地下水量即時管理模式問題定義

地下水量即時管理模式是以考慮抽水及監測之總成本最小為目標函數，而總 成本則包括抽水與監測之設井成本與操作成本，且考慮利率影響下之總成本現 值。抽水井及監測井為以容量擴張方式逐步設井，因此其規劃上需求得不同階段 之最佳設井位置及井數，本研究且進一步考量在操作過程中每個時刻即時隨新的 資訊，對後續階段之設井位置及井數(即原先已規劃但尚未設置之抽水井及監測 井)進行即時調整。

前述地下水量即時管理模式之限制條件，可分為等號及不等號二類限制式，

其中等號限制式包含: 地下水系統轉換函數及監測式程式;而不等號限制式包含:

地下水位下限、滿足需水量與各抽水井能力上、下限。由於所解問題包含監測方 程式，因此可經由監測資訊可對地下水模擬模式進行更新。而考量地下水位下限 之目的是希望抽水所引致之水位下降不致危害環境生態，而抽水能力則是滿足一 般工程對抽水井之要求。

另本研究將以地下水位之機率型限制式考量地下水模擬模式之不確定性，整 個問題之數學表示式如下所示:

目標函數

{ } (Wells installing interval)可分為 個時刻，容量擴張間距與時刻之 示意如圖 2.1-1 所示。

: 為在

P

i

i

n

P

j

j 點設監測井之容量擴張設階段

R : 每個時刻利率值

O

t 監測矩陣(Measurement ma

x : 監測參數真值

t

: 水位限制條件之可靠度(Reliability level)

d : 時刻 t 之用水需

t

u

m_in : 每一口抽水

u

max 每一口抽水

h

m_in : 水位下限

圖 2.1-1 容量擴張設井間距與時刻示意圖

目標函數如式(2.1-1)所示，為考率利率下之總成本現值最小，可分為二大部 份，第一部份為抽水之設井成本及操作成本，第二部份為監測之設井成本及操作 成本。由於本研究考量地下水水系統不確定性，使得為水位 為隨機變數。因 所考量之目標函數

(

h )

_t 包含了抽水揚程計算(

2

1 t

i

h

t

h

L

− ⁻ + )，使得原

i i

目標函數(Z)亦為

一隨機變數，惟隨機變數本身無法直接優選， 。本

研究為同時降低原總成本 之期望值及 本身之不確定性 標準偏差 ，乃以最小 一般最常見的為優選其期望值

(Z) Z ( )

化

Z (

_α 總成本

Z 於累積機率為α 時之值)為目標，由圖 2.1-2 所示，減小 Z 之值可

有兩種方式；一為減小其平均值，另一為減小標準偏差使機率分佈更中。

α

) (Z f

) (Z

f Z

≤ = α

[ ] Z Z

E Z

α

α

) (

Pr ob Z Z

圖 2.1-2 目標函數 定義示意圖

而由式(2.1-1)~式(2.1-6)所組成之序率優選問題之決策變數包含了: 抽水與 監測之容量擴張設井方案(包含不同階段之設井位置及井數)，以及各抽水井之時

(

Z )

_α

變抽水量。亦即式(2.1-1)容量擴張下之抽水井設置方案( I )及監測井設置方案 中，每個設置方案代表了一種隨階段擴增之井網設計，而每個井網設計包含各階 段之設井位置及井數。

式(2.1-2)為地下水系統轉換函數，其中系統噪音 代表地下水模式之不確 定性。換言之，就是系統方程式之誤差項，當一地下水模式模擬真實情況時，必 有其假設之簡化條件及輸入參數之誤差，而會造成模式上之誤差，此乃不確定性 之來源之一。本研究中目前假設地下水模式之誤差主要乃由透水係數

(

J

)

(

w )

_t

(

K 值)之推

估誤差所造成。

式(2.1-3)為監測方程式，監測矩陣 代表各時刻之監測位置， 為監測位 置之監測資訊，於地下水量問題中 可為水位或水文地質參數之監測值， 為

監測參數之真值， 為 均為零且 互獨 之

白噪音

(

O )

_t

y

t

相

y

t

x

t

t 立

v

監測誤差，並假設

w

_t及

v 為期望值

_t

(White noise)。式(2.1-4)為每一個時刻之需水量限制，式(2.1-5)為抽水井 抽水能力限制條件，式(2.1-6)為地下水位之機率型限制條件，其概念如圖 2.1-3 所示。

