地下水量規劃模式發展

經由 2.1 節之問題定義及解題架構分析，式(2.1-13)~式(2.1-17)代表之地下水 量即時管理模式，可由參數推估與系統狀態更新及地下水量規劃模式之二部份問 題組成，本節(2.2 節)將先對地下水量規劃模式之演算流程進行說明。

由式(2.1-20)~式(2.1-24)所組成規劃優選問題之決策變數包含了:後續時刻 之抽水與監測之容量擴張設井方案(包含不同階段之設井位置及井 數)，以及各抽水井之時變抽水量。本研究以遺傳演算法為主架構，優選抽水與 監測之容量擴張設井方案，再以退火演算法優選時變抽水量。

在本研究中，目標函數包含抽水策略與監測策略之固定成本與操作成本現 值。雖然抽水與監測之容量擴張設井方案乃是不連續型的變數型態，遺傳演算法 中每一條染色體可以二位元編碼，很容易的表達某一抽水與監測之容量擴張設井 方案。根據每一染色體中抽水與監測設井方案中之設井位置 井期程與數量可 計算抽水與監測之固定成本，且對每一抽水井方案，可再以退火演算法優選此方 案中各井之時變抽水量，計算出抽水操作成本。同時，對每一監測井方案，可由 各時刻之監測矩陣計算出各監測操作成本。

以下將說明演算流程(圖 2.2-1)所應用之理論及工具:

(

t = k + 1 ~ N

)

、設

GA (1)

SA Kriging

(2) (4)

MODFLOW Kalman

filtering 2000

(3) (5)

] [ h

_t

] sd

[ h

_t

E

2.2-1

Sensitivity matrix

u P

抽水量( )^t K值共變異矩陣( KK)

圖 地下水量規劃模式演算流程圖

1.以遺傳演算法優選容量擴張設井方案

遺傳演算法為一種隨機的搜尋過程，並應用自然界中淘汰和演化的觀念所發 展出的演化搜尋法。因此它可處理非凸函數、高度非線性或複雜型態之問題，且 有可能獲得全域之最佳解。遺傳演算法主要機制包含了複製(Reproduction)、交配 (Crossover)及突變(Mutation)等過程，其詳細之理論介紹請參考附錄A。以下將就 以遺傳演算法優選容量擴張設井方案之染色體編碼方式，及為節省計算量對染色 體進行篩選方式作一說明。

(1)設井方案編碼及初始族群之產生

應用遺傳演算法求解時，需先決定染色體編碼方式。就本研究之問題而言，

容量擴張設井方案與單純之設井編碼方式(即 0 代表不設井，1 代表設井)不同處，

在於染色體編碼方式需包含設井位置及其設井時期，以圖 2.2-2 為例，假設若有

一研究區域共有 21 個抽水候選井位，20 個監測候選井位，且考量有三個設井容 量擴張期距。則每個候選井位可以用 2 個位元(bit)表示，則每一條染色體皆為 82 個 0-1 二進位位元組成之字串，前 42 個位元(bit)代表抽水容量擴張設井方案，後 前 40 個位元(bit)代表監測容量擴張設井方案。解碼時根據每一條染色體上之編 碼。每一候選井位對應 4 種情形以 2 個位元(bit)表示，當其為 00 時代表此候選 井位不設井，01 代表在第 1 設井階段之初始時刻設井，10 及 11 代表在第 2 及第 3 設井階段之初始時刻設井。演算初始時以隨機的方式產生多條的染色體(設井方 案)，每一組設井方案決定不同設井時期之設井位置與設井數目。

在演算中候選井位會隨著時間設井之佔用而變少，且剩餘之設井間距也會變 少。

(2)染色體篩檢

由於式(2.1-23)之總需水量及式(2.1-24)各抽水井之抽水量上、下限制條件之 存在，為避免遺傳演算法之染色體所代表之設井方案無法滿足前述之限制，造成 時變抽水量無解之情形，因此於優選時變抽水量前，必須檢核每一設井方案是否 有解存在，即是否滿足最小抽水井數要求，抽水設井數量最小值可表示如下：

