夏普比率(Sharpe Ratio)在資產選擇上的探討

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第三章 理論模型推導

第一節 夏普比率(Sharpe Ratio)在資產選擇上的探討

本研究的所利用的方法，是使用建立在傳統資產定價模型(CAPM)架構 上的條件資產定價模型(Conditional CAPM)，以台灣的 892 家上市公司為研究的 標的，探討台灣市場的價值股與成長股的不同時期下的風險變動。在條件資產 定價模型的架構下，是否可以證實出台灣價值股風險不一定高於成長股風險?

若不行，為何模型不適用於台灣的市場? 以下將先探討夏普比率，並由夏普比 率延伸到CAPM 的原理，並推廣到條件資產定價模型的架構，並加以比較 CAPM 和 Conditional CAPM 兩者的差異。

投資標的的風險可以分成兩種，一個是系統性的風險，另一個則是非系統 性的風險。非系統性風險為各投資標的個別的風險，又因為各個投資標的彼此 互有關連性，投資人可以透過多元的投資組合將非系統性風險給消除掉。Harry Markowitz(1952)就用一個簡單的數學式子來講解如何消除非系統性的風險。

假設，有兩個具有風險投資標的A 和 B，他們的投資風險就是他們的標準 差(standard error)，分別為

σ

A和

σ

B，ρ 則是 A 和 B 的相關係數，如果用 A、B 來組成一個資產組合，其中A 占了全部的 x，B 則占了全部的 y (x+y=1)，當 ρ=1 的時候，則資產組合的標準差(

σ

P)則會是

σ

P =

σ

A +

σ

B，但是當ρ=1 時，我 們可以透過以下的整理的出三者的關係

如果又假設

σ

A =

σ

B，就可以得到

σ

P < (x + y)

σ

A 且

σ

P< (x +y)

σ

B

σ

P2 = (x

σ

A+y

σ

B)² - 2xy(1-ρ)

σ

A

σ

B < (x

σ

A+y

σ

B)²，則

σ

P < x

σ

A + y

σ

B

σ

P2 =

σ

A2 +

σ

B2 + 2xyρ

σ

A

σ

B

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我們又知道x+y=1 ，所以得到

σ

P<

σ

A且

σ

P<

σ

B

以上的推導，可以得知在A 和 B 並非完全正相關的條件下，兩者的非系統 性風險，可以透過資產組合的方式來達到抵銷的效果。另一方面，系統性風險 則是跟環境的波動有關係，會對所有的投資標的造成全面性的影響，所以系統 性風險是無法透過多樣化的投資組合來消除的。而傳統資本定價模型就是用來 描述在投資人透過充分的分散風險，將非系統性風險都消除後，投資組合和系 統性風險之間的關係。

從上述的文字中，可以了解到透過資產間的非完全相關性可以消除資產間 的非系統性風險，進而建立出傳統資產定價的模型，來估算資產的系統性的風 險，所以在接下來，將由將由Perold(2004)的角度探討如何透過資產間的非完全 相關性來求出CAPM 的方程式。

首先，透過剛剛的推導，我們可以知道在假設有兩個具有風險資產，且這 兩個資產的報酬擁有相同的期望值和標準差，利用這兩個資產可以組合成一個 投資組合其報酬期望值和兩個資產相同，但標準差低於兩種資產，代表著多樣 性的組合，可以在不犧牲投資報酬的狀況下降低風險。Harry Markowitz(1959) 所提出的mean-variance 模型裡也清楚描述了前面所提及的狀況，假設投資人皆 是厭惡風險的，投資人在考慮投商品時只會考慮兩個要素，分別是投資組合的 平均報酬率和變異數(mean and variance of portfolio return)，投資人會依照 1.固定 風險下的最大報酬 2.固定報酬下的最小風險，這兩個原則來選擇最適的投資組 合達到本身最大的效用。也就是說當有多種的投資組合報酬皆相同時，投資人 會選擇風險最小的投資組合;當有多種投資的風險皆相同時，投資人會選擇報酬 較大的投資組合，透過此種效用最大化的方式，我們就可以畫出Markowitz 所 提及的效率前緣，如下圖2-1 ，代表著投資人僅有風險性資產的狀況下，最適 的報酬和風險的投資組合。

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接下來假設投資人除了可以持有一項風險性資產，同時也可以持有無風險 資產，如果投資人選擇持有資產B，x 為投入資產 B 的比例，(1-x)則為投資人 投入無風險性資產F 的比例。當 x<1，代表投資人已無風險報酬率借出，當 x>1 則代表投資人以無風險報酬率借入。所以投資人的預期報酬率為

(1 − x)𝑟_𝐹+ x𝐸_𝐵，可以整理成𝑟_𝐹+ x(𝐸_𝐵− 𝑟_𝐹)，風險為 x

σ

B，報酬率和風險皆是 線性加總的結果，因此我們可由此結果畫出圖3-2

圖3-2，三點分別代表著資產 A、資產 B 和無風險資產 F 的預期報酬率與 風險的相對位置，在圖上可以看到無風險資產F 分別和資產 A 及資產 B 各有一 條連線，連線代表的分別是資產A 和無風險資產 F 的組合及資產 B 和無風險資 產F 的組合，以 A 和 F 為例，A 點左側所代表的意思為，投資人以無風險報酬 率借出資產，也就是為x<1 的情況，所以風險會比原先的資產 A 小，但是報酬 率也隨之減少;A 點右側，則為投資人以無風險報酬率借入資產，風險提高，報 酬率也提高，而此條線的斜率則叫做夏普比率(Sharpe Ratio)，為 A 資產的風險 貼水(risk premium)除以 A 資產的風險(risk):

Sharpe Ratio = (𝐸_𝐴 − 𝑟_𝐹)/𝜎_𝐴 (2.1)

