結合抽水與監測容量擴張之地下水量即時管理模式

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 研 究 所

博 士 論 文

結合抽水與監測容量擴張之地下水量即時管理模式

Coupled pumping and monitoring designs for real-time groundwater

supply management considering system capacity expansion

研 究 生：葉明生

指導教授：張良正博士

結合抽水與監測容量擴張之地下水量即時管理模式

Coupled pumping and monitoring designs for real-time groundwater

supply management considering system capacity expansion

研 究 生：葉明生 Student ：Ming Sheng Yeh

指導教授：張良正 Advisor：Liang Cheng Chang

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 研 究 所

博 士 論 文

A Dissertation

Submitted to Institute of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Doctor of Philosophy

in

Civil Engineering

July, 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

結合抽水與監測容量擴張之地下水量即時管理模式

研 究 生： 葉 明 生 指 導 教 授 ： 張 良 正 國 立 交 通 大 學 土 木 工 程 研 究 所

摘 要

地下水系統的描述或數值模式，因各種簡化假設與水文地質參數而有不確定 性存在。雖然愈準確之地下水系統描述，可以設計出更有效率之抽水策略，但仍 需進一步評估監測資訊對於規劃抽水策略之助益是否合乎經濟成本。因此完備之 地下水管理應同時考量抽水策略與監測策略之規劃設計，且應以容量擴張分階段 設井型態，使得在即時操作過程中，經由監測資訊對系統狀態更新後，可再調整 抽水與監測井網。雖然以往之地下水管理研究中亦有同時考量抽水量及監測井 網，但並未考量抽水井網之最佳化，更無抽水井網與監測井網即時調整之相關研 究。本研究目的為建立一地下水量即時管理模式，可隨系統之操作對抽水策略(抽 水井網及抽水量)及監測策略(監測井網) 即時進行重新規劃調整，即時優選容量 擴張型態之抽水策略及監測策略。 本研究整合遺傳演算法與退火演算法，優選容量擴張型態之井網及離散化時 變抽水量，並以卡門濾波進行即時更新及水位誤差推估。利用遺傳演算法本身隱 平行之特性，以分配染色體為計算量切割，在平行電腦大量計算資源下，克服所 需大量計算。最後以一拘限含水層為簡例，驗證所發展之模式可應用於地下水量 管理問題上。由數值結果顯示，經由考量抽水與監測相互影響機制所設置之監測 井網，雖然佔總成本之比例並不高，但在地下水模擬模式經由監測資訊更新後， 再重新調整井網，可有效降低總成本。

Coupled pumping and monitoring designs for real-time groundwater

supply management considering system capacity expansion

Student ：Ming Sheng Yeh Advisor ：Liang Cheng Chang

Institute of Civil Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

The uncertainty of simulation modeling is resulted from the simplified assumptions of reality and uncertainty of parameter estimation. With more information regarding aquifer characterization, the devised pumping strategy will be more cost-effective. The pumping and the monitoring strategies must be designed simultaneously, so that the trade-off between the cost of monitoring strategy and the value of information, i.e. pumping cost saving, could be appraised. For the flexibility of adjusting the well networks after updating the groundwater system, the well networks should be with capacity that expands with time.

In this study, a real-time management model for jointly optimizing the pumping and monitoring stratgies of groundwater supply problem considering the system capacity expansion is presented. The proposed approcah hybridizes a Genetic algorithm (GA) and Simulation annealing (SA). The chromosomes of the GA represent a possible design alternative, a pumping and monitoring network with capacity that expands with time. The SA is then used to compute the optimal pumping policy associated with the chromosome. The information obtained through monitoring network is used to update the hydraulic head and which covariance matrix with Kalman filtering. The hybrid algorithm can be effectively parrallelized by the implicit parallel characteristic of GA. This study implements the parallel computation to

overcome the increasing computational requirements due to the complexity of the problem as well as using GA and SA. A hypothetical confined aquifer is included to demonstrate the proposed apparoch and to illustrate the interaction between pumping and monitoring strategies. Results show that the ratio of monitoring cost to total cost is relatively small. Through integrating the pumping and monitoring designs and redesign the well networks with time, the monitoring strategy could significantly reduce the pumping cost.

誌 謝

感謝吾師張良正教授對於本論文的細心指導及求學階段中對學生的待人處 事與學問研究的啟發，使得學生受益匪淺。承蒙口試委員台灣大學生物環境系統 工程學系劉振宇教授、林裕彬教授、台灣大學土木工程學系徐年盛教授、成功大 學資源工程學系徐國錦教授、交通大學環境工程研究所葉弘德教授、交通大學土 木工程學系單信瑜教授細心認真審閱，並於口試期間提出相當寶貴的意見，使本 文更加完備，在此謹致衷心謝意，並感謝國家高速網路與計算中心提供軟硬體資 源，使本研究得以順利進行。 此篇論文之研究方向，是起源自已工作時接觸地下水監測井網規劃與設計， 而當初研究室之研究方向著重於地下水抽水供水及污染整治規劃，因此才有將抽 水與監測整合優選之想法。看似單純之整合，卻發現抽水策略與監測策略之間有 著複雜相互影響關係，因此相對需要整合不同之理論與解題工具，加上需處理大 量計算量，而步上平行運算之途，一路走來，需要感謝的人太多，衷心感謝研究 室多年來所有成員的陪伴及鼎力相助，才能完成此篇論文。 最後要感謝我的家人，因為有你們的全力支持，我才能順利取得博士學位， 僅將此論文獻給我的妻子、岳母及母親。

目錄

頁 次 中文摘要... I 英文摘要...II 誌謝... IV 目錄...V 表目錄...VII 圖目錄...VIII 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機與目的... 1 1.2 文獻回顧... 3 1.3 問題結構與解決方式... 10 1.4 數學符號定義... 13 第二章 地下水量即時管理模式發展... 16 2.1 地下水量即時管理模式問題定義... 16 2.2 地下水量規劃模式發展... 29 2.3 參數推估及系統狀態更新... 38 第三章 平行化程式開發及運算平台... 43 3.1 地下水量規劃管理模式平行化... 43 3.2 平行運算平台... 50 第四章 模式範例演算... 51 4.1 計算範例... 55 4.1.1 各項參數設定... 55 4.1.2 計算結果... 58 4.2 有無考量容量擴張之影響... 79 4.3 不同利率之影響... 83 4 .4 平行運算及演算法效能分析... 86 第五章 結論與建議... 92 5.1 結論... 92

5.2 建議... 94 參考文獻... 95 附錄 A 遺傳演算法(Genetic algorithm) ... 101 附錄 B 退火演算法(Simulation annealing) ... 108 附錄 C 地下水流數值模式-MODFLOW ...119 附錄 D 克利金法(Kriging) ... 124 附錄 E 卡門濾波(Kalman filtering) ... 128 附錄 F 平行運算(Parallel computation) ... 136

表目錄

頁 次 表 4.1-1 地下水系統參數表 ... 61 表 4.1-2 時間參數表 ... 61 表 4.1-3 抽水與監測井網相關參數 ... 62 表 4.1-4 GA 參數 ... 62 表 4.1-5 SA 參數 ... 63 表 4.1-6 抽水與監測策略之規劃成本(第 1 階段初最佳策略) ... 64 表 4.1-7 抽水與監測策略之規劃成本(第 2 階段初最佳策略) ... 64 表 4.1-8 抽水與監測策略之規劃成本(第 3 階段初最佳策略) ... 64 表 4.1-9 抽水與監測策略之真實成本(第 1 階段初最佳策略) ... 65 表 4.1-10 抽水與監測策略之真實成本(第 2 階段初最佳策略) ... 65 表 4.1-11 抽水與監測策略之真實成本(第 3 階段初最佳策略) ... 65 表 4.2-1 抽水與監測策略之真實成本(不考慮容量擴張) ... 80 表 4.3-1 抽水與監測策略之真實成本(第 3 階段初最佳策略,年利率 6%) ... 84 表 4.4-1 計算時間統計 ... 88

圖目錄

頁 次 圖 2.1-1 容量擴張間距與時刻示意圖 ... 19 圖 2.1-2 目標函數(Z_α)定義示意圖 ... 19 圖 2.1-3 水位之機率型限制條件示意圖 ... 21 圖 2.1-4(a) 降低E

[ ]

