大一上專業課程中與微積分相關的部分，是否為高三選修 II 已有教授？

回答問題 7：

在 5.1.1 中提到普通物理課程與微積分相關的內容整理，如：速度為位移對時間的

一階導數、加速度為位移對時間的二階導數、角速度為位移對時間的一階導數、角加速 度為位移對時間的二階導數、定積分…。在文本中幾乎每一章均能看到與微積分有關的 數學式，且重複的比例也非常地高。針對多項式的一階導數、二階導數或定積分這樣的 內容皆為高三數學選修 II 中有教授的範圍。但除此之外，文本中亦看到了很多高中數學 沒有教授的內容，如不定積分、偏導函數、自然對數 ln 的微分與積分、變數變換的積 分技巧、有理函數積分、二項級數、三角函數的微分…。內容相當多且廣，而這些內容 均是學生到了大一修習微積分才能夠學習到的範圍。(詳細文本分析內容見 4.2.1)

在 5.1.2 中提到統計學與微積分相關的內容整理，在連續型的機率分配中可以看到 有關於積分的數學式，但是這些數學式大多並非高三數學選修 II 中教授的內容 (詳細文 本分析內容見 4.2.2)。經過 4.2.2 的分析後發現，若學生以高中微積分的觀念來面對這 門科目，尚不足以完全理解，所有數學的式子與微積分有直接相關的雖不算多，但卻有 高三數學選修 II 中沒有學習過的內容，如：歐拉數 e 的使用，廣義積分的觀念…。而 這些內容均是大一微積分課程才會學習到的內容。尤其我們觀察到統計學一門課，在整 本書中首次遇到與微積分有直接相關的式子即是積分式，以 [67] 為例，積分式首次出 現在第四章中，若以授課大綱的進度來查詢，合理的預測統計上到第四章應該只是上學 期的一半左右，而此時修大一微積分的學生進度應該還沒上到積分的部分，如此一來，

修統計的同學若高中沒有學過微積分，在統計課程中該如何理解？對於高中數學 95 暫 綱和 99 課綱，除了應將選修數學 I 列為統計學的預備知識內容之外，對於微積分的認 識也很重要。

在 5.1.3 中提到經濟學與微積分相關的內容整理，文本中看到的數學式大多是具備

〈直角坐標〉、〈直線斜率〉與簡單的四則運算等相關國高中數學知能即可理解 (詳細文 本分析內容見 4.2.3)，但仍有部分內容是高三數學選修 II 沒有教授的範圍，如：全微分 的觀念。「全微分」在大多數微積分書籍中都是放在比較偏後段的章節中，以莊紹容、

楊精松《微積分》 [98] 為例，「全微分」放在第 13 章中，在大一微積分的教學過程中，

要教到「全微分」的觀念或許也是很後段的事情。

在 5.1.4 中提到普通化學與微積分相關的內容整理，文本中看到的數學式大多是具 備〈科學記號〉、〈指數律〉、〈百分比率〉、〈單位換算〉、直線方程式與四則運算等相關 國中代數知能即可，關於文本中基礎數學的式子，請見附錄 A.8 (詳細文本分析內容見 4.2.4)。雖文本中的數學式與微積分有直接相關的不算大量，但卻仍有不少內容是高三 數學選修 II 沒有學習過的範圍，如：歐拉數 e 的使用、自然對數 ln 的微分與積分、

變數變換的積分技巧…，而這些內容均是大一微積分才會學習到的內容。經過 4.2.4 文 本分析後發現，若學生以高中微積分的觀念來面對這門科目，尚不足以完全理解，。

以上，本研究將 1.2 中的待答問題全數回答完畢。

5.1.9 綜合論談

現今的高中數學課程適用於民國九十四年一月教育部發布的普通高級中學數學課 程暫行綱要 (稱 95 暫綱)，在高三的選修數學課程中分為選修 I 與選修 II，而數甲的內 容即包含選修 I 與 II，數乙的課程內容則僅包含選修 I；在選修 I 的教材綱要中並沒有微 積分的課程內容，即數乙對於微積分的教授為零，若於指考中選考數乙，其考試內容將 不會有微積分的相關考題。對於部分大學學系招生時採計數乙，卻在大一上要求必修微 積分，或學系規定的必修課程是與微積分有關，這樣的現象我們猜想對學生來說是吃力 的，甚至有些學系於招生時採計數乙，而大一上確實有課程是與微積分有關，但卻不用 必修微積分，這很令人好奇，這樣的修業規定，學生真的能夠在不認識微積分的情況下，

