第三章 研究方法
第二節 均異擴張檢定
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假說三:投資人之投資組合增加黃金商品投資，在信心指數低時比信心指數高時，
提昇整體投資組合報酬更為顯著。
四、在股票市場為空頭市場時，股票價值不斷下跌，資金撤離股票市場，資金轉往 避險性商品，造成避險性商品價格上漲。故本論文做出以下假說：
假說四：投資人之投資組合增加黃金商品投資，在股票市場為空頭市場時比多頭市 場時，提昇整體投資組合報酬更為顯著。
第二節 均異擴張檢定
均異擴張檢定(Mean-Variance Spanning Test)為Huberman and Kandel(1987) 提出，其概念為假設有一組K 種基礎資產 (benchmark assets) 所形成的效率前緣，
再加入一組新檢定資產 (test assets) N之後，那所形成新的投資組合N+K資產的效 率前緣會跟原來K資產的效率前緣一模一樣。當存在一個無風險性資產的時候，且不 限制它的借貸利率，那麼對於只在乎他們投資組合報酬和變異數的投資者，就只會 對切點投資組合(Tangency portfolio) 有興趣(能使投資組合的Sharpe ratio最大 化的那個投資組合)，這個時候投資者只關心他們使用K個標的風險性資產所產生的 切點投資組合跟加入檢定資產後的N+K個風險性資產所產生的切點投資組合是不是 相同。但如果無風險性資產不存在的話，或是它們的借貸利率限制在同一個利率的 話，投資者關心的便是這兩組效率前緣是不是相同。
而針對這個問題的答案我們可以找到了兩個財務上很有趣的問題。第一個問題 是在給定一組N+K的資產，投資者是否可以藉由只持有一組較小的K資產來極大化他 們的效用，這隱含了關於效率投資管理的問題。而第二的問題是假設給定一組K資產，
那麼投資者是否可以藉由投資另一組N的風險性資產得到益處，這個問題就跟常探討 的國際投資組合管理類似，如果持有一組K的國內資產，再加入一組N的海外市場檢
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定資產，是不是可藉由加入的新資產帶來風險分散效果。所以假說是把K和N+K兩個 效率前緣拿來比較，並假設這兩者的效率前緣是相同的，即新資產加入後不能造 成顯著差異。如果假說被拒絕了，那麼便可以說加入新資產會使得原有的效 率前緣推移出去，投資人因此藉由投資組合的改變而獲得更好的投資機會，
也就是新資產提供了風險分散的效果 (diversification benefits)。
接下來的部份就來簡單介紹 Huberman 跟Kandel (1987) 所提出的均異擴張檢 定，以下方法也可稱作迴歸基礎下的(regression-based framework) 均異擴張檢定。
假設K 的標的資產上有一組K 維(K-vector) 的報酬向量 R1t 。而 R2t 則是N 檢定 資產上的一組N 維 (N-vector)的報酬向量。𝑅𝑡 ≡ [𝑅1𝑡′ 𝑅2𝑡′]′。E[𝑅𝑡] ≡ 𝜇 ≡ �𝑢1
𝑢2�。
Var[𝑅𝑡] ≡ 𝑉 ≡ �𝑉11 𝑉12
𝑉21 𝑉22�。通常我們會使用最小平方估計法 (Ordinary Least Squares) 來估計下列方程式的參數：
𝑅
2𝑡= 𝛼 + 𝛽𝑅
1𝑡+ 𝜀
𝑡, 𝑡 = 1,2, … . , 𝑇
(R=X 𝛽 + 𝜀 以矩陣的型式表示)， (公式1)
這裡的εt是假設互相獨立且相同分布 (independent and identically distributed ,“i.i.d.”)，且是多變量常態分配 (multivariate normal
distribution)，其標準差為零而共變異矩陣等於Σ。舉個簡單的例子來說，假設我 們一開始的標的資產個數為3(K=3)，而檢定資產的個數為2 (N=2) 那麼公式1 就可 以表示為下列的形式：
� 𝑟
1𝑟
2� = � 𝑎 𝑎
12
�+�𝑏
11𝑏
12𝑏
13𝑏
21𝑏
22𝑏
23� � 𝑅
1𝑅
2𝑅
3�+� 𝜀
1𝜀
2� (公式例1)
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現在我們定義𝛿 ≡ 1𝑛-𝛽1𝑘 ，這裡1k 是一個裡面都是 1 的N 向量。所以這邊 的虛無假設就寫成如式 (2) 所示：
H
0: α = 0
N, δ = 0
N(公式2)
檢定的邏輯是這樣的，假如效率前緣上的切點投資組合 (Tangency Portfolio) 跟最小變異數投資組合 (Global Minimum Variance Portfolio, “GMV” ) 在檢定 資產中的權重都為零，那麼根據兩種資金分離原則 (two-fund separation
principle )，在N+K 所形成的效率前緣上，所有的投資組合在檢定資產中都不佔有 任何權重(zero weights)。也就是說不管他們的風險屬性為何 (risk preferences) 切點投資組合都應該是投資者的最適風險性投資組合，而最小變異數投資合則是在 這個投資組合的效率前緣上能提供投資者一個最低的風險的投資組合。因此檢定 α = 0N就是檢定切點投資組合，N 檢定資產在N+K 資產上的權重等於零，δ = 0N是 檢定最小變異投資組合，N 檢定資產上在N+K 資產的權重等於零。所以當公式 (2) 成立的時候，對每一個檢定資產來說，都可以在標的資產裡頭找到一個平均值相同 (因為𝛼 = 0𝑁 且𝛽1𝐾 = 1𝑁)但變異數更小的投資組合，因為R1t跟εt 是沒有關係的且 VAR[εt]是正定，(Positive definite))，換句話說，新資產的報酬都可以被舊 資產所解釋，這時增加資產只會增加投組風險卻不會改變預期報酬。那麼這時候虛 無假說便成立。以公式 (1) 來解釋的話就是N = 2 的檢定資產上的報酬都可以從舊 標的資產K = 3 上產生，如圖 3 所示。
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圖 3 Mean-Variance Spanning Test 假說成立
因此在有限的樣本下，我們可以利用以上迴歸基礎下的均異擴張檢定法來檢定 效率前緣是否能產生統計上顯著的差異。關於這一套檢定方法完整的回顧deRoon 跟 Nijman (2001)以及Kan 跟 Zhou (2008)都有更詳盡的介紹。