Lending risk-free asset Borrowing risk-free asset

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因為夏普比率為線的斜率，任何由資產A 和資產 F 所組成的資產組合，其 夏普比率仍然是維持相同的數值。由圖一，我們可以看到，資產A 的夏普比率 是大於資產B 的夏普比率，如果投資人只能選擇一種風險性資產的狀況下，夏 普比率為重要的指標，投資人在考慮風險跟報酬的因素下，應當選擇較高的投 資組合，在本例裡面，投資人應當選擇由資產A 和資產 F 所組成的投資組合，

其原因是可以由圖3-1 來看，我們可以很明顯地看到，A 和 F 所連成的線是一 直高於B 和 F 的連線，也就是我們永遠可以找到一個資產 A 和資產 F 的投資組 合，在相同報酬下但是風險是小於資產B 和資產 F 的投資組合。

接下來，投資人可以同時投資A、B 兩種風險性的資產，且也可以同時借 貸無風險性產品，則情況變得比較複雜。必須先找出A、B 資產的資產效率前 緣，再由無風險資產為起點畫出一條跟資產效率前緣的切線，如圖3-3 所示，

切點為A、B 資產的最適投資組合，因為其擁有的夏普比率大於其他的資產組 合，再根據各種投資人各自擁有的風險忍受度去借貸無風險資產，而這些資產 組合將都會落在此條切線上。此方法除了應用在兩個風險性資產外，也可以再 延伸到多種風險性資產上，藉此找出最適的投資組合。

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夏普比率和資產效率前緣所提供的資訊為告訴投資人如何選擇最適的資產 組合。資產定價模型(Capital Asset Pricing Model)則是可以描述投資人如何去決 定一個預期的資產報酬使需求市場達到一個穩定的平衡，且這個預期的資產報 酬為一個風險的函數。接下來，將會藉由投資人試圖去提升自身的夏普比率以 達到需求市場的平衡，進而去推導出資產定價模型。

我們將先藉由三種不同的情況去討論如何提升夏普比率，(1)在原有的資產 組合當中額外加入資產組合不相關(uncorrelated)的資產 (2)在原有的資產組合中 加入與資產組合完全相關(perfectly correlated)的資產 (3)在原有的資產組合當中 加入與資產組合部分相關(imperfectly correlated)的資產。

(1) 原有的資產組合當中額外加入資產組合不相關(uncorrelated)的股票

當我們原有的資產組合為$1，現在我們另外加入 x 元的股票，此股票和 原本的資產組合是毫無相關的，如果資產組合的風險為

σ

P而新加入的股票 風險為

σ

s，由於兩者不相關，所以新的資產組合的風險為

σ

P+x

σ

s，那我們 就可以知道當x 很小時，其實資產組合的風險就是維持不變的，也就是說必 須在x 很小的情況下，加入新的股票才可以使在固定的風險下的報酬往上提 升，讓夏普比率因此而提高。

(2) 原有的資產組合中加入與資產組合完全相關(perfectly correlated)的股票 當所加入的股票和原資產組合的關係為完全相關，兩者在市場上的變動 方向會完全一致或是完全相反，股票預期報酬為𝐸_𝑠− 𝑟_𝑓 = 𝛼 + 𝛽(𝐸_𝑃− 𝑟_𝑓)，

至於β 值，我們可以透過兩邊取變異數得到𝜎_𝑠² = 𝛽²𝜎_𝑝²，就可以得到β =

σ

s/

σ

P。股票可以分成兩部分來看，第一是常數α，第二則是 β(EP-rf)，因為 兩者完全相關，所以其實第二部份就是原資產組合的替代品，而我們知道資 產如果再繼續增加同樣的資產，夏普比率是不會有所變化的，所以只有在

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Es - rf > β(EP - rf)也就是 α 大於零時去購買股票，或是在 Es-rf < β(EP - rf)也就 是α<0 時去販賣股票，才可以有效的去增加整個資產組合的夏普比率。

(3) 原有的資產組合中加入與資產組合部分相關(imperfectly correlated)的股票 部分相關的資產跟完全相關資產的差異在於 β 值的計算不同。ρ 為股票 與資產組合的相關係數，若完全相關則ρ=1，若不完全相關則 ρ 為 0<ρ<1。

由於在此例中，股票和資產組合是不完全相關的，所以β 的計算方式將變成 β=ρ

σ

s/

σ

P，且0<ρ<1。在不完全相關的資產組合中，我們可以將其分成兩部 分，第一和原資產組合完全相關的部分，第二和原資產無完全無關的部分。

第一部分因為是和資產組合完全相關，所以可以用β 的資產組合和(1-β)的無 風險資產來取代。第二部分則因為沒有和資產有任何關係，所以對於原資產 的風險不會造成影響。因此我們可以做出結論，在原資產組合下，加入了一 個部分相關的股票，可以再固定的風險下增加其報酬，也就使夏普比率進一 步的提升。

如同上述完全相關的股票一樣，如果股票和市場資產組合的關係式為 Es-rf = α+β(EP-rf)，β(EP-rf)的部分是資產組合的替代品，所以無法提升資產組 合的夏普比率，所以關鍵也是在於常數α 的部分，也就是我們要滿足 Es-rf >

β(EP - rf)也就是 α 大於零時或是 Es - rf < β(EP - rf)也就是 α<0 時，兩者中的其 中一種，才可以去提升夏普比率，當狀況是Es - rf > β(EP - rf)時，我們可以透 過購買股票來提升夏普比率，相反的當Es - rf < β(EP - rf)時，則可以透過販賣 股票來提升夏普比率。

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在文檔中 價值股風險是否較成長股高-條件資本資產定價模型的應用 - 政大學術集成 (頁 14-21)