第三章 理論模型推導
第三節 條件資產定價模型(Conditional CAPM)推演
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第三節 條件資產定價模型(Conditional CAPM)推演
資產定價模型(CAPM)，給予了投資人一個新的面向去看待風險，讓投資人 了解真正所需要考慮的風險並不是投資產品的標準差，因為投資產品的風險可 分為系統性和非系統性風險兩種，非系統性風險指的是股票或公司自身內部的 風險，而系統性風險指的是大環境下的風險，也就是整體經濟環境的變動。非 系統性的風險，因為每間公司彼此並沒完全相關，所以我們可以利用多元化的 投資組合將其給分散掉。但是對系統性風險而言，就沒有辦法透過這種方式將 風險給分散掉，所以投資人所應該在意的應該是投資產品的系統性風險，而非 考慮股票報酬率的標準差。
由第二節中，可以得知系統性風險取決於股票和市場投資組合(或是台灣股 市大盤)之間的連動性，也就是前面公式中所看到的 β 值，當 β 值越大，代表股 票越容易受到大盤的影響，也代表這檔股票所要求得風險貼水越高，這也代表 著這檔股票的風險較大。這種分析方式可以讓投資人很容易地去分析與了解一 檔股票或投資組合在市場上風險高低。
美中不足的是，在資產定價模型可以給予簡易的風險分析方法，卻因為過 多的假設無法符合真實的市場狀況，導致資產定價模型在實證的應用上限制很 多，而且結果通常不理想。假設和現實中不符合的有以下幾點
1. 投資人在考慮投資產品時，不只會考慮一期，而是同時會將產品的未來性也 考慮進去，像是當其儘管經濟狀況良好，但是若是投資人預測到在未來可能 會有經濟衰退的情況，他也將會提高對於此資產的風險貼水。
2. 各個投資人所得到的資訊皆不同，所以每個投資人所擁有的投資機會並不會 一樣。
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Recession(p=1/2) 8% 3/2 12% 8% 1/3 8/3
Expansion(p=1/2) 2% 1/2 1% 2% 5/3 10/3
Average 5% 1 13/2% 5% 1 3%
Static CAPM 5% 1 5% 5% 1 5%
Stock A Sotck B
表 3-2 Conditional CAPM 和 CAPM 的比較
3. 投資的每個環節都需要成本，資產也不可能無限制的分離，而且當今的利率 產定價模型(Conditional CAPM) 來觀察是否對於價值股和成長的風險預測會 有所幫助。
在此先舉一個例子來觀察CAPM 和 Conditional CAPM 在風險估計上的 不同之處，再去說明其重要性。首先假設我們手上有兩個產品，Stock A 和 Stock B，由下表提供了，Stock A 和 Stock B 的風險貼水，也提供了市場投 資組合的風險貼水，另外我們假設世界上的經濟環境有兩種狀況，一個是經 濟環境成長(Expansion )，另一個是經濟環境衰退(recession)
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2. 條件資產定價模型(Conditional CAPM)對於風險的估計
在條件資產定價模型下和傳統定價模型的不同之處在於，條件資產定價模
Average Risk Premium of Stock B : 8
3% ×1
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由上述的例子來看，可以發現條件資產定價模型在計算上的複雜度是高於 傳統的定價模型，但是它也同時提供了更多的資訊，以此例來說，在傳統定價 模型裡，平均的風險是相同的，但是如果依照不同的時間點去計算在平均，結 果是截然不同的，也就是在考慮股票的風險程度的時候，經濟環境的時間點是 重要的考量之一。而這個就跟本研究的主題有切身相關，大部分的投資人皆認 為不論在何種狀況下，價值股的風險都會大於成長股，但依照這個例子來看 Stock A 為價值股，Stock B 則為成長股，儘管在平均的風險貼水上，Stock A 是 大於Stock B 的，但是如果我們將不同時期拆開來看，可以發現在經濟成長時 Stock A 大於 Stock B，但是在經濟衰退時期，Stock A 卻是的風險卻是低於 Stock B 的。這樣的資訊讓投資人知道應該在不同的時期下，應該要對其自身的 投資組合做調整，而不應該是一直維持相同的投資組合。
以上的例子已經稍微解釋了條件資產定價模型和資產定價模型的不同之 處，接下來將透過數學推導的方式，來更清楚的呈現條件資產定價模型和傳統 資產定價模型的不同之處。
為了後面的討論，我們先要了解一兩個隨機變數之間的共變數 (Covariance) 如何去計算，而共變數定義如下
Cov(X, Y) ≡ E[(X − E(X))(Y − E(Y))] (2.3) X: 資產 X 的報酬率; E(X): 資產 X 的報酬率期望值 Y: 資產 Y 的報酬率; E(Y): 資產 Y 的報酬率期望值
Cov(X,Y): 資產 X 的報酬率和資產 Y 的報酬率之間的共變異數
共變異代表的是兩個變數偏差的相關性，從 2.3 式來看就是兩個變數跟其 各自平均的偏差值做乘積再取期望值，更白話一點來說，也就是共變數中希望 看到的是，當偏誤發生時，兩個變數的偏誤之間的相關性是否很大，如果共變
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數為正，代表兩者的偏誤方向是相同的，如果共變數為負值，則代表兩者偏誤 方向是相反的。接下來，將透過線性期望值的性質繼續後續的推演