Z 以減少目標函數(Z_α)示意圖... 23 圖 2.1-4(b) 降低標準偏差以減少目標函數(Z_α)示意圖 ... 24 圖 2.1-5 地下水量即時管理模式架構示意圖 ... 28 圖 2.2-1 地下水量規劃模式演算流程圖 ... 30 圖 2.2-2 染色體解碼後對應於設井位置及設井階段示意圖 ... 32 圖 2.2-3 時間分割示意圖 ... 34 圖 2.2-4 隨機產生新的鄰近狀態示意圖 ... 35 圖 2.3-1 參數推估及系統狀態更新流程圖 ... 39 圖 3.1-1 地下水量規劃管理模式之程式流程圖 ... 44 圖 3.1-2 子族群切割示意圖 ... 46 圖 3.1-3 地下水量規劃管理模式平行化程式架構圖 ... 49 圖 4-1 地下水即時管理模式演算流程示意圖 ... 53 圖 4-2 地下水真實系統與演算流程示意圖 ... 53 圖 4-3 地下水虛擬系統與演算流程示意圖 ... 54 圖 4.1-1 計算範例之地下水區域示意圖 ... 66 圖 4.1-2 計算範例之地下水含水層示意圖 ... 66 圖 4.1-3 真實 K 值分佈圖(單位: m /day) ... 67 圖 4.1-4 起始水位之標準偏差分佈圖(單位:m) ... 67 圖 4.1-5 計算範例之時間參數設定示意圖 ... 68 圖 4.1-6 波茲曼機率分布圖(第 1 階段初規劃模式) ... 68 圖 4.1-7(a) 抽水井網優選結果分佈圖(第 1 階段初最佳策略) ... 69 圖 4.1-7(b) 監測井網優選結果分佈圖(第 1 階段初最佳策略) ... 69 圖 4.1-7(c) 抽水與監測井網優選結果分佈圖(第 1 階段初最佳策略) ... 70 圖 4.1-8 各抽水期距之每口抽水井抽水量(第 1 階段初最佳策略) ... 70

圖 4.1-9 時刻 t=36 之信賴水位分佈圖(第 1 階段初最佳策略) ... 71 圖 4.1-10 時刻 t=36 推估 K 值之標準偏差分佈圖(第 1 階段初最佳策略) ... 71 圖 4.1-11 時刻 t=36 敏感度矩陣之主對角線值分佈圖(第 1 階段初最佳策略) . 72 圖 4.1-12 時刻 t=36 之更新水位標準偏差(sd

[ ]

h_t )分佈圖(第 1 階段初最佳策略) ... 72 圖 4.1-13 第 1 階段初設置監測井後更新推估 K 值分佈圖 ... 73 圖 4.1-14(a) 抽水井網優選結果分佈圖(第 2 階段初最佳策略) ... 73 圖 4.1-14(b) 監測井網優選結果分佈圖(第 2 階段初最佳策略) ... 74 圖 4.1-14(c) 抽水與監測井網優選結果分佈圖(第 2 階段初最佳策略) ... 74 圖 4.1-15 各抽水期距之每口抽水井抽水量(第 2 階段初最佳策略) ... 75 圖 4.1-16 時刻 t=36 之模擬水位分佈圖... 75 圖 4.1-17(a) 抽水網優選結果分佈圖(第 3 階段初最佳策略) ... 76 圖 4.1-17(b)監測井網優選結果分佈圖(第 3 階段初最佳策略) ... 76 圖 4.1-17(c)抽水與監測井網優選結果分佈圖(第 3 階段初最佳策略) ... 77 圖 4.1-18 各抽水期距之每口抽水井抽水量(第 3 階段初最佳策略) ... 77 圖 4.1-19 各階段最佳策略之真實成本比較 ... 78 圖 4.2-1(a) 抽水井網優選結果分佈圖(未考慮容量擴張) ... 80 圖 4.2-1(b) 監測井網優選結果分佈圖(未考慮容量擴張) ... 81 圖 4.2-1(c) 抽水與監測井網優選結果分佈圖(未考慮容量擴張) ... 81 圖 4.2-2 有無考慮容量擴張之各時刻真實成本累加 ... 82 圖 4.3-1(a) 抽水井網優選結果分佈圖(第 3 階段初最佳策略,年利率 6%)... 84 圖 4.3-1(b) 監測井網優選結果分佈圖(第 3 階段初最佳策略,年利率 6%)... 85 圖 4.3-1(c) 抽水與監測井網優選結果分佈圖(第 3 階段初最佳策略,年利率 6%)85 圖 4.4-1 各代染色體之目標函數收斂情形(4.1 節計算範例之第 1 階段初規劃模式) ... 88 圖 4.4-2 各代染色體編碼(4.1 節計算範例之第 1 階段初規劃模式) ... 89 圖 4.4-3 各代染色體(佈井方案)於退火演算法之最後溫度(4.1 節計算範例之第 1 階段初規劃模式) ... 90 圖 4.4-4 退火演算法之熵及溫度變化(4.1 節計算範例之第 1 階段初最佳策略) 91

第一章 緒論

1.1 研究動機與目的 地下水是人類重要的淡水資源之一，近年來由於經濟發展用水需求日益增 加，地下水的管理儼然成為一個重要的課題，為使寶貴的地下水資源能永續利 用，地下水的保育管理工作實在刻不容緩。 地下水的管理不論是為了地下水供水或含水層抽水污染整治，其實際執行皆 需要有一合適的抽水策略，即適當的抽水井網及抽水型態。惟在規劃設計抽水策 略及評估抽水對含水層之後續影響時，往往需要對地下水系統進行某種量化描述 或數值模擬，以便於進行各種抽水策略之評估，而模式的建立又須有充分的資 料，因而又需要合適的監測策略，以蒐集水文地質參數、地下水位及邊界條件等 資訊，以作為建立地下水模式之基礎。因此，地下水管理原則上需要擬定合適的 抽水策略與監測策略。 惟進一步而言，地下水系統的描述或數值模式，常因各種簡化假設與水文地 質參數之不確定性，而有一定程度的誤差。雖然愈準確之地下水系統描述，可以 設計出更有效率之抽水策略，但仍需進一步評估監測資訊對於規劃抽水策略之助 益是否合乎經濟成本。因此，完備的地下水管理不只需要合適的抽水策略與監測 策略，且二者應同時整合考量，以達到節省成本之目的。 在地下水即時操作過程中，則可利用即時監測資訊對地下水系統描述或數值 模式本身進行更新，進而降低其對水位或水質的推估誤差。又因抽水策略之規劃 設計乃基於地下水模式本身，若更新了地下水模式，則應再重新調整設計後續之 抽水策略。惟因抽水策略為地下水系統之一部份，若重新調整設計後續之抽水策 略，則依原先之地下水系統而規劃之監測策略，此時亦應進行適度調整，使得監 測策略所得之資訊能更精確的反應地下水系統的狀態。由上述可知，抽水策略與 監測策略二者相互影響，因此原則上最佳的地下水的管理應隨操作之進行，即時 的調整抽水策略與監測策略。惟在實務上，因為抽水井或監測井，一旦設置完成 其井位即已存在，因此抽水策略與監測策略於操作過程中彈性調整，乃是一個井 數逐漸增加的系統容量擴張問題。

綜合上述所言，因對地下水系統之描述有不確定性，完備之地下水管理應同 時考量抽水策略與監測策略之規劃設計，且應考量容量擴張設井型態，使得在即 時操作過程中，經由監測資訊對系統狀態更新後，可再調整抽水井網與監測井網。 雖然以往之地下水管理研究中亦有同時考量抽水量及監測井網，但並未考量 抽水井網之最佳化，更無抽水井網與監測井網即時調整之相關研究。因此，本研 究目的為建立地下水量即時管理模式，可隨系統之操作對抽水策略(抽水井網及 抽水量)及監測策略(監測井網) 即時進行重新規劃調整，即時優選容量擴張型態 之抽水策略及監測策略。