] [ h

_t

E h

min

π

=

≥ ] [ h h

_min

prob

_t

)

( h

_t

f

h

t

) ( h

_t

f h

t

π

− 1

0 ) (z f

π z

− 1

) 1

1

( − π F

−

( :標準常態隨機變數，平均值為 0，標準偏差為 1)

z

圖 2.1-3 水位之機率型限制條件示意圖

式(2.1-6)為水位之機率型限制條件若假設其機率分佈為常態分佈( Normal distribution )，則式(2.1-6)可表示為[Wagner and Gorelick, 1987]:

[ ] [ ] [ ]

[ ] { } [ ]

言，優選模式則將在監測資訊價值與監測成本間取得最佳平衡[Wagner, 1999]。

[ ]

^Z Z

Z

[ ] Z E )

(Z f

{ }

⁽ [ ] [ ]

^{1 2}

⁾

1

sd Z sd Z

F ⋅ −

Δ

⁻

α )

2

( Z f

)

1

( Z f

2

Z

α

Z

_α¹

圖 2.1-4(b) 降低標準偏差以減少目標函數(

Z )示意圖

_α

雖然目標函數及水位限制式皆已表達為對應之定率型式，惟於式(2.1-2)及

(2.1-3)之中尚 此 步處理才能

進行優選。

能整合系統方程式(式 2.1-2)及監測方程式(式 2.1-3)，得出 經由監測值更新後之水位及誤差。因此，本研究將以卡門濾波對狀態變數 之 期望值進行最佳推估，亦即以卡門濾波表達式(2.1-2)及(2.1-3)之定率型式，說明 如下:

包含隨機變數(Random variable)

w 與

_t

v ，因

_t 仍需進一

式(2.1-2)及(2.1-3)恰為一般序率系統中之系統方程式與觀測方程式，而卡門 濾波[Eigbe et al., 1998]

(

h )

_t

[ ] h

_t KF(E

[ ] h

_{t 1},

u

_tⁱ,

t

,

I

,

y

_t,

O

_t,

Q

_t,

R

_t)

E

= ₋ ,

t

=1,2,...,

N

(2.1-12)

其中:

KF : 卡門濾波對狀態變數 之 望值進行最佳 : 系統噪音共變異矩陣

: 監測誤差共變異矩陣

重 示如下:

(

h )

_t 期 推估

Q

t

R

t

整式(2.1-1)~式(2.1-6)之問題，表

目標函數

1.參數推估及系統狀態更新

max

本研究以嵌入法(Embedding method) [Gorelick,1983]，由 MODFLOW 2000 計算水位與其敏感度矩陣(Sensitivity matrix)，並以克利金法推估監測井網對應之 參數推估誤差，再由一階二矩法( 計算地下水模式不確定性，配合卡門濾

量需滿足之需水量(式 2.1-22)與各抽水井抽水量上下限(式 2.1-23)，則於退火演算 法中考量。式(2.1-24)代表之水位機率型限制條件，則採用懲罰函數方法(Penalty function method)，乘上一個懲罰因子(Penalty factor)，合併於目標函數中考量。

式(2.1-25)之

sd h

_t ，則由卡門濾波計算得出。

經由上述規劃問題定義及解題構想說明，式(2.1-20)~式(2.1-24)為一定率化可 解之優選問題，下一節將就此規劃模式之解題演算流程及使用工具詳細說明。

3 以規劃之抽水策略及監測策略進行操作

[ ]

+1 k

再以優選抽水策略進行抽水井設置及抽水( u )，並依規劃之監測策略，於 監測位置( O )設置監測井，對抽水後之真實水位(

h

)進行監測，得到時刻

+1 k

+1 k

+ 1

= k

t

之監測值(

y

_k+1)。

各時刻經由上述更新、規劃及操作及之三個程序，即可完整求解式(2.1-13)~

式(2.1-17)所組成之即時管理模式優選問題。

規劃模式

參數推估 與系統狀態更新

] [ht E

] [ht sd

地下水真實系統

w

t

+ 1

= t t

O

t

u

t

y

t 地下水

模擬模式

抽水策略 水井位、抽水量) (抽

監測策略 (監測井網)

圖 2.1-5 地下水量即時管理模式架構示意圖

在文檔中 結合抽水與監測容量擴張之地下水量即時管理模式 (頁 27-40)