本研究接著即進行模式建構，並考慮上述歸納整理後之各研究課題，發展多 目標之計畫評選及預算分配規劃模式。本研究所建構之模式執行架構如圖 3-3 所示。
圖 3-3 模式執行架構圖
39
預算分配決定權由中央機關，即環保署執行。中央機關主持「低碳示範城市 建構計畫」整個計畫與預算投入，而其中本研究之範疇為探討低碳運輸計畫的分 配問題。
中央機關希望低碳運輸計畫所達到的減碳效益為最大，同時為了平衡城鄉發 展，因此在追求減碳效益最大的同時也應盡量縮短其投入給各區域地方政府預算 之差距，旨在追求分配之公平性。而各區域提出之低碳運輸計畫數量不盡相同，
又可分為兩種：連續型與非連續型計畫。連續型計畫投入屬於「可變動性」，意 即投入之預算可以任意調整，不一定是固定量，例如推動宣導、加強管理等無固 定規模資產計畫；非連續型計畫投入則具「固定比例性」，預算投入增加幅度須 有一固定規模比例，適用在購置低碳公車等實質資產計畫。而為能正常執行計畫，
每種計畫皆需投入一定規模預算，因此有最低可執行預算比例，且其產出都依據 最後所得到之資金投入，產出相對應之減碳效益。而中央機關即在上述各種條件 下找出符合其目標的分配決策結果。
3.3.1 模式假設
在將現實層面問題化為數學模式前，需要明確的定義與假設。本研究即將上 層決策者中央機關設定為預算分配總執行，各區域為爭取中央預算而提出配合該 地區之低碳運輸計畫，中央決策者最終目的在於追求減碳效益最大化，以及分配 之公平性，即各區域分配到之執行預算相對差距最小。因此，在建構模式前，本 研逐提出幾項假設：
1. 中央決策機關將低碳運輸計畫分成 k 種類型，每種計畫分配比例𝑡𝑘皆由 中央機關事先決定。
2. 每種計劃類型下涵蓋有數個區域，每個區域內有若干符合該區域未來減 碳發展目標之子計畫。
3. 各子計畫減碳效益及預算兩者為正相關，即投入預算越多，產出減碳效 益亦隨之增加。
4. 各計畫之成本與減碳效益規模報酬固定。
5. 假設各計畫間相互獨立。
40
6. 子計畫類型分兩種，以下為其定義：
連續型子計畫：即該計畫之投入 具有可依比例調
i. 不一定是固定量，
整性、可依比例變動性。即投入一定量可產出相對應的量，例如推 動宣導等無固定規模資產計畫。
ii. 非連續型子計畫：與連續型子計畫做區別，此種計畫類型預算投入 增加幅度須有一固定規模比例，適用於有「不可分割性資產」的計 例如購買低碳運具等計畫，一輛運具相當於一「定量」投入，
畫。
此種類型計畫投入須為「倍數」。而後本研究即將非連續型投入設 定為乘數型變數。
7. 本研究之探討範疇僅限於決選階段，且進入決選之低碳計畫皆只針對減 碳效益來論述，即低碳計畫不具有加碳之負效益。
8. 為使投入預算具一定規模，每個子計畫有「最低可執行預算比例」。意 即該計畫投入必須達到一定標準，否則該計畫將不入選也不投入預算。
9. 呈第五點，為避免投入預算於子計畫未達到可執行規模，因此假設預算 不須用盡。
3.3.2 模式符號說明
根據上述問題闡述，本研究先定義模式範疇內之集合符號與輸入參數，分別如下 列表格所示。
表 3-1 模式集合符號說明
符號 定義
k
計畫類型 k。k ∈ K，K = {1, 2, … , k}i
區域 i。i ∈ I，I = {1, 2, … , i}𝒋
區域 i 下之非連續型計畫 j。i ∈ I，I = {1, 2, … , i}； j ∈ J， J = { 1, 2, … , j }
𝒋 ′
區域 i 下之連續型計畫j′。i ∈ I，I = {1, 2, … , i}； j′∈ J′， J′= {1′, 2′, … , j′}
41
表 3-2 模式參數說明
符號 定義
C
中央總預算n
區域數。𝑪
𝒊𝒋𝒌 計畫類型 k 中，區域 i 內非連續型計畫 j 執行所需成本。𝑪
𝒊𝒋𝒌′ 計畫類型 k 中，區域 i 內連續型計畫j′執行所需成本。𝒅
𝒊𝒋𝒌 計畫類型 k 中，區域 i 內非連續型計畫 j 每多一單位投入增額之比例。𝑬
