2.3.1 多目標規劃法介紹
多目標規劃理論之研究源於 1944 年 Von Neumann 和 Morgenstern 為解決多 個衝突的目標。而在 1951 年 T.C. Koopmans 提出有效向量的觀念，考量資源最 有效分配之多目標問題。隨後，H.W. Kuhn 和 A.W. Tucker 在同一年推導出有效 解存在的最適化條件，至此奠定了多目標規畫之研究基礎。1961 年 A. Charnes 和 W.W. Cooper 也提出了簡要討論含多個衝突目標問題的求解方式。直到 1972 年 10 月在美國南卡羅來那州（South Carolina）大學召開第一次多評準決策
（Multiple Criteria Decision Making；MCDM）研討會之後，方逐漸獲得學術界重 視及廣泛應用。 (馮正民、邱裕鈞，2004；張乃斌，2002)
多目標規劃是一種可同時考量多個相互衝突的決策目標規劃方法。傳統單一 目標最適化早已無法處理政府在投資決策單位過程中，存在多個目標相互衝突的 問題（馮正民、邱裕鈞，2004) 。例如本研究所探討的公平性、預算成本最小、
碳排放量最少與策略減排效益最大化之多目標規劃問題，這些目標彼此間存在著 互相衝突的特性。本研究將採用多目標規劃理論，以求在處理不同單位的目標之 間相對的妥協解（非劣解）。
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本研究欲利用多目標規劃來解決預算分配的問題。以下即簡要介紹多目標規 劃之理論與求解方法。多目標規劃屬於多評準決策法（Multiple Criteria Decision Making, MCDM）之一類。多評準決策主要目的是同時考量多個相衝突目標或準 則的最佳化決策問題。其廣義的定義又包含四類︰多目標規劃、多準則評估、多 屬性效用理論以及公共選擇理論。而應用在運輸領域之議題多以多目標規劃與多 準則評估最為廣泛。以下即對這兩類方法作簡介：
1. 多目標規劃 (Multi-Objective Programming, MOP)
多目標規劃的模式機制是以最佳化函數為基礎，較適用於可行方案多個 且為量化資料的情形，其運算機制是以限制條件 (式) 界定可行方案範圍，
而後以數學方法求得非劣解，再結合決策者的偏好資訊，最後求得妥協解 (compromise solution)。
2. 多準則評估 (Multi-Criteria Evaluation, MCE)
又稱多屬性決策 (Multi-Attribute Decision Making, MADM)，適用於有 限個且已知的數個可行方案，並評選程序評估各屬性的相對重要性來進行方 案的評選以決定其可行方案的優劣並排序。
如上述，廣義多評準決策 (Multiple Criteria Decision Making，MCDM) 分為 多目標規劃 (MOP) 與多準則評估 (MCE) 兩大類。兩者主要的差異在於多目標 規劃是以數學規劃將多個可行方案的資料量化，並建構目標式及限制式，求解後 供決策者參考；而多準則評估則是在已知的有限個可行方案中，透過決策者之偏 好求出權重，在其方案中評估期優劣及排序，供決策者挑選。
在現實社會中，決策者面臨之問題通常多較複雜，如交通運輸規劃問題中使 用者效用最大、建設成本最小等。其應用之廣泛，只因現實生活中存在著許多目 標衝突之問題。而傳統單一目標規劃之缺點為考慮不周全以及決策者對所求之解 只有接受或拒絕，並無法處理在決策過程中，存在多個目標相互衝突的問題。這 些目標彼此間存在著互相衝突的特性，以及目標衝突時之權衡 (trade off)。
因此，多目標規劃法為解決單一目標規畫無法解決之多目標問題，在多個目 標可衡量之情況下，建構目標式和限制式，並利用數學規劃方法在許多個方案中 尋求滿意解（解集合）。換句話說，多目標規劃因在其決策過程中多個目標相互 衝突之故，所以無法同時達到全目標之最佳化。由此可知，多目標規劃問題並無 所謂的「最佳解」，取而代之即符合相關限制條件之非劣解（non-inferior solution）、 妥協解（compromise solution）。
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非劣解的定義為模式結果中不存在「任何其他可行解組在不犧牲某目標值的 前提下使另一目標值提高」即為非劣解，或稱柏拉圖最適解、效率前緣解。如圖 2-1 之 AC 曲線。但非劣解又會因決策者偏好不同或價值觀之緣故，而有權重關 係。因此，決策者的偏好以及提供時機的不同，也會影響模式的求解方式。所以 更進一步再結合決策者偏好以及提供資訊之時機，求出接近於理想解之妥協解。