最小抽水設井數

(相當小 之適

= max(

d

_t)/

u

_max (2.2-1) 一旦染色體不滿足上述限制，此染色體將被給予一個大的總成本值

合度值)，且對應之抽水量優選過程將被省略，避免以退火演算法優選時變 抽水量時無法收斂。

1 2 3 .. .. .. 19 20 21 1 2 3 .. .. .. .. 18 19 20 00 10 01 .. .. .. 00 11 01 10 00 01 .. .. .. .. 01 00 11 0 2 1 .. .. .. 0 3 1 2 0 1 .. .. .. .. 1 0 3

圖 2.2-2 染色體解碼後對應於設井位置及設井階段示意圖 (3)計算各染色體之適合度值（Fitness）

體(設井方案)，因其已決定抽水與監測井網之設井位置與 目，配合設井單位成本及利率，即可計算出抽水與監測之設井固定成本現值。

，來求得其中各抽水井之最佳時變抽水量，及 其抽水操作成本現值(詳見步驟 2.退火演算法優選時變抽水量)。

本研究假設每一口監測井設置時，即取得監測井位置之 K 值，並於後續時 刻皆進行水位監測，因此由每次水位監測單位成本及各時刻之監測井數，可計算 得出各時刻監測操作成本現值。

將上述之抽水策略及監測策略之設井固定成本現值加上操作成本現值，得出 總成本現值，最後再加上水位限制式之懲罰函數值(詳見步驟 6. 卡門濾波計算水

對通過篩檢的染色 數

對每個抽水井網可再由退火演算法

位誤差)，即為此染色體(設井方案)之目標函數值。由於本研究為最小化目標函數 之問題，適合度函數則需由目標函數經適當的轉換而產生，因此以一極大值減去 目標函數值，即為此染色體(設井方案)之適合度值（Fitness）。

(4)遺傳演算法收斂條件判斷

本研究問題設定收斂條件為滿足繁衍代數，且連續至少 5 代最佳染色體之適 合度不變。若仍未收斂，則再進行演化機制包括染色體的複製、交配及突變，產 生出更佳的下一代染色體群。在複製選取時，使用了菁英政策，如此不僅能夠確 保最好的染色體不會被遺漏，亦使得每代的最佳解不會造成震盪的情形而不能收 斂。另外，為節省計算量，亦採用筆記本法，減少相同染色體之計算量。筆記本 法原理為，各個染色體為獨立的個體而且相同的染色體對應的適合度也相同，因 此在程式開始計算時，就開始記錄每條染色體以及其對應的適合度，在產生子代 的染色體後，比對之前已經計算過的染色體，若染色體之編碼完全相同，則直接 輸出其適合度，不再對其做適合度計算。

2.退火演算法優選時變抽水量

退火演算法又可稱為模擬退火演算法，屬於最常見啟發式演算法之一。退火 演算法是應用溫度來調整接受較差結果的機率，藉由反覆的進行求解，直至達到

均衡的狀態 以接受；

否為某一機率，因此本演算法具有跳脫 局部最佳解，進而求取全域最佳解之可能性。關於退火演算法詳細之理論介紹請 參考附錄 B。以下將就本研究以如何運用退火演算法優選時變抽水量進行說明:

井數可能會不 相同，所以各時刻待優選之抽水量數目也會不同。所有時刻抽水井數之總合，即 為待優選之時變抽水量變數數目，也就是退火演算法之求解維度。

解空間範圍離散化成不連續，換言之，將抽水量上、下限範圍(式 2.2-4)切割數個 等間距抽水量，而各時刻之抽水量只能在此限個間距內選擇。同時，為決定退火

。退火演算法在演算過程中，若搜尋到較佳之鄰近解，則予 反之，若搜尋到較差之鄰近解，被接受與

(1)決定變數數目及產生初始狀態(解)