1.2 文獻回顧 地下水管理問題往往以最低成本考量，滿足如地下水量供水或污染整治之目 的，而為了最佳化管理，前人研究運用各種優選工具解題，所考量成本從只有動 態抽水操作成本，進而至抽水井設置成本，問題也由動態規劃延伸至整數規劃與 動態規劃之混合。但完備之地下水管理除了規劃設計抽水策略，也應把監測納入 考量，且應考慮即時操作過程之系統更新問題。本節之文獻回顧探討，將著重於 問題成本考量、抽水與監測之整合規劃、容量擴張概念於水資源應用與地下水參 數推估及更新等相關研究，其中包含各種優選工具於地下水管理之應用。 1.地下水管理 在地下水管理規劃問題裡，有許多學者採用不同規劃方法解決問題，如線性 規劃(Linear Programming, LP) [Aquado and Remson, 1974; Molz and Bell, 1977]、 非線性規劃(Nonlinear Programming, NLP) [Murtagh and Saunders, 1982; Ahlfeld et al., 1988a,b]、混合整數規劃[Rosenwald and Green, 1974]、退火演算法(Simulation Annealing, SA) [Dougherty and Marryott, 1991; Kuo et al., 1992; Marryott et al., 1993]、遺傳演算法(Genetic Algorithm, GA) [Mckinney and Lin, 1995; Wang and Zheng, 1998]、微分動態規劃 (Differential Dynamic Programming, DDP) [Jones et al., 1987]、整合遺傳演算法及限制型微分動態規劃 (Hybrid algorithm: Genetic Algorithm and Constrained Differential Dynamic Programming (CDDP)) [Hsiao and Chang, 2002; Chang and Hsiao, 2002; Hsiao and Chang, 2005; Chang et al., 2007]。在這些方法之中，微分動態規劃的方法可大幅減少地下水非線性動態問 題之維度 [Jones et al., 1987]，且在地下水整治方面對於非穩態問題，微分動態規 劃可大幅降低計算量 [Chang et al., 1992; Culver and Shoemaker, 1992]。

退火演算法又可稱為模擬退火演算法，屬於最常見啟發式演算法之一，最早 是S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt與M. P. Vecchi等人在 1983 年所發明[Kirkpatrick et al.,

1983]。「退火」是屬於冶金學中的專有名詞，是將金屬材料加熱後經由特定速率

冷卻，可以增大晶粒的體積，並且減少晶格中的缺陷，透過緩慢退火與淬火過程， 將可獲得其最低能量狀態，數學家則利用前述之退火與淬火之物理現象，發展出 退火演算法。Dougherty and Marryott [1991]將SA應用於地下水管理問題之離散抽

水率優選，其研究結果指出SA 應用於最佳化問題的確較傳統的梯度式搜尋法有 較優的搜尋能力。Dougherty and Marryott [1993]將上述的研究結合地下水數值模 式，應用於真實的地下水污染整治案例。Kuo et al.[1992]於地下水污染整治問題 中，應用SA優選抽取-處理(Pump-and-Treat)最佳策略。Rizzo and Dougherty [1996] 應用SA於求解之地下水污染整治問題上，其問題目標考量了:抽水井與灌水井之 設置與操作成本、管線與污水處理廠成本，並以處罰函數來處理整治水質濃度限 制 。 Skaggs et al. [2001] 將 SA 整 合 記 憶 與 方 向 搜 尋 (Memory and directional search)，應用於地下水污染整治問題。Rao et al. [2004] 以SA為優選工具，配合 類神經(Artificial Neural Networks, ANN)取代地下水流模式以節省計算時間，求解 實際之地表地下聯合營運問題。Ricciardi et al. [2009] 將SA整合Downhill simplex 方法，應用於地下水污染整治問題上。

遺傳演算法自 1970 年發展至今已經成為一種能力很強的優選方法，由於遺 傳演算法為一強健(Robustic)的演算法，它能有效率的搜尋問題的整個解空間， 大幅提高收斂至整體最佳值(Global optimum)的機會，並已廣泛地應用在各領 域。應用 GA 於地下水管理方面有 Rogers and Dowla [1994]利用 GA 結合類神經 (Artificial Neural Networks, ANN)方式應用在地下水污染整治的問題上，以求出最 佳抽水井數與井位，但其抽水井的抽水量僅為穩態; McKinney and Lin [1994]應用 GA 於地下水之管理營運，並考慮三種型態之目標函數，分別為：含水層之最大 抽水量、滿足供水最小成本與污染整治最經濟成本。Ritzel et al. [1994]應用 GA 考慮多目標之地下水污染整治問題，其目標函數考量如何使模式偵測到系統污染 質之可靠度(System reliability)最大與如何使系統所需之成本最小，求得最佳之設 井 位 置 、 設 井 數 與 抽 灌 水 量 。 Mckinney and Lin [1995] 應 用 GA 及 MINLP(Mixed-integer nonlinear programming)求解包含設井成本及操作成本的水 量管理問題，但其地下水模擬亦僅為穩態; Huang and Mayer (1997)採用 GA 來搜 尋在動態地下水污染整治中的最佳抽水率及設井位置。Wang and Zheng [1998]應 用 GA 和 SA，並結合 MODFLOW 模式處理包括營運和固定成本的問題，惟其 模式並未妥善的處理動態問題，其操作時段最大僅為四個時期，對於操作時段較 多的動態地下水管理問題，其計算量將大為增加。Zheng and Wang [1999]結合搜

尋的方法和線性規劃計算地下水整治的最佳成本，惟其亦僅模擬穩態地下水流。 Shieh and Peralta [2005] 整合 GA 及 SA，應用於地下水污染場址之生物整治系統 規劃。

Hsiao and Chang [2002]整合遺傳演算法及限制型微分動態規劃，完整考量包 括固定成本及操作成本的系統總成本，由於微分動態規劃考慮設井成本有其先天 之限制，而簡單遺傳演算法本身即採用 0-1 編碼方式來獲得問題之解答，其本身 之解題空間即為離散型態，故可容易的算出地下水營運管理之設井成本。 前述之地下水量營運管理問題，大部分研究注重於考慮抽水策略之固定成本 與操作成本最少及洩降量最小等問題上，但完整之地下水管理不只需要合適的抽 水策略，應也要納入監測策略，且二者應同時整合考量，才能達到節省成本之目 的。 2.同時考量地下水抽水及監測之研究 以 往 亦 有 相 關 研 究 建 議 地 下 水 管 理 抽 水 策 略 及 監 測 策 略 應 整 合 規 劃 [Mclaughlin and Wood, 1988; Graham and Mclaughlin, 1989; Andricevic and Kitanidis, 1990 ]。惟實作上同時考量抽水策略及監測策略研究並不多，若欲兩者 同時考量，如何在給定之監測策略下求得最佳抽水策略為其中關鍵，而此部份有 採用 Dual control 優選動態抽水量 [Andricevic, 1990; Andricevic, 1993]，及利用機 率型限制式(Chance constraint)建構抽水量優選模式[Wagner, 1999]兩種方法。

Dual control 概念在 1960 年代首先由 Feldbaum [1960,1961]提出，其主要概 念為，控制一個考量不確定性因素之系統時，不只是依目標函數要求來進行控 制，同時亦考量如何經由控制對系統之刺激，以改進系統參數推估[Filatov and Unbehauen, 2004]。Andricevic and Kitanidis [1990]參考 Tse et al. [1973]之 dual control 推導，考量水文地質參數不確定性，進行地下水污染整治之最佳即時操 作，優選時變抽水量。Andricevic [1990]延續上述之研究，其基本理念為在給定 監測井網下，經由 dual control 優選出各監測井網相對應之動態抽水量及抽水成 本，Andricevic [1990]之研究並以試誤法從 30 組給定之監測井網中，決定整體較 佳之監測井網及抽水量。Andricevic [1993]更進一步在地下水水量之即時操作問

