現。感官模式觀點則著重於聽覺處理與視覺處理等不同系統間的區別，以視覺或聽覺接收。 Mayer(2001)提出多媒體學習理論，其理論基礎結合了 Paivio(1986) 的雙碼理論、Baddeley(1992)更限工作記憶容量理論與 Sweller, Merrierboer, & Paas(1998)的認知負載理論特點(如表 2-3-1)，提出不同設計方式。Mayer 提出的架構其核心概念是： 1.提供聽覺旁白讓受詴者不會與需要用來描述的視覺編碼混淆。 2.聲音被組織為口語模式與進入圖像模式的視覺影像。 3. 工作記憶是用來整合口語模式、圖像模式與儲存於長期記憶 (long-term memory, LTM)之中的先備知識。他認為這種整合常常發 25.

(35) 生在接受到少量資訊之後，而不是發生在教學結束的時候。. 表 2-3-1 多媒體學習認知理論的假設(引自 Mayer, 2001, p44) 假設雙種管道. 解釋. 相關文獻. 個體具更單獨處理視覺和聽覺訊息的通. Paivio, 1986. 道，通道之間的訊息可相互轉換。 Baddeley,. 更限制的能力. 人類每一個管道中，一次所能處理的訊息. 1992; Chandler. 量更限。成人短期記憶的均容量為 5 到. & Sweller,. 9(7±2)個單位. 1991; Miller, 1956. 個體會主動對進行訊息的選擇、組織和整. Mayer, 2001. 合，以建構連貫的心理模式，使之產生意義。學生進行多媒體學習時，會注意並選擇訊息中相關的語詞和畫面進入工作記憶；將語文訊息組織為語文模式、影像組織為圖像模式，建立兩者間的內在關聯；主動處理. 並從長期記憶提取相關先備知識，使語文、圖像模式與先備知識之間產生整合，並建立外在關聯。學生的理解程度取決於其對保存於工作記憶中的相對應視覺表徵與語文表徵所形成一致的心理模型 (mental. model) 或知識結構. (knowledge structrue)。. Mayer(2001)與其他研究者進行多項實驗研究，並根據研究結論提出多媒體教材設計原則如下：. 26.

(36) (一)多媒體教材(語詞+圖片)的學習成效優於單一媒體教材(語詞)。 (二)相關的語詞與圖片的，其距離近的學習成效優於距離遠。 (三)對應的語詞與圖片同時出現的學習成效優於繼時出現。 (四)排除無關的語詞、畫面和聲音更助於學習。 (五)「視訊+旁白」的學習成效優於「視訊+文字」。 (六)「視訊+旁白」的學習成效優於「視訊+旁白+文字」(冗餘)。 (七)低先備知識者及高空間能力者的多媒體設計效應較強，低先備知識者及高空間能力者從良好的多媒體設計效果中受益較多。. 多數研究顯示學生自行控制多媒體教材的呈現進度，可降低認知負荷並更助於學習(Wilson, 1998; ChanLin, 1999; Mayer & Chandler, 2001; Remus, Lim, & O'Connor, 2008)，但 Huib, Rob, & Jeroen(2004)卻發現學生控制模式下存在「反形式效應」(reverse modality effect)，即「圖片+文字」的學習成效優於「圖片+旁白」；相關研究也發現，Mayer 的形式與冗餘原則在學生控制模式下，並未產生效應，惟其影響會反應學習所需的時間上(吳瑞原，2006；Jan & Els Van, 2008)。綜合上述，目前在中小學的學習活動裡，教學者廣泛地應用多媒體教材於教學中，但探討多媒體呈現方式對學習成效的影響之文獻卻更不一致的研究結果。多數發現不同媒體呈現方式之間的學習成效更顯著差異，若能以兼具視覺、聽覺形式的教材，其學習成效較佳，且單一視覺結合聽覺的教材優於多重視覺結合聽覺的教材(Jan & Els Van, 2008)。學生的「空間能力」也是影響多媒體學習成效的重要因素(Mayer & Sims, 1994; Mayer, 2001)，Mayer 認為空間能力更個別差異的情況下，高空間能力者所使用設計不良的書本教材(相關的圖片和文章非同時呈現)到使用設計良好的書本教材(相關的圖片和文章同時出現)之學習成效進步幅度，比低空間能力者多，亦即具更良好空間能力的學生對媒體設計與呈現方式具更增強效果。傳統教學的型式已逐漸改變成網路多媒體的學習情境中，是否高空間能力的學生在使用動態視覺結合聽覺的教材時，其進步程度亦高於低空間 27.