E[(X − E(X))(Y − E(Y))]
= E[X ∙ Y − E(X) ∙ Y − E(Y) ∙ X + E(X) ∙ E(Y)]
= E(X ∙ Y) − E(E(X) ∙ Y) − E(E(Y) ∙ X) + E(E(X) ∙ E(Y))
= E(X ∙ Y) − E(X) ∙ E(Y) − E(Y) ∙ E(X) + E(X) ∙ E(Y)
= E(X ∙ Y) − E(X) ∙ E(Y)
由此我們可以得到共變異整理過後的表示方法 Cov(X, Y) = E(X ∙ Y) − E(X) ∙ E(Y)
再加以轉換方程式，就可得到
E(X ∙ Y) = Cov(X, Y) + E(X) ∙ E(Y) (2.4)
從資產定價模型中我們知道股票和市場資產組合的關係為E(Rs)= βE(RM)，
我們將等號的兩邊都在取一次期望值，公式將變成E(E(Rs)(= E(βE(RM))，我們 可以寫成E(Rs)= E(βRM)，在此我們就可以利用上述共變異的公式
E(𝛽𝑆∙ 𝑅𝑀) = E(𝛽𝑆) ∙ E(𝑅𝑀) + Cov(𝛽𝑆, 𝑅𝑀) (2.5)
在傳統資產定價模型理論中，在意的是股票 β 值的平均值去乘上市場組合 風險貼水的平均值，且認為β 和市場組合的風險貼水的共變異數是期望值為零 的隨機誤差(pure noise)而已，所以並未多加考慮 β 值和市場投資組合風險貼水 的共變異數。
然而在現實的社會當中股票 β 值得變異數和市場組合的變異數是有所 相關的，所以共變異正式用來觀察兩者變異數之前的關係，如果兩者實際上的
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共變異數為正，則傳統資產定價模型會低估股票的風險，如果兩者實際上的共 變異數為負，則傳統資產定價模型則會高估股票的風險。依照真實的情況來 看，大部分的股票變異數和大盤的變異數之間的變數的關聯性都是為正的，也 就是在這種狀況下，大部分的時候傳統資產定價模型對於股票的風險預測都是 低估的。
我們根據共變異數的公式將他分解開來，以幫助我們了解其中的意義
Cov(𝛽𝑠, 𝑅𝑀) ≡ Corr(𝛽𝑠, 𝑅𝑀) ∙ σ(𝛽𝑠) ∙ σ(𝑅𝑀) (2.6)
從 2.6 式當中，可以看出共變異的重要之處在於股票 β 值和市場組合風險 貼水的相關系數，如果兩者相關性很高，則它們的共變異數就會就大，就會讓 2.5 式中股票的風險貼水變大，在這種情況下，傳統資產定價模型對於風險的估 計就會出現偏差，這時就可顯現處條件資產定價模型的重要性。而除了相關性 之外，會影響共變異數的就是β 值和市場組合風險貼水的共變異數了，說明了 兩者本身的變動都會對於共變異數造成影響，但是同時條件資產定價模型也有 限制存在，在於β 值和市場組合風險貼水之間是要有關連性的，也就是說在兩 者在變動時是需要一起變動的，如果兩者的變動是無相關的，則條件資產定價 模型也無法抓到其風險的存在。
因此傳統資產定價模型和條件資產定價模型的差異在於 β 值和市場組合風 險貼水之間的共同變動關係，如果兩者間共同變動的程度不大，則傳統資產定 價模型和條件資產定價模型的差異就不會太大，那如果兩者間共同變動的程度 很大的話，那就可以觀察到兩者間顯著的差異。
那在此我們將要為資產定價型和條件資產定價模型的公式做出一些區隔，
依照上述的推導方式，可以知道β 值和市場組合風險貼水的共變異數是傳統資
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產定價模型和條件資產定價模型的差異所在，也因此條件資產定價模型能給予 投資人更多關於投資組合風險的資訊。所以如果兩種資產組合的β 值和市場組 合風險的共變異數是不同，甚至是相反的話，那投資人就應該在不同的時間點 選擇不同的投資組合。
在本研究中，我們所觀察的投資組合為成長股及價值股，透過條件式資產 定價模型，我們希望看出在不同的時間點他們風險的變動，因此我們在原始的 資產定價模型上做出一些更正
傳統資產定價模型 :
𝑅𝑖 = 𝛽𝑖𝑅𝑀 , 其中𝑅𝑖為投資組合i 的風險貼水, 𝑅𝑀為市場的風險貼水。
條件資產定價模型:
𝑅𝑖𝑡 = 𝛽𝑖𝑡𝑅𝑀𝑡 , 其中𝑅𝑖為投資組合i 在時間點 t 的風險貼水, 𝑅𝑀為市場在時間點 t 的風險貼水。
由以上兩種模型的比較，就可以較清楚了解到條件資產定價模型的條件指 的就是時間點的不同，也就是本研究想要了解的，在不同時期下，成長股和價 值股的風險會不會隨著時間點的不同而有所變動。
然而條件資產定價模型所捕捉到 β 值在不同時期下的變動是否足夠大，如 果變動很大，則可說條件資產定價模型優於資產定價模型，如果捕捉到的變動 很小，那基本上條件資產定價模型和資產定價模型就沒有太大的差異。
Lewellen-Nagel(2006)，就曾提及，β 值和預期的市場風險貼水的共變數太小，
以致於無法很明確地觀察出β 值在不同時期下的變化，但是在 Petkova and Zhang(2005)利用條件資產定價模型做美國股票市場的實證分析，結果顯示 β 值 確實有明顯的變化出現，在景氣較好的時候，成長股風險貼水大於價值股的風
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險貼水; 在景氣不好的時候，成長股的風險貼水則是小於價值股的風險貼水，
代表條件資產定價模型在實證研究上仍然有它的可行性存在。因此本研究希望 藉由條件資產定價模型，來觀察2006 年至 2015 年間台灣股票市場中成長股和 價值股在不同經濟環境下的風險變化。
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