𝒊𝒋𝒌 計畫類型 k 中，區域 i 內非連續型計畫 j 所產生之減碳量/減碳效益。𝑬
𝒊𝒋𝒌′ 計畫類型 k 中，區域 i 內連續型計畫j′ 所產生之減碳量/減碳效益。𝑳
𝒊𝒋𝒌 計畫類型 k 中，區域 i 內非連續型計畫 j 最低可執行預算比例。𝑳
𝒊𝒋𝒌′ 計畫類型 k 中，區域 i 內連續型計畫j′ 最低可執行預算比例。表 3-3 模式決策變數說明
符號 定義
𝒕
𝒌 計畫類型 k 之分配比例。計畫類型配給比例。𝒓
𝒊𝒌 計畫類型 k 中，區域 i 最終所分配到之預算比例。區域預算配給比例。
𝒓
𝒊𝒋𝒌′ 計畫類型 k 中，區域 i 內連續型計畫j′最終所分配到之比例。連續型計畫預算配給比例
𝒛
𝒊𝒋𝒌 計畫類型 k 中，區域 i 內非連續型計畫 j 最終所分配到之預算 比例乘數 (非負整數)。非連續型計畫配給單位乘數。42
3.3.3 預算分配規劃模式建構
本研究以下即以循序漸進說明所建構之模式：本研究首先從最基本的模式，
整數規劃(Integer Programming，IP) 之應用背包問題談起，做為扁研究模式之基 礎。
第二模式加入考慮預算可調整性，將計畫分成連續型計畫及非連續型計畫，
是為混合整數規劃 (Mixed Integer Programming，MIP)。
第三模式加入公平性目標式、區域預算配給比例等參數以及最低可執行預算 比例。以表現除了考慮成本分配之公平性外，也顧及投入預算後計畫產出的效益，
以追求區域分配實質上之公平性與效益極大化之雙目標規劃模式。是為一多目標 混合整數非線性規劃問題 (Multi Objective Mixed Integer Nonlinear Programming，
MOMINLP) 的求解問題。
(一)第一模式：基本背包問題
一般而言，大多數預算分配模式為求計畫之完整性，執行計畫必須為全部投 入或者全盤放棄，屬於「非零即一」的規劃方式。每個計畫皆有執行所需預算成 本以及所產出的效益，而中央決策者於挑選計畫並投入的過程中並無法決定該計 畫投入多寡。
本研究之問題可以應用於典型整數背包規劃問題：每個物品皆有一定的重量 及價值，並且在總重量限制條件下，探討何種組合能帶來最高價值，屬於組合最 佳化的線性規劃問題。套用到本研究之情境中，即將問題轉化成：在不考慮區域 平衡目標、以及忽略區域之條件下，每個子計畫皆有自己的執行成本、執行後產 出的減碳效益，如何在中央機關投入之總預算有限的情況下，達到減碳效益最大，
使資金能被妥善利用。
本研究之基礎背包問題並未考慮到區域分配公平性，因此基本模式架構為由 中央機關直接選擇低碳運輸計畫並投入預算，而忽略區域相關變數。並且假設每 個低碳運輸計畫之投入成本與產出減碳效益為正比線性關係。
首先，依據「低碳城市建構計畫」之終極目標，即中央機關欲追求減碳效益 最大，同時受到預算有限的限制下，本研究即將減碳效益目標式定義如下：
𝑀𝐴𝑋 ∑ ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝐸𝑖𝑗𝑘
𝑘 𝑗 𝑖
+ ∑ ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘′ ∙ 𝐸𝑖𝑗𝑘′ 𝑘
𝑗′ 𝑖
(4 − 1)
43
式 (4-1) 表示計畫類型 k 區域 i 中，被選中之非連續型計畫及連續型計畫之 減碳效益加總，而後追求其減碳效益最大化。
預算限制式部分：
∑ ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝐶𝑖𝑗𝑘
𝑘 𝑗 𝑖
+ ∑ ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑘′ ∙ 𝐶𝑖𝑗𝑘′ 𝑘
𝑗′ 𝑖
≤ 𝐶 (4 − 2)
式 (4-2) 表示計畫類型 k 區域 i 中，被選中之非連續型計畫及連續型計畫之 執行成本總和不得超過中央機關配給總預算。