題中，在給定之抽水井網下，以時序之方式於每時刻遞增一口監測井並逐時刻優 選各自對應之抽水型態，此研究抽水井網並未優選且監測井網及抽水型態亦可能 是局部最佳解。上述 Andricevic 及 Kitanidis 之研究，雖然發展出在給定監測策 略之情形下以 dual control 優選動態抽水量之方法，但因未再搭配其它優選工具 進行抽水井網與監測井網優選，因此，嚴格而言並沒有對抽水井網及監測井網同 時進行優選。 Wagner [1999]以監測井網優先設計，配合監測井網及整治抽水量之疊代優選 計算，在給定之抽水井網下，進行穩態抽水量與監測井網之優選。在其研究問題 中，水質推估誤差(model prediction uncertainty) 為監測井網優選模式之目標函 數，其並為抽水整治優選模式中機率型限制式中項目之一，藉以將監測井網對最 佳整治水量之影響反映至抽水整治優選模式中。整體疊代優選過程為在給定不同 監測成本條件下，反覆地分別運用抽水整治優選模式及監測井網優選模式，得出 在不同之監測成本下之最佳抽水量及監測井網，最後再決定出抽水操作成本與監 測井網成本總合最小之方案。Wagner [1999]研究中，雖有進行穩態抽水量量及監 測井網之優選，但仍未考慮抽水井網之最佳化。且雖經由水質推估誤差(model prediction uncertainty)連結污染整治抽水優選模式及監測井網優選模式二者，惟 其每次疊代計算僅只單向的考量監測井網對最佳抽水量的影響，而最佳抽水量對 監測井網之影響並未回饋至監測井網優選中。 由以上之研究發現，即使有同時考量抽水及監測之整合規劃，但限於其問題 建構方式或優選工具之限制，對抽水策略及監測策略之考量仍不夠完善，尤其在 抽水系統之考量往往只是在給定抽水井網條件下 (即抽水井位、井數量固定)優 選最佳抽水量。為了能完整考量抽水策略及監測策略之總成本，本研究將同時考 量抽水及監測之井網設計，在即時操作過程中，配合監測資訊之更新，即時的更 新最佳時變抽水量，並以容量擴張的觀念，在給定的期距重新調整設計監測井網 及抽水井網。因此系統逐步擴張容量之設計理念亦為其中重要之ㄧ環，以下將對 容量擴張應用於水資源管理之相關研究作介紹。 3.考量容量擴張之水資源管理相關研究 系統之容量擴張，乃是隨著時間增加應如何擴充系統容量之棑程問題。系統

容量擴張問題之決策變數包含不連續變數，造成問題不易求解，但真實世界之系 統容量規劃設計卻往往需面對容量擴張之問題。(但系統容量隨著時間而擴張之 方式，卻又是實際上所需面對之問題。)由於對水資源需求量隨著人口及時間增 加而遞增，所以水資源系統容量擴張問題日益顯示出其重要性[ Basagaoglu and Yazicigil, 1994; Watkins and McKinney, 1998; Voivontas et al., 2003; Mahmoud, 2006]。

有 關 於 地 表 水 資 源 管 理 容 量 擴 張 之 研 究 有 Voivontas et al. [2003] 及 Mahmoud [2006]。Voivontas et al. [2003]建立整體水資源容量擴張模式，在其研究 問題中考量地表地下聯合營運，並包含了抽水井群、水庫及海淡廠之容量擴張。 Mahmoud [2006]整合 Objective Space Dynamic Programming (OSDP) 及混合整數 規劃(Mixed Integer Programming) 對海淡廠之容量擴張問題進行最佳化。不過， 上述二者之研究不是忽略地下水系統，就是以忽略地下水位空間變化之地下水庫 來簡化地下水系統。 對地下水容量擴張問題而言，其決策變數包含井網設計及擴張階段，也就是 需決定設井時期、設井位置與設井數等複雜因素。另外，由於時空上地下水位變 化之影響，地下水容量擴張問題之複雜度及所需計算量，遠比地表水容量擴張問 題來得高。

有關地下水容量擴張問題研究，Basagaoglu and Yazicigil [1994]其模式為混合 整數規劃模式整合響應矩陣方法(Response matrix method)，以在其容量擴張模式 之目標函數中考慮抽水井之設置成本及操作成本，但其目標函數的操作成本為非 線性而無法採用混合整數規劃求解，所以另外運用三種方法來簡化其目標函數中 之非線性項，其三種方法分別為假設當水位洩降(drawdown)最小其相對的操作成 本也是最小、水位洩降進行線性化處理、抽水量與洩降利用簡單的數學式轉換取 代。並探討在不同的需水容量擴張曲線如凹曲線(concave)、線性曲線(linear)與凸 曲線(convex)之抽水井數、總洩降量及總成本。但其模擬區域只考慮少數候選井， 且其地下水洩降量為採用響應矩陣方法計算抽水量與水位關係而得，因此若候選 井數變多及模擬時刻增加時，則模式計算量將會增大。Watkins and McKinney [1998]考慮地表地下聯合營運之容量擴張問題，決策變數包含了抽水井網設計及

擴張階段，但僅考慮穩態抽水量，且採用響應矩陣方法計算地下水位。Chang et al. [2009]延續 Hsiao and Chang [2002]之研究，目標函數中同時考慮容量擴張之抽水 井網設置成本與操作成本，其中抽水井網的設井位置、設井數與設井時期，皆採 用遺傳演算法求解，採用動態規劃理論求解抽水量，並採用崁入法(Embedding method)由數值模式求解洩降。 由於遺傳演算法之解空間即為離散型態，因此本研究將參照 Chang et al. [2009]之研究，以遺傳演算法優選容量擴張型態之抽水及監測井網。優選出容量 擴張型態之抽水及監測井網，可配合即時監測資訊更新後之地下水模擬模式，可 重新調整已規劃但未真正設置之抽水及監測井網。以下將對運用監測資訊對參數 推估與系統狀態更新之相關研究進行介紹。 4.參數推估與系統狀態更新之研究 在地下水管理問題中，因經費考量，常需以有限監測點所得之水文地質參數 及水位監測值，進行全區參數推估與地下水系統描述。在過去已有許多的研究， 多利用地質統計之克利金法(Kriging method)或聯合克利金法(Co-kriging method) 為理論基礎， 推估水文地質參數。克利金推估為一種利用區域性變數理論基礎 之方式，首先由 Matheron [1971]於 1971 年提出。克利金法除了提供最佳推估外， 同時可求出一量化數值，即克利金變異數（Kriging variance），以表示推估結果 之不確定性。克利金法自發展以來曾先後被多位學者應用於地下水有關領域內， 例如以地質統計分析進一步顯示經過對數轉換後之導水係數（Transmissivity, T 值），在常態分佈下具有較原值更佳之空間變異結構[Delhomme, 1976]，克利金之

異向性理論[David, 1977；Isaads and Srivastava, 1989]，探討監測井網分佈均勻度 或密度改變導致推估誤差之變化[Sophocleous et al., 1982] 及應用在地下水之最 佳之井網佈置[Carrera et al., 1984; Rouhani, 1985]。

聯合克利金推估首先由 Journal and Huijbregts [1978]提出，其研究中描述了 聯合克利金推估利用不同參數間之相關性，以採樣較多之參數來推估採樣少之參 數。其後尚有聯合克利金矩陣公式及複半變異元模式之研究[Myers, 1982]，以多 變數進行地下水監測井網之規劃[Benjemaa et al., 1994]。

另外，卡門濾波(Kalman filtering)在模式的參數推估（Estimating）、模擬 （Simulation）和預測（Forecasting）上是一強而有力的工具，自 1960 年 Kalman 發表後，已被廣泛的應用在各種研究領域上，而應用於地下水相關研究有，推估 更新地下水位及設計監測井網[Van Geer et al., 1991; Zhou ,1991]，使用卡門濾波 於參數推估問題[Ferraresi et al., 1996]，整合卡門濾波與空間推估應用於參數推估 [Mardia et al., 1998; Cahill et al., 1999]，應用擴展式卡門濾波於含水層參數之檢定 [Leng and Yeh, 2003; Yeh and Huang, 2005]。其中，Van Geer et al. [1991]及 Zhou et al. [1991]整合卡門濾波理論與美國地質調查局(U.S.G.S.)發展之地下水流數值模 式 MODFLOW [McDonald and Harbaugh, 1988]，此整合程式( KALMOD)可推估 經監測值更新後之水位，以改善地下水數值模式之不確定性，同時亦可作為水位 監測井網之設計評估。Eigbe et al. [1998]對於卡門濾波應用於地下水之相關研究 有一完整回顧與探討，其指出卡門濾波應用在系統更新比其它工具有明顯之優 勢，但也指出因系統噪音之難以量化，在沒有精確之系統噪音情況下，卡門濾波 之效能有待商榷。 本研究將運用克利金法推估全區之透水係數(Hydraulic conductivity，K 值)， 且為了能量化系統噪音，將以一階二矩法(First-order second moment method, FOSM) 推估地下水模式不確定性[Dettinger and Wilson, 1981; Glasgow et al., 2003] ，再利用卡門濾波推估經監測值更新後之地下水位及其推估誤差。

