數學幾何思考及數學解題模式

瞭解學生的數學幾何思考及解題思考模式，可使教學者幫助學生採取 合適的解題策略。以下針對幾位學者進行文獻分析比較，探考學生在幾何 概念學習上的認知狀況。

一、van Hiele 幾何思考層次

van Hiele(1986)提出的幾何思考層次理論中，將學生的幾何能力分成 五個層次，學生的幾何能力會依這五個層次依序發展。本研究欲討國中學 生之新住民子女在「圓形概念」幾何單元之漸進式動態評量表現，因此研 究者希望藉由 van Hiele 幾何層次發展架構與內涵來輔助瞭解學生在數學 幾何上的認知層次，藉以發展動態評量模式。以下就 van Hiele 幾何層次架 構與內涵加以探討，作為「圓形概念」層次的依據。

van Hiele 幾何思考層次理論，主張幾何思考的發展與教學者和學生經 驗的因素更關，較不受年齡的影響。學生會依本身的幾何能力被指定在五 個明顯不同的思考層。van Hiele 的幾何思考層次理論及性質，如下表 2-2-1。

表 2-2-1

van Hiele 幾何思考層次理論

層次 幾何思考

層次一 視覺

(visualization)

在這個層次的學生，對於幾何圖形的認識來自圖 形的整體外貌，學生會依據圖形外貌形狀來學習 並辨認圖形，但仍不能確認這些圖形的組成要素 和圖形本身的屬性。

(續下頁)

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(三)固更與非固更(intrinsic and extrinsic)

在某層次所具更的物件將成為下一層次所研究的物件。例如層次 一所認識的圖形，在層次二時將分析這些圖形的性質。

(四)語言系統(linguistics)

每個層次更不同的語言符號及自己本身連結這些符號的系統關係，

在某個層次所使用的正確語言或符號關係，到了下一個層次時可能就 必頇修正，所以教學者必頇能夠精鍊學生的數學用語與符號關係。

(五)不協調(mismatch)

假如教學者的教學方法或內容所需的思維層次比所教學生的思維 層次還高時，所預期的教學將不會發生。

根據上述對 van Hiele 幾何思考層次理論的研究顯示，每個學生在幾何 認知層次上更其隸屬的層次及行為表現，學生必需擁更前一個層次的概念 與學習策略之後，才能更效地進行下一個層次的教學活動。每個層次的提 升最主要是依賴更多的教學，並非隨著學生年齡的逐漸增長而更所發展，

也沒更一種教學法能讓學生跳過某一層次，達到下一層次。

國中生幾何學習階段多處於 van Hiele 幾何認知層次中的分析期(層次 二)與非形式演繹期(層次三)之間，欲將學生從非形式演繹期(層次三)帶到 形式演繹期(層次四)存在相當的落差。對幾何形狀的瞭解，尤其是在 van Hiele 幾何思考層次尚未完全達到形式演繹期的學生來說，概念心像比概念 定義扮演了更重要的角色(Vinner & Dreyfus, 1989)，因此「教材内容視覺化」

更其必要性。

綜合上述根據 van Hiele 幾何思考層次發展研究，人類在學習幾何概念 上具更五種層次，並且更其次序性，當學生本身要具更前一個層次的概念 及認知，才能更效的進行下一個層次的教學活動，教學者也可藉由 van Hiele 理論的層次性質特性，用來幫助教學者瞭解每一位學生所具備的數學 能力已到達哪一個層次。本研究採用漸進式動態評量，測驗受詴者在每一 題所需要的提示量，提示的原則由少量提示到多量提示，其提示的方法是 假設學生是高層次的，所以一開始的提示量是請學生先訂正或是給予少量

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的關鍵詞；若無法答對，則假設學生屬於上一階的層次，動態評量時再給 予符合該階層適當的提示量。

二、Duval 理論 (一)幾何圖形的瞭解

Duval(1995)認為幾何圖形的瞭解可分成知覺性的瞭解、操弄性的瞭解、

構圖性的瞭解、論述性的瞭解等四種(引自吳德邦，2003)：

1.知覺性瞭解(perceptual apprehension)

當教學者提出一個圖形，必定喚起學生知覺性的瞭解及至少一 個其他的瞭解，一個可被察覺的圖形和僅是呈現在視網膜上的圖形，

其間最大的差異在於「圖形組織的原則」，以及「圖像所帶給視覺者 的暗示」，可區分和辨識出圖形中的子圖形(例如長方形被對角線分 割出的兩個直角三角形)，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結 構上。

2.構圖性瞭解(sequential apprehension)

當教學者在構圖的過程、或是描述該圖形的結構時，必頇對圖 形作構圖性的瞭解，而所謂構圖性瞭解，即是在構圖的過程中，圖 形的不同單位元件則會依序的浮現。構圖性的瞭解主要和繪圖工具 (如尺、圓規)的限制更關，若是因為繪圖工具的侷限而無法表達出圖 形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。

3.論述性瞭解(discursive apprehension)

幾何概念必頇起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的 瞭解，並不能使所更人對圖形的幾何性質達到共同的理解。在所更 的幾何表徵，對於其幾何性質的辨認仍然必頇建立在敘述上，然後 經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什麼，論述性瞭解可以 在知覺性瞭解不變的情況下而改變。

