文獻回顧

地下水管理問題往往以最低成本考量，滿足如地下水量供水或污染整治之目 的，而為了最佳化管理，前人研究運用各種優選工具解題，所考量成本從只有動 態抽水操作成本，進而至抽水井設置成本，問題也由動態規劃延伸至整數規劃與 動態規劃之混合。但完備之地下水管理除了規劃設計抽水策略，也應把監測納入 考量，且應考慮即時操作過程之系統更新問題。本節之文獻回顧探討，將著重於 問題成本考量、抽水與監測之整合規劃、容量擴張概念於水資源應用與地下水參 數推估及更新等相關研究，其中包含各種優選工具於地下水管理之應用。

1.地下水管理

在地下水管理規劃問題裡，有許多學者採用不同規劃方法解決問題，如線性 規劃(Linear Programming, LP) [Aquado and Remson, 1974; Molz and Bell, 1977]、

非線性規劃(Nonlinear Programming, NLP) [Murtagh and Saunders, 1982; Ahlfeld et al., 1988a,b]、混合整數規劃[Rosenwald and Green, 1974]、退火演算法(Simulation Annealing, SA) [Dougherty and Marryott, 1991; Kuo et al., 1992; Marryott et al., 1993]、遺傳演算法(Genetic Algorithm, GA) [Mckinney and Lin, 1995; Wang and Zheng, 1998]、微分動態規劃 (Differential Dynamic Programming, DDP) [Jones et al., 1987]、整合遺傳演算法及限制型微分動態規劃 (Hybrid algorithm: Genetic Algorithm and Constrained Differential Dynamic Programming (CDDP)) [Hsiao and Chang, 2002; Chang and Hsiao, 2002; Hsiao and Chang, 2005; Chang et al., 2007]。在這些方法之中，微分動態規劃的方法可大幅減少地下水非線性動態問 題之維度 [Jones et al., 1987]，且在地下水整治方面對於非穩態問題，微分動態規 劃可大幅降低計算量 [Chang et al., 1992; Culver and Shoemaker, 1992]。

退火演算法又可稱為模擬退火演算法，屬於最常見啟發式演算法之一，最早 是S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt與M. P. Vecchi等人在 1983 年所發明[Kirkpatrick et al., 1983]。「退火」是屬於冶金學中的專有名詞，是將金屬材料加熱後經由特定速率 冷卻，可以增大晶粒的體積，並且減少晶格中的缺陷，透過緩慢退火與淬火過程，

將可獲得其最低能量狀態，數學家則利用前述之退火與淬火之物理現象，發展出 退火演算法。Dougherty and Marryott [1991]將SA應用於地下水管理問題之離散抽

水率優選，其研究結果指出SA 應用於最佳化問題的確較傳統的梯度式搜尋法有 較優的搜尋能力。Dougherty and Marryott [1993]將上述的研究結合地下水數值模 式，應用於真實的地下水污染整治案例。Kuo et al.[1992]於地下水污染整治問題 中，應用SA優選抽取-處理(Pump-and-Treat)最佳策略。Rizzo and Dougherty [1996]

應用SA於求解之地下水污染整治問題上，其問題目標考量了:抽水井與灌水井之 設置與操作成本、管線與污水處理廠成本，並以處罰函數來處理整治水質濃度限 制 。 Skaggs et al. [2001] 將 SA 整 合 記 憶 與 方 向 搜 尋 (Memory and directional search)，應用於地下水污染整治問題。Rao et al. [2004] 以SA為優選工具，配合 類神經(Artificial Neural Networks, ANN)取代地下水流模式以節省計算時間，求解 實際之地表地下聯合營運問題。Ricciardi et al. [2009] 將SA整合Downhill simplex 方法，應用於地下水污染整治問題上。