1.3 問題結構與解決方式 由上述之文獻回顧可知，同時考量抽水與監測之整合規劃，以及容量擴張觀 念，二者雖已各自的應用在水資源或地下水最佳管理問題上，惟尚未有整合上述 兩者之相關研究。另外，以往同時考量抽水與監測之管理問題，由於問題建構方 式或採用優選工具之限制，使得未能同時考量抽水策略與監測策略之設井成本與 操作成本。有鑑於此，本研究以地下水井網容量擴張觀念，同時考量抽水策略與 監測策略之規劃設計，再配合以監測資訊更新地下水模擬模式，建立一地下水量 即時管理模式，並以抽水與監測策略之設井成本加上操作成本之總成本為目標函 數。 為了建立地下水量即時管理模式，以同時對容量擴張型態抽水策略及監測策 略進行規劃，其解題之關鍵如下所示: 1.抽水策略及監測策略應包含井網設計 過 去 同 時 考 量 抽 水 與 監 測 之 整 合 規 劃 的 相 關 研 究 中 [Andricevic, 1990; Andricevic, 1993; Wagner, 1999]，雖有考量監測井網之設計，但並沒有對抽水井 網及監測井網同時進行優選。井網設計為抽水策略及監測策略關鍵之一環，不管 是抽水井或監測井，一但設置後其井位就無法變動。尤其，對抽水策略而言，雖 然尚能隨時調整各抽水井之抽水量，但可能會因給定之抽水井網並非最佳，而造 成抽水操作成本增加或抽水後水位洩降過大之問題。另外，以成本角度考量，未 考慮設井之位置與成本，所獲得之答案事實上並非總成本(固定成本+操作成本) 之最佳解，而忽略設井成本之結果通常會導致設置過多之抽水井與某些井之抽水 量太小之缺點[McKinney and Lin, 1995]。

本研究為能考量完整之抽水策略及監測策略，以容量擴張之方式將井網設計 納入優選問題之中，以期能在即時操作過程中，重新調整設計抽水井網及監測井 網。

2.如何整合考量抽水策略及監測策略

最佳抽水策略。雖然應用 Dual control [Andricevic, 1990; Andricevic, 1993]能在給 定監測井網條件下，優選出動態抽水量，但此方法之最大限制在於求解過程需要 對目標函數取 3 次微分項，增加解題因難度，且若要考慮如水位下限或各抽水井 之抽水水量上、下限之不等號限制式，則只能以權重方式且至少須為 4 次方型態 考量於目標函數之中。相對的，Wagner[1999]之研究中，以監測井網優先設計， 配合監測井網及整治抽水量之疊代優選計算，在給定之抽水井網下，進行穩態抽 水量與監測井網之優選。抽水量與監測井網以上述疊代方式，分別由機率型限制 方式(Chance-constrained)抽水整治優選模式及監測井網優選模式得出。雖然而非 將抽水量與監測井網之設計整合於同一優選模式，但以機率型限制式建構優選問 題時，在目標函數及限制條件所受之限制較少。 考量問題之目標函數及限制條件更能符合真實情況，因此本研究以機率型限 制式建構地下水量即時管理模式，於目標函數中考量抽水與監測之設井成本與操 作成本，再配合適當優選工具，同時進行抽水策略及監測策略之最佳化。 3.如何求解同時考量抽水策略及監測策略之優選問題 本研究問題所優選之決策變數包含:容量擴張型態之抽水井網及監測井網， 與時變抽水量。對於前者，其決策變數乃是不同的井網設計方案，其中包含井的 數目與各自之位置，基本上乃是是不連續型的變數，而對此種決策變數型態的優 化問題，傳統以微分為基礎的數學規劃方法並不能直接應用，而遺傳演算法則相 當適合解此類問題。至於在給定抽水井網及監測井網下各抽水井時變抽水量之優 選，基本上乃屬於動態規劃問題之範疇，雖然微分動態規劃一般上為處理此類較 有效之優選工具，惟若以微分動態規劃解此之優選問題，則需將遭遇類似以 Dual control [Andricevic, 1990; Andricevic, 1993]解題時所面對之因難。因此，為簡化演 算法之複雜度，本研究將以退火演算法優選時變抽水量。所以，為了能求解同時 考量抽水策略及監測策略之優選問題，本研究將以遺傳演算法優選容量擴張型態 之抽水井網及監測井網，再以退火演算法優選時變抽水量。類似遺傳演算法及退 火演算法這類啟發式演算法，在於其容易應用於各種類型的問題。

下水即時管理模式。其中以遺傳演算法與退火演算法，分別優選具備容量擴張型 態之井網及離散化時變抽水量，並以卡門濾波進行地下水模擬模式即時更新及水 位誤差推估。遺傳演算法為優選之主體架構，每條染色體代表容量擴張型態之抽 水與監測井網，且在每條染色體給定下，以退火演算法進行時變抽水量優選。並 利用遺傳演算法本身隱平行之特性，以分配染色體為計算量切割，在平行電腦大 量計算資源下，克服所需大量計算。

1.4 數學符號定義 本研究有關之重要數學符號定義如下，其他未說明之數學符號將於各章節中 加以說明。 1.地下水系統與抽水策略相關符號 Ω : 地下水管理區域中，所有可能設抽水井井位之集合 I : 地下水管理區域中，設置抽水井井位置之集合(為Ω之子集合) i : 代表某一設置抽水井井位置 t h : 時刻 t 之地下水位真值 1 a : 設置抽水井單位長度成本 2 a : 抽水井單位抽水成本，表示成 a2 =ρg×a3×Δt 3 a : 單位用電功率成本 ρ : 水密度 g : 重力加速度 i t u : 抽水井 i 於時刻 之抽水量 t i D : 為在 i 點抽水井設井深度 i L : 在 點之地表高程。 i 2 1 i t i i h h L − t− + _{: 抽水揚程} T : 地下水系統轉換函數 t d : 時刻 t 之用水需 min u : 每一口抽水井的抽水下限 max u : 每一口抽水井的抽水上限 min h : 水位下限

[ ]

ob Pr : 機率

[ ]

E : 期望值

[ ]

sd : 標準偏差

{ }

1 − F : 標準常態分佈累積機率函數之反函數 π : 可靠度(reliability level) Kˆ : 推估K 值 KK P _{: K 值之共變異矩陣，E}

[

_{(K−Kˆ)(K−Kˆ)}

]

h t D : 時刻 t 水位對時刻t+1水位之敏感度矩陣 K t D : K 值對時刻t+1水位之敏感度矩陣 t h′ : 時刻 t 之地下水模式模擬水位 2.監測系統策略相關符號 1 e : 設置監測井單位長度成本 2 e : 監測成本(NT/口/次) Φ : 地下水管理區域中，所有可能設監測井井位之集合 J : 地下水管理區域中，設置監測井井位置之集合(為Φ之子集合) j : 於目標函數中，代表某一設置監測井井位置 j D : 為在 j 點監測井設井深度 3.時間相關符號 i P : 為在 i 點設抽水井之容量擴張設階段，其中每一個容量擴張間距

(Wells installing interval)可分為n個時刻，容量擴張間距與時刻之

示意如圖 2.1-1 所示。 j P : 為在 j 點設監測井之容量擴張設階段 t Δ : 為時刻 t 至時刻t+1之時間間隔。 R : 每個時刻利率值 4.卡門濾波相關符號 t w : 系統噪音(System noise) t y : 監測資訊 t O : 監測矩陣(Measurement matrix) t x : 監測參數真值

t v : 監測誤差 t Q : 系統噪音共變異矩陣 t R : 監測誤差共變異矩陣 t G : 卡門權重 ) | ( tt P_hh : 經過水位監測值( h)更新後水位( )之共變異矩陣， t y ht ∧

[

h h h h

]

E( t− ˆt)( t−ˆt) ) 1 | (t t− P_hh : 系統預測之時刻 水位(t ht)之共變異矩陣， −

[

(h_t h_t)(h_t h_t)

]