如圖 2-1，決策者提供其偏好之效用函數 U，與非劣解集合之切點 B 即為滿意之 妥協解。
圖 2-1 非劣解集合與效用函數 U
目前多目標規劃依照延伸發展出的研究又有是否包含現實中不確定性因素 之資訊而有其他整合類型之多目標規劃法的發展。傳統多目標規劃又有多目標線 性規劃、多目標非線性規劃與多目標整數規劃等延伸；當加入不確定性因素後又 發展出模糊多目標規劃、可能 (機率) 多目標規劃、灰色多目標規劃與灰色模糊 性多目標規劃等。此外，近年來又有結合遺傳演算法、層級分析法等整合型多目 標規劃法。
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2.3.2 多目標規劃法一般式
多目標規劃模式基本上為單一目標線性規劃之擴充，其為同時處理考量二個 或多個具有衝突關係之不同目標，而單一目標線性規劃只能處理一個目標。多目 標規劃法亦即在有限資源之限制下，處理相互衝突之多個目標，並尋求相對較佳 的解集合供決策者參考。
與單一目標規劃不同之處在於，單目標所求之最佳解為一點 (如 Max/Min 目標值)；而多目標規劃所求之解為一組解集合，或稱向量解。因此多目標規劃 又稱向量最佳化(vector optimization)問題。
多目標規劃有三項組成要素：
(1) 目標函數 𝑍 = {𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛} (2) 決策變數 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝}
(3) 限制式 {𝑔𝑖(𝑥) ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚}
因此，一 n 個目標、m 個限制式以及 p 個變數之多目標規劃一般式可表 為：
Max/Min [𝑓
1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑘(𝑥)]Max/Min [𝑓
𝑘+1(𝑥), 𝑓𝑘+2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥)]s.t
𝑔𝑖(𝑥) ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑋𝑗 ≥ 0 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑝
其中，𝑓𝑙(𝑥)指的是第 l 個目標式，l = 1, 2,…, k 為極大化目標，l = k +1, k+2,…,n 為極小化目標式，共計 n 個目標。X 為 p 維決策向量，即 p 個變數。而𝑔𝑖(𝑥)指 的是第 i 個限制式，共計 m 個限制條件。最終求得之解為一向量解表為：
𝑍∗ = [𝑓1∗, 𝑓2∗, … , 𝑓𝑛∗]
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2.3.3 多目標規劃求解法分類
多目標規劃方法求解方法再依決策者提供偏好資訊之差異，又可分為四類︰
（Hwang 等，1981；Goicoechea 等，1982；許志義，1994；馮正民等，1989；馮 正民、邱裕鈞，2004）
1. 決策者無提供偏好資訊 (No Articulation) ︰
此種求解方法在建構模式後，決策者不須提供任何主觀之偏好資訊，純 粹由規劃者根據目標函數及限制式求出滿意之妥協解。此種方法之優點為其 求出之結果不受規劃者主觀偏好的影響；缺點則是由於缺乏完整偏好資訊，
必須對決策者之偏好作假設，但也必須承擔假設錯誤之風險。
本求解方法如ɛ-限制法（ɛ-constraint Method）、整體準則法（Global Criterion Method）、最小誤差法（Minimum Deviation Method）、多目標單形 法（Multi-objective Simplex Method）。
2. 決策者先前提供偏好資訊（Prior Articulation）：
此種求解方法即決策者事前提供本身的偏好資訊，給予規劃者在求解多 目標模式時之參考，因此模式所求出之解即為決策者之偏好解。此類方法的 優點為求解容易、搜尋成本較低以及所得到的結果較容易被決策者接受。另 外在現實決策環境下，此種求解模式，較符合實際執行情形；而缺點部分，
