多元尺度法 - 中華大學

多元尺度法（Multidimensional Scaling，MDS），是一種縮減維度的技術，類似因素分析。多元尺度法是以點距間的相異矩陣為輸入資料，然後找出一個具有較少維度的空間，使空間中的各個體點形成一構形（configuration，或稱空間圖），並使在此特定構型中各點距間的距離和原始投入的資料兩者間有相當良好的適合度（goodness-of-fit），

並以 Kruskal 的壓力係數（Stress）來衡量兩者之配合度。多元尺度法與主成份分析、因素分析都是討論資料簡化的工作，它們的目的之一是將 p 維的資料在 q（＜p）維空間來表達。根據林震岩（2006）[51]

指出當變數很多時，應用MDS 更加合適。

本研究的目的在於假設資料若為非常態性時，因此以無母數統計方法來進行處理，因此應用 MDS 中非計量部份之非計量 MDS。而在非計量MDS 裡，我們所處理的目的資料通常是等級次序（rank order）

資料或轉換而來的次序資料。非計量MDS 的目的即在於根據這些次序性資料，構造出這 N 個刺激體在 R 度空間中的構形 Shepard（1962）

[61]、Kruskal（1964）[62]。非計量 MDS 有一個基本的假設是觀察所得到的次序資料，其次序資料計算時必須具有”單調關係”，亦即是各點的距離大小必須與次序相對應。事實上，N 個刺激體可能排出

2 1) -n(n

個等級次序。如果將N 個點表示在 R 個向度的構形上，需要有 nr 個數值才能表示各點的座標。而當等級次序所得數目

2 1)

-n(n 比表示構形所須座標值的數目增加時，等級次序資料便會限制構形中各點的移動，即能導出唯一解的情形。此時，構形中各點之間如果擅加移動，將會破壞接近性資料的部份次序關係。這便是為何使用非計量MDS 可以從輸入次序變項而得到連續性質的輸出結果的主要理由 Shepard（1962）

[61]、Kruskal（1964）[62]。

因此，在 Kruskal-Shepard 的運算過程中，非計量 MDS 就好像最小平方法迴歸分析，也要處理適合度統計的問題。也即是說，非計量 MDS 是要由次序資料中找到一個合乎”單調關係”且最適合此次序資料的構形。

3.3.1 非計量 MDS 的計算過程

(1)對向度數 n-1 選一個初步圖形結構 X。

設定X=

r

~ n n

~ 2

~ 1

x . . . x x

×

⎟⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

其中 x

i

=（x

i1

,，x

i2

，…x

ir

），i=1，2，…，n

(3.6)

(2)計算幾何距離 d

_ij

（Euclidean distance formula or Minkowski distance）

ij

r 1/2 1 k

2 jk ik - x )

(x ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∑

=

（或 d

ij

^p

1 r

1 k

p jk ik - x

x ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∑

=

）

(3.7)

(3)計算一致不等值dˆ

_ij

因為一致不等值dˆ

_ij

必須滿足”單調關係”（i.e.

δ _ij

δ _i' _j'

⇒dˆ

_ij

≤dˆ

_i' _j'

），所以如果d

_ij

和d

_i' _j'

兩者之間不滿足”單調關係”，則將違反”單調關係”的d

_ij

和d

_i' _j'

加以平均並令dˆ

_ij

和dˆ

_i' _j'

等於此平均值（二個以上不滿足”單調關係”

者，其方法相同）。

∑ ∑

= ₂

ij 2 ij ij

d ) dˆ

-Stress (d

(3.8)

（4）配合指數（index of fit）

計算Stress 並判斷是否前一次的 Stress 相同（相近），若是則跳到第（7）步驟否則繼續第（5）步驟，判斷標準如表 3.13。

2 1

2 ij

2 ' ij ij

d ) d -Stress (d ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

∑ ∑

_(3.9)