E − − t h ∧ : 時刻 t 經過水位監測值修正之水位 t h − : 時刻 t 之系統預測水位

第二章 地下水量即時管理模式發展

本研究發展之地下水量即時管理模式之目標函數為使抽水策略與監測策略 之總成本為最小，其中抽水井網與監測井網為以容量擴張之方式逐漸設置。由於 所求解問題為考慮監測資訊之地下水量即時管理，因此發展之模式為可由因應新 資訊之各時刻抽水策略與監測策略重新規劃設計，與地下水系統參數及水位之重 新推估二部份所組成。即管理模式除了優選新策略之外，尚需利用即時監測資訊 更新地下水系統之描述。以下本章內容將對所考慮問題之解題架構分析與演算流 程作詳細說明。 2.1 地下水量即時管理模式問題定義 地下水量即時管理模式是以考慮抽水及監測之總成本最小為目標函數，而總 成本則包括抽水與監測之設井成本與操作成本，且考慮利率影響下之總成本現 值。抽水井及監測井為以容量擴張方式逐步設井，因此其規劃上需求得不同階段 之最佳設井位置及井數，本研究且進一步考量在操作過程中每個時刻即時隨新的 資訊，對後續階段之設井位置及井數(即原先已規劃但尚未設置之抽水井及監測 井)進行即時調整。 前述地下水量即時管理模式之限制條件，可分為等號及不等號二類限制式， 其中等號限制式包含: 地下水系統轉換函數及監測式程式;而不等號限制式包含: 地下水位下限、滿足需水量與各抽水井能力上、下限。由於所解問題包含監測方 程式，因此可經由監測資訊可對地下水模擬模式進行更新。而考量地下水位下限 之目的是希望抽水所引致之水位下降不致危害環境生態，而抽水能力則是滿足一 般工程對抽水井之要求。 另本研究將以地下水位之機率型限制式考量地下水模擬模式之不確定性，整 個問題之數學表示式如下所示: 目標函數

{

}

{J j J} Zα N t I i I u I it ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ Φ ⊂Ω ∈ = ⊂ , ,..., 1 , ), ( , min

∑

∑

∑

∑

∈ − = − + ∈ = − + − − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + + + = J j N P n t t P n j I i N P n t t i t i t i i t P n i j j i i R e R D e R h h L u a R D a Z 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 (2.1-1) 限制條件 t i t t t T h u t I w h = ( ₋₁, , , )+ , t =1,2,...,N (2.1-2) t t t t O J x v y = ( ) + , t=1,2,...,N (2.1-3) t I i i t d u ≥

∑

∈ , t=1,2,...,N (2.1-4) max min u u u i t ≤ ≤ , t=1,2,...,N,I ⊂Ω (2.1-5)

[

≥ min

]

≥π Probht h , t =1,2,...,N (2.1-6) 其中： 為總成本 α Z : (Z )於累積機率為α 時之值 : 地下水管理區域中，所有可能設置抽水井位置之集合 Ω I : 地下水管理區域中，設置抽水井位置之集合(為Ω 之子集合) : 代表某一設置抽水井位置 : 地下水管理區域中，所有可能設置監測井位置之集合 : 地下水管理區域中，設置監測井位置之集合(為 i Φ J Φ 之子集合) j : 代表某一設置監測井位置 : 為在 點設抽水井之容量擴張設階段，其中每一個容量擴張間距 (Wells installing interval)可分為 個時刻，容量擴張間距與時刻之 示意如圖 2.1-1 所示。 : 為在 i P i n j P j 點設監測井之容量擴張設階段

R : 每個時刻利率值 為在 i 點抽水井設井深度 抽水井 i 於時刻 t 之抽水 i D : : 量 本，表示成 i t u 1 a : 設置抽水井單位長度成本 t a g a₂ =ρ × ₃×Δ 2 a : 抽水井單位抽水成 3 a : 單位用電功率成本 ρ : 水密度 g : 重力加速度 : 為時刻 t 至時刻t+1之時間間隔 t Δ (Time step) 地下水位真值 i L : 在 i 點之地表高程 t h : 時刻 t 之 2 1 i t i h h t + − − : 抽水揚 i L 程 : 設置監測井單位長度成本 : 監測成本(NT/口/次) : 為在 1 e 2 e j D j 點監測井設井深度 T : 地下水系統轉換函數 : trix) t : 系統噪音(System noise) w t y : 監測資訊 t O 監測矩陣(Measurement ma t x : 監測參數真值 t v : 監測誤差

[ ]

ob : 機率值 Pr π 井的抽水下限 : 井的抽水上限 : 水位限制條件之可靠度(Reliability level) t d : 時刻 t 之用水需 m u in : 每一口抽水 max u 每一口抽水 m h in : 水位下限

圖 2.1-1 容量擴張設井間距與時刻示意圖 目標函數如式(2.1-1)所示，為考率利率下之總成本現值最小，可分為二大部 份，第一部份為抽水之設井成本及操作成本，第二部份為監測之設井成本及操作 成本。由於本研究考量地下水水系統不確定性，使得為水位 為隨機變數。因 所考量之目標函數 (h )_t 包含了抽水揚程計算( 2 1 t t i h h L − − + )，使得原 i i 目標函數(Z)亦為 一隨機變數，惟隨機變數本身無法直接優選， 。本 研究為同時降低原總成本 之期望值及 本身之不確定性 標準偏差 ，乃以最小 一般最常見的為優選其期望值 (Z) Z ( ) 化Z (_α 總成本Z 於累積機率為α 時之值)為目標，由圖 2.1-2 所示，減小 Z 之值可 有兩種方式；一為減小其平均值，另一為減小標準偏差使機率分佈更中。 α ) (Z f ) (Z f Z ≤ =α Z

[ ]

Z E Zα α) ( Prob Z Z 圖 2.1-2 目標函數 定義示意圖 而由式(2.1-1)~式(2.1-6)所組成之序率優選問題之決策變數包含了: 抽水與 監測之容量擴張設井方案(包含不同階段之設井位置及井數)，以及各抽水井之時 (Z )_α

變抽水量。亦即式(2.1-1)容量擴張下之抽水井設置方案( I )及監測井設置方案 中，每個設置方案代表了一種隨階段擴增之井網設計，而每個井網設計包含各階 段之設井位置及井數。 式(2.1-2)為地下水系統轉換函數，其中系統噪音 代表地下水模式之不確 定性。換言之，就是系統方程式之誤差項，當一地下水模式模擬真實情況時，必 有其假設之簡化條件及輸入參數之誤差，而會造成模式上之誤差，此乃不確定性 之來源之一。本研究中目前假設地下水模式之誤差主要乃由透水係數 (J) (w )_t (K 值)之推 估誤差所造成。 式(2.1-3)為監測方程式，監測矩陣 代表各時刻之監測位置， 為監測位 置之監測資訊，於地下水量問題中 可為水位或水文地質參數之監測值， 為 監測參數之真值， 為 均為零且 互獨 之 白噪音 (O )_t t y 相 t y t x 立 t v 監測誤差，並假設w_t及v 為期望值_t (White noise)。式(2.1-4)為每一個時刻之需水量限制，式(2.1-5)為抽水井 抽水能力限制條件，式(2.1-6)為地下水位之機率型限制條件，其概念如圖 2.1-3 所示。

] [ht E min h π = ≥ ] [h hmin prob t ) (ht f t h ) (ht f ht π − 1 0 ) (z f z π − 1 ) 1 ( 1 −π − F ( :標準常態隨機變數，平均值為 0，標準偏差為 1) z 圖 2.1-3 水位之機率型限制條件示意圖 式(2.1-6)為水位之機率型限制條件若假設其機率分佈為常態分佈( Normal distribution )，則式(2.1-6)可表示為[Wagner and Gorelick, 1987]:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

_⎭⎬⎫≥π ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ − = t t t t h sd h E h ht sd h E h z ob min Pr (2.1-7) 得

[ ]

[ ]

1(1 ) min − ≤ − −π F h sd h E h t t (2.1-8)

[ ]

[ ]

min 1 } 1 { sd h h F h E _t + − −π _t ≥ (2.1-9)

[ ]

[ ]

min 1 expect } { sd h h F h E component stochastic t component value t − ≥ − _π (2.1-10) 其中: z : 標準常態隨機變數，平均值為 0，標準偏差為 1

[ ]

E : 期望值

[ ]

sd : 標準偏差

{ }

1 − F : 標準常態分佈累積機率函數之反函數

[ ]

ht F sd

[ ]

ht E − −1{π} : 信賴水位，在相同之E

[ ]

h_t 及sd

[ ]

h_t 條件下，信賴 水位(E

[ ]

h_t −F−1{π}

[ ]

)受可靠度( t h sd π )影響，其值需大於水位下限(hmin)。 式(2.1-10)與一般之定率型水位限制條件不同，其意義為相同可靠度(π )之條 件下，若地下水模擬模式不確定性愈高，即sd