由於本研究問題之井網為容量擴張型態，因此各時刻之抽水

考量待求解之時變抽水量之變數數目不少，本研究為簡化問題，將連續之

演算法之初始狀態(即各時刻時變抽水量之初始解)，將由此有限個抽水間距中，

選出最接近且不小於各時刻平均抽水量(需水量/抽水井數)之抽水量為初始狀態。

另外，為增加問題設定之彈性及減少計算量，抽水期距(Pumping period)與

，其可介於設井間距(Wells installing interval)與模 擬時距之間

模擬時距(Time step) 可不一致 (如圖 2.2-3 所示)。

圖 2.2-3 時間分割示意圖

(2)計算狀態能量(熵, Entropy)

退火演算法中，隨著溫度降低不斷搜尋新的狀態(解)，狀態之好壞則以狀態 能量(熵, Entropy)為代表。在本研究問題中，能量函數即為抽水操作成本現值，

加上水位限制式之懲罰函數值(詳見步驟 5.卡門濾波計算水位誤差)。經由狀態能 量(熵)之計算，即可判斷此狀態(解)之好壞與否。本研究利用 MODFLOW 2000 根據時變抽水量模擬各時刻水位值(詳見步驟 3. MODFLOW 2000 計算水位及敏 感度矩陣)及計算抽水揚程，再配合抽水單位成本得出抽水操作成本。

(3)取得新的鄰近狀態與判斷接受與否

為確保新的鄰近狀態(解)符合抽水量上、下限及滿足各時刻需水量之限制條 件，若隨機產生之鄰近狀態，不在抽水量上下限範內或不滿足各時刻需水量，則 再重新隨機產生，直到新的鄰近狀態位於合理解空間範圍內。

以某時刻 t 為例，若此時刻之抽水井網只包含二口抽水井，當由(

u

¹,

u

²)^o隨 機產生新的鄰近狀態(

u

¹,

u

²)^'時，因(

u

¹,

u

²)'無法滿足時刻 t 之需水量，因此須再 重新隨機產生(

u

¹,

u

²)"(如圖 2.2-4 所示)，直到各井抽水量位於上、下限範圍(式

t t

t

t t t

t t

2.2-4)且滿足時刻 t 之需水量(式 2.2-3)。重複上述程序，直到各時刻各井之抽水量 皆位於解空間範圍內，如此才完整的產生新的鄰近狀態。在產生新的鄰近狀態 後，即可根據能量變化，決定是否接受新的鄰近狀態。

2

u

t

1

u

t

u

min

u

max

min x

t i

t

I d

u

≥

u u

ma

I i

∑

∈

) (

o t

t

u

u

, ) ( ^{1 2}

' 2 1, ) (

u

t

u

t

"

2 1, ) (

u

_t

u

_t

圖 2.2-4 隨機產生新的鄰近狀態示意圖

(4)退火演算法收斂條件判斷

退火演算法要滿足的收斂條件為溫度必須降至最終溫度以下，除此之外，

定最大疊代次數，若滿足最大疊代次數，

則中止

; Hill et al., 2000) 模擬地

ey)發展 水模擬程

。MODFL

為避免過多之計算時間，本研究問題設 退火演算法之演算。

3.MODFLOW 2000模擬水位及計算敏感度矩陣

本研究以嵌入法利用MODFLOW 2000(Harbaugh et al., 2000

下水位，及計算K值對水位之敏感度矩陣。MODFLOW是美國地質調查局 (U.S. Geological Surv 之地下 式，該程式可求解二維及三維之飽 和層地下水流問題 OW 2000 與之前版本最大不同處在於，MODFLOW

2000 除了能進行模擬地下水流 (Ground-water flow process)，也能進行敏感度分 析 (Sensitivity process) 與 參 數 推 估 (Parameter-estimation processes) 。 關 於 MODFLOW 2000 求解之差分式之推導，請參考附錄C。

(1)模擬地下水位

以 MODFLOW 2000 建構問題之地下水系統方程式(式 2.1-22)，並以其地下 水流處理程序(Ground-water flow process)，配合退火演算法產生之時變抽水量，

抽水後之模擬地下水位，以供計算抽水揚程，同時亦為水位機率型限制條件

抽水後之模擬地下水位，以供計算抽水揚程，同時亦為水位機率型限制條件

在文檔中 結合抽水與監測容量擴張之地下水量即時管理模式 (頁 40-49)