則因偏好資訊多為主觀認知，較難求得決策者切確的價值函數 (Value Function)，抑或是當決策者本身資訊即不足，難以決定權重，受限於決策者 所提供偏好資訊之完整程度。
本求解方法又可依據決策者所提供資訊型態分成兩大類型：基數資訊 (Cardinal Information) 與加入次序資訊的混合資訊 (Ordinal and Cardinal Information) 。而基數資訊又可分為效用函數法 (Utility Function Method) 和 限制目標法 (Bounded Objective Method) ；混合資訊又可分為字典式排序法 (Lexicographic Method) 、目標規劃法 (Goal Programming) 及目標達成法 (Goal Attainment Method) 等。
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3. 決策者事後提供偏好資訊（Posterior Articulation）︰
此種求解方法不需要決策者提供任何偏好資訊或效用函數，完全由規劃 者求出問題中之非劣解，然後事後再由決策者選擇一最符合之滿意解，因此 又稱非劣解法。優點在於決策者有面對不同的非劣解有更多的選擇機會，而 且不需要收集決策者的偏好資訊；缺點則為相較於其他解法計算較為複雜、
現實中較為繁瑣、大規模問題難以使用本法求解，且若產生之非劣解數目太 多，則可能會對決策者造成困擾導致無法選出最滿意解。
本求解方法可先利用變動方式（假設各種偏好）之權重法（Weighting Method）或變動其他目標下限值之 ɛ-限制法（ɛ-constraint Method）、多目標 簡捷法（Multi-objective Simples Method）以及非劣解估計法（Non-inferior Set Estimation Method）等求解，然後再依決策者偏好挑出最佳解。
4. 決策者逐漸提供偏好資訊（Progressive Articulation）︰
此種求解方法為決策者對於規劃者提出目標之非劣解後，再提供其偏好 資訊，而規劃者再根據其提供之資訊進行模式的修正以及再求解，直到得出 決策者最滿意之妥協解為止，因此又稱互動法 (Inter-reactive Method) 或交 談式多目標規劃法。此法之優點為決策者不需要提供事先的完整偏好資訊，
同時也能參與實際決策並表達偏好，亦因決策者的參與，而有助於決策的執 行；缺點部分，則為決策者無法保證在每個求解過程中提供正確的部分偏好 資訊，同時也無法保證在一定次數的反覆過程後求得一最滿意解。
本求解方法又可依決策者在互動過程中所提供資訊型態是否為明確
（Explicit）或隱含（Implicit）而分為明確式資訊權衡（Explicit Trade-off）
及隱含式資訊權衡（Implicit Trade-off）兩種型態（Hwang，1979）。而明確 式資訊權衡較具代表性的方法為季歐夫林法 (Method of Geoffrion)；隱含式 資訊權衡則為逐步法（STEM and Related Method）為代表性。
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多目標規劃求解方法，本研究即依依決策者提供偏好資訊之差異，將其求解 法分為四類，並整理各類之常見求解法︰
表 2-7 多目標規劃求解法分類
類別 常見之求解法
決策者無提供偏好資訊 (No Articulation)
ɛ-限制法（ɛ-constraint Method）
整體準則法（Global Criterion Method）
最小誤差法（Minimum Deviation Method）
多 目 標 單 形 法 （ Multi-objective Simplex Method）
決策者事先提供偏好資訊
（Prior Articulation）
基數資訊 (Cardinal Information) ：
效用函數法 (Utility Function Method)
限制目標法 (Bounded Objective Method) 混合資訊 (Ordinal and Cardinal Information) ：
字典式排序法 (Lexicographic Method)
目標規劃法 (Goal Programming)
目標規劃法 (Goal Programming)