遺傳演算法自 1970 年發展至今已經成為一種能力很強的優選方法，由於遺 傳演算法為一強健(Robustic)的演算法，它能有效率的搜尋問題的整個解空間，

大幅提高收斂至整體最佳值(Global optimum)的機會，並已廣泛地應用在各領 域。應用 GA 於地下水管理方面有 Rogers and Dowla [1994]利用 GA 結合類神經 (Artificial Neural Networks, ANN)方式應用在地下水污染整治的問題上，以求出最 佳抽水井數與井位，但其抽水井的抽水量僅為穩態; McKinney and Lin [1994]應用 GA 於地下水之管理營運，並考慮三種型態之目標函數，分別為：含水層之最大 抽水量、滿足供水最小成本與污染整治最經濟成本。Ritzel et al. [1994]應用 GA 考慮多目標之地下水污染整治問題，其目標函數考量如何使模式偵測到系統污染 質之可靠度(System reliability)最大與如何使系統所需之成本最小，求得最佳之設 井 位 置 、 設 井 數 與 抽 灌 水 量 。 Mckinney and Lin [1995] 應 用 GA 及 MINLP(Mixed-integer nonlinear programming)求解包含設井成本及操作成本的水 量管理問題，但其地下水模擬亦僅為穩態; Huang and Mayer (1997)採用 GA 來搜 尋在動態地下水污染整治中的最佳抽水率及設井位置。Wang and Zheng [1998]應 用 GA 和 SA，並結合 MODFLOW 模式處理包括營運和固定成本的問題，惟其 模式並未妥善的處理動態問題，其操作時段最大僅為四個時期，對於操作時段較 多的動態地下水管理問題，其計算量將大為增加。Zheng and Wang [1999]結合搜

尋的方法和線性規劃計算地下水整治的最佳成本，惟其亦僅模擬穩態地下水流。

Shieh and Peralta [2005] 整合 GA 及 SA，應用於地下水污染場址之生物整治系統 規劃。

Hsiao and Chang [2002]整合遺傳演算法及限制型微分動態規劃，完整考量包 括固定成本及操作成本的系統總成本，由於微分動態規劃考慮設井成本有其先天 之限制，而簡單遺傳演算法本身即採用 0-1 編碼方式來獲得問題之解答，其本身 之解題空間即為離散型態，故可容易的算出地下水營運管理之設井成本。

前述之地下水量營運管理問題，大部分研究注重於考慮抽水策略之固定成本 與操作成本最少及洩降量最小等問題上，但完整之地下水管理不只需要合適的抽 水策略，應也要納入監測策略，且二者應同時整合考量，才能達到節省成本之目 的。

2.同時考量地下水抽水及監測之研究

以 往 亦 有 相 關 研 究 建 議 地 下 水 管 理 抽 水 策 略 及 監 測 策 略 應 整 合 規 劃 [Mclaughlin and Wood, 1988; Graham and Mclaughlin, 1989; Andricevic and Kitanidis, 1990 ]。惟實作上同時考量抽水策略及監測策略研究並不多，若欲兩者 同時考量，如何在給定之監測策略下求得最佳抽水策略為其中關鍵，而此部份有 採用 Dual control 優選動態抽水量 [Andricevic, 1990; Andricevic, 1993]，及利用機 率型限制式(Chance constraint)建構抽水量優選模式[Wagner, 1999]兩種方法。

Dual control 概念在 1960 年代首先由 Feldbaum [1960,1961]提出，其主要概 念為，控制一個考量不確定性因素之系統時，不只是依目標函數要求來進行控 制，同時亦考量如何經由控制對系統之刺激，以改進系統參數推估[Filatov and Unbehauen, 2004]。Andricevic and Kitanidis [1990]參考 Tse et al. [1973]之 dual control 推導，考量水文地質參數不確定性，進行地下水污染整治之最佳即時操 作，優選時變抽水量。Andricevic [1990]延續上述之研究，其基本理念為在給定 監測井網下，經由 dual control 優選出各監測井網相對應之動態抽水量及抽水成 本，Andricevic [1990]之研究並以試誤法從 30 組給定之監測井網中，決定整體較 佳之監測井網及抽水量。Andricevic [1993]更進一步在地下水水量之即時操作問