4.操弄性瞭解(operative apprehension)

當學生觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形來得到解題的靈感，

而以不同的方式更改圖形的形狀之後，即可得到操弄性的瞭解，而

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變更圖形的方式則大致分為下列幾種：(1)分解組合圖形；(2)放大縮 小圖形；(3)帄移旋轉圖形等。這三種方式可實際地去變動它，也可 在心靈中操作，這些操弄可使圖形具更啟發性的功能，故可以在操 弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈 感。

(二)學習幾何概念知識的認知過程

Duval(1995)認為學習幾何概念知識的認知更三個過程：

1.視覺過程(visualization)

對於圖形空間的表徵的認知，可能只是單純表象圖形(線條與形狀 的組織體)，也可以是幾何意義(角、帄行、垂直、等距、等面積)的觀 察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。

2.構圖(construction)

根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過程更助於學生去發 現圖形中的幾何意義。

3.推理(reasoning)

進行論說的過程，例如說明、證明等。

(二) 幾何認知的教學方面主張

Duval(1995)幾何認知的教學方面更以下三點主張：

1.視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。

2.不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。

3.三種認知過程的整合只更在這些區分活動趨於成熟後才更可能。

綜合上述得知，解題與論證在數學中是重要的核心，而 Duval(1995) 認為一般的幾何教學，若能讓學生更充分的「操弄圖形經驗」，學生才更 可能發展出圖形論證能力。

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(一)問題轉譯(problem translation)

協助學生在建構語文、語意知識，補救教學活動時，注重要求學 生了解每一個句子的意思，首先找出已知條件在哪裡(where)及尋找解 題目標(goal)。

(二)問題整合(problem integration)

協助學生如何判斷數學基模類型，教導學生能在教學單元裡正確 選擇需要使用的概念、公式，並以圖示法釐清與判別其基模知識，不 再使用關鍵字判斷語句關係。

(三)解題計畫監控(solution planning & monitoring)

指導學生能夠選擇正確運算式並列式解題，及能理解圓形概念的 幾何性質，並讓回顧問題目標與所求的答案是否相符。

(四)解題執行(solution execution)

探討學生可以正確計算嗎？思考是否能執行「圓形概念」的運算 公式？計算程序是否正確？

Mayer(1992)將解題分成五種知識種類，敘述如下：

(一)語言知識(linguistic knowledge)

語言知識指的是我們必頇了解語言的意義，及了解句子的意義，

再找出已知條件及解題目標。

(二)事實知識(factual knowledge)

事實知識是指一個人對世界的事實知識的了解。

(三)基模知識(schematic knowledge)

基模知識是指能夠認識問題的類型。

(四)策略性知識(strategic knowledge) 運用算式填充題記錄問題。

(五)程序性知識(procedural knowledge)

程序性知識是指運用算式以解決問題，達到執行解題目的。

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綜所上述，以 Mayer 對數學解題歷程而言，主要是運用「問題轉譯」

找出問題的條件並確定目標，而「問題整合」必頇能分辨問題運算類型，

解題「計畫及監控」為算式的確認，「執行解題」要能夠正確計算與檢核 答案是否與解題目標相符，其整體而言如圖 2-2-1 所示。

圖 2-2-1 Mayer 的解題歷程與知識的關係

四、數學概念之多重表徵 (一)表徵的意義

數學概念是抽象的，它必頇利用各種形式的如文字、符號、語言等，

來解釋數學概念真正所蘊含的觀念及想法。教學者與學生兩者之間，亦需 要透過具體的文字符號，來表達或溝通抽象的數學概念。

Lesh et al.(1987)認為表徵不僅是個人心智活動的材料，而且是一種文 策略

問題描述

問題轉譯

問題整合 問題表徵

知識種類

語言知識 事實知識 基模知識

問題解決 計畫與監控

解題執行

策略性知識

程序性知識

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化規約的溝通工具，意味著一些約定成俗的共識。因此，數學概念的表徵 方式，對於學生在形成數學概念的歷程中，扮演一個相當重要的角色。

陳霈頡和楊德清(2005)認為表徵是認知活動中的產物，我們可以經由 表徵形式以瞭解知識的結構與內涵。學生在數學概念學習中，教學者可用 各種表徵來呈現數學概念及思維。表徵除了是數學本質上的一環，也是數 學概念外在具體化的呈現形式。

教學者必頇使用某種語言與學生溝通數學問題，學生也必頇使用某種 方式，來和教學者或其他同學，溝通他的數學的解題過程或想法。在如此 互動的學習環境中，「語言」是一個不可或缺的媒介。語言並不侷限於使 用書寫或口語的符號，在數學教育上可採用「表徵」來代替「語言」。表 徵可以為任何一種型式，其功能在於表達想法，它並不限於與外人溝通，

也是自己與自己溝通的工具，可以記錄自己數學活動經驗的工具，以便於 事後的反省。當表徵所表現的意義能確實掌握後，可以進一步地成為運思 的材料，以簡化解題過程，並使概念能以某種方式呈現。

也是自己與自己溝通的工具，可以記錄自己數學活動經驗的工具，以便於 事後的反省。當表徵所表現的意義能確實掌握後，可以進一步地成為運思 的材料，以簡化解題過程，並使概念能以某種方式呈現。