表3.13 適合度判斷標準

Stress 適合度

20% 不良

10% 可

5% 良

2.5% 優

0% 完美

(5)重新找一個構形（可利用數值分析法如 Steepest descent or Gradient method）

【原則】：如果d

_ij

>dˆ

_ij

則以某一比例^α 將點i 向點 j 移近。

如果d

_ij

<dˆ

_ij

則以某一比例^α 將點i 遠離點 j。

所以我們考慮將點i 在軸ａ移向點ｊ的新座標表示為：

( ) ( ) ( ja ia )

ij j ij

ia j '

ia

-d - dˆ

1 χ χ

α χ

χ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝ + ⎛

=

(3.10)

其中

0 <

< 1

，α稱為比例係數（coefficient of proportionality，通常取 0.2）。

則從點i 移向點 j,計算所有 n-1 點在軸 a 上的平均移動效果:

( )

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ + ⎛

∑

≠ ja ia

n i

j ij

ij ia

'

ia

-d -dˆ 1 1

-n

α χ χ

χ

(3.11)

(6)重複（2）,（3）,（4）,（5）各步驟。

(7)而當維度數等於一時，則停止。

如果我們以維度數（Dimension）為橫軸，Stress 為縱軸作圖，則圖形為左上而右下遞減的形態。如圖3.2 所示。

以上七個步驟的流程圖如圖3.3 所示。[63]。

圖3.2 壓力和維度對應圖

投入相似矩陣

初步構形的選擇

計算圖形結構中各點間的距離

計算圖形結構中之一致不等值重新選擇另一構形（構面數）向度數減一

計算配合指數

第t次計算的配合指數與第t-1次相同

空間向度（構面）

數目小於或等於1

終止

圖3.3 MDS 步驟流程圖

3.3.2 權數估算

根據劉炳宏及魏秋建（2001）[53] 所發表的決策權重方法之分析比較，其文主要以目前較常使用之權重值求算方法，作一介紹及各決策權重方法的優劣進行分析。在文中提到權重的求取，係按準則重要性依序排列，再透過加總法或倒數法求出權重值。而此權重是要決策者知道各屬性之重要優先排序。

由於本研究應用 MDS 非計量分析（non-metric analysis），由於 MDS 非計量分析並沒有尺度(scale)標示，因此因子間之相對距離愈近，表示因子間之相關性愈大，反之亦然（莊明德等，2007）[64]。因此我們由 MDS 法求取兩兩因子之相對距離（Relative distance ），由於應用MDS 法進行求取各因子之相對距離，需設定各因子所對應之參考點，因此以朱達仁（2006）[2]所提出之 SIAM 模式之初始權重 1/n 為參考點進行計算。

由所求取各因子之相對距離，即可再利用倒數法求出權重值。在本文中倒數法的權重係同於MDS 所對應之參考點，因此各指標相對於此參考點之距離，表示如公式

多元尺度法

3.3.1 非計量 MDS 的計算過程

r

~ n n

~ 2

~ 1

x . . . x x

×

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

i

i1

i2

ir

(3.6)

ij

ij

r 1/2 1 k

2 jk ik - x )

(x ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∑

=

ij

p

1 r

1 k

p jk ik - x

x ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∑

=

(3.7)

ij

ij

δ ij

δ i' j'

ij

i' j'

ij

i' j'

ij

i' j'

ij

i' j'

∑ ∑

= 2

ij 2 ij ij

d ) dˆ

-Stress (d

(3.8)

2 1

2 ij

2 ' ij ij

d ) d -Stress (d ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

∑ ∑

(3.9)

ij

ij

_ij

^p

_ij

_ij

δ _ij

δ _i' _j'

_ij

_i' _j'

_ij

_i' _j'

_ij

_i' _j'

_ij

_i' _j'

= ₂

_(3.9)

_ij

_ij

_ij

_ij

計算圖形結構中之一致不等值重新選擇另一構形（構面數）向度數減一

第t次計算的配合指數與第t-1次相同

W _i