[ ]

h_t 值愈大，則水位限制式會變得 愈嚴苛，對抽水策略之影響為需設置更多之抽水井，以避免因抽水井過少，抽水 集中而造成較大之水位洩洚。相反地，若地下水模擬模式不確定性低，即 值 小，則水位限制式會變得寬鬆，對抽水策略而言，則可設置較少之抽水井數，以 節省抽水設井成本。但為了降低地下水模擬模式不確定性，則需更多之監測資 訊，以更新地下水模擬模式，也就是需設置更多監測井數，如此將會增加監測成 本。

[ ]

ht sd 經由水位之機率型限制條件定率化推導後得出之式(2.1-10)後，可再進行目 標函數之定率化。由於總成本( Z )中只有水位為隨機變數，且先前已假設水位之 機率分佈為常態分佈，因此總成本( Z )之機率分佈亦為常態分佈，原目標函數( Z ) 對應之Z_α可表示為:

[ ]

{ }

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

∑

∑

∑

∑

∈ − = − + + − = − − − − ∈ − − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − + − + ⎩ ⎨ ⎧ + = + = J j N P n t t P n j N P n t t i t i t i t i t i i t I i P n i j j i i R e R D e R h sd F h E h sd F h E L u a R D a Z sd F Z E Z 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) } { ( ) } { ( ) 1 ( 1

α

α

α

α (2.1-11) 在固定α 值之條件下，若要降低目標函數( )之方式有二，一為降低 ; 另為降低 ，圖 2.1-4(a)為降低 α Z E

[ ]

Z

[

Z

]

sd E

[ ]

Z α Z 之示意，而圖 2.1-4(b)為降低 之示 意。換言之，本研究問題之目標函數( )，不僅考量總成本期望值之最小化，亦 考量了降低推估總成本之不確定性。

[

Z sd

]

綜合上述，式(2.1-10)及式(2.1-11)中信賴水位(E

[ ]

h_t −F−1{π}sd

[ ]

h_t )不僅需大 於 水 位 下 限 ， 同 時 也 是 目 標 函 數 中 計 算 抽 水 揚 程 之 依 據 。 亦 即 信 賴 水 位 (E

[ ]

h_t −F−1{π}sd

[ ]

h_t )反應了監測資訊之價值(影響抽水之成本)，對監測系統而 言，優選模式則將在監測資訊價值與監測成本間取得最佳平衡[Wagner, 1999]。 Z

[ ]

Z E ) (Z f

[ ]

Z E Δ

[ ]

Z E Δ ) ( 1 Z f ) ( 2 Z f 2 α Z Z_α1 圖 2.1-4(a) 降低E

[ ]

Z 以減少目標函數(Z )示意圖 _α

Z

[ ]

Z E ) (Z f

{ }

(

[ ] [ ]

1 2) 1 Z sd Z sd F ⋅ − Δ − _α ) ( 2 Z f ) ( 1 Z f 2 α Z Z_α1 圖 2.1-4(b) 降低標準偏差以減少目標函數(Z )示意圖 _α 雖然目標函數及水位限制式皆已表達為對應之定率型式，惟於式(2.1-2)及 (2.1-3)之中尚 此 步處理才能 進行優選。 能整合系統方程式(式 2.1-2)及監測方程式(式 2.1-3)，得出 經由監測值更新後之水位及誤差。因此，本研究將以卡門濾波對狀態變數 之 期望值進行最佳推估，亦即以卡門濾波表達式(2.1-2)及(2.1-3)之定率型式，說明 如下: 包含隨機變數(Random variable) w 與_t v ，因_t 仍需進一 式(2.1-2)及(2.1-3)恰為一般序率系統中之系統方程式與觀測方程式，而卡門 濾波[Eigbe et al., 1998] (h )_t

[ ]

h_t KF(E

[ ]

h_{t 1},u_ti,t,I,y_t,O_t,Q_t,R_t) E = ₋ , t=1,2,...,N (2.1-12) 其中: KF : 卡門濾波對狀態變數 之 望值進行最佳 : 系統噪音共變異矩陣 : 監測誤差共變異矩陣 重 示如下: (h )t 期 推估 t Q t R 整式(2.1-1)~式(2.1-6)之問題，表

目標函數

{

{J j J} I ⎭ ⎬ ⎧ ∈ Φ ⊂Ω ⊂ ,

}

α Z N t I i I uit( ),∈ ,=1,..., ⎫ , min ⎩ ⎨

[ ]

{ }

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

∑

∑

∑

∑

∈ − = − + + − = − − − − ∈ − − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − + ⎩ ⎨ ⎧ + = + = J j N P n t t P n j N P n t t i t i t i t i t i i t I i P n i j j i i R e R D e R h sd F h E h sd F h E L u a R D a Z sd F Z E Z 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) } { ( ) } { ( ) 1 ( 1

α

α

α

α (2.1-13) 限制條件

[ ]

KF(E

[ ]

1, , , , t, t, t, t) i t t t h u t I y O Q R h E = ₋ , t=1,2,...,N (2.1-14) (2.1-15) t I i i t d u ≥ ∈ ,

∑

t=1,2,...,N max min u u u i t ≤ ≤ , t=1,2,...,N,I ⊂Ω (2.1-16)

[ ]

[ ]

min 1 } { sd h h F h E t − t ≥ − _π , t=1,2,...,N (2.1-17) 其中sd

[ ]

h_t 可表示為: ) , , ), ( ( ] [h f O J u I J sd t = t ti , t=1,2,...,N,I ⊂Ω,J ⊂Φ (2.1-18) 由式(2.1-18)可知 項將 時受抽水策略及監測策略所 更新水位之共變異矩陣得出。原式(2.1-1)~式(2.1-6)之問題，在經由卡門濾波對式 (2.1-2)及(2.1-3)進行定率化後，由式(2.1-13)~式(2.1-17)所組成之即時管理模式優 選問 在某一時刻

[ ]

ht sd 同 影響，由卡門濾波 題，於每一個時刻將包含了更新、規劃、操作及之三個程序(如圖 2.1-5 所示)。 k t = 之更新、規劃及操作程序說明如下:

1.參數推估及系統狀態更新 以監測值( y )進行參數推估與狀態變數( h )更新，即求解式(2.1-14)，其求解_{k k} 過程詳見 2.3 節。

[ ]

h_t KF(E

[ ]

h_{t 1},u_ti, E = ₋ t,I,y_t,O_t,Q_t,R_t), t= (2.1-19) k 2.抽水策略及監測策略之規劃設計 以經由時刻 之監測值 ) 更新後之地下水模擬模式，對後續時刻 及監測策略 如下: k t = 之抽水策略 ( y_k N u ) (t=k+1~ N) (u_k+1 ~ (O_k+1 ~O_N)重新進行規劃調整， 對某一時刻k規劃模式數學式之定義

{

}

{J j J} Zα N k t I i I u I t ⎭ ⎬ ⎫ ⎨ ⎧ ∈ Φ ⊂Ω ∈ = + ⊂ , ,..., 1 , ), ( , i ⎩ min

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

_⎨ − ⎢ ⎢ − = i i t t L u a Z 1 2 α ≥ − ∈ − = − + + − = − − − − ≥ − ∈ − < − ∈ = + < − ∈ = + − − − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − + − + ⎩ ⎨ ⎧ + + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ − + − k p n J j N p n t t P n j N p n t t i t i t i t i t i i t k p n I i P n i k p n J j N k t t k p n I i N k t t i t i t i t i j j j i i i j i R e R D e R h sd F h E h sd F h E L u a R D a R e R h sd F h E h sd F h E ) 1 ( , ( 1) 1 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 2 ) 1 ( , ) 1 ( 1 ) 1 ( , 1 2 ) 1 ( , 1 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) } { ( ) } { ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) } { ( ) } { (

α

α

α

α

(2.1-20) 限制條件

[ ]

KF(E

[ ]

1 , , , , k, t, t, t) i t t t h u t I y O Q R h E = ₋ , t=k+1,...,N (2.1-21) t t I i∈ i d u ≥

∑

, t =k+1,...,N (2.1-22)

max min u u u ≤ _ti ≤ , t =k+1,...,N,I⊂Ω (2.1-23) (2.1-23)