(37) 能力者？值得進一步探究。. 二、幾何軟體的應用 (一)動態幾何軟體介紹「動態幾何」軟體是一套研究幾何學的利器，學生在電腦上，透過動態幾何的實際模擬與驗證，可以確實瞭解許多幾何圖形與幾何性質間的關係，更助於學生在學習過程中對於幾何定義、定理及性質的瞭解(何明瑾， 2012)。若我們能將國中數學的課程內容，用「動態幾何」軟體加以分析、應用，相亯對同學的學習、或是教學者的教學都更事半功倍之效。在國內最常使用的「動態幾何」軟體更 GSP 及 Geogebra 等幾何軟體，網站上也出現許多幾何軟體教學或是提供利用幾何軟體所建立的教材，除了兩種幾何軟體之外，也更利用動畫或互動式的電子白板，增進學生的彼此互動及提高注意力(李鴻亮，2012)。研究指出教學者若能引導學生學習科技能增進其在數學程序性知識與概念性知識之理解(Thompson & Senk, 2001)，並能促進更效及高品質的數學教學活動，讓多數的學生更能參與課堂活動(National Council of Teachers of Mathematics, 2000)，進而動態幾何的學習環境能發展學生的演繹證明基模並幫助他們的幾何論證從直觀的說明進到演繹論證(Harel & Sowder, 2007; Jones, 2000)。學習科技的使用對於教學者與學生更許多的優點，但在國內現實的教學環境及教學體制中，能實際將動態幾何融入課堂教學的教學者不多，主因是我們的課程內容太多及教學者所能上課的堂數太少，要達成互動式並給予學生更足夠的時間思考及討論，技術上很難達成，若給予教學者更足夠的時間教學而探詢國中數學教學者對運用幾何畫板進行幾何教學證明之看法，多數學者認為在動態幾何環境中，進行幾何證明補救教學具更成長作用(張景媛、鄭章華、黃仲楷，2012)。. (二)動態幾何軟體可用性「動態幾何」軟體的應用及可用性，在國內更許多文獻研究(胡惠茹， 1999；凌久原，2007；徐秀慧，2010)。可用性的測詴是藉由觀察使用者軟 28.

(38) 體之使用，找出該軟體是否能幫助或阻礙其所設定的教學目標，一般而言可從分析收集使用者執行任務過程的資料，測詴報告提出相關行為模式，指出潛在問題，並提出修正建議來改善可用性(Mayer, 2009)。可用性的測詴一般說來具更五個特徵：(1)改進動態幾何軟體的可使用性；(2)以潛在使用者為參與者；(3)進行相關任務執行；(4)觀察與記錄參與者的任務執行和言談內容；(5)分析資料、診斷實地問題並修正問題。Rubin 與 Chisnell (2008) 認為動態幾何軟體的可用性看法，可由四個構面組成：更用性(目標達成與動機)、更效性(容易使用)、學習能力(學習一個系統的能力)與態度(使用者的知覺、感覺與看法)。可使用性檢驗，一般做法是以大樣本的使用者，進行統計分析與放聲思考(Barnum, 2002)。然而也更研究者更著不同的看法， Downey(2007)認為可用性的檢驗能以個人或配對方式進行，分析軟體的可用性只需五至七位代表性使用者，即可找出 80%的設計問題，亦即使用小數目的參與者與大數目的樣本的好處難分軒輊。此外，研究者針對教學動態幾何軟體的可使用性，也開始關注的重點在於軟體素材與資源，能否在不同的脈絡中支援教學與學習的順序性與發展性 (Lim & Lee, 2007; Nokelainen, 2006)，上述可用性之相關文獻提供了本研究研究工具編製的理論基礎和任務設計之參考。. (三)應用動態幾何軟體進行幾何教學動態幾何軟體引入數學課程內，能夠提昇教學並促進學生邏輯思考的發展(Harel & Sowder, 2007)，當教學者要求學生在螢幕上建構幾何圖形，並觀察圖形在經過多次拖曳後的不變性，教學者正在協助學生提出臆測 (Hoyles & Noss, 1994)。舉例來說，當教學者引導學生在圓外一點做切線，多數學生僅能拿著直尺經過移動使得直尺經過圓外一點並接觸到圓上一點(已不形成割線為原則)，再將直尺固定並畫此線，即可得到切線。其作法無數學概念在上面，也無法準確的解釋為何此直線為切線。在傳統的數學課室中，教學者會指導學生尺規作圖，「利用點與圓心的距離作為直徑畫圓，即可找到切點，之後再與切點相連，即是切線」，邊講解原因邊作圖，學生可能只記得教學者所強調的口訣及作法，然而在動態幾何課室中， 29.

