多項羅吉特模式

個體選擇模式(Discrete choice model, McFadden, 1984; Ban-Akiva 和 Lerman S., 1985)之理論基礎源於經濟學的效用最大化假設，其假設決策者會選擇的所有 可能方案中對其產生最大效用之方案，而該方法的應用當中因多項羅吉特模式最 為直觀，且估計簡單，故具有最為廣泛的應用。個體選擇模式係比較各替選方案 之效用，而各方案之效用被分為可衡量的部分及不可衡量之隨機誤差項。該模式 之效用函數吉方案選擇機率可表述如下：

(2)

∑ (3)

( ) (4)

其中， 為決策者 n 選擇方案 i 的機率， 為決策者 n 可能的選擇集合， 為 決策者 n 的替代方案 i 的效用， 為決策者 n 的替代方案 i 的可衡量效用， 可 視為各解釋變數 與該變數對應之係數 之總和； 為決策者 n 的替代方案 i 的不可衡量效用，意即隨機誤差項。

而多項羅吉特模式假設隨機誤差項 服從剛柏分配(Gumbel distribution)，經 推導可得多項羅吉特模式的方案選擇機率：

∑ (5)

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

20.00%

25.00%

30.00%

35.00%

付 費 比 例(

%)

高速公路里程(km)

無免費里程 免費里程10公里 免費里程20公里 免費里程30公里

20

在實際估計時，則採用採用最大概似估計法，該方法為求取最大概似估計量 (Maximum likelihood, ML)作為估計準則，該估計量為全樣本個體各替選方案選 擇機率之連乘積，表示方式如式(6)-(7)：

∏ ∏ (6)

{ 個體 選擇方案

其他 (7) 令

∑ (8)

將式(8)帶入式(6)再將式(6)取自然對數，可得式(9)：

∏ ∏ ( ∑ ) (8) 則當下列等式成立時可得 LL 之最大估計量：

̂ (9) 3.3 潛在類別模式

為考慮樣本個體間之偏好異質性，可藉由潛在類別模式將樣本區分為相互異 質性高之類別(Walker 和 Ben-Akiva, 2002)。其方法可被理解為如下敘述：假設一 群樣本存在 個分群使得各分群內相對同質性高，而在各群間異質性相對來得高。

此時，個體 於 分群之方案 被選擇的機率可表示為：

(12)

為個體 之屬性觀測向量， 為群體 之係數向量， 為個體 方案 在 群體 之隨機效用。式(12)之 即說明潛在類別模式的隨機效用會因分群不同 而有不同，故此方法可以克服羅吉特模式中隨機效用具有不相干特性的缺陷。

根據式(12)，我們可將個體 方案 被選到的機率表示為式(13)：

( ) ∑ ( ) ( ) (13) 其中， ( )為個體 在群體 中方案 被選擇的機率， ( )表示個體 屬於 群體 中的機率。而造成個體間有不同機率依屬各潛在類別的原因，即是個體異 質性的效果，影響 ( )大小的解釋變數因影響個體屬於個潛在群體的機率而被 稱為區隔變數，在運具與路線選擇相關的研究皆認為社會經濟變數與旅次特性會 影響分群。

因此，潛在類別模式為假設不同分群之個體對於相同之解釋變數(一般為共 生變數)有不相同之偏好；而多項羅吉特模式則是透過將交叉項加入不同方案以 解釋不同類別之個體對各方案之偏好。

此外，隨著潛在類別模式推估不同分群數，模式解釋變數會隨著分群數增加，

進而使模式的目標值──對數概似值提升，而達到模式優化的效果。然而，為避 免潛在類別模式過度分群，會另採用含參數懲罰機制的指標。本研究之潛在類別 模式之最佳區隔數指標分為赤池信息量準則(Akaike information criterion, AIC)及 貝氏信息量準則(Bayesian information criterion, BIC)，其定義見式(14)與式(15)。

( ) (14)

( ) ( ( )) (15) ( )為對數概似函數值， 表示參數個數， 為總樣本數。

AIC 及 BIC 初始會隨著樣本區隔數的增加而減少，但在區隔數不斷增加後 則又會因為參數懲罰機制而開始變大，因此最佳樣本區隔數為 AIC 及 BIC 皆趨 於最小值時。

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