理解這些課程中需要的微積分內容嗎？

然而，關於「高中生為什麼要學微積分？」，張海潮教授 [13] 曾給了兩個答案：

1. 微積分的發現在數學及相關問題上的突破，值得高中生學習。

2. 微積分的方法對高中階段能夠解決的問題有所幫助。

而單維彰教授 (2008) 則在《美國 AP 課程的啟示》 [8] 中給了第三個答案：

3. 因為大學專業課程的需要。

經過本篇論文的研究後，第三個或許是最直接且最與本研究切合的答案。經過上一 章的文本分析結果，學生在大一學微積分的同時，已經同時在學其他的科目了，而這些 其它的科目幾乎是把微積分當成應用工具，而「微積分課程」則是把微積分當成專業的 課程在教授。不論學生在哪一個學系修了哪一個跟微積分有關的課程，而其課程不論需 要會多少微積分，這些學系的微積分課程都不需要跟數學系學生修的微積分課程一樣地 從極限開始教起，每個學系因為專門領域的不同，對微積分的需求也不太一樣，因此對 於「高中生為什麼要學微積分」這個問題，本研究提供了與「第三個」答案幾乎相同的 結論：「高中的微積分課程並非為了大學的微積分課程作準備，而是針對各其它專業課 程作準備」；更甚地，此篇論文藉由文本分析說明了大學在哪些專業課程中，確實地需 要微積分知能。

在大學的教育裡，每一門課程的開設目的都不盡相同，對於微積分這一門課程來 說，數學系的同學必修，我們把這當作是專業課程在教授，也希望可以從中奠定大二高 微的基礎；但是其它學系的學生修微積分，或許就只是希望能夠藉由微積分課程，學習 到一些基本的觀念，在學過這些簡單的概念後，面對學系中的其它課程就能夠直接應 用；甚至有部分學系在大學四年的課程中幾乎沒有什麼數學的課程，修微積分這門課程 或許就變成是期望增加學生知識的目的了。

前面提到了若學生在高中時代並不認識微積分，真的有辦法到了大一上來修微積

分，同時也能夠應用在別的學科上嗎？關於此一問題本研究在經過第四章進行文本分析 後已經回答。站在數學系的必修微積分課程來談，大一上的一開始往往會先從 ε δ− 開 始介紹，但其實 ε δ− 對於其他學系的課程來說可說是根本應用不到！很多大學校園 裡有數學學系，而在有數學學系的學校裡，往往全校的微積分課程教授都是由數學系的 教授來包辦，至少國立中央大學是如此，這讓我們不禁想問：是否每一個教微積分的教 授都能因應不同的學系，有不同的教法？是否每一個教微積分的教授都能夠因為了解該 學系在大一上的其它課程內容，調整其微積分的授課內容？由於這些問題並非能夠根據 本研究結果來作回答，但未來可以朝著這個方向努力。

5.2 建議

隨著科技日益更新，在資訊爆炸的時代，大學的教育跟著演變了。經由此篇論文分 析發現，許多學系在大一入門課程就有許多微積分的模型，而這些不但在高中數學的教 材內學生沒有學習過，留待大一必修微積分課程教授亦顯緩不濟急。日本現行的高中教 科書於第二學年的內容即有涉獵微積分，台灣的授課內容太多，加上授課時間的限制，

微積分的內容置於高三下教授，並且僅涉獵基礎內容，並不足以面對高等教育中不同學 門的應用。為順應國際潮流與文本分析結果，於此提供三點建議：

1. 台灣高等教育應自編教材，同時銜接高中教育。

2. 因應國際潮流，未來於課綱修訂時，考慮將微積分之內容加深加廣，若能將高中數 學的其它內容精簡，微積分的課程內容就可建議提前於高三上，或是更早教授。

3. 建議未來於課綱修訂時，可參考本篇論文之研究結果。

經由上一章的分析結果發現，部分學系於招生入學時採計數甲，卻在大一上的專業 學門中，沒有與微積分有關的科目，於此提供一點建議：

1. 學系於指考採計數學的狀況，應考量學生於大一上的修課情形，與該學系的修業規 定作綜合評估，若不需學生於高中時期具備微積分的相關知識，可以考慮不採計數 甲或不採計數學，關於微積分的學習直接留至大一必修微積分課程。

經由上一章的分析結果發現，部分學系於招生入學時採計數甲，卻在大一上的專業 學門中，沒有與微積分有關的科目，於此提供一點建議：

1. 根據考試入學招生簡章中各學系數學採計狀況可以看出，商業、金融、管理等領域 多屬希望招收社會組學生，在採計數學上幾乎都選擇採計數乙。經過本研究文本分 析後指出，經濟學一門學科與微積分具有關聯性，現今 95 課綱中數乙並無微積分 內容，但新的 99 課綱中將初級的微積分課程內容納入數乙其中，使得社會組學生 對於微積分不再是毫無認識，相信對於大一經濟學或其它需要微積分應用的專業課 程，在銜接上將更加順利。因此建議：於大一上必修經濟學或其它需要微積分應用 的專業課程之學系，招生應採計數學。

2. 經由上一章的分析結果發現，部分學系於大一上必修專業科目中，有與微積分相關 的課程，但微積分課程卻並非規定為必修。藉由文本分析發現，與微積分有相關的 課程均非全靠高三選修數學 II 的知能即可面對，因此勢必需要藉由大一修微積分課 程來輔助學習，因此於此建議：若學系於大一上必修如普物、統計、經濟與普化等 課程，應同時於修業規定中訂定必修微積分。以普物來說，D 36 與 N 18 兩學系並 未將微積分列為必修課程；以統計學來說，E09、H11、N16 與 N32 四個學系未將