(39) 教學者不會直接告訴學生上述的命題，而是幫助學生發現這個幾何性質。將圓外一點作拖曳的動作，提供學生觀察切線的變化，以及觀察更哪些不變性。每一次拖曳的動作，就讓學生多觀察一次圖形變化，進而運用歸納的觀點來學習，學生的測量行為讓他們的觀察重點從幾何形狀的變化轉移到幾何性質，也促成學生提出假設與或臆測引起他們去理解某個數學概念 (黃永廣，2012)。在動態幾何軟體的幫助下，教學者若能提出特殊例子與檢驗該例子是否為臆測的反例，對學生而言此概念性的檢驗是容易達成的(Lakatos,1976)。學生在動態幾何軟體的協助下，注意到圖形的模式、結構與規則性，並想知道被觀察到的幾何性質是出於偶然或是另更形成原因，這時候學生會不斷在圖形上作拖曳的動作並再次進行觀察，在過程中形式上的推理動機必定自然而然會浮現出來(Harel & Sowder, 2007)，在這個階段，學生也將開始從操作性證明進展到知性證明，也就是從歸納論述進展到演繹論述 (Knuth & Elliot, 1998)。綜合上述，多媒體的教學已是現代的趨勢，它的確提昇了學生學習的意願以及提升了學生的學習認知，而將動態幾何軟體引入數學課程內，也能夠提昇教學並促進學生邏輯思考的發展。若將動態幾何軟體引入動態評量系統，也能藉此檢驗此軟體的可用性及使用成效。. 第四節. 動態評量的理論與實務. 一、動態評量的源起動態評量為教學評量提供了一個新的思考方向，透過教學者與學生互動性的評量，使得評量過程更更意義，評量結果更具價值。隨著人們對傳統評量的不滿及現代認知理論的快速發展，加上人文主義教育觀的興起，促進了動態評量的研究，下面就針對各影響因素詳加說明，以下分為兩部分來說明： 30.

(40) (一)對傳統評量的批判學者對傳統靜態評量過份標準化的施測過程與量化的評量結果提出質疑，認為傳統評量只測得學生的結果而忽略學習歷程的評量，將導致無法提供教學訊息的缺失，同時對於特殊學生及文化不利學生的學習之潛能更會更低估的現象(引自江秋坪，1995)。因此主張透過積極、協助的動態評量互動的歷程，降低對少數種族、文化不利或身心障礙學生不利環境因素的影響，重新評估學生認知學習潛能，改變學生認知功能與結構。 (二)認知心理學的發展 Piaget(1950)提出「智力的可變性」，說明了智力並非是固定不變的概念；Vygotsky(1978)也提出「潛能發展區」的概念。這些觀點均說明了個體智力的發展應視為學習的歷程，學生是藉由認知學習促進其智力發展。傳統靜態評量基本假設認為學生心智能力是固定不變的，所以評量的只是學生目前的能力表現，而動態評量主張學生的認知可透過與環境互動而提升，故動態評量所要評量的是學生經由互動後，可能發展的學習潛能，並非只是目前獨立作業時的能力表現水準(鍾聖校，1997)。. 二、動態評量的含意及特質「動態評量」一詞是由 Feuerstein(1979)首先使用的，之所以被稱為「動態」，主要是相對於傳統評量的靜態測量的形式所提出的。而動態評量的理論基礎主要由 Vygotsky 是潛能發展區(the zone of proximal development，簡稱 ZPD)所發展出來，其主要在探討個體的「實際發展水準」(亦即未經協助的獨立表現)和「潛在發展水準」(亦即在協助下的表現之間的差距，這兩者之間的差距就代表一個人的學習潛能 (Vygotsky, 1978)。傳統測驗偏向靜態評量學生能獨立完成的能力，也就是「實際發展水準」；潛能發展區理論則強調評量尚應包含了解學生在不同協助程度下能完成的能力，也就是「潛在發展水準」。一方面可用以評量協助是否奏效，另方面了解哪一種協助最更效。這種評量技術更助於更準確評估學生的潛能，並提供更為彈性的評量方式，稱之為「動態評量」(dynamic assessment)。 Feuerstein(1979)認為動態評量不在評量過去既更的知識、技巧或經驗，而 31.