𝑥𝑖𝑗𝑘、𝑥𝑖𝑗𝑘′ ∈ {0, 1} (4 − 3)
式 (4-3) 為決策變數限制：計畫投入預算限制為 0-1 變數。代表選擇計畫與 否。
本模式是以背包問題為基礎而加以延伸。事實上，現實中 0-1 整數規劃往往 無法有彈性的分配預算，可能會造成因剩餘的資金無法再投入任何一項未被選中 之計畫、無法完全將預算用罄的情況，而造成產出之減碳效益較無效率。為解決 此問題，因此本研究即對背包整數基本模式提出變數上的改良，提高預算之使用 率。
(二)第二模式：考慮計畫可調整性之要素
不同於前一模式之 0-1 決策變數：選擇與否，代表計畫必須投入全部成本。
此模式假設計畫不須全部投入。換言之，計畫比例不再是 0-1 整數變數，而是將 計畫根據投入預算方式的不同分成連續型計畫與非連續型計畫，藉由將分配方式 修正為可變動之比例，使預算可以任調整分配。
因此接下來即對基本背包模式進行第一步修正，即考慮連續型計畫與非連續 型計畫投入預算的方式不同，而將變數稍作修正：此模式情境與前述之背包整數 基本模式並無太多相異之處，模式結構大致相同。唯本研究將 0-1 決策變數 𝑥𝑖𝑗𝑘、𝑥𝑖𝑗𝑘′置換為比例變數𝑧𝑖𝑗𝑘、𝑟𝑖𝑗𝑘′，前者為非連續型計畫配給單位乘數；後者則為 連續型計畫預算配給比例。因此可再將目標式改寫如下式 (4-4)：
44
𝑀𝐴𝑋 ∑ ∑ ∑(𝑧𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑘) ∙ 𝐸𝑖𝑗𝑘
𝑘 𝑗 𝑖
+ ∑ ∑ ∑ 𝑟𝑖𝑗𝑘′ ∙ 𝐸𝑖𝑗𝑘′ 𝑘
𝑗′ 𝑖
(4 − 4)
式 (4-4) 中，表示計畫類型 k 區域 i 中，被選中之計畫即由中央投入成本預 算比例，而產出之減碳效益在前述假設中假設與預算成線性正比關係，因此該計 畫獲得多少比例預算，及相對可產出多少減碳效益。 𝑧𝑖𝑗𝑘 為非連續型計畫配給單 位乘數，為正整數之決策變數，而欲輸入之參數 𝑑𝑖𝑗𝑘 則為每一單位增額之比例，
𝑧𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑘 則代表該非連續型計畫投入多少單位的增額比例。因非連續型計畫投入 具「固定比例性」，預算投入增加幅度須有一固定規模比例，適用在購置低碳公 車等具有實質上「不可分割性資產」的計畫，例如每增購一部低碳公車必須將該 計畫投入比例增加 0.2，購置兩部則增加 0.4以此類推。
同樣呈上述，預算調整基本模式的預算限制式部分：
∑ ∑ ∑(𝑧𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑘) ∙ 𝐶𝑖𝑗𝑘
𝑘 𝑗 𝑖
+ ∑ ∑ ∑ 𝑟𝑖𝑗𝑘′ ∙ 𝐶𝑖𝑗𝑘′ 𝑘
𝑗′ 𝑖
≤ 𝐶 (4 − 5)
式 (4-5) 依循前述情境置換為比例變數 𝑧𝑖𝑗𝑘、𝑟𝑖𝑗𝑘′。代表計畫類型 k 區域 i 中 各計畫所分配到之預算總合不得超過中央配給總預算。
𝑟𝑖𝑗𝑘′ ∈ [0, 1] (4 − 6)
𝑧𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑘 ≤ 1；for i, j, k (4 − 7)
𝑧𝑖𝑗𝑘 ∈ { 0，1，2， … } (4 − 8)
式 (4-6) 為計畫類型 k 中，區域 i 內連續型計畫j′ 之決策變數限制：計畫投 入預算限制不再是 0-1 變數。而是改採介於 0 至 1 之間之比例變數。(4-8) 式則 為將計畫類型 k 中，區域 i 內非連續型計畫 j 之投入之單位乘數限制為正整數。
如 (4-7) 式所示，該非連續型計畫投入多少單位的增額比例：𝑧𝑖𝑗𝑘 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑘 則不得超 過 1，因為計畫之投入比例不得超過 1。