題中，在給定之抽水井網下，以時序之方式於每時刻遞增一口監測井並逐時刻優 選各自對應之抽水型態，此研究抽水井網並未優選且監測井網及抽水型態亦可能 是局部最佳解。上述 Andricevic 及 Kitanidis 之研究，雖然發展出在給定監測策 略之情形下以 dual control 優選動態抽水量之方法，但因未再搭配其它優選工具 進行抽水井網與監測井網優選，因此，嚴格而言並沒有對抽水井網及監測井網同 時進行優選。

Wagner [1999]以監測井網優先設計，配合監測井網及整治抽水量之疊代優選 計算，在給定之抽水井網下，進行穩態抽水量與監測井網之優選。在其研究問題 中，水質推估誤差(model prediction uncertainty) 為監測井網優選模式之目標函 數，其並為抽水整治優選模式中機率型限制式中項目之一，藉以將監測井網對最 佳整治水量之影響反映至抽水整治優選模式中。整體疊代優選過程為在給定不同 監測成本條件下，反覆地分別運用抽水整治優選模式及監測井網優選模式，得出 在不同之監測成本下之最佳抽水量及監測井網，最後再決定出抽水操作成本與監 測井網成本總合最小之方案。Wagner [1999]研究中，雖有進行穩態抽水量量及監 測井網之優選，但仍未考慮抽水井網之最佳化。且雖經由水質推估誤差(model prediction uncertainty)連結污染整治抽水優選模式及監測井網優選模式二者，惟 其每次疊代計算僅只單向的考量監測井網對最佳抽水量的影響，而最佳抽水量對 監測井網之影響並未回饋至監測井網優選中。

由以上之研究發現，即使有同時考量抽水及監測之整合規劃，但限於其問題 建構方式或優選工具之限制，對抽水策略及監測策略之考量仍不夠完善，尤其在 抽水系統之考量往往只是在給定抽水井網條件下 (即抽水井位、井數量固定)優 選最佳抽水量。為了能完整考量抽水策略及監測策略之總成本，本研究將同時考 量抽水及監測之井網設計，在即時操作過程中，配合監測資訊之更新，即時的更 新最佳時變抽水量，並以容量擴張的觀念，在給定的期距重新調整設計監測井網 及抽水井網。因此系統逐步擴張容量之設計理念亦為其中重要之ㄧ環，以下將對 容量擴張應用於水資源管理之相關研究作介紹。

3.考量容量擴張之水資源管理相關研究

系統之容量擴張，乃是隨著時間增加應如何擴充系統容量之棑程問題。系統

容量擴張問題之決策變數包含不連續變數，造成問題不易求解，但真實世界之系 統容量規劃設計卻往往需面對容量擴張之問題。(但系統容量隨著時間而擴張之 方式，卻又是實際上所需面對之問題。)由於對水資源需求量隨著人口及時間增 加而遞增，所以水資源系統容量擴張問題日益顯示出其重要性[ Basagaoglu and Yazicigil, 1994; Watkins and McKinney, 1998; Voivontas et al., 2003; Mahmoud, 2006]。

有 關 於 地 表 水 資 源 管 理 容 量 擴 張 之 研 究 有 Voivontas et al. [2003] 及 Mahmoud [2006]。Voivontas et al. [2003]建立整體水資源容量擴張模式，在其研究 問題中考量地表地下聯合營運，並包含了抽水井群、水庫及海淡廠之容量擴張。

Mahmoud [2006]整合 Objective Space Dynamic Programming (OSDP) 及混合整數 規劃(Mixed Integer Programming) 對海淡廠之容量擴張問題進行最佳化。不過，

上述二者之研究不是忽略地下水系統，就是以忽略地下水位空間變化之地下水庫 來簡化地下水系統。

對地下水容量擴張問題而言，其決策變數包含井網設計及擴張階段，也就是

對地下水容量擴張問題而言，其決策變數包含井網設計及擴張階段，也就是