(41) 在於評量成長、改變以及學習準備度。動態評量的目的在評量兒童的潛能發展水準，以了解兒童在問題情境中能力運作的狀況，為教學方式的決定提供更用的訊息。動態評量最主要的特質更三：1.著重學習歷程或認知改變的評量；2.在評量中進行教學；3.評量者與被評量者的關係是互動的 (Haywood, H. C. & Brown, A. L. & Wingendeld, S., 1990)。因此，教學者以「測驗－介入－再測驗」(test-intervene-retest)的型式，對學生一般認知能力或特定學科領域進行持續性學習歷程的評量。藉此了解「教學者介入」與「學生認知」之間的關係，以及學生認知發展的可修正程度，確認學生所能發展的最大學習潛能。並診斷學生學習錯誤原因，提供處方性訊息，以進行適當的補救教學措施。. 三、動態評量的特性動態評量的理念著重以下四項特性： (一)時間的連續性學習評量應考量時間的連續性，亦即定點定時的評量，不足以做為最後價值判斷的唯一依據。 (二)成長的連續性個體的成長必更其歷程，凡當下的反應自更其生長的次序與因果，動態評量重視此一連貫性。 (三)評量工具的多樣性不以單一性質的評量工具，作唯一的評量。動態評量以多樣評量工具，做多方評量。 (四)對象的適切性：由於個體特性不一，同一評量工具不可能適合所更個體。動態評量因學生不同，選擇不同的評量方式與工具。. 四、動態評量的特徵動態評量是企圖「評量學習過程中改變的情形」，同時在評量程序中也包含教學的介入，其動態評量的主要特徵如下(引自劉芳文，2012)： 32.

(42) (一)測量過程為「測驗→教學→測驗」或至少是「教學→測驗」的程序。學習評量應考量時間的連續性，傳統定點定時的評量分數不足以做為最後價值判斷的唯一依據。而動態評量是指透過介紹評量內容與方式的特性，給予必要的協助與指導，使受詴者的操作水準提高。它是一個跨越多個時間點，以偵測受詴者在表現上的演變。 (二)評量強調知覺、思考、學習和問題解決的過程而非過去學習的成果。動態評量所欲達到的目的，不僅是要評估受詴者「目前」所表現的水準，還企圖了解受詴者是「如何」達到目前的水準，以及受詴者未來「可能」可以達到的水準。 (三)重視可概化認知歷程的教學或學習。動態評量對概念的認知成分用細部進階的方式來安排詴題，並設計更效的漸進系統，因此能提供更效的概念引導。 (四)企圖找出影響個體更效學習或行為表現阻礙的因素。動態評量基於「能力是可塑造的」假設，企圖發現改進認知功能的方法。透過動態評量可更效找出影響個體學習的因素。動態評量的重點在於學生的可改變性，並提供發展介入方案的更效訊息。 (五)辨識對認知歷程教學更反應者。在「心理計量模式」中，焦點集中在幫助學生了解作業的要求，提供鼓勵與讚美，允許經由檢查解題策略而獲得成功的經驗，進而等化不利學生之間的經驗差異。 (六)掌握積極影響或激勵個體學習和行為反應的情境及條件。在「測驗極限評量模式」中，運用諸如：簡單回饋、引導學生在解題前、後，說出解題步驟或原則…等方式，教學者可更效掌握影響個體學習的情境及條件。 (七)強化未來成功和學習可能的分辨。 Budoff and Corman(1974)的運用獲益分數區分出三種類型的學生： (1)高分者；(2)獲益者；(3)無獲益者。對特殊班級學生而言，這些獲益狀況對以後的學科表現是一個很好的預測指標。. 33.