[ ]

h F }sd

[ ]

h hmin E

[ ]

h_t −F−{π}sd

[ ]

h_t ≥h_min, E _t − −11{π _t ≥ , tt=kk+11,...,,...,NN (2.1-24) 其中 ) , , ), ( ( ] [h f O J u I J sd _t = _{t t}i , t=k+1,...,N,I ⊂Ω,J ⊂Φ (2.1-25) 而由式(2.1-20)~式(2.1-24)所組成規劃優選問題之決策變數包含了:後續時刻 之抽水與監測之容量擴張設井方案(包含不同階段之設井位置及井 ，以及各抽水井之時變抽水量。因此上述規 模式 目標 只需考量後續時刻之抽水策略與監測策略總成本現值。若於時刻 之前已設置之 抽水井及監測井，只需考量其操作成本，即式(2.1-20) 第 1、2 項所代表;而於時 之後所設之井，也就是後續容量擴張期距再設置之井( 與 ，則需考量其設井成本與操作成本，即式(2.1-20) 第 。 並以時刻 推估值 。對於式 式(2.1-24)分別所代表量後續時刻 而言，後 因此尚無有後續時刻之監測值可用來更新水位，但 (t =k+1~ N) 數) 刻k k p n( − )1 ≥ ) 劃 之 函數(式(2.1-20))， k 即 n 3、 k p − )1 ≥ ( 4 項所代表 i j 而式(2.1-21)代表之卡門濾波推估式，由於尚未有後續時刻之監測值可參 考，因此只需以經由時刻t =k之監測值y 更新後之地下水模擬模式進行模擬，k k更新後之水位作為其初始條件，以模擬水位作為後續時刻之水位 t=

[ ]

h E ,t N ~ ) 續時刻之監測值還無法取得 ( _t N ) ， 經由卡門濾波仍可計算出經更新後之水位標準偏差 k+1~ = (2.1-22)~ 之需水量、各抽水井上下限及水位下限。對於時刻 (t = t =k (sd

[ ]

h_t ) k+1 。式(2.1-25)代表之意 義，為後續時刻之水位標準偏差(

[ ]

_t

本研究以嵌入法(Embedding method) [Gorelick,1983]，由 MODFLOW 2000 計算水位與其敏感度矩陣(Sensitivity matrix)，並以克利金法推估監測井網對應之 參數推估誤差，再由一階二矩法( 計算地下水模式不確定性，配合卡門濾 h sd )同時受到抽水策略及監測策略之影響。 FOSM) 波即可推求各時刻更新後之水位標準偏差(sd

[ ]

h_t ) 綜合上述所言，各限制條件處理方式進行說明如下:式(2.1-21)代表經由監測 值(y )更新後之地下水模擬模式，乃以 MODFLOW 2000 進行建模。有關於抽水_k 。

量需滿足之需水量(式 2.1-22)與各抽水井抽水量上下限(式 2.1-23)，則於退火演算

法中考量。式(2.1-24)代表之水位機率型限制條件，則採用懲罰函數方法(Penalty

function method)，乘上一個懲罰因子(Penalty factor)，合併於目標函數中考量。

式(2.1-25)之sd h_t ，則由卡門濾波計算得出。 經由上述規劃問題定義及解題構想說明，式(2.1-20)~式(2.1-24)為一定率化可 解之優選問題，下一節將就此規劃模式之解題演算流程及使用工具詳細說明。 3 以規劃之抽水策略及監測策略進行操作

[ ]

1 + k 再以優選抽水策略進行抽水井設置及抽水( u )，並依規劃之監測策略，於 監測位置( O )設置監測井，對抽水後之真實水位(h )進行監測，得到時刻 1 + k 1 + k 1 + = k t 之監測值(yk+1)。 各時刻經由上述更新、規劃及操作及之三個程序，即可完整求解式(2.1-13)~ 式(2.1-17)所組成之即時管理模式優選問題。 規劃模式 參數推估 與系統狀態更新 ] [ht E ] [ht sd 地下水真實系統 t w 1 + = t t t O t u t y 地下水 模擬模式 抽水策略 水井位、抽水量) (抽 監測策略 (監測井網) 圖 2.1-5 地下水量即時管理模式架構示意圖

2.2 地下水量規劃模式發展 經由 2.1 節之問題定義及解題架構分析，式(2.1-13)~式(2.1-17)代表之地下水 量即時管理模式，可由參數推估與系統狀態更新及地下水量規劃模式之二部份問 題組成，本節(2.2 節)將先對地下水量規劃模式之演算流程進行說明。 由式(2.1-20)~式(2.1-24)所組成規劃優選問題之決策變數包含了:後續時刻 之抽水與監測之容量擴張設井方案(包含不同階段之設井位置及井 數)，以及各抽水井之時變抽水量。本研究以遺傳演算法為主架構，優選抽水與 監測之容量擴張設井方案，再以退火演算法優選時變抽水量。 在本研究中，目標函數包含抽水策略與監測策略之固定成本與操作成本現 值。雖然抽水與監測之容量擴張設井方案乃是不連續型的變數型態，遺傳演算法 中每一條染色體可以二位元編碼，很容易的表達某一抽水與監測之容量擴張設井 方案。根據每一染色體中抽水與監測設井方案中之設井位置 井期程與數量可 計算抽水與監測之固定成本，且對每一抽水井方案，可再以退火演算法優選此方 案中各井之時變抽水量，計算出抽水操作成本。同時，對每一監測井方案，可由 各時刻之監測矩陣計算出各監測操作成本。 以下將說明演算流程(圖 2.2-1)所應用之理論及工具: (t =k+1~ N) 、設

GA

(1)

SA

Kriging

(2)

(4)

MODFLOW Kalman filtering 2000

(3)

₍₅₎

] [h_t sd ] [h_t E 2.2-1 Sensitivity matrix u _P 抽水量( )t K值共變異矩陣( _KK) 圖 地下水量規劃模式演算流程圖 1.以遺傳演算法優選容量擴張設井方案 遺傳演算法為一種隨機的搜尋過程，並應用自然界中淘汰和演化的觀念所發 展出的演化搜尋法。因此它可處理非凸函數、高度非線性或複雜型態之問題，且 有可能獲得全域之最佳解。遺傳演算法主要機制包含了複製(Reproduction)、交配 (Crossover)及突變(Mutation)等過程，其詳細之理論介紹請參考附錄A。以下將就 以遺傳演算法優選容量擴張設井方案之染色體編碼方式，及為節省計算量對染色 體進行篩選方式作一說明。 (1)設井方案編碼及初始族群之產生 應用遺傳演算法求解時，需先決定染色體編碼方式。就本研究之問題而言， 容量擴張設井方案與單純之設井編碼方式(即 0 代表不設井，1 代表設井)不同處， 在於染色體編碼方式需包含設井位置及其設井時期，以圖 2.2-2 為例，假設若有

一研究區域共有 21 個抽水候選井位，20 個監測候選井位，且考量有三個設井容 量擴張期距。則每個候選井位可以用 2 個位元(bit)表示，則每一條染色體皆為 82 個 0-1 二進位位元組成之字串，前 42 個位元(bit)代表抽水容量擴張設井方案，後 前 40 個位元(bit)代表監測容量擴張設井方案。解碼時根據每一條染色體上之編 碼。每一候選井位對應 4 種情形以 2 個位元(bit)表示，當其為 00 時代表此候選 井位不設井，01 代表在第 1 設井階段之初始時刻設井，10 及 11 代表在第 2 及第 3 設井階段之初始時刻設井。演算初始時以隨機的方式產生多條的染色體(設井方 案)，每一組設井方案決定不同設井時期之設井位置與設井數目。 在演算中候選井位會隨著時間設井之佔用而變少，且剩餘之設井間距也會變 少。 (2)染色體篩檢 由於式(2.1-23)之總需水量及式(2.1-24)各抽水井之抽水量上、下限制條件之 存在，為避免遺傳演算法之染色體所代表之設井方案無法滿足前述之限制，造成 時變抽水量無解之情形，因此於優選時變抽水量前，必須檢核每一設井方案是否 有解存在，即是否滿足最小抽水井數要求，抽水設井數量最小值可表示如下： 最小抽水設井數 (相當小 之適 = max(dt)/umax (2.2-1) 一旦染色體不滿足上述限制，此染色體將被給予一個大的總成本值 合度值)，且對應之抽水量優選過程將被省略，避免以退火演算法優選時變 抽水量時無法收斂。